Физика 1: Механика: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (16) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Кинематика

Скорость: v = v₀ + a·t
Перемещение: s = v₀·t + ½·a·t²
Без времени: v² = v₀² + 2·a·s
Единицы: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Выпишите известное: v₀, v, a, t и s с единицами.
Выберите уравнение, содержащее три известных величины и неизвестную.
Выберите одно положительное направление и припишите противоположно направленным величинам знак минус.
Решите и проверьте, что ответ физически разумен.

Законы Ньютона

Второй закон: ΣF = m·a
Вес: W = m·g
Трение скольжения: F_f = μ·N
На наклонной плоскости: вдоль: m·g·sin θ, по нормали: m·g·cos θ

Метод

Нарисуйте расчётную схему со всеми силами, действующими на тело.
Выберите положительное направление вдоль движения.
Разложите силы на составляющие вдоль движения и перпендикулярно ему (на наклонной плоскости: m·g·sin θ вдоль, m·g·cos θ перпендикулярно плоскости).
Примените ΣF = m·a вдоль движения; трение равно μ·N и направлено против движения.

Движение тела, брошенного под углом

Составляющие: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положение: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальная высота: H = h + v_y²/(2g)
Дальность (ровная поверхность): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Разложите начальную скорость на составляющие: v_x = v₀·cos θ и v_y = v₀·sin θ.
По горизонтали скорость постоянна; по вертикали ускорение равно −g.
Найдите время полёта из вертикального движения.
Подставьте это время в горизонтальное движение, чтобы найти дальность.

Движение по окружности

Центростремительное ускорение: a = v²/r = ω²·r
Центростремительная сила: F = m·v²/r
Угловая скорость: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальный поворот, трение: v_max = √(μ·g·r)

Работа и энергия

Кинетическая энергия: E_k = ½mv²
Потенциальная энергия: E_p = mgh
Энергетический баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Работа силы трения: W = μ·N·d
Мощность: P = W/t

Импульс и столкновения

Импульс: p = m·v
Сохранение: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно неупругий удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Импульс силы: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Выберите положительное направление и припишите каждой скорости её знак.
Запишите полный импульс до удара: Σm·v.
При абсолютно неупругом ударе тела после него движутся вместе; при упругом сохраняется ещё и кинетическая энергия.
Приравняйте импульс до удара импульсу после и решите.

Пружины и маятники

Груз на пружине: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Угловая частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Наибольшие скорость и ускорение: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Энергия: E = ½·k·A²

Волны, звук и оптика

Скорость волны: v = fλ, T = 1/f
Струна: v = √(T/μ), μ = m/L
Уровень звука: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Точечный источник: I = P/(4πr²)
Стоячие волны: струна или труба, открытая с обоих концов, f_n = n·v/(2L); закрытая труба f_n = n·v/(4L), n нечётное
Эффект Доплера: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Показатель преломления: n = c/v, λ = λ₀/n
Закон Снеллиуса: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Критический угол: sin θ_c = n₂/n₁
Оптическое волокно: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Линзы и зеркала: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Двойная щель: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Решётка: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Одиночная щель: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Метод

Определите тип задачи: скорость волны, уровень звука, стоячая волна, эффект Доплера, преломление, линза или зеркало, либо интерференция.
Сначала запишите соотношение: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) или n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Переведите единицы: nm, mm и cm в m, и проверьте, отсчитываются ли углы от нормали.
Проверьте знаки и правдоподобие: у мнимого изображения dᵢ < 0, приближающийся источник звучит выше, у закрытой трубы только нечётные гармоники.

2Тренировочные задачи

1.КинематикаСредняя

Автомобиль, едущий со скоростью 60 km/h, тормозит с постоянным замедлением 6,5 m/s² до полной остановки. Найдите тормозной путь s.

v₀ = 60 km/ha = −6,5 m/s²v = 0

s = m

2.КинематикаСложная

Трамвай трогается с места и разгоняется с ускорением 1,5 m/s² в течение 7 s, затем движется с постоянной скоростью 20 s и, наконец, тормозит с замедлением 5 m/s² до остановки. Найдите полное время движения t.

a₁ = 1,5 m/s²t₁ = 7 st₂ = 20 sa₃ = −5 m/s²

t = s

3.Законы НьютонаСредняя

Грузы массами 7,5 kg и 3,5 kg висят по обе стороны лёгкого блока без трения и связаны лёгкой нитью. Систему отпускают из состояния покоя. Примите g = 9,81 m/s². Найдите ускорение a грузов.

m₁ = 7,5 kgm₂ = 3,5 kgg = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Законы НьютонаСложная

Брусок массой 5 kg на горизонтальном столе соединён лёгкой нитью, перекинутой через блок без трения, с подвешенным грузом массой 6 kg. Коэффициент трения скольжения между бруском и столом 0,3. Примите g = 9,81 m/s². Найдите ускорение a системы.

m₁ = 5 kgm₂ = 6 kgμ = 0,3g = 9,81 m/s²

a = m/s²

5.Движение тела, брошенного под угломСредняя

Мяч бросают с горизонтальной поверхности со скоростью 36 m/s, и он должен упасть на расстоянии 80 m. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². Найдите меньший из двух возможных углов броска θ.

v₀ = 36 m/sR = 80 mg = 9,81 m/s²

θ = °

6.Движение тела, брошенного под угломСложная

Мяч бросают под углом 25° к горизонту с вершины скалы высотой 45 m. Сопротивлением воздуха пренебречь. Найдите время полёта t до удара мяча о землю.

v₀ = 27 m/sθ = 25°h = 45 mg = 9,81 m/s²

t = s

7.Движение по окружностиСредняя

Автомобиль проходит горизонтальный поворот радиусом 115 m. Коэффициент трения покоя между шинами и дорогой 0,5. Примите g = 9,81 m/s². Найдите наибольшую скорость v_max, с которой автомобиль может пройти поворот без заноса.

r = 115 mμ_s = 0,5g = 9,81 m/s²

v_max = m/s

8.Движение по окружностиСложная

Шарик массой 0,2 kg на лёгкой нити длиной 0,6 m вращают по вертикальной окружности. В нижней точке его скорость 8 m/s. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². Найдите силу натяжения T_top нити в верхней точке.

m = 0,2 kgr = 0,6 mv_bottom = 8 m/sg = 9,81 m/s²

T_top = N

9.Работа и энергияСредняя

Брусок массой 4 kg скользит 5 m по наклонной плоскости под углом 25° к горизонту с коэффициентом трения скольжения 0,35. Найдите работу W_f против силы трения.

m = 4 kgθ = 25°μ = 0,35d = 5 mg = 9,81 m/s²

W_f = J

10.Работа и энергияСложная

Брусок массой 2,5 kg отпускают без начальной скорости на высоте 2,5 m на гладкой рампе. Внизу он пересекает шероховатую горизонтальную полосу длиной 4 m (μ = 0,1), а затем наезжает на пружину (k = 800 N/m) на гладкой поверхности. Найдите наибольшее сжатие x пружины.

m = 2,5 kgh = 2,5 mL = 4 mμ = 0,1k = 800 N/mg = 9,81 m/s²

x = cm

11.Импульс и столкновенияСредняя

Пуля массой 15 g, выпущенная горизонтально, попадает в деревянный брусок массой 2,5 kg, подвешенный на лёгких нитях, и застревает в нём. Брусок отклоняется и поднимается на 7 cm выше начального положения. Примите g = 9,81 m/s². Найдите скорость v пули до удара.

m = 15 gM = 2,5 kgh = 7 cmg = 9,81 m/s²

v = m/s

12.Импульс и столкновенияСложная

Мяч массой 0,15 kg ударяется о стену со скоростью 11 m/s и отскакивает прямо назад со скоростью 6 m/s. Контакт длится 50 ms. Найдите среднюю силу F_avg, с которой стена действует на мяч.

m = 0,15 kgv_in = 11 m/sv_out = 6 m/sΔt = 50 ms

F_avg = N

13.Пружины и маятникиСредняя

Длина математического маятника 2,6 m. Примите g = 9,81 m/s². Найдите его период T при малых колебаниях.

L = 2,6 mg = 9,81 m/s²

T = s

14.Пружины и маятникиСложная

Груз массой 2,1 kg на пружине с k = 190 N/m оттягивают на 16 cm от положения равновесия и отпускают. Найдите его наибольшую скорость v_max.

m = 2,1 kgk = 190 N/mA = 16 cm

v_max = m/s

15.Волны, звук и оптикаСредняя

Предмет высотой 3 cm находится в 20 cm перед тонкой собирающей линзой с фокусным расстоянием 10 cm. Найдите высоту изображения h_i (отрицательную для перевёрнутого изображения).

h_o = 3 cmd_o = 20 cmf = 10 cm

h_i = cm

16.Волны, звук и оптикаСложная

Две тонкие линзы имеют общую ось и находятся на расстоянии 20 cm друг от друга: линза 1 с f₁ = 20 cm и линза 2 с f₂ = 10 cm. Предмет находится в 15 cm перед линзой 1. Найдите положение d_i2 итогового изображения, отсчитываемое от линзы 2 (положительное за линзой 2, действительное — положительное).

f₁ = 20 cmf₂ = 10 cms = 20 cmd_o = 15 cm

d_i2 = cm

3Растворы

1.Кинематика

Ответ: s = 21,37 m

Движение с постоянным ускорением: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² и v² = v₀² + 2·a·s. Выберите уравнение, в которое входят три известные величины и искомая, и следите за знаками относительно одного положительного направления.

Единицы

v₀ = 60/3,6 = 16,67 m/s

Тормозной путь

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 16,67²/(2·6,5) = 21,37 m

Ответ

s = 21,37 m

2.Кинематика

Ответ: t = 29,1 s

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

Наибольшая скорость

v = a₁·t₁ = 1,5·7 = 10,5 m/s

Время торможения

t₃ = v/a₃ = 10,5/5 = 2,1 s

Общее время

t = 7 + 20 + 2,1 = 29,1 s

Ответ

t = 29,1 s

3.Законы Ньютона

Ответ: a = 3,567 m/s²

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

Ускорение

Движущая равнодействующая — это разность весов; она разгоняет полную массу.

a = (7,5 − 3,5)·9,81/(7,5 + 3,5) = 3,567 m/s²

Ответ

a = 3,567 m/s²

4.Законы Ньютона

Ответ: a = 4,013 m/s²

Второй закон Ньютона: равнодействующая сил, действующих на тело, равна произведению его массы на ускорение, ΣF = m·a. Нарисуйте расчётную схему, выберите положительное направление вдоль движения и сложите все силы в этом направлении: приложенные силы, трение μ·N против движения и составляющие силы тяжести.

Ускорение системы

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (58,86 − 14,71)/11 = 4,013 m/s²

Ответ

a = 4,013 m/s²

5.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: θ = 18,63 °

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Формула дальности

R = v₀²·sin 2θ/g → sin 2θ = 9,81·80/36² = 0,6056

Угол

2θ = 37,27° → θ = 18,63°

Ответ

θ = 18,63°

Второе решение: 90° − θ = 71,37°.

6.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: t = 4,408 s

Движение тела, брошенного под углом: без сопротивления воздуха x = v_xt и y = h + v_yt − ½gt². Оба направления независимы, их связывает только общее время.

Разложите начальную скорость

Горизонтальная скорость постоянна; вертикальное движение имеет постоянное ускорение g = 9,81 m/s² вниз.

v_x = v₀·cos θ = 27·cos 25° = 24,47 m/s

v_y = v₀·sin θ = 27·sin 25° = 11,41 m/s

Время полёта

Решите y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 и возьмите положительный корень.

0 = 45 + 11,41·t − 4,905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (11,41 + √(130,2 + 882,9))/9,81 = 4,408 s

Ответ

t = 4,408 s

7.Движение по окружности

Ответ: v_max = 23,75 m/s

Равномерное движение по окружности: тело, движущееся со скоростью v по окружности радиуса r, имеет ускорение a = v²/r, направленное к центру, поэтому на него должна действовать направленная к центру равнодействующая сила F = m·v²/r. Эту силу создаёт что-то реальное: трение, натяжение, сила тяжести или сила нормальной реакции.

Трение создаёт центростремительную силу

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0,5·9,81·115) = 23,75 m/s

Ответ

v_max = 23,75 m/s (85,5 km/h)

8.Движение по окружности

Ответ: T_top = 11,52 N

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

Скорость в верхней точке

Кинетическая энергия переходит в потенциальную на высоте 2r.

v_top² = 8² − 4·9,81·0,6 = 40,46 m²/s²

Силы в верхней точке

Сила натяжения и сила тяжести обе направлены вниз, к центру.

T + m·g = m·v_top²/r

T = 0,2·40,46/0,6 − 0,2·9,81 = 11,52 N

Ответ

T_top = 11,52 N

9.Работа и энергия

Ответ: W_f = 62,24 J

Теорема об изменении кинетической энергии: изменение кинетической энергии равно работе всех сил. Если записать тяжесть и пружины как потенциальную энергию (mgh и ½kx²), получается баланс: начальная энергия = конечная энергия + энергия, потерянная на трение (μN·d).

Сила трения

N = mg·cos θ = 39,24·0,9063 = 35,56 N

F = μN = 0,35·35,56 = 12,45 N

Работа против трения

W_f = F·d = 12,45·5 = 62,24 J

Ответ

W_f = 62,24 J

10.Работа и энергия

Ответ: x = 35,88 cm

Энергия после шероховатой полосы

Рампа гладкая, поэтому энергию забирает только полоса.

mgh − μmgL = 24,53·(2,5 − 0,1·4) = 51,5 J

Наибольшее сжатие

½kx² = 51,5 → x = √(2·51,5/800) = 0,3588 m = 35,88 cm

Ответ

x = 35,88 cm

11.Импульс и столкновения

Ответ: v = 196,5 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

Отклонение после удара

V = √(2·g·h) = √(2·9,81·0,07) = 1,172 m/s

Столкновение

m·v = (m + M)·V → v = (0,015 + 2,5)·1,172/0,015 = 196,5 m/s

Ответ

v = 196,5 m/s

12.Импульс и столкновения

Ответ: F_avg = 51 N

Закон сохранения импульса: если во время столкновения внешние силы не действуют, суммарный импульс Σm·v до столкновения равен суммарному импульсу после. Скорость имеет направление, поэтому выберите положительное направление и скорости, направленные в противоположную сторону, берите со знаком минус. При упругом столкновении сохраняется и кинетическая энергия; при абсолютно неупругом тела слипаются.

Изменение импульса

J = m·Δv = 0,15·(6 + 11) = 2,55 N·s

Средняя сила

F_avg = J/Δt = 2,55/0,05 = 51 N

Ответ

F_avg = 51 N

13.Пружины и маятники

Ответ: T = 3,235 s

Гармонические колебания: груз массой m на пружине жёсткостью k колеблется с угловой частотой ω = √(k/m) и периодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математический маятник длиной L имеет период T = 2π·√(L/g). При амплитуде A наибольшая скорость равна A·ω, наибольшее ускорение — A·ω², а энергия — ½·k·A².

Период маятника

T = 2π·√(2,6/9,81) = 3,235 s

Ответ

T = 3,235 s

14.Пружины и маятники

Ответ: v_max = 1,522 m/s

Угловая частота

ω = √(190/2,1) = 9,512 rad/s

Наибольшая скорость

v_max = A·ω = 0,16·9,512 = 1,522 m/s

Ответ

v_max = 1,522 m/s

15.Волны, звук и оптика

Ответ: h_i = −3 cm

Геометрическая оптика: на границе n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (закон Снеллиуса), углы отсчитываются от нормали, а n = c/v. При входе в более медленную среду луч приближается к нормали. Из более плотной среды (n₁ > n₂) за пределом критического угла θ_c = arcsin(n₂/n₁) весь свет отражается: полное внутреннее отражение. Тонкие линзы и сферические зеркала подчиняются уравнению 1/f = 1/d_o + 1/d_i с увеличением m = −d_i/d_o. Правило знаков: f > 0 для собирающей линзы и вогнутого зеркала (f = R/2), f < 0 для рассеивающей линзы и выпуклого зеркала; d_i > 0 для действительного изображения, d_i < 0 для мнимого, а m < 0 для перевёрнутого изображения.

Формула тонкой линзы

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/10 − 1/20

d_i = 20 cm

Увеличение и высота

m = −20/20 = −1

h_i = −1·3 = −3 cm

Ответ

h_i = −3 cm

16.Волны, звук и оптика

Ответ: d_i2 = 11,43 cm

Изображение линзы 1

1/d_i1 = 1/20 − 1/15 → d_i1 = −60 cm

Предмет для линзы 2

d_o2 = 20 − (−60) = 80 cm

Итоговое изображение

1/d_i2 = 1/10 − 1/80 → d_i2 = 11,43 cm

Ответ

d_i2 = 11,43 cm

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics