Физика 1: Механика: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (16) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Кинематика

Скорость: v = v₀ + a·t
Перемещение: s = v₀·t + ½·a·t²
Без времени: v² = v₀² + 2·a·s
Единицы: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Выпишите известное: v₀, v, a, t и s с единицами.
Выберите уравнение, содержащее три известных величины и неизвестную.
Выберите одно положительное направление и припишите противоположно направленным величинам знак минус.
Решите и проверьте, что ответ физически разумен.

Законы Ньютона

Второй закон: ΣF = m·a
Вес: W = m·g
Трение скольжения: F_f = μ·N
На наклонной плоскости: вдоль: m·g·sin θ, по нормали: m·g·cos θ

Метод

Нарисуйте расчётную схему со всеми силами, действующими на тело.
Выберите положительное направление вдоль движения.
Разложите силы на составляющие вдоль движения и перпендикулярно ему (на наклонной плоскости: m·g·sin θ вдоль, m·g·cos θ перпендикулярно плоскости).
Примените ΣF = m·a вдоль движения; трение равно μ·N и направлено против движения.

Движение тела, брошенного под углом

Составляющие: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положение: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальная высота: H = h + v_y²/(2g)
Дальность (ровная поверхность): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Разложите начальную скорость на составляющие: v_x = v₀·cos θ и v_y = v₀·sin θ.
По горизонтали скорость постоянна; по вертикали ускорение равно −g.
Найдите время полёта из вертикального движения.
Подставьте это время в горизонтальное движение, чтобы найти дальность.

Движение по окружности

Центростремительное ускорение: a = v²/r = ω²·r
Центростремительная сила: F = m·v²/r
Угловая скорость: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальный поворот, трение: v_max = √(μ·g·r)

Работа и энергия

Кинетическая энергия: E_k = ½mv²
Потенциальная энергия: E_p = mgh
Энергетический баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Работа силы трения: W = μ·N·d
Мощность: P = W/t

Импульс и столкновения

Импульс: p = m·v
Сохранение: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно неупругий удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Импульс силы: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Выберите положительное направление и припишите каждой скорости её знак.
Запишите полный импульс до удара: Σm·v.
При абсолютно неупругом ударе тела после него движутся вместе; при упругом сохраняется ещё и кинетическая энергия.
Приравняйте импульс до удара импульсу после и решите.

Пружины и маятники

Груз на пружине: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Угловая частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Наибольшие скорость и ускорение: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Энергия: E = ½·k·A²

Волны, звук и оптика

Скорость волны: v = fλ, T = 1/f
Струна: v = √(T/μ), μ = m/L
Уровень звука: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Точечный источник: I = P/(4πr²)
Стоячие волны: струна или труба, открытая с обоих концов, f_n = n·v/(2L); закрытая труба f_n = n·v/(4L), n нечётное
Эффект Доплера: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Показатель преломления: n = c/v, λ = λ₀/n
Закон Снеллиуса: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Критический угол: sin θ_c = n₂/n₁
Оптическое волокно: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Линзы и зеркала: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Двойная щель: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Решётка: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Одиночная щель: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Метод

Определите тип задачи: скорость волны, уровень звука, стоячая волна, эффект Доплера, преломление, линза или зеркало, либо интерференция.
Сначала запишите соотношение: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) или n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Переведите единицы: nm, mm и cm в m, и проверьте, отсчитываются ли углы от нормали.
Проверьте знаки и правдоподобие: у мнимого изображения dᵢ < 0, приближающийся источник звучит выше, у закрытой трубы только нечётные гармоники.

2Тренировочные задачи

1.КинематикаСредняя

Водитель, едущий со скоростью 120 km/h, видит препятствие. Время её реакции 1,1 s, после чего автомобиль тормозит с постоянным замедлением 5,5 m/s². Найдите полный остановочный путь d с момента, когда она увидела препятствие.

v₀ = 120 km/ht_r = 1,1 sa = −5,5 m/s²

d = m

2.КинематикаСложная

Мяч бросают вертикально вверх со скоростью 13 m/s с края крыши на высоте 20 m над землёй. Сопротивлением воздуха пренебречь, g = 9,81 m/s². Через какое время после броска он упадёт на землю? Найдите t.

v₀ = 13 m/sh₀ = 20 mg = 9,81 m/s²

t = s

3.Законы НьютонаСредняя

Ящик скользит по горизонтальному полу с начальной скоростью 2,5 m/s и останавливается через 1,6 m. Примите g = 9,81 m/s². Найдите коэффициент трения скольжения μ.

v₀ = 2,5 m/sd = 1,6 mg = 9,81 m/s²

μ =

4.Законы НьютонаСложная

Брусок массой 3,5 kg на горизонтальном столе соединён лёгкой нитью, перекинутой через блок без трения, с подвешенным грузом массой 3,5 kg. Коэффициент трения скольжения между бруском и столом 0,25. Примите g = 9,81 m/s². Найдите ускорение a системы.

m₁ = 3,5 kgm₂ = 3,5 kgμ = 0,25g = 9,81 m/s²

a = m/s²

5.Движение тела, брошенного под угломСредняя

Мяч бросают под углом 30° к горизонту с ровной поверхности. Сопротивлением воздуха пренебречь. Найдите горизонтальное расстояние x, которое мяч пролетает до удара о землю.

v₀ = 40 m/sθ = 30°g = 9,81 m/s²

x = m

6.Движение тела, брошенного под угломСложная

Мяч бросают со скоростью 19 m/s под углом 45° к горизонту с вершины обрыва высотой 45 m. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². Найдите наибольшую высоту H над землёй у подножия обрыва.

v₀ = 19 m/sθ = 45°h = 45 mg = 9,81 m/s²

H = m

7.Движение по окружностиСредняя

Автомобиль проходит горизонтальный поворот радиусом 55 m. Коэффициент трения покоя между шинами и дорогой 0,4. Примите g = 9,81 m/s². Найдите наибольшую скорость v_max, с которой автомобиль может пройти поворот без заноса.

r = 55 mμ_s = 0,4g = 9,81 m/s²

v_max = m/s

8.Движение по окружностиСложная

Шарик массой 1,9 kg на лёгкой нити длиной 0,5 m вращают по вертикальной окружности. В нижней точке его скорость 11,5 m/s. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². Найдите силу натяжения T_top нити в верхней точке.

m = 1,9 kgr = 0,5 mv_bottom = 11,5 m/sg = 9,81 m/s²

T_top = N

9.Работа и энергияСредняя

Брусок массой 2 kg скользит 17 m по наклонной плоскости под углом 25° к горизонту с коэффициентом трения скольжения 0,3. Найдите работу W_f против силы трения.

m = 2 kgθ = 25°μ = 0,3d = 17 mg = 9,81 m/s²

W_f = J

10.Работа и энергияСложная

Брусок массой 2 kg отпускают без начальной скорости на высоте 1 m на гладкой рампе. Внизу он пересекает шероховатую горизонтальную полосу длиной 3 m (μ = 0,1), а затем наезжает на пружину (k = 4000 N/m) на гладкой поверхности. Найдите скорость v бруска, когда он достигает пружины.

m = 2 kgh = 1 mL = 3 mμ = 0,1k = 4000 N/mg = 9,81 m/s²

v = m/s

11.Импульс и столкновенияСредняя

Пуля массой 20 g, выпущенная горизонтально, попадает в деревянный брусок массой 1,5 kg, подвешенный на лёгких нитях, и застревает в нём. Брусок отклоняется и поднимается на 22 cm выше начального положения. Примите g = 9,81 m/s². Найдите скорость v пули до удара.

m = 20 gM = 1,5 kgh = 22 cmg = 9,81 m/s²

v = m/s

12.Импульс и столкновенияСложная

Мяч массой 0,35 kg ударяется о стену со скоростью 27 m/s и отскакивает прямо назад со скоростью 16 m/s. Контакт длится 25 ms. Найдите среднюю силу F_avg, с которой стена действует на мяч.

m = 0,35 kgv_in = 27 m/sv_out = 16 m/sΔt = 25 ms

F_avg = N

13.Пружины и маятникиСредняя

Астронавт на другой планете обнаруживает, что математический маятник длиной 1 m имеет период малых колебаний 4,94 s. Найдите ускорение свободного падения g на этой планете.

L = 1 mT = 4,94 s

g = m/s²

14.Пружины и маятникиСложная

Груз массой 0,3 kg на пружине с k = 320 N/m оттягивают на 17 cm от положения равновесия и отпускают. Найдите его наибольшую скорость v_max.

m = 0,3 kgk = 320 N/mA = 17 cm

v_max = m/s

15.Волны, звук и оптикаСредняя

Наблюдатель движется со скоростью 10 m/s к неподвижному источнику частотой 300 Hz. Скорость звука равна 343 m/s. Найдите частоту f′, которую слышит наблюдатель.

f = 300 Hzv = 343 m/sv_o = 10 m/s

f′ = Hz

16.Волны, звук и оптикаСложная

Две щели на расстоянии 0,1 mm друг от друга освещаются монохроматическим светом. На экране на расстоянии 1 m светлая полоса номер 4 находится в 24 mm от центральной полосы. Найдите длину волны λ.

d = 0,1 mmL = 1 my₄ = 24 mmm = 4

λ = nm

3Растворы

1.Кинематика

Ответ: d = 137,7 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

Единицы

v₀ = 120/3,6 = 33,33 m/s

Путь за время реакции

d₁ = v₀·t_r = 33,33·1,1 = 36,67 m

Тормозной путь

d₂ = v₀²/(2a) = 33,33²/(2·5,5) = 101 m

Итого

d = 36,67 + 101 = 137,7 m

Ответ

d = 137,7 m

2.Кинематика

Ответ: t = 3,74 s

Движение с постоянным ускорением: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² и v² = v₀² + 2·a·s. Выберите уравнение, в которое входят три известные величины и искомая, и следите за знаками относительно одного положительного направления.

Уравнение движения

Вверх — положительное направление, земля находится на h₀ ниже точки броска.

−20 = 13·t − ½·9,81·t²

4,905·t² − 13·t − 20 = 0

Решите квадратное уравнение

Физический смысл имеет только положительный корень.

t = (13 + √(13² + 2·9,81·20))/9,81 = 3,74 s

Ответ

t = 3,74 s

3.Законы Ньютона

Ответ: μ = 0,1991

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

Замедление

a = v₀²/(2d) = 2,5²/(2·1,6) = 1,953 m/s²

Коэффициент трения

μ·m·g = m·a → μ = a/g = 1,953/9,81 = 0,1991

Ответ

μ = 0,1991

4.Законы Ньютона

Ответ: a = 3,679 m/s²

Второй закон Ньютона: равнодействующая сил, действующих на тело, равна произведению его массы на ускорение, ΣF = m·a. Нарисуйте расчётную схему, выберите положительное направление вдоль движения и сложите все силы в этом направлении: приложенные силы, трение μ·N против движения и составляющие силы тяжести.

Ускорение системы

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (34,34 − 8,584)/7 = 3,679 m/s²

Ответ

a = 3,679 m/s²

5.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: x = 141,2 m

Движение тела, брошенного под углом: без сопротивления воздуха x = v_xt и y = h + v_yt − ½gt². Оба направления независимы, их связывает только общее время.

Разложите начальную скорость

Горизонтальная скорость постоянна; вертикальное движение имеет постоянное ускорение g = 9,81 m/s² вниз.

v_x = v₀·cos θ = 40·cos 30° = 34,64 m/s

v_y = v₀·sin θ = 40·sin 30° = 20 m/s

Время полёта

Старт и приземление на одной высоте: t = 2v_y/g.

t = 2·20/9,81 = 4,077 s

Горизонтальное расстояние

x = v_x·t = 34,64·4,077 = 141,2 m

Ответ

x = 141,2 m

6.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: H = 54,2 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Вертикальная начальная скорость

v_y = 19·sin 45° = 13,44 m/s

Подъём над обрывом

Δh = v_y²/(2g) = 13,44²/(2·9,81) = 9,2 m

Высота над землёй

H = 45 + 9,2 = 54,2 m

Ответ

H = 54,2 m

7.Движение по окружности

Ответ: v_max = 14,69 m/s

Равномерное движение по окружности: тело, движущееся со скоростью v по окружности радиуса r, имеет ускорение a = v²/r, направленное к центру, поэтому на него должна действовать направленная к центру равнодействующая сила F = m·v²/r. Эту силу создаёт что-то реальное: трение, натяжение, сила тяжести или сила нормальной реакции.

Трение создаёт центростремительную силу

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0,4·9,81·55) = 14,69 m/s

Ответ

v_max = 14,69 m/s (52,89 km/h)

8.Движение по окружности

Ответ: T_top = 409,4 N

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

Скорость в верхней точке

Кинетическая энергия переходит в потенциальную на высоте 2r.

v_top² = 11,5² − 4·9,81·0,5 = 112,6 m²/s²

Силы в верхней точке

Сила натяжения и сила тяжести обе направлены вниз, к центру.

T + m·g = m·v_top²/r

T = 1,9·112,6/0,5 − 1,9·9,81 = 409,4 N

Ответ

T_top = 409,4 N

9.Работа и энергия

Ответ: W_f = 90,69 J

Теорема об изменении кинетической энергии: изменение кинетической энергии равно работе всех сил. Если записать тяжесть и пружины как потенциальную энергию (mgh и ½kx²), получается баланс: начальная энергия = конечная энергия + энергия, потерянная на трение (μN·d).

Сила трения

N = mg·cos θ = 19,62·0,9063 = 17,78 N

F = μN = 0,3·17,78 = 5,335 N

Работа против трения

W_f = F·d = 5,335·17 = 90,69 J

Ответ

W_f = 90,69 J

10.Работа и энергия

Ответ: v = 3,706 m/s

Энергия после шероховатой полосы

Рампа гладкая, поэтому энергию забирает только полоса.

mgh − μmgL = 19,62·(1 − 0,1·3) = 13,73 J

Скорость у пружины

½mv² = mg(h − μL) → v = √(2g(h − μL)) = √(2·9,81·0,7) = 3,706 m/s

Ответ

v = 3,706 m/s

11.Импульс и столкновения

Ответ: v = 157,9 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

Отклонение после удара

V = √(2·g·h) = √(2·9,81·0,22) = 2,078 m/s

Столкновение

m·v = (m + M)·V → v = (0,02 + 1,5)·2,078/0,02 = 157,9 m/s

Ответ

v = 157,9 m/s

12.Импульс и столкновения

Ответ: F_avg = 602 N

Закон сохранения импульса: если во время столкновения внешние силы не действуют, суммарный импульс Σm·v до столкновения равен суммарному импульсу после. Скорость имеет направление, поэтому выберите положительное направление и скорости, направленные в противоположную сторону, берите со знаком минус. При упругом столкновении сохраняется и кинетическая энергия; при абсолютно неупругом тела слипаются.

Изменение импульса

J = m·Δv = 0,35·(16 + 27) = 15,05 N·s

Средняя сила

F_avg = J/Δt = 15,05/0,025 = 602 N

Ответ

F_avg = 602 N

13.Пружины и маятники

Ответ: g = 1,618 m/s²

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Находим g

g = 4π²·L/T² = 4π²·1/4,94² = 1,618 m/s²

Ответ

g = 1,618 m/s²

14.Пружины и маятники

Ответ: v_max = 5,552 m/s

Гармонические колебания: груз массой m на пружине жёсткостью k колеблется с угловой частотой ω = √(k/m) и периодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математический маятник длиной L имеет период T = 2π·√(L/g). При амплитуде A наибольшая скорость равна A·ω, наибольшее ускорение — A·ω², а энергия — ½·k·A².

Угловая частота

ω = √(320/0,3) = 32,66 rad/s

Наибольшая скорость

v_max = A·ω = 0,17·32,66 = 5,552 m/s

Ответ

v_max = 5,552 m/s

15.Волны, звук и оптика

Ответ: f′ = 308,7 Hz

Стоячие волны и эффект Доплера: в струне, закреплённой с обоих концов, или в трубе, открытой с обоих концов, укладывается целое число полуволн: L = nλ/2, f_n = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … У трубы, закрытой с одного конца, на закрытом конце узел, а на открытом пучность: L = nλ/4 только при нечётных n, f_n = n·v/(4L). Когда источник или наблюдатель движутся вдоль линии между ними, f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s): верхние знаки берите для движения навстречу друг другу. Две волны почти равной частоты дают биения с частотой |f₁ − f₂|.

Формула Доплера

f′ = f·(v + v_o)/(v − v_s) = 300·(343 + 10)/(343 − 0)

f′ = 308,7 Hz

Ответ

f′ = 308,7 Hz

16.Волны, звук и оптика

Ответ: λ = 600 nm

Интерференция и дифракция: свет от двух щелей на расстоянии d друг от друга приходит в точку на экране с разностью хода d·sin θ. Светлые полосы появляются там, где d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …). Для экрана на расстоянии L ≫ d m-я светлая полоса находится при y = mλL/d, а расстояние между полосами равно Δy = λL/d. У решётки с N штрихами на миллиметр d = 1/N, а резкие максимумы находятся при d·sin θ = mλ; так как sin θ ≤ 1, наивысший порядок — наибольшее целое число m ≤ d/λ. У одной щели шириной a тёмные полосы находятся при a·sin θ = mλ, m = ±1, ±2, …

Длина волны

λ = y·d/(mL) = 0,024·0,0001/(4·1) = 6 × 10⁻⁷ m = 600 nm

Ответ

λ = 600 nm

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics