Физика 1: Механика: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (16) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Кинематика

Скорость: v = v₀ + a·t
Перемещение: s = v₀·t + ½·a·t²
Без времени: v² = v₀² + 2·a·s
Единицы: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Выпишите известное: v₀, v, a, t и s с единицами.
Выберите уравнение, содержащее три известных величины и неизвестную.
Выберите одно положительное направление и припишите противоположно направленным величинам знак минус.
Решите и проверьте, что ответ физически разумен.

Законы Ньютона

Второй закон: ΣF = m·a
Вес: W = m·g
Трение скольжения: F_f = μ·N
На наклонной плоскости: вдоль: m·g·sin θ, по нормали: m·g·cos θ

Метод

Нарисуйте расчётную схему со всеми силами, действующими на тело.
Выберите положительное направление вдоль движения.
Разложите силы на составляющие вдоль движения и перпендикулярно ему (на наклонной плоскости: m·g·sin θ вдоль, m·g·cos θ перпендикулярно плоскости).
Примените ΣF = m·a вдоль движения; трение равно μ·N и направлено против движения.

Движение тела, брошенного под углом

Составляющие: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положение: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальная высота: H = h + v_y²/(2g)
Дальность (ровная поверхность): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Разложите начальную скорость на составляющие: v_x = v₀·cos θ и v_y = v₀·sin θ.
По горизонтали скорость постоянна; по вертикали ускорение равно −g.
Найдите время полёта из вертикального движения.
Подставьте это время в горизонтальное движение, чтобы найти дальность.

Движение по окружности

Центростремительное ускорение: a = v²/r = ω²·r
Центростремительная сила: F = m·v²/r
Угловая скорость: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальный поворот, трение: v_max = √(μ·g·r)

Работа и энергия

Кинетическая энергия: E_k = ½mv²
Потенциальная энергия: E_p = mgh
Энергетический баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Работа силы трения: W = μ·N·d
Мощность: P = W/t

Импульс и столкновения

Импульс: p = m·v
Сохранение: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно неупругий удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Импульс силы: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Выберите положительное направление и припишите каждой скорости её знак.
Запишите полный импульс до удара: Σm·v.
При абсолютно неупругом ударе тела после него движутся вместе; при упругом сохраняется ещё и кинетическая энергия.
Приравняйте импульс до удара импульсу после и решите.

Пружины и маятники

Груз на пружине: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Угловая частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Наибольшие скорость и ускорение: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Энергия: E = ½·k·A²

Волны, звук и оптика

Скорость волны: v = fλ, T = 1/f
Струна: v = √(T/μ), μ = m/L
Уровень звука: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Точечный источник: I = P/(4πr²)
Стоячие волны: струна или труба, открытая с обоих концов, f_n = n·v/(2L); закрытая труба f_n = n·v/(4L), n нечётное
Эффект Доплера: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Показатель преломления: n = c/v, λ = λ₀/n
Закон Снеллиуса: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Критический угол: sin θ_c = n₂/n₁
Оптическое волокно: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Линзы и зеркала: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Двойная щель: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Решётка: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Одиночная щель: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Метод

Определите тип задачи: скорость волны, уровень звука, стоячая волна, эффект Доплера, преломление, линза или зеркало, либо интерференция.
Сначала запишите соотношение: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) или n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Переведите единицы: nm, mm и cm в m, и проверьте, отсчитываются ли углы от нормали.
Проверьте знаки и правдоподобие: у мнимого изображения dᵢ < 0, приближающийся источник звучит выше, у закрытой трубы только нечётные гармоники.

2Тренировочные задачи

1.КинематикаСредняя

Для взлёта самолёту нужна скорость 250 km/h, а длина полосы 2300 m. С каким постоянным ускорением a он должен разгоняться с места?

v₀ = 0v = 250 km/hs = 2300 m

a = m/s²

2.КинематикаСложная

Мяч бросают вертикально вверх со скоростью 15 m/s с края крыши на высоте 40 m над землёй. Сопротивлением воздуха пренебречь, g = 9,81 m/s². Найдите наибольшую высоту h_max над землёй.

v₀ = 15 m/sh₀ = 40 mg = 9,81 m/s²

h_max = m

3.Законы НьютонаСредняя

Брусок массой 18 kg скользит вниз по наклонной плоскости под углом 20° к горизонту. Коэффициент трения скольжения 0,3. Примите g = 9,81 m/s². Найдите ускорение a бруска вдоль плоскости.

m = 18 kgθ = 20°μ = 0,3g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Законы НьютонаСложная

Брусок массой 4 kg на наклонной плоскости под углом 35° связан лёгкой нитью, перекинутой через блок без трения на вершине плоскости, с висящим грузом массой 3 kg. Висящий груз движется вниз. Наклонная плоскость гладкая (без трения). Примите g = 9,81 m/s². Найдите силу натяжения T нити.

m₁ = 4 kgm₂ = 3 kgθ = 35°μ = 0g = 9,81 m/s²

T = N

5.Движение тела, брошенного под угломСредняя

Мяч бросают под углом 45° к горизонту с ровной поверхности. Сопротивлением воздуха пренебречь. Найдите наибольшую высоту H, которой достигает мяч.

v₀ = 22 m/sθ = 45°g = 9,81 m/s²

H = m

6.Движение тела, брошенного под угломСложная

Мяч бросают под углом 50° к горизонту с вершины скалы высотой 35 m. Сопротивлением воздуха пренебречь. Найдите время полёта t до удара мяча о землю.

v₀ = 23 m/sθ = 50°h = 35 mg = 9,81 m/s²

t = s

7.Движение по окружностиСредняя

Автомобиль массой 1700 kg переезжает вершину бугра на дороге со скоростью 21 m/s. Вершина бугра — дуга окружности радиусом 110 m. Примите g = 9,81 m/s². Найдите силу нормальной реакции N дороги на автомобиль на вершине.

m = 1700 kgv = 21 m/sr = 110 mg = 9,81 m/s²

N = N

8.Движение по окружностиСложная

Поворот радиусом 40 m имеет вираж с уклоном 15°, коэффициент трения покоя между шинами и дорогой равен 0,1. Примите g = 9,81 m/s². Найдите наибольшую скорость v_max, при которой автомобиль может пройти поворот, не соскальзывая вверх и наружу.

r = 40 mθ = 15°μ_s = 0,1g = 9,81 m/s²

v_max = m/s

9.Работа и энергияСредняя

Шарик массой 2 kg висит на лёгкой нити длиной 2 m. Его отводят в сторону, пока нить не составит 45° с вертикалью, и отпускают без начальной скорости. Найдите силу натяжения T нити в момент прохождения шариком нижней точки.

m = 2 kgL = 2 mθ = 45°g = 9,81 m/s²

T = N

10.Работа и энергияСложная

Пружину жёсткостью 2000 N/m у основания наклонной плоскости 15° сжимают на 8 cm бруском массой 5 kg и отпускают. Коэффициент трения скольжения между бруском и плоскостью равен 0,15. Какое расстояние d пройдёт брусок вверх по плоскости от точки отпускания до остановки? (Пренебрегите коротким участком, на котором толкает пружина, т. е. учитывайте трение и силу тяжести на всём расстоянии d.)

m = 5 kgk = 2000 N/mx = 8 cmθ = 15°μ = 0,15g = 9,81 m/s²

d = m

11.Импульс и столкновенияСредняя

Тележка массой 2,5 kg, движущаяся со скоростью 12 m/s, испытывает абсолютно упругий центральный удар с покоящейся тележкой массой 4 kg на дорожке без трения. Найдите скорость v′₂ второй тележки после столкновения.

m₁ = 2,5 kgm₂ = 4 kgv₁ = 12 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

12.Импульс и столкновенияСложная

На перекрёстке автомобиль массой 1000 kg, едущий на восток со скоростью 14 m/s, сталкивается с автомобилем массой 1200 kg, едущим на север со скоростью 15 m/s. Автомобили сцепляются. Найдите скорость v′ обломков сразу после столкновения.

m₁ = 1000 kgv₁ = 14 m/s (E)m₂ = 1200 kgv₂ = 15 m/s (N)

v′ = m/s

13.Пружины и маятникиСредняя

Какой длины должен быть математический маятник, чтобы его период был 2,5 s? Примите g = 9,81 m/s². Найдите L.

T = 2,5 sg = 9,81 m/s²

L = m

14.Пружины и маятникиСложная

Груз на пружине с k = 410 N/m колеблется на поверхности без трения с амплитудой 17 cm. Найдите энергию U, запасённую в пружине, когда груз находится на расстоянии 7 cm от положения равновесия.

k = 410 N/mA = 17 cmx = 7 cm

U = J

15.Волны, звук и оптикаСредняя

Труба, открытая с обоих концов имеет длину 0,65 m. Скорость звука равна 343 m/s. Найдите частоту f₃ для режима: гармоника номер 3.

v = 343 m/sn = 3L = 0,65 m

f₃ = Hz

16.Волны, звук и оптикаСложная

Решётка с 1200 штрихами на миллиметр даёт максимум порядка 1 для спектральной линии под углом 41,3° к направлению прямого прохождения. Найдите длину волны λ линии.

N = 1200 mm⁻¹θ₁ = 41,3°m = 1

λ = nm

3Растворы

1.Кинематика

Ответ: a = 1,048 m/s²

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

Единицы

v = 250/3,6 = 69,44 m/s

Ускорение

a = v²/(2s) = 69,44²/(2·2300) = 1,048 m/s²

Ответ

a = 1,048 m/s²

2.Кинематика

Ответ: h_max = 51,47 m

Движение с постоянным ускорением: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² и v² = v₀² + 2·a·s. Выберите уравнение, в которое входят три известные величины и искомая, и следите за знаками относительно одного положительного направления.

Подъём над крышей

0 = v₀² − 2·g·Δh → Δh = 15²/(2·9,81) = 11,47 m

Высота над землёй

h_max = 40 + 11,47 = 51,47 m

Ответ

h_max = 51,47 m

3.Законы Ньютона

Ответ: a = 0,5897 m/s²

Второй закон Ньютона: равнодействующая сил, действующих на тело, равна произведению его массы на ускорение, ΣF = m·a. Нарисуйте расчётную схему, выберите положительное направление вдоль движения и сложите все силы в этом направлении: приложенные силы, трение μ·N против движения и составляющие силы тяжести.

Силы вдоль плоскости

Вниз по плоскости — положительное направление.

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

Ускорение

a = 9,81·(sin 20° − 0,3·cos 20°) = 9,81·(0,342 − 0,2819) = 0,5897 m/s²

Ответ

a = 0,5897 m/s²

4.Законы Ньютона

Ответ: T = 26,46 N

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

Силы вдоль нити

m₂·g = 29,43 N

m₁·g·sin θ = 22,51 N

μ·m₁·g·cos θ = 0 N

Ускорение системы

a = (29,43 − 22,51 − 0)/7 = 0,989 m/s²

Натяжение по висящему грузу

m₂·g − T = m₂·a → T = 3·(9,81 − 0,989) = 26,46 N

Ответ

T = 26,46 N

5.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: H = 12,33 m

Движение тела, брошенного под углом: без сопротивления воздуха x = v_xt и y = h + v_yt − ½gt². Оба направления независимы, их связывает только общее время.

Разложите начальную скорость

Горизонтальная скорость постоянна; вертикальное движение имеет постоянное ускорение g = 9,81 m/s² вниз.

v_x = v₀·cos θ = 22·cos 45° = 15,56 m/s

v_y = v₀·sin θ = 22·sin 45° = 15,56 m/s

Высшая точка

В верхней точке вертикальная скорость равна нулю: v_y² = 2gH.

H = v_y²/(2g) = 15,56²/(2·9,81) = 12,33 m

Ответ

H = 12,33 m

6.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: t = 5,015 s

Разложите начальную скорость

Горизонтальная скорость постоянна; вертикальное движение имеет постоянное ускорение g = 9,81 m/s² вниз.

v_x = v₀·cos θ = 23·cos 50° = 14,78 m/s

v_y = v₀·sin θ = 23·sin 50° = 17,62 m/s

Время полёта

Решите y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 и возьмите положительный корень.

0 = 35 + 17,62·t − 4,905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (17,62 + √(310,4 + 686,7))/9,81 = 5,015 s

Ответ

t = 5,015 s

7.Движение по окружности

Ответ: N = 9862 N

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

Силы в верхней точке

Направление к центру (вниз) положительно.

m·g − N = m·v²/r

N = 1700·9,81 − 1700·21²/110 = 16677 − 6815 = 9862 N

Ответ

N = 9862 N

Автомобиль становится «легче»: дорога давит вверх с силой меньше его веса.

8.Движение по окружности

Ответ: v_max = 12,18 m/s

Балансы сил

Трение направлено вниз по склону.

N·(sin θ + μ·cos θ) = m·v²/r

N·(cos θ − μ·sin θ) = m·g

Скорость

v = √(40·9,81·0,3554/0,94) = 12,18 m/s

Ответ

v_max = 12,18 m/s

(43,85 km/h)

9.Работа и энергия

Ответ: T = 31,11 N

Теорема об изменении кинетической энергии: изменение кинетической энергии равно работе всех сил. Если записать тяжесть и пружины как потенциальную энергию (mgh и ½kx²), получается баланс: начальная энергия = конечная энергия + энергия, потерянная на трение (μN·d). При движении по окружности равнодействующая, направленная к центру, должна быть равна mv²/r.

Скорость в нижней точке

v² = 2gL(1 − cos θ) = 2·9,81·2·(1 − cos 45°) = 11,49 m²/s²

Силы в нижней точке

m·g = 2·9,81 = 19,62 N

T = mg + mv²/L = 19,62 + 2·11,49/2 = 31,11 N

Ответ

T = 31,11 N

Проверка: T = mg(3 − 2cos θ) = 31,11 N.

10.Работа и энергия

Ответ: d = 0,3232 m

Энергия пружины

x = 8 cm = 0,08 m

½kx² = ½·2000·0,08² = 6,4 J

Энергетический баланс вдоль плоскости

m·g = 5·9,81 = 49,05 N

½kx² = mg·d·(sin θ + μ·cos θ)

d = 6,4/(49,05·(0,2588 + 0,15·0,9659)) = 0,3232 m

Ответ

d = 0,3232 m

11.Импульс и столкновения

Ответ: v′₂ = 9,231 m/s

Закон сохранения импульса: если во время столкновения внешние силы не действуют, суммарный импульс Σm·v до столкновения равен суммарному импульсу после. Скорость имеет направление, поэтому выберите положительное направление и скорости, направленные в противоположную сторону, берите со знаком минус. При упругом столкновении сохраняется и кинетическая энергия; при абсолютно неупругом тела слипаются.

Упругий удар о покоящееся тело

Совместное решение уравнений сохранения импульса и энергии даёт эти два результата.

v′₁ = (2,5 − 4)/(2,5 + 4)·12 = −2,769 m/s

v′₂ = 2·2,5/(2,5 + 4)·12 = 9,231 m/s

Ответ

v′₂ = 9,231 m/s

12.Импульс и столкновения

Ответ: v′ = 10,37 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

Составляющие импульса

p_x = 1000·14 = 14000 kg·m/s

p_y = 1200·15 = 18000 kg·m/s

Скорость обломков

v′ = √(p_x² + p_y²)/(m₁ + m₂) = 22804/2200 = 10,37 m/s

Ответ

v′ = 10,37 m/s

13.Пружины и маятники

Ответ: L = 1,553 m

Гармонические колебания: груз массой m на пружине жёсткостью k колеблется с угловой частотой ω = √(k/m) и периодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математический маятник длиной L имеет период T = 2π·√(L/g). При амплитуде A наибольшая скорость равна A·ω, наибольшее ускорение — A·ω², а энергия — ½·k·A².

Выразите длину

L = g·(T/2π)² = 9,81·(2,5/2π)² = 1,553 m

Ответ

L = 1,553 m

14.Пружины и маятники

Ответ: U = 1,005 J

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Полная энергия

E = ½·k·A² = ½·410·0,17² = 5,925 J

Энергия пружины в точке x

U = ½·k·x² = ½·410·0,07² = 1,005 J

Ответ

U = 1,005 J

15.Волны, звук и оптика

Ответ: f₃ = 791,5 Hz

Стоячие волны и эффект Доплера: в струне, закреплённой с обоих концов, или в трубе, открытой с обоих концов, укладывается целое число полуволн: L = nλ/2, f_n = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … У трубы, закрытой с одного конца, на закрытом конце узел, а на открытом пучность: L = nλ/4 только при нечётных n, f_n = n·v/(4L). Когда источник или наблюдатель движутся вдоль линии между ними, f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s): верхние знаки берите для движения навстречу друг другу. Две волны почти равной частоты дают биения с частотой |f₁ − f₂|.

Длина волны этого режима

λ = 2L/n = 2·0,65/3 = 0,4333 m

Частота

f = v/λ = 343/0,4333 = 791,5 Hz

Ответ

f₃ = 791,5 Hz

16.Волны, звук и оптика

Ответ: λ = 550 nm

Интерференция и дифракция: свет от двух щелей на расстоянии d друг от друга приходит в точку на экране с разностью хода d·sin θ. Светлые полосы появляются там, где d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …). Для экрана на расстоянии L ≫ d m-я светлая полоса находится при y = mλL/d, а расстояние между полосами равно Δy = λL/d. У решётки с N штрихами на миллиметр d = 1/N, а резкие максимумы находятся при d·sin θ = mλ; так как sin θ ≤ 1, наивысший порядок — наибольшее целое число m ≤ d/λ. У одной щели шириной a тёмные полосы находятся при a·sin θ = mλ, m = ±1, ±2, …

Длина волны

λ = d·sin θ/m = 8,333 × 10⁻⁷·sin 41,3°/1 = 550 nm

Ответ

λ = 550 nm

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics