Физика 1: Механика: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (16) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Кинематика

Скорость: v = v₀ + a·t
Перемещение: s = v₀·t + ½·a·t²
Без времени: v² = v₀² + 2·a·s
Единицы: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Выпишите известное: v₀, v, a, t и s с единицами.
Выберите уравнение, содержащее три известных величины и неизвестную.
Выберите одно положительное направление и припишите противоположно направленным величинам знак минус.
Решите и проверьте, что ответ физически разумен.

Законы Ньютона

Второй закон: ΣF = m·a
Вес: W = m·g
Трение скольжения: F_f = μ·N
На наклонной плоскости: вдоль: m·g·sin θ, по нормали: m·g·cos θ

Метод

Нарисуйте расчётную схему со всеми силами, действующими на тело.
Выберите положительное направление вдоль движения.
Разложите силы на составляющие вдоль движения и перпендикулярно ему (на наклонной плоскости: m·g·sin θ вдоль, m·g·cos θ перпендикулярно плоскости).
Примените ΣF = m·a вдоль движения; трение равно μ·N и направлено против движения.

Движение тела, брошенного под углом

Составляющие: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положение: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальная высота: H = h + v_y²/(2g)
Дальность (ровная поверхность): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Разложите начальную скорость на составляющие: v_x = v₀·cos θ и v_y = v₀·sin θ.
По горизонтали скорость постоянна; по вертикали ускорение равно −g.
Найдите время полёта из вертикального движения.
Подставьте это время в горизонтальное движение, чтобы найти дальность.

Движение по окружности

Центростремительное ускорение: a = v²/r = ω²·r
Центростремительная сила: F = m·v²/r
Угловая скорость: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальный поворот, трение: v_max = √(μ·g·r)

Работа и энергия

Кинетическая энергия: E_k = ½mv²
Потенциальная энергия: E_p = mgh
Энергетический баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Работа силы трения: W = μ·N·d
Мощность: P = W/t

Импульс и столкновения

Импульс: p = m·v
Сохранение: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно неупругий удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Импульс силы: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Выберите положительное направление и припишите каждой скорости её знак.
Запишите полный импульс до удара: Σm·v.
При абсолютно неупругом ударе тела после него движутся вместе; при упругом сохраняется ещё и кинетическая энергия.
Приравняйте импульс до удара импульсу после и решите.

Пружины и маятники

Груз на пружине: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Угловая частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Наибольшие скорость и ускорение: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Энергия: E = ½·k·A²

Волны, звук и оптика

Скорость волны: v = fλ, T = 1/f
Струна: v = √(T/μ), μ = m/L
Уровень звука: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Точечный источник: I = P/(4πr²)
Стоячие волны: струна или труба, открытая с обоих концов, f_n = n·v/(2L); закрытая труба f_n = n·v/(4L), n нечётное
Эффект Доплера: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Показатель преломления: n = c/v, λ = λ₀/n
Закон Снеллиуса: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Критический угол: sin θ_c = n₂/n₁
Оптическое волокно: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Линзы и зеркала: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Двойная щель: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Решётка: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Одиночная щель: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Метод

Определите тип задачи: скорость волны, уровень звука, стоячая волна, эффект Доплера, преломление, линза или зеркало, либо интерференция.
Сначала запишите соотношение: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) или n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Переведите единицы: nm, mm и cm в m, и проверьте, отсчитываются ли углы от нормали.
Проверьте знаки и правдоподобие: у мнимого изображения dᵢ < 0, приближающийся источник звучит выше, у закрытой трубы только нечётные гармоники.

2Тренировочные задачи

1.КинематикаСредняя

Для взлёта самолёту нужна скорость 200 km/h, а длина полосы 1100 m. С каким постоянным ускорением a он должен разгоняться с места?

v₀ = 0v = 200 km/hs = 1100 m

a = m/s²

2.КинематикаСложная

Мяч A без начальной скорости падает с высоты 40 m. В тот же момент мяч B бросают вертикально вверх с земли прямо под ним со скоростью 30 m/s. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². Когда мячи встретятся? Найдите t.

H = 40 mv_0B = 30 m/sg = 9,81 m/s²

t = s

3.Законы НьютонаСредняя

Брусок массой 7 kg скользит вниз по наклонной плоскости под углом 30° к горизонту. Коэффициент трения скольжения 0,15. Примите g = 9,81 m/s². Найдите ускорение a бруска вдоль плоскости.

m = 7 kgθ = 30°μ = 0,15g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Законы НьютонаСложная

Два бруска на горизонтальном полу связаны лёгкой горизонтальной нитью. Горизонтальная сила 125 N тянет передний брусок массой 3 kg; брусок массой 10 kg тащится сзади. Коэффициент трения скольжения для обоих брусков равен 0,3. Примите g = 9,81 m/s². Найдите силу натяжения T соединительной нити.

m₁ = 10 kgm₂ = 3 kgF = 125 Nμ = 0,3g = 9,81 m/s²

T = N

5.Движение тела, брошенного под угломСредняя

Мяч бьют с горизонтальной поверхности со скоростью 40 m/s под углом 35° к горизонту в сторону стены, находящейся на расстоянии 107 m. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². На какой высоте y мяч пролетает у стены?

v₀ = 40 m/sθ = 35°x = 107 mg = 9,81 m/s²

y = m

6.Движение тела, брошенного под угломСложная

Мяч бросают со скоростью 21 m/s под углом 45° к горизонту с вершины обрыва высотой 30 m. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². Под каким углом α к горизонту (ниже горизонта) он ударяется о землю?

v₀ = 21 m/sθ = 45°h = 30 mg = 9,81 m/s²

α = °

7.Движение по окружностиСредняя

Автомобиль проходит горизонтальный поворот радиусом 45 m. Коэффициент трения покоя между шинами и дорогой 0,4. Примите g = 9,81 m/s². Найдите наибольшую скорость v_max, с которой автомобиль может пройти поворот без заноса.

r = 45 mμ_s = 0,4g = 9,81 m/s²

v_max = m/s

8.Движение по окружностиСложная

Шарик на нити длиной 1,1 m вращают по вертикальной окружности. Примите g = 9,81 m/s². При какой наименьшей скорости v_min в верхней точке нить ещё остаётся натянутой?

r = 1,1 mg = 9,81 m/s²

v_min = m/s

9.Работа и энергияСредняя

Брусок массой 4 kg скользит 17 m по наклонной плоскости под углом 40° к горизонту с коэффициентом трения скольжения 0,15. Найдите работу W_f против силы трения.

m = 4 kgθ = 40°μ = 0,15d = 17 mg = 9,81 m/s²

W_f = J

10.Работа и энергияСложная

Тележку массой 10 kg отпускают без начальной скорости на высоте 11,2 m на гладкой трассе, переходящей в вертикальную «мёртвую петлю» радиусом 4 m. Найдите силу нормальной реакции N, с которой трасса действует на тележку в верхней точке петли.

m = 10 kgh = 11,2 mR = 4 mg = 9,81 m/s²

N = N

11.Импульс и столкновенияСредняя

Пуля массой 5 g, выпущенная горизонтально, попадает в деревянный брусок массой 1,5 kg, подвешенный на лёгких нитях, и застревает в нём. Брусок отклоняется и поднимается на 9 cm выше начального положения. Примите g = 9,81 m/s². Найдите скорость v пули до удара.

m = 5 gM = 1,5 kgh = 9 cmg = 9,81 m/s²

v = m/s

12.Импульс и столкновенияСложная

Пуля массой 12 g, выпущенная горизонтально, попадает в брусок массой 3,5 kg, подвешенный на лёгких нитях длиной 0,9 m, и застревает в нём. Нити отклоняются на наибольший угол 15° от вертикали. Примите g = 9,81 m/s². Найдите скорость v пули до удара.

m = 12 gM = 3,5 kgL = 0,9 mθ = 15°g = 9,81 m/s²

v = m/s

13.Пружины и маятникиСредняя

Астронавт на другой планете обнаруживает, что математический маятник длиной 1,7 m имеет период малых колебаний 2,45 s. Найдите ускорение свободного падения g на этой планете.

L = 1,7 mT = 2,45 s

g = m/s²

14.Пружины и маятникиСложная

Пуля массой 5 g, летящая со скоростью 450 m/s, попадает в брусок массой 2 kg, лежащий на поверхности без трения, и застревает в нём. Брусок прикреплён к горизонтальной пружине с k = 700 N/m. Найдите амплитуду A возникающих колебаний в cm.

m = 5 gv = 450 m/sM = 2 kgk = 700 N/m

A = cm

15.Волны, звук и оптикаСредняя

Малый источник посылает звук одинаково во все стороны. Уровень на расстоянии 2 m от него равен 85 dB. Найдите уровень β₂ на расстоянии 16 m, пренебрегая поглощением и отражениями.

β₁ = 85 dBr₁ = 2 mr₂ = 16 m

β₂ = dB

16.Волны, звук и оптикаСложная

У оптического волокна сердцевина с n₁ = 1,52 и оболочка с n₂ = 1,47. Найдите его числовую апертуру NA.

n₁ = 1,52n₂ = 1,47

NA =

3Растворы

1.Кинематика

Ответ: a = 1,403 m/s²

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

Единицы

v = 200/3,6 = 55,56 m/s

Ускорение

a = v²/(2s) = 55,56²/(2·1100) = 1,403 m/s²

Ответ

a = 1,403 m/s²

2.Кинематика

Ответ: t = 1,333 s

Время встречи

Направление вверх положительно, земля — y = 0.

40 − ½g·t² = 30·t − ½g·t² → t = 40/30 = 1,333 s

Ответ

t = 1,333 s

3.Законы Ньютона

Ответ: a = 3,631 m/s²

Второй закон Ньютона: равнодействующая сил, действующих на тело, равна произведению его массы на ускорение, ΣF = m·a. Нарисуйте расчётную схему, выберите положительное направление вдоль движения и сложите все силы в этом направлении: приложенные силы, трение μ·N против движения и составляющие силы тяжести.

Силы вдоль плоскости

Вниз по плоскости — положительное направление.

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

Ускорение

a = 9,81·(sin 30° − 0,15·cos 30°) = 9,81·(0,5 − 0,1299) = 3,631 m/s²

Ответ

a = 3,631 m/s²

4.Законы Ньютона

Ответ: T = 96,15 N

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

Вся система

a = (F − μ·(m₁ + m₂)·g)/(m₁ + m₂) = (125 − 38,26)/13 = 6,672 m/s²

Только задний брусок

T = m₁·(a + μ·g) = 10·(6,672 + 2,943) = 96,15 N

Ответ

T = 96,15 N

При одинаковом μ для обоих брусков трение выпадает: T = F·m₁/(m₁ + m₂).

5.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: y = 22,62 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Время до стены

v_x = 40·cos 35° = 32,77 m/s

t = x/v_x = 107/32,77 = 3,266 s

Высота в этот момент

y = 22,94·3,266 − ½·9,81·3,266² = 22,62 m

Ответ

y = 22,62 m

У стены мяч уже опускается.

6.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: α = 62,43 °

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Разложите начальную скорость

v_x = 21·cos 45° = 14,85 m/s

v_y0 = 21·sin 45° = 14,85 m/s

Вертикальная скорость при ударе

Закон сохранения энергии или v² = v₀² + 2as по вертикали.

v_y = √(14,85² + 2·9,81·30) = 28,44 m/s

Угол падения

tan α = v_y/v_x = 28,44/14,85 → α = 62,43°

Ответ

α = 62,43°

7.Движение по окружности

Ответ: v_max = 13,29 m/s

Равномерное движение по окружности: тело, движущееся со скоростью v по окружности радиуса r, имеет ускорение a = v²/r, направленное к центру, поэтому на него должна действовать направленная к центру равнодействующая сила F = m·v²/r. Эту силу создаёт что-то реальное: трение, натяжение, сила тяжести или сила нормальной реакции.

Трение создаёт центростремительную силу

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0,4·9,81·45) = 13,29 m/s

Ответ

v_max = 13,29 m/s (47,84 km/h)

8.Движение по окружности

Ответ: v_min = 3,285 m/s

Нулевое натяжение в верхней точке

m·g = m·v²/r → v = √(g·r) = √(9,81·1,1) = 3,285 m/s

Ответ

v_min = 3,285 m/s

9.Работа и энергия

Ответ: W_f = 76,65 J

Теорема об изменении кинетической энергии: изменение кинетической энергии равно работе всех сил. Если записать тяжесть и пружины как потенциальную энергию (mgh и ½kx²), получается баланс: начальная энергия = конечная энергия + энергия, потерянная на трение (μN·d).

Сила трения

N = mg·cos θ = 39,24·0,766 = 30,06 N

F = μN = 0,15·30,06 = 4,509 N

Работа против трения

W_f = F·d = 4,509·17 = 76,65 J

Ответ

W_f = 76,65 J

10.Работа и энергия

Ответ: N = 58,86 N

Скорость в верхней точке

v² = 2g(h − 2R) = 2·9,81·(11,2 − 8) = 62,78 m²/s²

Силы в верхней точке

m·g = 10·9,81 = 98,1 N

N = mv²/R − mg = 10·62,78/4 − 98,1 = 58,86 N

Ответ

N = 58,86 N

Тележка едва проходит петлю при h = 2,5R; тогда в верхней точке N = 0.

11.Импульс и столкновения

Ответ: v = 400 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

Отклонение после удара

V = √(2·g·h) = √(2·9,81·0,09) = 1,329 m/s

Столкновение

m·v = (m + M)·V → v = (0,005 + 1,5)·1,329/0,005 = 400 m/s

Ответ

v = 400 m/s

12.Импульс и столкновения

Ответ: v = 227 m/s

Подъём бруска

h = L·(1 − cos θ) = 0,9·(1 − cos 15°) = 0,03067 m

Скорость после удара

V = √(2·9,81·0,03067) = 0,7757 m/s

Столкновение

v = (m + M)·V/m = 3,512·0,7757/0,012 = 227 m/s

Ответ

v = 227 m/s

13.Пружины и маятники

Ответ: g = 11,18 m/s²

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Находим g

g = 4π²·L/T² = 4π²·1,7/2,45² = 11,18 m/s²

Ответ

g = 11,18 m/s²

14.Пружины и маятники

Ответ: A = 6,006 cm

Скорость после удара

V = m·v/(m + M) = 0,005·450/2,005 = 1,122 m/s

Угловая частота

ω = √(k/(m + M)) = √(700/2,005) = 18,68 rad/s

Амплитуда

A = V/ω = 1,122/18,68 = 0,06006 m = 6,006 cm

Ответ

A = 6,006 cm

15.Волны, звук и оптика

Ответ: β₂ = 66,94 dB

Волны: периодическая волна проходит одну длину волны за один период, поэтому v = fλ при T = 1/f. На натянутой струне v = √(T/μ), где T — сила натяжения, а μ = m/L — масса на метр. Звук в воздухе распространяется со скоростью около 343 m/s при 20 °C, свет в вакууме — со скоростью c = 3,00 × 10⁸ m/s. Громкость измеряется в логарифмическом масштабе: β = 10·log₁₀(I/I₀) dB, где I₀ = 10⁻¹² W/m², поэтому десятикратная интенсивность добавляет 10 dB. Точечный источник распределяет мощность P по сфере: I = P/(4πr²).

Отношение интенсивностей

I₂/I₁ = (2/16)² = 0,01563

Новый уровень

β₂ = 85 + 10·log₁₀(0,01563) = 66,94 dB

Ответ

β₂ = 66,94 dB

Каждое удвоение расстояния снижает уровень примерно на 6 dB.

16.Волны, звук и оптика

Ответ: NA = 0,3867

Геометрическая оптика: на границе n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (закон Снеллиуса), углы отсчитываются от нормали, а n = c/v. При входе в более медленную среду луч приближается к нормали. Из более плотной среды (n₁ > n₂) за пределом критического угла θ_c = arcsin(n₂/n₁) весь свет отражается: полное внутреннее отражение. Тонкие линзы и сферические зеркала подчиняются уравнению 1/f = 1/d_o + 1/d_i с увеличением m = −d_i/d_o. Правило знаков: f > 0 для собирающей линзы и вогнутого зеркала (f = R/2), f < 0 для рассеивающей линзы и выпуклого зеркала; d_i > 0 для действительного изображения, d_i < 0 для мнимого, а m < 0 для перевёрнутого изображения.

Критический угол на оболочке

sin θc = 1,47/1,52 = 0,9671 → θc = 75,26°

Числовая апертура

NA = √(1,52² − 1,47²) = 0,3867

Ответ

NA = 0,3867

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics