Физика 1: Механика: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (16) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Кинематика

Скорость: v = v₀ + a·t
Перемещение: s = v₀·t + ½·a·t²
Без времени: v² = v₀² + 2·a·s
Единицы: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Выпишите известное: v₀, v, a, t и s с единицами.
Выберите уравнение, содержащее три известных величины и неизвестную.
Выберите одно положительное направление и припишите противоположно направленным величинам знак минус.
Решите и проверьте, что ответ физически разумен.

Законы Ньютона

Второй закон: ΣF = m·a
Вес: W = m·g
Трение скольжения: F_f = μ·N
На наклонной плоскости: вдоль: m·g·sin θ, по нормали: m·g·cos θ

Метод

Нарисуйте расчётную схему со всеми силами, действующими на тело.
Выберите положительное направление вдоль движения.
Разложите силы на составляющие вдоль движения и перпендикулярно ему (на наклонной плоскости: m·g·sin θ вдоль, m·g·cos θ перпендикулярно плоскости).
Примените ΣF = m·a вдоль движения; трение равно μ·N и направлено против движения.

Движение тела, брошенного под углом

Составляющие: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положение: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальная высота: H = h + v_y²/(2g)
Дальность (ровная поверхность): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Разложите начальную скорость на составляющие: v_x = v₀·cos θ и v_y = v₀·sin θ.
По горизонтали скорость постоянна; по вертикали ускорение равно −g.
Найдите время полёта из вертикального движения.
Подставьте это время в горизонтальное движение, чтобы найти дальность.

Движение по окружности

Центростремительное ускорение: a = v²/r = ω²·r
Центростремительная сила: F = m·v²/r
Угловая скорость: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальный поворот, трение: v_max = √(μ·g·r)

Работа и энергия

Кинетическая энергия: E_k = ½mv²
Потенциальная энергия: E_p = mgh
Энергетический баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Работа силы трения: W = μ·N·d
Мощность: P = W/t

Импульс и столкновения

Импульс: p = m·v
Сохранение: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно неупругий удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Импульс силы: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Выберите положительное направление и припишите каждой скорости её знак.
Запишите полный импульс до удара: Σm·v.
При абсолютно неупругом ударе тела после него движутся вместе; при упругом сохраняется ещё и кинетическая энергия.
Приравняйте импульс до удара импульсу после и решите.

Пружины и маятники

Груз на пружине: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Угловая частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Наибольшие скорость и ускорение: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Энергия: E = ½·k·A²

Волны, звук и оптика

Скорость волны: v = fλ, T = 1/f
Струна: v = √(T/μ), μ = m/L
Уровень звука: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Точечный источник: I = P/(4πr²)
Стоячие волны: струна или труба, открытая с обоих концов, f_n = n·v/(2L); закрытая труба f_n = n·v/(4L), n нечётное
Эффект Доплера: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Показатель преломления: n = c/v, λ = λ₀/n
Закон Снеллиуса: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Критический угол: sin θ_c = n₂/n₁
Оптическое волокно: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Линзы и зеркала: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Двойная щель: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Решётка: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Одиночная щель: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Метод

Определите тип задачи: скорость волны, уровень звука, стоячая волна, эффект Доплера, преломление, линза или зеркало, либо интерференция.
Сначала запишите соотношение: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) или n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Переведите единицы: nm, mm и cm в m, и проверьте, отсчитываются ли углы от нормали.
Проверьте знаки и правдоподобие: у мнимого изображения dᵢ < 0, приближающийся источник звучит выше, у закрытой трубы только нечётные гармоники.

2Тренировочные задачи

1.КинематикаСредняя

Автомобиль, едущий со скоростью 100 km/h, тормозит с постоянным замедлением 4,5 m/s² до полной остановки. Найдите тормозной путь s.

v₀ = 100 km/ha = −4,5 m/s²v = 0

s = m

2.КинематикаСложная

Мяч бросают вертикально вверх со скоростью 20 m/s с края крыши на высоте 15 m над землёй. Сопротивлением воздуха пренебречь, g = 9,81 m/s². Найдите наибольшую высоту h_max над землёй.

v₀ = 20 m/sh₀ = 15 mg = 9,81 m/s²

h_max = m

3.Законы НьютонаСредняя

Санки массой 25 kg тянут по горизонтальному снегу верёвкой под углом 15° к горизонту с силой 90 N. Коэффициент трения скольжения равен 0,2. Примите g = 9,81 m/s². Найдите ускорение a санок.

m = 25 kgF = 90 Nθ = 15°μ = 0,2g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Законы НьютонаСложная

Брусок массой 9 kg на горизонтальном столе соединён лёгкой нитью, перекинутой через блок без трения, с подвешенным грузом массой 4 kg. Коэффициент трения скольжения между бруском и столом 0,25. Примите g = 9,81 m/s². Найдите ускорение a системы.

m₁ = 9 kgm₂ = 4 kgμ = 0,25g = 9,81 m/s²

a = m/s²

5.Движение тела, брошенного под угломСредняя

Мяч бьют с горизонтальной поверхности со скоростью 28 m/s под углом 25° к горизонту в сторону стены, находящейся на расстоянии 49 m. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². На какой высоте y мяч пролетает у стены?

v₀ = 28 m/sθ = 25°x = 49 mg = 9,81 m/s²

y = m

6.Движение тела, брошенного под угломСложная

Мяч бросают с уровня земли со скоростью 35 m/s под углом 40° к горизонту. Он падает на плоскую крышу здания высотой 14 m, уже опускаясь. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². Найдите горизонтальное расстояние x от точки броска до места падения.

v₀ = 35 m/sθ = 40°h_roof = 14 mg = 9,81 m/s²

x = m

7.Движение по окружностиСредняя

Автомобиль переезжает через вершину бугра на дороге, имеющего форму дуги окружности радиусом 100 m. Примите g = 9,81 m/s². При какой скорости v_max колёса отрываются от дороги на вершине?

r = 100 mg = 9,81 m/s²

v_max = m/s

8.Движение по окружностиСложная

Шарик на нити длиной 1,5 m вращают по вертикальной окружности. Примите g = 9,81 m/s². При какой наименьшей скорости v_min в верхней точке нить ещё остаётся натянутой?

r = 1,5 mg = 9,81 m/s²

v_min = m/s

9.Работа и энергияСредняя

Брусок без начальной скорости скользит по наклонной плоскости под углом 20° к горизонту. Коэффициент трения скольжения 0,2. Найдите его скорость v после того, как он проскользит 11 m вдоль плоскости.

θ = 20°μ = 0,2d = 11 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

10.Работа и энергияСложная

Брусок массой 8 kg начинает движение из состояния покоя у основания наклонной плоскости 35° и тянется вверх по ней постоянной силой 95 N, параллельной плоскости. Коэффициент трения скольжения равен 0,2. Найдите скорость v бруска после того, как он переместится на 8 m вверх по плоскости.

m = 8 kgF = 95 Nθ = 35°μ = 0,2d = 8 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

11.Импульс и столкновенияСредняя

Пуля массой 20 g, выпущенная горизонтально, попадает в деревянный брусок массой 2,5 kg, подвешенный на лёгких нитях, и застревает в нём. Брусок отклоняется и поднимается на 12 cm выше начального положения. Примите g = 9,81 m/s². Найдите скорость v пули до удара.

m = 20 gM = 2,5 kgh = 12 cmg = 9,81 m/s²

v = m/s

12.Импульс и столкновенияСложная

Мяч массой 0,35 kg ударяется о стену со скоростью 18 m/s и отскакивает прямо назад со скоростью 18 m/s. Контакт длится 10 ms. Найдите модуль импульса силы J, который стена сообщает мячу.

m = 0,35 kgv_in = 18 m/sv_out = 18 m/sΔt = 10 ms

J = N·s

13.Пружины и маятникиСредняя

Длина математического маятника 1,5 m. Примите g = 9,81 m/s². Найдите его период T при малых колебаниях.

L = 1,5 mg = 9,81 m/s²

T = s

14.Пружины и маятникиСложная

Тело совершает гармонические колебания с периодом 3,4 s и амплитудой 10 cm. За какое наименьшее время t оно переместится из точки наибольшего смещения 10 cm в точку со смещением 7,5 cm?

T = 3,4 sA = 10 cmx = 7,5 cm

t = s

15.Волны, звук и оптикаСредняя

Труба, закрытая с одного конца имеет длину 0,5 m. Скорость звука равна 343 m/s. Найдите частоту f₇ для режима: гармоника номер 7.

v = 343 m/sn = 7L = 0,5 m

f₇ = Hz

16.Волны, звук и оптикаСложная

Решётка с 1200 штрихами на миллиметр даёт максимум порядка 1 для спектральной линии под углом 45° к направлению прямого прохождения. Найдите длину волны λ линии.

N = 1200 mm⁻¹θ₁ = 45°m = 1

λ = nm

3Растворы

1.Кинематика

Ответ: s = 85,73 m

Движение с постоянным ускорением: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² и v² = v₀² + 2·a·s. Выберите уравнение, в которое входят три известные величины и искомая, и следите за знаками относительно одного положительного направления.

Единицы

v₀ = 100/3,6 = 27,78 m/s

Тормозной путь

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 27,78²/(2·4,5) = 85,73 m

Ответ

s = 85,73 m

2.Кинематика

Ответ: h_max = 35,39 m

Подъём над крышей

0 = v₀² − 2·g·Δh → Δh = 20²/(2·9,81) = 20,39 m

Высота над землёй

h_max = 15 + 20,39 = 35,39 m

Ответ

h_max = 35,39 m

3.Законы Ньютона

Ответ: a = 1,702 m/s²

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

Сила нормальной реакции

N = m·g − F·sin θ = 245,3 − 90·sin 15° = 222 N

Горизонтальные силы

m·a = F·cos θ − μ·N = 86,93 − 44,39

a = 42,54/25 = 1,702 m/s²

Ответ

a = 1,702 m/s²

4.Законы Ньютона

Ответ: a = 1,321 m/s²

Второй закон Ньютона: равнодействующая сил, действующих на тело, равна произведению его массы на ускорение, ΣF = m·a. Нарисуйте расчётную схему, выберите положительное направление вдоль движения и сложите все силы в этом направлении: приложенные силы, трение μ·N против движения и составляющие силы тяжести.

Ускорение системы

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (39,24 − 22,07)/13 = 1,321 m/s²

Ответ

a = 1,321 m/s²

5.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: y = 4,561 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Время до стены

v_x = 28·cos 25° = 25,38 m/s

t = x/v_x = 49/25,38 = 1,931 s

Высота в этот момент

y = 11,83·1,931 − ½·9,81·1,931² = 4,561 m

Ответ

y = 4,561 m

У стены мяч уже опускается.

6.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: x = 103,1 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Разложите начальную скорость

v_x = 26,81 m/s, v_y = 22,5 m/s

Время до падения на крышу

Больший корень: мяч опускается.

14 = 22,5·t − 4,905·t²

t = (22,5 + √(22,5² − 2·9,81·14))/9,81 = 3,844 s

Горизонтальное расстояние

x = v_x·t = 26,81·3,844 = 103,1 m

Ответ

x = 103,1 m

7.Движение по окружности

Ответ: v_max = 31,32 m/s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

Нулевая нормальная реакция

m·g = m·v²/r → v = √(g·r) = √(9,81·100) = 31,32 m/s

Ответ

v_max = 31,32 m/s

(112,8 km/h)

8.Движение по окружности

Ответ: v_min = 3,836 m/s

Равномерное движение по окружности: тело, движущееся со скоростью v по окружности радиуса r, имеет ускорение a = v²/r, направленное к центру, поэтому на него должна действовать направленная к центру равнодействующая сила F = m·v²/r. Эту силу создаёт что-то реальное: трение, натяжение, сила тяжести или сила нормальной реакции.

Нулевое натяжение в верхней точке

m·g = m·v²/r → v = √(g·r) = √(9,81·1,5) = 3,836 m/s

Ответ

v_min = 3,836 m/s

9.Работа и энергия

Ответ: v = 5,767 m/s

Теорема об изменении кинетической энергии: изменение кинетической энергии равно работе всех сил. Если записать тяжесть и пружины как потенциальную энергию (mgh и ½kx²), получается баланс: начальная энергия = конечная энергия + энергия, потерянная на трение (μN·d).

Энергетический баланс вдоль плоскости

Брусок опускается на высоту d·sin θ, а трение забирает μmg·cos θ·d. Масса сокращается.

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)

v = √(2·9,81·11·(0,342 − 0,2·0,9397)) = 5,767 m/s

Ответ

v = 5,767 m/s

10.Работа и энергия

Ответ: v = 8,617 m/s

Силы вдоль плоскости

m·g = 8·9,81 = 78,48 N

mg·sin θ = 45,01 N

μ·mg·cos θ = 12,86 N

Работа и энергия

½mv² = (95 − 57,87)·8 = 297 J

v = √(2·297/8) = 8,617 m/s

Ответ

v = 8,617 m/s

11.Импульс и столкновения

Ответ: v = 193,3 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

Отклонение после удара

V = √(2·g·h) = √(2·9,81·0,12) = 1,534 m/s

Столкновение

m·v = (m + M)·V → v = (0,02 + 2,5)·1,534/0,02 = 193,3 m/s

Ответ

v = 193,3 m/s

12.Импульс и столкновения

Ответ: J = 12,6 N·s

Закон сохранения импульса: если во время столкновения внешние силы не действуют, суммарный импульс Σm·v до столкновения равен суммарному импульсу после. Скорость имеет направление, поэтому выберите положительное направление и скорости, направленные в противоположную сторону, берите со знаком минус. При упругом столкновении сохраняется и кинетическая энергия; при абсолютно неупругом тела слипаются.

Изменение импульса

J = m·Δv = 0,35·(18 + 18) = 12,6 N·s

Ответ

J = 12,6 N·s

13.Пружины и маятники

Ответ: T = 2,457 s

Гармонические колебания: груз массой m на пружине жёсткостью k колеблется с угловой частотой ω = √(k/m) и периодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математический маятник длиной L имеет период T = 2π·√(L/g). При амплитуде A наибольшая скорость равна A·ω, наибольшее ускорение — A·ω², а энергия — ½·k·A².

Период маятника

T = 2π·√(1,5/9,81) = 2,457 s

Ответ

T = 2,457 s

14.Пружины и маятники

Ответ: t = 0,3911 s

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Угловая частота

ω = 2π/T = 2π/3,4 = 1,848 rad/s

Выразите время

0,75 = cos(ω·t) → ω·t = arccos(0,75) = 0,7227 rad

t = 0,7227/1,848 = 0,3911 s

Ответ

t = 0,3911 s

15.Волны, звук и оптика

Ответ: f₇ = 1201 Hz

Стоячие волны и эффект Доплера: в струне, закреплённой с обоих концов, или в трубе, открытой с обоих концов, укладывается целое число полуволн: L = nλ/2, f_n = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … У трубы, закрытой с одного конца, на закрытом конце узел, а на открытом пучность: L = nλ/4 только при нечётных n, f_n = n·v/(4L). Когда источник или наблюдатель движутся вдоль линии между ними, f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s): верхние знаки берите для движения навстречу друг другу. Две волны почти равной частоты дают биения с частотой |f₁ − f₂|.

Длина волны этого режима

λ = 4L/n = 4·0,5/7 = 0,2857 m

Частота

f = v/λ = 343/0,2857 = 1201 Hz

Ответ

f₇ = 1201 Hz

16.Волны, звук и оптика

Ответ: λ = 589,3 nm

Интерференция и дифракция: свет от двух щелей на расстоянии d друг от друга приходит в точку на экране с разностью хода d·sin θ. Светлые полосы появляются там, где d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …). Для экрана на расстоянии L ≫ d m-я светлая полоса находится при y = mλL/d, а расстояние между полосами равно Δy = λL/d. У решётки с N штрихами на миллиметр d = 1/N, а резкие максимумы находятся при d·sin θ = mλ; так как sin θ ≤ 1, наивысший порядок — наибольшее целое число m ≤ d/λ. У одной щели шириной a тёмные полосы находятся при a·sin θ = mλ, m = ±1, ±2, …

Длина волны

λ = d·sin θ/m = 8,333 × 10⁻⁷·sin 45°/1 = 589,3 nm

Ответ

λ = 589,3 nm

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics