Физика 1: Механика: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (16) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Кинематика

Скорость: v = v₀ + a·t
Перемещение: s = v₀·t + ½·a·t²
Без времени: v² = v₀² + 2·a·s
Единицы: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Выпишите известное: v₀, v, a, t и s с единицами.
Выберите уравнение, содержащее три известных величины и неизвестную.
Выберите одно положительное направление и припишите противоположно направленным величинам знак минус.
Решите и проверьте, что ответ физически разумен.

Законы Ньютона

Второй закон: ΣF = m·a
Вес: W = m·g
Трение скольжения: F_f = μ·N
На наклонной плоскости: вдоль: m·g·sin θ, по нормали: m·g·cos θ

Метод

Нарисуйте расчётную схему со всеми силами, действующими на тело.
Выберите положительное направление вдоль движения.
Разложите силы на составляющие вдоль движения и перпендикулярно ему (на наклонной плоскости: m·g·sin θ вдоль, m·g·cos θ перпендикулярно плоскости).
Примените ΣF = m·a вдоль движения; трение равно μ·N и направлено против движения.

Движение тела, брошенного под углом

Составляющие: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положение: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальная высота: H = h + v_y²/(2g)
Дальность (ровная поверхность): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Разложите начальную скорость на составляющие: v_x = v₀·cos θ и v_y = v₀·sin θ.
По горизонтали скорость постоянна; по вертикали ускорение равно −g.
Найдите время полёта из вертикального движения.
Подставьте это время в горизонтальное движение, чтобы найти дальность.

Движение по окружности

Центростремительное ускорение: a = v²/r = ω²·r
Центростремительная сила: F = m·v²/r
Угловая скорость: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальный поворот, трение: v_max = √(μ·g·r)

Работа и энергия

Кинетическая энергия: E_k = ½mv²
Потенциальная энергия: E_p = mgh
Энергетический баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Работа силы трения: W = μ·N·d
Мощность: P = W/t

Импульс и столкновения

Импульс: p = m·v
Сохранение: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно неупругий удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Импульс силы: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Выберите положительное направление и припишите каждой скорости её знак.
Запишите полный импульс до удара: Σm·v.
При абсолютно неупругом ударе тела после него движутся вместе; при упругом сохраняется ещё и кинетическая энергия.
Приравняйте импульс до удара импульсу после и решите.

Пружины и маятники

Груз на пружине: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Угловая частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Наибольшие скорость и ускорение: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Энергия: E = ½·k·A²

Волны, звук и оптика

Скорость волны: v = fλ, T = 1/f
Струна: v = √(T/μ), μ = m/L
Уровень звука: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Точечный источник: I = P/(4πr²)
Стоячие волны: струна или труба, открытая с обоих концов, f_n = n·v/(2L); закрытая труба f_n = n·v/(4L), n нечётное
Эффект Доплера: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Показатель преломления: n = c/v, λ = λ₀/n
Закон Снеллиуса: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Критический угол: sin θ_c = n₂/n₁
Оптическое волокно: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Линзы и зеркала: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Двойная щель: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Решётка: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Одиночная щель: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Метод

Определите тип задачи: скорость волны, уровень звука, стоячая волна, эффект Доплера, преломление, линза или зеркало, либо интерференция.
Сначала запишите соотношение: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) или n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Переведите единицы: nm, mm и cm в m, и проверьте, отсчитываются ли углы от нормали.
Проверьте знаки и правдоподобие: у мнимого изображения dᵢ < 0, приближающийся источник звучит выше, у закрытой трубы только нечётные гармоники.

2Тренировочные задачи

1.КинематикаСредняя

Для взлёта самолёту нужна скорость 260 km/h, а длина полосы 800 m. С каким постоянным ускорением a он должен разгоняться с места?

v₀ = 0v = 260 km/hs = 800 m

a = m/s²

2.КинематикаСложная

Камень без начальной скорости падает в колодец. Всплеск слышен через 4,2 s после того, как камень отпустили. Скорость звука 343 m/s; пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². Найдите глубину d колодца.

t_total = 4,2 sv_sound = 343 m/sg = 9,81 m/s²

d = m

3.Законы НьютонаСредняя

Ящик скользит по горизонтальному полу с начальной скоростью 7 m/s и останавливается через 6,2 m. Примите g = 9,81 m/s². Найдите коэффициент трения скольжения μ.

v₀ = 7 m/sd = 6,2 mg = 9,81 m/s²

μ =

4.Законы НьютонаСложная

Брусок массой 1 kg на горизонтальном столе соединён лёгкой нитью, перекинутой через блок без трения, с подвешенным грузом массой 1,5 kg. Коэффициент трения скольжения между бруском и столом 0,2. Примите g = 9,81 m/s². Найдите силу натяжения T нити.

m₁ = 1 kgm₂ = 1,5 kgμ = 0,2g = 9,81 m/s²

T = N

5.Движение тела, брошенного под угломСредняя

Мяч бросают под углом 65° к горизонту с ровной поверхности. Сопротивлением воздуха пренебречь. Найдите время полёта t до удара мяча о землю.

v₀ = 22 m/sθ = 65°g = 9,81 m/s²

t = s

6.Движение тела, брошенного под угломСложная

Мяч бросают под углом 55° к горизонту с вершины скалы высотой 50 m. Сопротивлением воздуха пренебречь. Найдите время полёта t до удара мяча о землю.

v₀ = 11 m/sθ = 55°h = 50 mg = 9,81 m/s²

t = s

7.Движение по окружностиСредняя

Автомобиль проходит горизонтальный поворот радиусом 105 m. Коэффициент трения покоя между шинами и дорогой 0,7. Примите g = 9,81 m/s². Найдите наибольшую скорость v_max, с которой автомобиль может пройти поворот без заноса.

r = 105 mμ_s = 0,7g = 9,81 m/s²

v_max = m/s

8.Движение по окружностиСложная

Шарик массой 1,6 kg на нити длиной 1 m вращают по вертикальной окружности. В нижней точке его скорость 6 m/s. Примите g = 9,81 m/s². Найдите силу натяжения T нити в нижней точке.

m = 1,6 kgr = 1 mv = 6 m/sg = 9,81 m/s²

T = N

9.Работа и энергияСредняя

Брусок массой 4 kg скользит 13 m по наклонной плоскости под углом 40° к горизонту с коэффициентом трения скольжения 0,4. Найдите работу W_f против силы трения.

m = 4 kgθ = 40°μ = 0,4d = 13 mg = 9,81 m/s²

W_f = J

10.Работа и энергияСложная

Брусок массой 10 kg отпускают без начальной скорости на высоте 2 m на гладкой рампе. Внизу он пересекает шероховатую горизонтальную полосу длиной 5 m (μ = 0,25), а затем наезжает на пружину (k = 800 N/m) на гладкой поверхности. Найдите наибольшее сжатие x пружины.

m = 10 kgh = 2 mL = 5 mμ = 0,25k = 800 N/mg = 9,81 m/s²

x = cm

11.Импульс и столкновенияСредняя

Снаряд массой 19 kg, движущийся горизонтально со скоростью 33 m/s, разрывается на два осколка, движущихся вдоль той же прямой. Осколок массой 3 kg продолжает движение вперёд со скоростью 46 m/s. Найдите скорость v′₂ осколка массой 16 kg (положительна в исходном направлении).

M = 19 kgu = 33 m/sm₁ = 3 kgv′₁ = 46 m/sm₂ = 16 kg

v′₂ = m/s

12.Импульс и столкновенияСложная

Мяч массой 0,25 kg ударяется о стену со скоростью 8 m/s и отскакивает прямо назад со скоростью 6 m/s. Контакт длится 40 ms. Найдите среднюю силу F_avg, с которой стена действует на мяч.

m = 0,25 kgv_in = 8 m/sv_out = 6 m/sΔt = 40 ms

F_avg = N

13.Пружины и маятникиСредняя

Астронавт на другой планете обнаруживает, что математический маятник длиной 0,8 m имеет период малых колебаний 1,13 s. Найдите ускорение свободного падения g на этой планете.

L = 0,8 mT = 1,13 s

g = m/s²

14.Пружины и маятникиСложная

Груз массой 3,4 kg на пружине с k = 270 N/m оттягивают на 10 cm от положения равновесия и отпускают. Найдите полную энергию E колебаний.

m = 3,4 kgk = 270 N/mA = 10 cm

E = J

15.Волны, звук и оптикаСредняя

Свет внутри прозрачного блока полностью отражается на границе со средой «глицерин» (n = 1,47) при любом угле падения больше 24,4°. Найдите показатель преломления n₁ блока.

θ_c = 24,4°n₂ = 1,47

n₁ =

16.Волны, звук и оптикаСложная

Предмет находится в 12 cm перед вогнутым зеркалом с радиусом кривизны 30 cm. Найдите увеличение m (отрицательное для перевёрнутого изображения).

d_o = 12 cmR = 30 cm

m =

3Растворы

1.Кинематика

Ответ: a = 3,26 m/s²

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

Единицы

v = 260/3,6 = 72,22 m/s

Ускорение

a = v²/(2s) = 72,22²/(2·800) = 3,26 m/s²

Ответ

a = 3,26 m/s²

2.Кинематика

Ответ: d = 77,47 m

Две части времени

½·9,81·t₁² = 343·(4,2 − t₁)

4,905·t₁² + 343·t₁ − 1441 = 0

Время падения

Физический смысл имеет только положительный корень.

t₁ = (−343 + √(343² + 4·4,905·1441))/(2·4,905) = 3,974 s

Глубина

d = ½·9,81·3,974² = 77,47 m

Ответ

d = 77,47 m

3.Законы Ньютона

Ответ: μ = 0,4028

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

Замедление

a = v₀²/(2d) = 7²/(2·6,2) = 3,952 m/s²

Коэффициент трения

μ·m·g = m·a → μ = a/g = 3,952/9,81 = 0,4028

Ответ

μ = 0,4028

4.Законы Ньютона

Ответ: T = 7,063 N

Второй закон Ньютона: равнодействующая сил, действующих на тело, равна произведению его массы на ускорение, ΣF = m·a. Нарисуйте расчётную схему, выберите положительное направление вдоль движения и сложите все силы в этом направлении: приложенные силы, трение μ·N против движения и составляющие силы тяжести.

Ускорение системы

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (14,71 − 1,962)/2,5 = 5,101 m/s²

Натяжение из уравнения для бруска на столе

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 1·5,101 + 1,962 = 7,063 N

Ответ

T = 7,063 N

5.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: t = 4,065 s

Движение тела, брошенного под углом: без сопротивления воздуха x = v_xt и y = h + v_yt − ½gt². Оба направления независимы, их связывает только общее время.

Разложите начальную скорость

Горизонтальная скорость постоянна; вертикальное движение имеет постоянное ускорение g = 9,81 m/s² вниз.

v_x = v₀·cos θ = 22·cos 65° = 9,298 m/s

v_y = v₀·sin θ = 22·sin 65° = 19,94 m/s

Время полёта

Старт и приземление на одной высоте: t = 2v_y/g.

t = 2·19,94/9,81 = 4,065 s

Ответ

t = 4,065 s

6.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: t = 4,241 s

Разложите начальную скорость

Горизонтальная скорость постоянна; вертикальное движение имеет постоянное ускорение g = 9,81 m/s² вниз.

v_x = v₀·cos θ = 11·cos 55° = 6,309 m/s

v_y = v₀·sin θ = 11·sin 55° = 9,011 m/s

Время полёта

Решите y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 и возьмите положительный корень.

0 = 50 + 9,011·t − 4,905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (9,011 + √(81,19 + 981))/9,81 = 4,241 s

Ответ

t = 4,241 s

7.Движение по окружности

Ответ: v_max = 26,85 m/s

Равномерное движение по окружности: тело, движущееся со скоростью v по окружности радиуса r, имеет ускорение a = v²/r, направленное к центру, поэтому на него должна действовать направленная к центру равнодействующая сила F = m·v²/r. Эту силу создаёт что-то реальное: трение, натяжение, сила тяжести или сила нормальной реакции.

Трение создаёт центростремительную силу

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0,7·9,81·105) = 26,85 m/s

Ответ

v_max = 26,85 m/s (96,67 km/h)

8.Движение по окружности

Ответ: T = 73,3 N

Силы в нижней точке

К центру (вверх) — положительное направление.

T − m·g = m·v²/r

T = 1,6·9,81 + 1,6·6²/1 = 15,7 + 57,6 = 73,3 N

Ответ

T = 73,3 N

9.Работа и энергия

Ответ: W_f = 156,3 J

Теорема об изменении кинетической энергии: изменение кинетической энергии равно работе всех сил. Если записать тяжесть и пружины как потенциальную энергию (mgh и ½kx²), получается баланс: начальная энергия = конечная энергия + энергия, потерянная на трение (μN·d).

Сила трения

N = mg·cos θ = 39,24·0,766 = 30,06 N

F = μN = 0,4·30,06 = 12,02 N

Работа против трения

W_f = F·d = 12,02·13 = 156,3 J

Ответ

W_f = 156,3 J

10.Работа и энергия

Ответ: x = 42,89 cm

Энергия после шероховатой полосы

Рампа гладкая, поэтому энергию забирает только полоса.

mgh − μmgL = 98,1·(2 − 0,25·5) = 73,58 J

Наибольшее сжатие

½kx² = 73,58 → x = √(2·73,58/800) = 0,4289 m = 42,89 cm

Ответ

x = 42,89 cm

11.Импульс и столкновения

Ответ: v′₂ = 30,56 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

Импульс до удара

p = M·u = 19·33 = 627 kg·m/s

Импульс после удара

627 = 3·46 + 16·v′₂

v′₂ = (627 − 138)/16 = 30,56 m/s

Ответ

v′₂ = 30,56 m/s

12.Импульс и столкновения

Ответ: F_avg = 87,5 N

Закон сохранения импульса: если во время столкновения внешние силы не действуют, суммарный импульс Σm·v до столкновения равен суммарному импульсу после. Скорость имеет направление, поэтому выберите положительное направление и скорости, направленные в противоположную сторону, берите со знаком минус. При упругом столкновении сохраняется и кинетическая энергия; при абсолютно неупругом тела слипаются.

Изменение импульса

J = m·Δv = 0,25·(6 + 8) = 3,5 N·s

Средняя сила

F_avg = J/Δt = 3,5/0,04 = 87,5 N

Ответ

F_avg = 87,5 N

13.Пружины и маятники

Ответ: g = 24,73 m/s²

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Находим g

g = 4π²·L/T² = 4π²·0,8/1,13² = 24,73 m/s²

Ответ

g = 24,73 m/s²

14.Пружины и маятники

Ответ: E = 1,35 J

Гармонические колебания: груз массой m на пружине жёсткостью k колеблется с угловой частотой ω = √(k/m) и периодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математический маятник длиной L имеет период T = 2π·√(L/g). При амплитуде A наибольшая скорость равна A·ω, наибольшее ускорение — A·ω², а энергия — ½·k·A².

Угловая частота

ω = √(270/3,4) = 8,911 rad/s

Энергия

E = ½·k·A² = ½·270·0,1² = 1,35 J

Ответ

E = 1,35 J

15.Волны, звук и оптика

Ответ: n₁ = 3,558

Геометрическая оптика: на границе n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (закон Снеллиуса), углы отсчитываются от нормали, а n = c/v. При входе в более медленную среду луч приближается к нормали. Из более плотной среды (n₁ > n₂) за пределом критического угла θ_c = arcsin(n₂/n₁) весь свет отражается: полное внутреннее отражение. Тонкие линзы и сферические зеркала подчиняются уравнению 1/f = 1/d_o + 1/d_i с увеличением m = −d_i/d_o. Правило знаков: f > 0 для собирающей линзы и вогнутого зеркала (f = R/2), f < 0 для рассеивающей линзы и выпуклого зеркала; d_i > 0 для действительного изображения, d_i < 0 для мнимого, а m < 0 для перевёрнутого изображения.

Показатель преломления блока

n₁ = n₂/sin θc = 1,47/0,4131 = 3,558

Ответ

n₁ = 3,558

16.Волны, звук и оптика

Ответ: m = 5

Фокусное расстояние

f = R/2 = 15 cm

Уравнение зеркала

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/15 − 1/12

d_i = −60 cm

Увеличение

m = −(−60)/12 = 5

Ответ

m = 5

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics