Физика 1: Механика: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (16) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Кинематика

Скорость: v = v₀ + a·t
Перемещение: s = v₀·t + ½·a·t²
Без времени: v² = v₀² + 2·a·s
Единицы: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Выпишите известное: v₀, v, a, t и s с единицами.
Выберите уравнение, содержащее три известных величины и неизвестную.
Выберите одно положительное направление и припишите противоположно направленным величинам знак минус.
Решите и проверьте, что ответ физически разумен.

Законы Ньютона

Второй закон: ΣF = m·a
Вес: W = m·g
Трение скольжения: F_f = μ·N
На наклонной плоскости: вдоль: m·g·sin θ, по нормали: m·g·cos θ

Метод

Нарисуйте расчётную схему со всеми силами, действующими на тело.
Выберите положительное направление вдоль движения.
Разложите силы на составляющие вдоль движения и перпендикулярно ему (на наклонной плоскости: m·g·sin θ вдоль, m·g·cos θ перпендикулярно плоскости).
Примените ΣF = m·a вдоль движения; трение равно μ·N и направлено против движения.

Движение тела, брошенного под углом

Составляющие: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положение: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальная высота: H = h + v_y²/(2g)
Дальность (ровная поверхность): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Разложите начальную скорость на составляющие: v_x = v₀·cos θ и v_y = v₀·sin θ.
По горизонтали скорость постоянна; по вертикали ускорение равно −g.
Найдите время полёта из вертикального движения.
Подставьте это время в горизонтальное движение, чтобы найти дальность.

Движение по окружности

Центростремительное ускорение: a = v²/r = ω²·r
Центростремительная сила: F = m·v²/r
Угловая скорость: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальный поворот, трение: v_max = √(μ·g·r)

Работа и энергия

Кинетическая энергия: E_k = ½mv²
Потенциальная энергия: E_p = mgh
Энергетический баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Работа силы трения: W = μ·N·d
Мощность: P = W/t

Импульс и столкновения

Импульс: p = m·v
Сохранение: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно неупругий удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Импульс силы: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Выберите положительное направление и припишите каждой скорости её знак.
Запишите полный импульс до удара: Σm·v.
При абсолютно неупругом ударе тела после него движутся вместе; при упругом сохраняется ещё и кинетическая энергия.
Приравняйте импульс до удара импульсу после и решите.

Пружины и маятники

Груз на пружине: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Угловая частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Наибольшие скорость и ускорение: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Энергия: E = ½·k·A²

Волны, звук и оптика

Скорость волны: v = fλ, T = 1/f
Струна: v = √(T/μ), μ = m/L
Уровень звука: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Точечный источник: I = P/(4πr²)
Стоячие волны: струна или труба, открытая с обоих концов, f_n = n·v/(2L); закрытая труба f_n = n·v/(4L), n нечётное
Эффект Доплера: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Показатель преломления: n = c/v, λ = λ₀/n
Закон Снеллиуса: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Критический угол: sin θ_c = n₂/n₁
Оптическое волокно: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Линзы и зеркала: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Двойная щель: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Решётка: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Одиночная щель: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Метод

Определите тип задачи: скорость волны, уровень звука, стоячая волна, эффект Доплера, преломление, линза или зеркало, либо интерференция.
Сначала запишите соотношение: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) или n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Переведите единицы: nm, mm и cm в m, и проверьте, отсчитываются ли углы от нормали.
Проверьте знаки и правдоподобие: у мнимого изображения dᵢ < 0, приближающийся источник звучит выше, у закрытой трубы только нечётные гармоники.

2Тренировочные задачи

1.КинематикаСредняя

Для взлёта самолёту нужна скорость 280 km/h, а длина полосы 2000 m. С каким постоянным ускорением a он должен разгоняться с места?

v₀ = 0v = 280 km/hs = 2000 m

a = m/s²

2.КинематикаСложная

Камень без начальной скорости падает в колодец. Всплеск слышен через 3,3 s после того, как камень отпустили. Скорость звука 343 m/s; пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². Найдите глубину d колодца.

t_total = 3,3 sv_sound = 343 m/sg = 9,81 m/s²

d = m

3.Законы НьютонаСредняя

Ящик массой 25 kg толкают вверх по наклонной плоскости под углом 40° к горизонту с постоянной скоростью силой, параллельной плоскости. Коэффициент трения скольжения равен 0,4. Примите g = 9,81 m/s². Найдите толкающую силу F.

m = 25 kgθ = 40°μ = 0,4g = 9,81 m/s²

F = N

4.Законы НьютонаСложная

Брусок массой 5 kg на наклонной плоскости под углом 35° связан лёгкой нитью, перекинутой через блок без трения на вершине плоскости, с висящим грузом массой 6,5 kg. Висящий груз движется вниз. Коэффициент трения скольжения между бруском и плоскостью равен 0,2. Примите g = 9,81 m/s². Найдите силу натяжения T нити.

m₁ = 5 kgm₂ = 6,5 kgθ = 35°μ = 0,2g = 9,81 m/s²

T = N

5.Движение тела, брошенного под угломСредняя

Мяч бьют с горизонтальной поверхности со скоростью 14 m/s под углом 60° к горизонту в сторону стены, находящейся на расстоянии 7 m. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². На какой высоте y мяч пролетает у стены?

v₀ = 14 m/sθ = 60°x = 7 mg = 9,81 m/s²

y = m

6.Движение тела, брошенного под угломСложная

Мяч бросают со скоростью 25 m/s под углом 60° к горизонту с вершины обрыва высотой 30 m. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². Под каким углом α к горизонту (ниже горизонта) он ударяется о землю?

v₀ = 25 m/sθ = 60°h = 30 mg = 9,81 m/s²

α = °

7.Движение по окружностиСредняя

Маленький шарик на нити длиной 2 m движется по горизонтальной окружности так, что нить составляет постоянный угол 25° с вертикалью (конический маятник). Примите g = 9,81 m/s². Найдите время T одного оборота.

L = 2 mθ = 25°g = 9,81 m/s²

T = s

8.Движение по окружностиСложная

Поворот радиусом 280 m имеет вираж с уклоном 20°, коэффициент трения покоя между шинами и дорогой равен 0,1. Примите g = 9,81 m/s². Найдите наибольшую скорость v_max, при которой автомобиль может пройти поворот, не соскальзывая вверх и наружу.

r = 280 mθ = 20°μ_s = 0,1g = 9,81 m/s²

v_max = m/s

9.Работа и энергияСредняя

Автомобиль, движущийся со скоростью 50 km/h по горизонтальной дороге, резко тормозит и с заблокированными колёсами скользит до остановки. Коэффициент трения скольжения между шинами и дорогой равен 0,4. Найдите тормозной путь d.

v = 50 km/hμ = 0,4g = 9,81 m/s²

d = m

10.Работа и энергияСложная

Брусок массой 2 kg отпускают без начальной скорости на высоте 2 m на гладкой рампе. Внизу он пересекает шероховатую горизонтальную полосу длиной 3,5 m (μ = 0,15), а затем наезжает на пружину (k = 5000 N/m) на гладкой поверхности. Найдите наибольшее сжатие x пружины.

m = 2 kgh = 2 mL = 3,5 mμ = 0,15k = 5000 N/mg = 9,81 m/s²

x = cm

11.Импульс и столкновенияСредняя

Автомобиль массой 1900 kg, движущийся со скоростью 8 m/s, налетает на стоящий автомобиль массой 500 kg, и они сцепляются. Какая кинетическая энергия ΔK теряется при столкновении?

m₁ = 1900 kgv₁ = 8 m/sm₂ = 500 kgv₂ = 0

ΔK = J

12.Импульс и столкновенияСложная

Пуля массой 8 g, выпущенная горизонтально, попадает в брусок массой 2,5 kg, подвешенный на лёгких нитях длиной 1,2 m, и застревает в нём. Нити отклоняются на наибольший угол 35° от вертикали. Примите g = 9,81 m/s². Найдите скорость v пули до удара.

m = 8 gM = 2,5 kgL = 1,2 mθ = 35°g = 9,81 m/s²

v = m/s

13.Пружины и маятникиСредняя

Груз массой 3,9 kg на пружине с k = 20 N/m оттягивают на 7 cm в положительном направлении и отпускают без начальной скорости при t = 0. Найдите его смещение x от положения равновесия при t = 1,3 s (со знаком).

m = 3,9 kgk = 20 N/mA = 7 cmt = 1,3 s

x = cm

14.Пружины и маятникиСложная

Груз массой 0,5 kg на пружине с k = 50 N/m оттягивают на 2 cm от положения равновесия и отпускают. Найдите его наибольшую скорость v_max.

m = 0,5 kgk = 50 N/mA = 2 cm

v_max = m/s

15.Волны, звук и оптикаСредняя

Свет идёт в среде «флинт» (n = 1,62) к плоской границе со средой «вода» (n = 1,33). Найдите критический угол θ_c, за пределом которого происходит полное отражение.

n₁ = 1,62n₂ = 1,33

θ_c = °

16.Волны, звук и оптикаСложная

Неподвижный парковочный датчик посылает ультразвук 20 kHz на автомобиль, приближающийся со скоростью 15 m/s. Найдите частоту f″ эха, принятого обратно датчиком (скорость звука 343 m/s).

f = 20 kHzu = 15 m/sv = 343 m/s

f″ = Hz

3Растворы

1.Кинематика

Ответ: a = 1,512 m/s²

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

Единицы

v = 280/3,6 = 77,78 m/s

Ускорение

a = v²/(2s) = 77,78²/(2·2000) = 1,512 m/s²

Ответ

a = 1,512 m/s²

2.Кинематика

Ответ: d = 48,9 m

Две части времени

½·9,81·t₁² = 343·(3,3 − t₁)

4,905·t₁² + 343·t₁ − 1132 = 0

Время падения

Физический смысл имеет только положительный корень.

t₁ = (−343 + √(343² + 4·4,905·1132))/(2·4,905) = 3,157 s

Глубина

d = ½·9,81·3,157² = 48,9 m

Ответ

d = 48,9 m

3.Законы Ньютона

Ответ: F = 232,8 N

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

Силы вдоль плоскости

Постоянная скорость: силы уравновешены.

F = m·g·sin θ + μ·m·g·cos θ

Толкающая сила

F = 157,6 + 75,15 = 232,8 N

Ответ

F = 232,8 N

4.Законы Ньютона

Ответ: T = 48,17 N

Силы вдоль нити

m₂·g = 63,77 N

m₁·g·sin θ = 28,13 N

μ·m₁·g·cos θ = 8,036 N

Ускорение системы

a = (63,77 − 28,13 − 8,036)/11,5 = 2,4 m/s²

Натяжение по висящему грузу

m₂·g − T = m₂·a → T = 6,5·(9,81 − 2,4) = 48,17 N

Ответ

T = 48,17 N

5.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: y = 7,219 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Время до стены

v_x = 14·cos 60° = 7 m/s

t = x/v_x = 7/7 = 1 s

Высота в этот момент

y = 12,12·1 − ½·9,81·1² = 7,219 m

Ответ

y = 7,219 m

У стены мяч ещё поднимается.

6.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: α = 68,97 °

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Разложите начальную скорость

v_x = 25·cos 60° = 12,5 m/s

v_y0 = 25·sin 60° = 21,65 m/s

Вертикальная скорость при ударе

Закон сохранения энергии или v² = v₀² + 2as по вертикали.

v_y = √(21,65² + 2·9,81·30) = 32,52 m/s

Угол падения

tan α = v_y/v_x = 32,52/12,5 → α = 68,97°

Ответ

α = 68,97°

7.Движение по окружности

Ответ: T = 2,701 s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

Радиус окружности

r = L·sin θ = 2·sin 25° = 0,8452 m

Скорость

Сила натяжения и сила тяжести вместе дают силу, направленную к центру: tan θ = v²/(r·g).

v = √(r·g·tan θ) = √(0,8452·9,81·tan 25°) = 1,966 m/s

Период

T = 2π·r/v = 2π·0,8452/1,966 = 2,701 s

Ответ

T = 2,701 s

8.Движение по окружности

Ответ: v_max = 36,37 m/s

Балансы сил

Трение направлено вниз по склону.

N·(sin θ + μ·cos θ) = m·v²/r

N·(cos θ − μ·sin θ) = m·g

Скорость

v = √(280·9,81·0,436/0,9055) = 36,37 m/s

Ответ

v_max = 36,37 m/s

(130,9 km/h)

9.Работа и энергия

Ответ: d = 24,58 m

Теорема об изменении кинетической энергии: изменение кинетической энергии равно работе всех сил. Если записать тяжесть и пружины как потенциальную энергию (mgh и ½kx²), получается баланс: начальная энергия = конечная энергия + энергия, потерянная на трение (μN·d).

Скорость в основных единицах

v = 50/3,6 = 13,89 m/s

Энергетический баланс

½mv² = μmg·d → d = v²/(2μg) = 13,89²/(2·0,4·9,81) = 24,58 m

Ответ

d = 24,58 m

При удвоении скорости тормозной путь увеличивается в четыре раза.

10.Работа и энергия

Ответ: x = 10,76 cm

Энергия после шероховатой полосы

Рампа гладкая, поэтому энергию забирает только полоса.

mgh − μmgL = 19,62·(2 − 0,15·3,5) = 28,94 J

Наибольшее сжатие

½kx² = 28,94 → x = √(2·28,94/5000) = 0,1076 m = 10,76 cm

Ответ

x = 10,76 cm

11.Импульс и столкновения

Ответ: ΔK = 12667 J

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

Общая скорость

v′ = m₁·v₁/(m₁ + m₂) = 1900·8/2400 = 6,333 m/s

Кинетическая энергия до и после

K_before = ½·1900·8² = 60800 J

K_after = ½·2400·6,333² = 48133 J

Потерянная энергия

ΔK = 60800 − 48133 = 12667 J

Ответ

ΔK = 12667 J

Потерянная энергия идёт на деформацию, теплоту и звук.

12.Импульс и столкновения

Ответ: v = 646,9 m/s

Подъём бруска

h = L·(1 − cos θ) = 1,2·(1 − cos 35°) = 0,217 m

Скорость после удара

V = √(2·9,81·0,217) = 2,063 m/s

Столкновение

v = (m + M)·V/m = 2,508·2,063/0,008 = 646,9 m/s

Ответ

v = 646,9 m/s

13.Пружины и маятники

Ответ: x = −6,864 cm

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Угловая частота

ω = √(20/3,9) = 2,265 rad/s

ω·t = 2,265·1,3 = 2,944 rad

Перемещение

x = A·cos(ω·t) = 7·cos(2,944) = −6,864 cm

Ответ

x = −6,864 cm

14.Пружины и маятники

Ответ: v_max = 0,2 m/s

Гармонические колебания: груз массой m на пружине жёсткостью k колеблется с угловой частотой ω = √(k/m) и периодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математический маятник длиной L имеет период T = 2π·√(L/g). При амплитуде A наибольшая скорость равна A·ω, наибольшее ускорение — A·ω², а энергия — ½·k·A².

Угловая частота

ω = √(50/0,5) = 10 rad/s

Наибольшая скорость

v_max = A·ω = 0,02·10 = 0,2 m/s

Ответ

v_max = 0,2 m/s

15.Волны, звук и оптика

Ответ: θ_c = 55,18 °

Геометрическая оптика: на границе n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (закон Снеллиуса), углы отсчитываются от нормали, а n = c/v. При входе в более медленную среду луч приближается к нормали. Из более плотной среды (n₁ > n₂) за пределом критического угла θ_c = arcsin(n₂/n₁) весь свет отражается: полное внутреннее отражение. Тонкие линзы и сферические зеркала подчиняются уравнению 1/f = 1/d_o + 1/d_i с увеличением m = −d_i/d_o. Правило знаков: f > 0 для собирающей линзы и вогнутого зеркала (f = R/2), f < 0 для рассеивающей линзы и выпуклого зеркала; d_i > 0 для действительного изображения, d_i < 0 для мнимого, а m < 0 для перевёрнутого изображения.

Преломление под 90°

sin θc = n₂/n₁ = 1,33/1,62 = 0,821

Критический угол

θc = arcsin(0,821) = 55,18°

Ответ

θ_c = 55,18°

16.Волны, звук и оптика

Ответ: f″ = 21829 Hz

Стоячие волны и эффект Доплера: в струне, закреплённой с обоих концов, или в трубе, открытой с обоих концов, укладывается целое число полуволн: L = nλ/2, f_n = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … У трубы, закрытой с одного конца, на закрытом конце узел, а на открытом пучность: L = nλ/4 только при нечётных n, f_n = n·v/(4L). Когда источник или наблюдатель движутся вдоль линии между ними, f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s): верхние знаки берите для движения навстречу друг другу. Две волны почти равной частоты дают биения с частотой |f₁ − f₂|.

Частота у автомобиля

f′ = 20000·(343 + 15)/343 = 20875 Hz

Частота эха

f″ = f′·343/(343 − 15) = 21829 Hz

Ответ

f″ = 21829 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics