Физика 1: Механика: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (16) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Кинематика

Скорость: v = v₀ + a·t
Перемещение: s = v₀·t + ½·a·t²
Без времени: v² = v₀² + 2·a·s
Единицы: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Выпишите известное: v₀, v, a, t и s с единицами.
Выберите уравнение, содержащее три известных величины и неизвестную.
Выберите одно положительное направление и припишите противоположно направленным величинам знак минус.
Решите и проверьте, что ответ физически разумен.

Законы Ньютона

Второй закон: ΣF = m·a
Вес: W = m·g
Трение скольжения: F_f = μ·N
На наклонной плоскости: вдоль: m·g·sin θ, по нормали: m·g·cos θ

Метод

Нарисуйте расчётную схему со всеми силами, действующими на тело.
Выберите положительное направление вдоль движения.
Разложите силы на составляющие вдоль движения и перпендикулярно ему (на наклонной плоскости: m·g·sin θ вдоль, m·g·cos θ перпендикулярно плоскости).
Примените ΣF = m·a вдоль движения; трение равно μ·N и направлено против движения.

Движение тела, брошенного под углом

Составляющие: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положение: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальная высота: H = h + v_y²/(2g)
Дальность (ровная поверхность): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Разложите начальную скорость на составляющие: v_x = v₀·cos θ и v_y = v₀·sin θ.
По горизонтали скорость постоянна; по вертикали ускорение равно −g.
Найдите время полёта из вертикального движения.
Подставьте это время в горизонтальное движение, чтобы найти дальность.

Движение по окружности

Центростремительное ускорение: a = v²/r = ω²·r
Центростремительная сила: F = m·v²/r
Угловая скорость: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальный поворот, трение: v_max = √(μ·g·r)

Работа и энергия

Кинетическая энергия: E_k = ½mv²
Потенциальная энергия: E_p = mgh
Энергетический баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Работа силы трения: W = μ·N·d
Мощность: P = W/t

Импульс и столкновения

Импульс: p = m·v
Сохранение: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно неупругий удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Импульс силы: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Выберите положительное направление и припишите каждой скорости её знак.
Запишите полный импульс до удара: Σm·v.
При абсолютно неупругом ударе тела после него движутся вместе; при упругом сохраняется ещё и кинетическая энергия.
Приравняйте импульс до удара импульсу после и решите.

Пружины и маятники

Груз на пружине: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Угловая частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Наибольшие скорость и ускорение: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Энергия: E = ½·k·A²

Волны, звук и оптика

Скорость волны: v = fλ, T = 1/f
Струна: v = √(T/μ), μ = m/L
Уровень звука: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Точечный источник: I = P/(4πr²)
Стоячие волны: струна или труба, открытая с обоих концов, f_n = n·v/(2L); закрытая труба f_n = n·v/(4L), n нечётное
Эффект Доплера: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Показатель преломления: n = c/v, λ = λ₀/n
Закон Снеллиуса: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Критический угол: sin θ_c = n₂/n₁
Оптическое волокно: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Линзы и зеркала: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Двойная щель: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Решётка: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Одиночная щель: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Метод

Определите тип задачи: скорость волны, уровень звука, стоячая волна, эффект Доплера, преломление, линза или зеркало, либо интерференция.
Сначала запишите соотношение: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) или n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Переведите единицы: nm, mm и cm в m, и проверьте, отсчитываются ли углы от нормали.
Проверьте знаки и правдоподобие: у мнимого изображения dᵢ < 0, приближающийся источник звучит выше, у закрытой трубы только нечётные гармоники.

2Тренировочные задачи

1.КинематикаСредняя

Автомобиль, превышающий скорость, движется с постоянной скоростью 18 m/s и проезжает мимо стоящего полицейского автомобиля. В этот момент полицейский автомобиль трогается и равноускоренно разгоняется с ускорением 4 m/s². Через сколько времени полицейский автомобиль догонит нарушителя? Найдите t.

v_car = 18 m/sa_police = 4 m/s²v_0,police = 0

t = s

2.КинематикаСложная

Мяч бросают вертикально вверх со скоростью 15 m/s с края крыши на высоте 15 m над землёй. Сопротивлением воздуха пренебречь, g = 9,81 m/s². Через какое время после броска он упадёт на землю? Найдите t.

v₀ = 15 m/sh₀ = 15 mg = 9,81 m/s²

t = s

3.Законы НьютонаСредняя

Брусок массой 14 kg скользит вниз по наклонной плоскости под углом 25° к горизонту. Коэффициент трения скольжения 0,15. Примите g = 9,81 m/s². Найдите ускорение a бруска вдоль плоскости.

m = 14 kgθ = 25°μ = 0,15g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Законы НьютонаСложная

Два бруска на горизонтальном полу связаны лёгкой горизонтальной нитью. Горизонтальная сила 30 N тянет передний брусок массой 3 kg; брусок массой 1 kg тащится сзади. Коэффициент трения скольжения для обоих брусков равен 0,1. Примите g = 9,81 m/s². Найдите ускорение a брусков.

m₁ = 1 kgm₂ = 3 kgF = 30 Nμ = 0,1g = 9,81 m/s²

a = m/s²

5.Движение тела, брошенного под угломСредняя

Мяч бьют с горизонтальной поверхности со скоростью 30 m/s под углом 30° к горизонту в сторону стены, находящейся на расстоянии 32 m. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². На какой высоте y мяч пролетает у стены?

v₀ = 30 m/sθ = 30°x = 32 mg = 9,81 m/s²

y = m

6.Движение тела, брошенного под угломСложная

Мяч бросают с уровня земли со скоростью 35 m/s под углом 60° к горизонту. Он падает на плоскую крышу здания высотой 10 m, уже опускаясь. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². Найдите горизонтальное расстояние x от точки броска до места падения.

v₀ = 35 m/sθ = 60°h_roof = 10 mg = 9,81 m/s²

x = m

7.Движение по окружностиСредняя

В аттракционе «ротор» посетители стоят у стенки вертикального цилиндра радиусом 3,2 m. Когда он вращается достаточно быстро, пол опускается, и их удерживает трение. Коэффициент трения покоя равен 0,6. Примите g = 9,81 m/s². Найдите наименьшую угловую скорость ω в rad/s.

r = 3,2 mμ_s = 0,6g = 9,81 m/s²

ω = rad/s

8.Движение по окружностиСложная

Шарик массой 1,7 kg на нити длиной 0,5 m вращают по вертикальной окружности. В нижней точке его скорость 5 m/s. Примите g = 9,81 m/s². Найдите силу натяжения T нити в нижней точке.

m = 1,7 kgr = 0,5 mv = 5 m/sg = 9,81 m/s²

T = N

9.Работа и энергияСредняя

Брусок массой 1 kg скользит 20 m по наклонной плоскости под углом 40° к горизонту с коэффициентом трения скольжения 0,35. Найдите работу W_f против силы трения.

m = 1 kgθ = 40°μ = 0,35d = 20 mg = 9,81 m/s²

W_f = J

10.Работа и энергияСложная

Брусок массой 8 kg лежит на шероховатом горизонтальном столе (μ = 0,1). От него лёгкая нить идёт через гладкий блок на краю стола к висящему грузу массой 1 kg. Систему отпускают из состояния покоя. Найдите скорость v грузов после того, как висящий груз опустится на 3 m.

m₁ = 8 kgm₂ = 1 kgμ = 0,1d = 3 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

11.Импульс и столкновенияСредняя

Тележка массой 0,5 kg, движущаяся со скоростью 4 m/s, испытывает абсолютно упругий центральный удар с покоящейся тележкой массой 1 kg на дорожке без трения. Найдите скорость v′₁ первой тележки после столкновения (положительную в направлении её первоначального движения).

m₁ = 0,5 kgm₂ = 1 kgv₁ = 4 m/sv₂ = 0

v′₁ = m/s

12.Импульс и столкновенияСложная

Мяч массой 0,4 kg ударяется о стену со скоростью 29 m/s и отскакивает прямо назад со скоростью 4 m/s. Контакт длится 20 ms. Найдите модуль импульса силы J, который стена сообщает мячу.

m = 0,4 kgv_in = 29 m/sv_out = 4 m/sΔt = 20 ms

J = N·s

13.Пружины и маятникиСредняя

Груз массой 1,3 kg на пружине с k = 40 N/m колеблется на поверхности без трения с амплитудой 4 cm. Найдите его скорость v на расстоянии 1 cm от положения равновесия.

m = 1,3 kgk = 40 N/mA = 4 cmx = 1 cm

v = m/s

14.Пружины и маятникиСложная

Груз массой 2,2 kg на пружине с k = 20 N/m оттягивают на 5 cm от положения равновесия и отпускают. Найдите его наибольшую скорость v_max.

m = 2,2 kgk = 20 N/mA = 5 cm

v_max = m/s

15.Волны, звук и оптикаСредняя

Предмет находится в 10 cm перед тонкой рассеивающей линзой с фокусным расстоянием 30 cm. Найдите расстояние до изображения d_i. Используйте правило знаков 1/f = 1/d_o + 1/d_i (f < 0 для рассеивающей линзы, d_i < 0 для мнимого изображения).

d_o = 10 cmf = −30 cm

d_i = cm

16.Волны, звук и оптикаСложная

Решётка с 1200 штрихами на миллиметр даёт максимум порядка 1 для спектральной линии под углом 41,3° к направлению прямого прохождения. Найдите длину волны λ линии.

N = 1200 mm⁻¹θ₁ = 41,3°m = 1

λ = nm

3Растворы

1.Кинематика

Ответ: t = 9 s

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

Равные пути

v·t = ½·a·t² → t = 2v/a = 2·18/4 = 9 s

Ответ

t = 9 s

В этот момент полицейский автомобиль движется со скоростью 2v = 36 m/s.

2.Кинематика

Ответ: t = 3,852 s

Движение с постоянным ускорением: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² и v² = v₀² + 2·a·s. Выберите уравнение, в которое входят три известные величины и искомая, и следите за знаками относительно одного положительного направления.

Уравнение движения

Вверх — положительное направление, земля находится на h₀ ниже точки броска.

−15 = 15·t − ½·9,81·t²

4,905·t² − 15·t − 15 = 0

Решите квадратное уравнение

Физический смысл имеет только положительный корень.

t = (15 + √(15² + 2·9,81·15))/9,81 = 3,852 s

Ответ

t = 3,852 s

3.Законы Ньютона

Ответ: a = 2,812 m/s²

Второй закон Ньютона: равнодействующая сил, действующих на тело, равна произведению его массы на ускорение, ΣF = m·a. Нарисуйте расчётную схему, выберите положительное направление вдоль движения и сложите все силы в этом направлении: приложенные силы, трение μ·N против движения и составляющие силы тяжести.

Силы вдоль плоскости

Вниз по плоскости — положительное направление.

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

Ускорение

a = 9,81·(sin 25° − 0,15·cos 25°) = 9,81·(0,4226 − 0,1359) = 2,812 m/s²

Ответ

a = 2,812 m/s²

4.Законы Ньютона

Ответ: a = 6,519 m/s²

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

Вся система

a = (F − μ·(m₁ + m₂)·g)/(m₁ + m₂) = (30 − 3,924)/4 = 6,519 m/s²

Ответ

a = 6,519 m/s²

5.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: y = 11,03 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Время до стены

v_x = 30·cos 30° = 25,98 m/s

t = x/v_x = 32/25,98 = 1,232 s

Высота в этот момент

y = 15·1,232 − ½·9,81·1,232² = 11,03 m

Ответ

y = 11,03 m

У стены мяч ещё поднимается.

6.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: x = 102 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Разложите начальную скорость

v_x = 17,5 m/s, v_y = 30,31 m/s

Время до падения на крышу

Больший корень: мяч опускается.

10 = 30,31·t − 4,905·t²

t = (30,31 + √(30,31² − 2·9,81·10))/9,81 = 5,83 s

Горизонтальное расстояние

x = v_x·t = 17,5·5,83 = 102 m

Ответ

x = 102 m

7.Движение по окружности

Ответ: ω = 2,26 rad/s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

Силы, действующие на посетителя

N = m·ω²·r

μ·N = m·g → μ·ω²·r = g

Угловая скорость

ω = √(g/(μ·r)) = √(9,81/(0,6·3,2)) = 2,26 rad/s

Ответ

ω = 2,26 rad/s

8.Движение по окружности

Ответ: T = 101,7 N

Равномерное движение по окружности: тело, движущееся со скоростью v по окружности радиуса r, имеет ускорение a = v²/r, направленное к центру, поэтому на него должна действовать направленная к центру равнодействующая сила F = m·v²/r. Эту силу создаёт что-то реальное: трение, натяжение, сила тяжести или сила нормальной реакции.

Силы в нижней точке

К центру (вверх) — положительное направление.

T − m·g = m·v²/r

T = 1,7·9,81 + 1,7·5²/0,5 = 16,68 + 85 = 101,7 N

Ответ

T = 101,7 N

9.Работа и энергия

Ответ: W_f = 52,6 J

Теорема об изменении кинетической энергии: изменение кинетической энергии равно работе всех сил. Если записать тяжесть и пружины как потенциальную энергию (mgh и ½kx²), получается баланс: начальная энергия = конечная энергия + энергия, потерянная на трение (μN·d).

Сила трения

N = mg·cos θ = 9,81·0,766 = 7,515 N

F = μN = 0,35·7,515 = 2,63 N

Работа против трения

W_f = F·d = 2,63·20 = 52,6 J

Ответ

W_f = 52,6 J

10.Работа и энергия

Ответ: v = 1,144 m/s

Выделившаяся и потерянная энергия

m₂g·d = 9,81·3 = 29,43 J

μ·m₁g·d = 0,1·78,48·3 = 23,54 J

Кинетическая энергия обоих грузов

½(m₁ + m₂)v² = 5,886 → v = √(2·5,886/9) = 1,144 m/s

Ответ

v = 1,144 m/s

11.Импульс и столкновения

Ответ: v′₁ = −1,333 m/s

Закон сохранения импульса: если во время столкновения внешние силы не действуют, суммарный импульс Σm·v до столкновения равен суммарному импульсу после. Скорость имеет направление, поэтому выберите положительное направление и скорости, направленные в противоположную сторону, берите со знаком минус. При упругом столкновении сохраняется и кинетическая энергия; при абсолютно неупругом тела слипаются.

Упругий удар о покоящееся тело

Совместное решение уравнений сохранения импульса и энергии даёт эти два результата.

v′₁ = (0,5 − 1)/(0,5 + 1)·4 = −1,333 m/s

v′₂ = 2·0,5/(0,5 + 1)·4 = 2,667 m/s

Ответ

v′₁ = −1,333 m/s

Знак минус означает, что первая тележка отскакивает назад.

12.Импульс и столкновения

Ответ: J = 13,2 N·s

Изменение импульса

J = m·Δv = 0,4·(4 + 29) = 13,2 N·s

Ответ

J = 13,2 N·s

13.Пружины и маятники

Ответ: v = 0,2148 m/s

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Угловая частота

ω = √(40/1,3) = 5,547 rad/s

Скорость в точке x

v = ω·√(A² − x²) = 5,547·√(0,04² − 0,01²) = 0,2148 m/s

Ответ

v = 0,2148 m/s

14.Пружины и маятники

Ответ: v_max = 0,1508 m/s

Гармонические колебания: груз массой m на пружине жёсткостью k колеблется с угловой частотой ω = √(k/m) и периодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математический маятник длиной L имеет период T = 2π·√(L/g). При амплитуде A наибольшая скорость равна A·ω, наибольшее ускорение — A·ω², а энергия — ½·k·A².

Угловая частота

ω = √(20/2,2) = 3,015 rad/s

Наибольшая скорость

v_max = A·ω = 0,05·3,015 = 0,1508 m/s

Ответ

v_max = 0,1508 m/s

15.Волны, звук и оптика

Ответ: d_i = −7,5 cm

Геометрическая оптика: на границе n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (закон Снеллиуса), углы отсчитываются от нормали, а n = c/v. При входе в более медленную среду луч приближается к нормали. Из более плотной среды (n₁ > n₂) за пределом критического угла θ_c = arcsin(n₂/n₁) весь свет отражается: полное внутреннее отражение. Тонкие линзы и сферические зеркала подчиняются уравнению 1/f = 1/d_o + 1/d_i с увеличением m = −d_i/d_o. Правило знаков: f > 0 для собирающей линзы и вогнутого зеркала (f = R/2), f < 0 для рассеивающей линзы и выпуклого зеркала; d_i > 0 для действительного изображения, d_i < 0 для мнимого, а m < 0 для перевёрнутого изображения.

Формула тонкой линзы

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/(−30) − 1/10

d_i = −7,5 cm

Ход лучей

мнимое, по ту же сторону, что и предмет

Ответ

d_i = −7,5 cm

16.Волны, звук и оптика

Ответ: λ = 550 nm

Интерференция и дифракция: свет от двух щелей на расстоянии d друг от друга приходит в точку на экране с разностью хода d·sin θ. Светлые полосы появляются там, где d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …). Для экрана на расстоянии L ≫ d m-я светлая полоса находится при y = mλL/d, а расстояние между полосами равно Δy = λL/d. У решётки с N штрихами на миллиметр d = 1/N, а резкие максимумы находятся при d·sin θ = mλ; так как sin θ ≤ 1, наивысший порядок — наибольшее целое число m ≤ d/λ. У одной щели шириной a тёмные полосы находятся при a·sin θ = mλ, m = ±1, ±2, …

Длина волны

λ = d·sin θ/m = 8,333 × 10⁻⁷·sin 41,3°/1 = 550 nm

Ответ

λ = 550 nm

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics