Физика 1: Механика: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (16) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Кинематика

Скорость: v = v₀ + a·t
Перемещение: s = v₀·t + ½·a·t²
Без времени: v² = v₀² + 2·a·s
Единицы: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Выпишите известное: v₀, v, a, t и s с единицами.
Выберите уравнение, содержащее три известных величины и неизвестную.
Выберите одно положительное направление и припишите противоположно направленным величинам знак минус.
Решите и проверьте, что ответ физически разумен.

Законы Ньютона

Второй закон: ΣF = m·a
Вес: W = m·g
Трение скольжения: F_f = μ·N
На наклонной плоскости: вдоль: m·g·sin θ, по нормали: m·g·cos θ

Метод

Нарисуйте расчётную схему со всеми силами, действующими на тело.
Выберите положительное направление вдоль движения.
Разложите силы на составляющие вдоль движения и перпендикулярно ему (на наклонной плоскости: m·g·sin θ вдоль, m·g·cos θ перпендикулярно плоскости).
Примените ΣF = m·a вдоль движения; трение равно μ·N и направлено против движения.

Движение тела, брошенного под углом

Составляющие: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положение: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальная высота: H = h + v_y²/(2g)
Дальность (ровная поверхность): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Разложите начальную скорость на составляющие: v_x = v₀·cos θ и v_y = v₀·sin θ.
По горизонтали скорость постоянна; по вертикали ускорение равно −g.
Найдите время полёта из вертикального движения.
Подставьте это время в горизонтальное движение, чтобы найти дальность.

Движение по окружности

Центростремительное ускорение: a = v²/r = ω²·r
Центростремительная сила: F = m·v²/r
Угловая скорость: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальный поворот, трение: v_max = √(μ·g·r)

Работа и энергия

Кинетическая энергия: E_k = ½mv²
Потенциальная энергия: E_p = mgh
Энергетический баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Работа силы трения: W = μ·N·d
Мощность: P = W/t

Импульс и столкновения

Импульс: p = m·v
Сохранение: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно неупругий удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Импульс силы: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Выберите положительное направление и припишите каждой скорости её знак.
Запишите полный импульс до удара: Σm·v.
При абсолютно неупругом ударе тела после него движутся вместе; при упругом сохраняется ещё и кинетическая энергия.
Приравняйте импульс до удара импульсу после и решите.

Пружины и маятники

Груз на пружине: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Угловая частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Наибольшие скорость и ускорение: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Энергия: E = ½·k·A²

Волны, звук и оптика

Скорость волны: v = fλ, T = 1/f
Струна: v = √(T/μ), μ = m/L
Уровень звука: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Точечный источник: I = P/(4πr²)
Стоячие волны: струна или труба, открытая с обоих концов, f_n = n·v/(2L); закрытая труба f_n = n·v/(4L), n нечётное
Эффект Доплера: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Показатель преломления: n = c/v, λ = λ₀/n
Закон Снеллиуса: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Критический угол: sin θ_c = n₂/n₁
Оптическое волокно: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Линзы и зеркала: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Двойная щель: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Решётка: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Одиночная щель: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Метод

Определите тип задачи: скорость волны, уровень звука, стоячая волна, эффект Доплера, преломление, линза или зеркало, либо интерференция.
Сначала запишите соотношение: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) или n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Переведите единицы: nm, mm и cm в m, и проверьте, отсчитываются ли углы от нормали.
Проверьте знаки и правдоподобие: у мнимого изображения dᵢ < 0, приближающийся источник звучит выше, у закрытой трубы только нечётные гармоники.

2Тренировочные задачи

1.КинематикаСредняя

Водитель, едущий со скоростью 54 km/h, видит препятствие. Время её реакции 1 s, после чего автомобиль тормозит с постоянным замедлением 6,5 m/s². Найдите полный остановочный путь d с момента, когда она увидела препятствие.

v₀ = 54 km/ht_r = 1 sa = −6,5 m/s²

d = m

2.КинематикаСложная

Трамвай трогается с места и разгоняется с ускорением 2 m/s² в течение 5 s, затем движется с постоянной скоростью 19 s и, наконец, тормозит с замедлением 3 m/s² до остановки. Найдите полный путь s между двумя остановками.

a₁ = 2 m/s²t₁ = 5 st₂ = 19 sa₃ = −3 m/s²

s = m

3.Законы НьютонаСредняя

Брусок массой 8 kg скользит вниз по наклонной плоскости под углом 25° к горизонту. Коэффициент трения скольжения 0,25. Примите g = 9,81 m/s². Найдите ускорение a бруска вдоль плоскости.

m = 8 kgθ = 25°μ = 0,25g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Законы НьютонаСложная

Брусок массой 9 kg на горизонтальном столе соединён лёгкой нитью, перекинутой через блок без трения, с подвешенным грузом массой 3,5 kg. Коэффициент трения скольжения между бруском и столом 0,3. Примите g = 9,81 m/s². Найдите силу натяжения T нити.

m₁ = 9 kgm₂ = 3,5 kgμ = 0,3g = 9,81 m/s²

T = N

5.Движение тела, брошенного под угломСредняя

Мяч бросают с горизонтальной поверхности под углом 45° к горизонту, и он падает на расстоянии 150 m. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². Найдите начальную скорость v₀.

θ = 45°R = 150 mg = 9,81 m/s²

v₀ = m/s

6.Движение тела, брошенного под угломСложная

Мяч бросают с уровня земли со скоростью 38 m/s под углом 65° к горизонту. Он падает на плоскую крышу здания высотой 20 m, уже опускаясь. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². Найдите горизонтальное расстояние x от точки броска до места падения.

v₀ = 38 m/sθ = 65°h_roof = 20 mg = 9,81 m/s²

x = m

7.Движение по окружностиСредняя

Автомобиль проходит горизонтальный поворот радиусом 120 m. Коэффициент трения покоя между шинами и дорогой 0,5. Примите g = 9,81 m/s². Найдите наибольшую скорость v_max, с которой автомобиль может пройти поворот без заноса.

r = 120 mμ_s = 0,5g = 9,81 m/s²

v_max = m/s

8.Движение по окружностиСложная

Шарик массой 1,7 kg на лёгкой нити длиной 1,2 m вращают по вертикальной окружности. В нижней точке его скорость 8 m/s. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². Найдите силу натяжения T_top нити в верхней точке.

m = 1,7 kgr = 1,2 mv_bottom = 8 m/sg = 9,81 m/s²

T_top = N

9.Работа и энергияСредняя

Брусок массой 0,5 kg скользит 6 m по наклонной плоскости под углом 15° к горизонту с коэффициентом трения скольжения 0,1. Найдите работу W_f против силы трения.

m = 0,5 kgθ = 15°μ = 0,1d = 6 mg = 9,81 m/s²

W_f = J

10.Работа и энергияСложная

Пружину жёсткостью 5000 N/m у основания наклонной плоскости 20° сжимают на 15 cm бруском массой 3 kg и отпускают. Коэффициент трения скольжения между бруском и плоскостью равен 0,1. Какое расстояние d пройдёт брусок вверх по плоскости от точки отпускания до остановки? (Пренебрегите коротким участком, на котором толкает пружина, т. е. учитывайте трение и силу тяжести на всём расстоянии d.)

m = 3 kgk = 5000 N/mx = 15 cmθ = 20°μ = 0,1g = 9,81 m/s²

d = m

11.Импульс и столкновенияСредняя

Автомобиль массой 500 kg, движущийся со скоростью 8 m/s, налетает на стоящий автомобиль массой 1400 kg, и они сцепляются. Какой процент ΔK/K исходной кинетической энергии теряется?

m₁ = 500 kgv₁ = 8 m/sm₂ = 1400 kgv₂ = 0

ΔK/K = %

12.Импульс и столкновенияСложная

На перекрёстке автомобиль массой 1500 kg, едущий на восток со скоростью 24 m/s, сталкивается с автомобилем массой 900 kg, едущим на север со скоростью 11 m/s. Автомобили сцепляются. Найдите скорость v′ обломков сразу после столкновения.

m₁ = 1500 kgv₁ = 24 m/s (E)m₂ = 900 kgv₂ = 11 m/s (N)

v′ = m/s

13.Пружины и маятникиСредняя

Какой длины должен быть математический маятник, чтобы его период был 0,9 s? Примите g = 9,81 m/s². Найдите L.

T = 0,9 sg = 9,81 m/s²

L = m

14.Пружины и маятникиСложная

Груз массой 2,2 kg на пружине с k = 50 N/m оттягивают на 11 cm от положения равновесия и отпускают. Найдите полную энергию E колебаний.

m = 2,2 kgk = 50 N/mA = 11 cm

E = J

15.Волны, звук и оптикаСредняя

Свет идёт в среде «крон» (n = 1,50) к плоской границе со средой «акрил» (n = 1,49). Найдите критический угол θ_c, за пределом которого происходит полное отражение.

n₁ = 1,50n₂ = 1,49

θ_c = °

16.Волны, звук и оптикаСложная

Предмет находится в 5 cm перед выпуклым зеркалом с радиусом кривизны 40 cm. Найдите расстояние до изображения d_i: положительное для изображения перед зеркалом (действительного) и отрицательное для изображения за ним (мнимого).

d_o = 5 cmR = 40 cm

d_i = cm

3Растворы

1.Кинематика

Ответ: d = 32,31 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

Единицы

v₀ = 54/3,6 = 15 m/s

Путь за время реакции

d₁ = v₀·t_r = 15·1 = 15 m

Тормозной путь

d₂ = v₀²/(2a) = 15²/(2·6,5) = 17,31 m

Итого

d = 15 + 17,31 = 32,31 m

Ответ

d = 32,31 m

2.Кинематика

Ответ: s = 231,7 m

Наибольшая скорость

v = a₁·t₁ = 2·5 = 10 m/s

Путь на каждом этапе

s₁ = ½·2·5² = 25 m

s₂ = 10·19 = 190 m

s₃ = 10²/(2·3) = 16,67 m

Полный путь

s = 25 + 190 + 16,67 = 231,7 m

Ответ

s = 231,7 m

3.Законы Ньютона

Ответ: a = 1,923 m/s²

Второй закон Ньютона: равнодействующая сил, действующих на тело, равна произведению его массы на ускорение, ΣF = m·a. Нарисуйте расчётную схему, выберите положительное направление вдоль движения и сложите все силы в этом направлении: приложенные силы, трение μ·N против движения и составляющие силы тяжести.

Силы вдоль плоскости

Вниз по плоскости — положительное направление.

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

Ускорение

a = 9,81·(sin 25° − 0,25·cos 25°) = 9,81·(0,4226 − 0,2266) = 1,923 m/s²

Ответ

a = 1,923 m/s²

4.Законы Ньютона

Ответ: T = 32,14 N

Ускорение системы

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (34,34 − 26,49)/12,5 = 0,6278 m/s²

Натяжение из уравнения для бруска на столе

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 9·0,6278 + 26,49 = 32,14 N

Ответ

T = 32,14 N

5.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: v₀ = 38,36 m/s

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Выражаем v₀ из формулы дальности

v₀ = √(g·R/sin 2θ) = √(9,81·150/sin 90°) = 38,36 m/s

Ответ

v₀ = 38,36 m/s

6.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: x = 102,5 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Разложите начальную скорость

v_x = 16,06 m/s, v_y = 34,44 m/s

Время до падения на крышу

Больший корень: мяч опускается.

20 = 34,44·t − 4,905·t²

t = (34,44 + √(34,44² − 2·9,81·20))/9,81 = 6,382 s

Горизонтальное расстояние

x = v_x·t = 16,06·6,382 = 102,5 m

Ответ

x = 102,5 m

7.Движение по окружности

Ответ: v_max = 24,26 m/s

Равномерное движение по окружности: тело, движущееся со скоростью v по окружности радиуса r, имеет ускорение a = v²/r, направленное к центру, поэтому на него должна действовать направленная к центру равнодействующая сила F = m·v²/r. Эту силу создаёт что-то реальное: трение, натяжение, сила тяжести или сила нормальной реакции.

Трение создаёт центростремительную силу

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0,5·9,81·120) = 24,26 m/s

Ответ

v_max = 24,26 m/s (87,34 km/h)

8.Движение по окружности

Ответ: T_top = 7,282 N

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

Скорость в верхней точке

Кинетическая энергия переходит в потенциальную на высоте 2r.

v_top² = 8² − 4·9,81·1,2 = 16,91 m²/s²

Силы в верхней точке

Сила натяжения и сила тяжести обе направлены вниз, к центру.

T + m·g = m·v_top²/r

T = 1,7·16,91/1,2 − 1,7·9,81 = 7,282 N

Ответ

T_top = 7,282 N

9.Работа и энергия

Ответ: W_f = 2,843 J

Теорема об изменении кинетической энергии: изменение кинетической энергии равно работе всех сил. Если записать тяжесть и пружины как потенциальную энергию (mgh и ½kx²), получается баланс: начальная энергия = конечная энергия + энергия, потерянная на трение (μN·d).

Сила трения

N = mg·cos θ = 4,905·0,9659 = 4,738 N

F = μN = 0,1·4,738 = 0,4738 N

Работа против трения

W_f = F·d = 0,4738·6 = 2,843 J

Ответ

W_f = 2,843 J

10.Работа и энергия

Ответ: d = 4,384 m

Энергия пружины

x = 15 cm = 0,15 m

½kx² = ½·5000·0,15² = 56,25 J

Энергетический баланс вдоль плоскости

m·g = 3·9,81 = 29,43 N

½kx² = mg·d·(sin θ + μ·cos θ)

d = 56,25/(29,43·(0,342 + 0,1·0,9397)) = 4,384 m

Ответ

d = 4,384 m

11.Импульс и столкновения

Ответ: ΔK/K = 73,68 %

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

Общая скорость

v′ = m₁·v₁/(m₁ + m₂) = 500·8/1900 = 2,105 m/s

Кинетическая энергия до и после

K_before = ½·500·8² = 16000 J

K_after = ½·1900·2,105² = 4211 J

Потерянная доля

ΔK/K = 11789/16000 = 73,68 %

Ответ

ΔK/K = 73,68 %

Потерянная энергия идёт на деформацию, теплоту и звук.

12.Импульс и столкновения

Ответ: v′ = 15,56 m/s

Составляющие импульса

p_x = 1500·24 = 36000 kg·m/s

p_y = 900·11 = 9900 kg·m/s

Скорость обломков

v′ = √(p_x² + p_y²)/(m₁ + m₂) = 37336/2400 = 15,56 m/s

Ответ

v′ = 15,56 m/s

13.Пружины и маятники

Ответ: L = 0,2013 m

Гармонические колебания: груз массой m на пружине жёсткостью k колеблется с угловой частотой ω = √(k/m) и периодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математический маятник длиной L имеет период T = 2π·√(L/g). При амплитуде A наибольшая скорость равна A·ω, наибольшее ускорение — A·ω², а энергия — ½·k·A².

Выразите длину

L = g·(T/2π)² = 9,81·(0,9/2π)² = 0,2013 m

Ответ

L = 0,2013 m

14.Пружины и маятники

Ответ: E = 0,3025 J

Угловая частота

ω = √(50/2,2) = 4,767 rad/s

Энергия

E = ½·k·A² = ½·50·0,11² = 0,3025 J

Ответ

E = 0,3025 J

15.Волны, звук и оптика

Ответ: θ_c = 83,38 °

Геометрическая оптика: на границе n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (закон Снеллиуса), углы отсчитываются от нормали, а n = c/v. При входе в более медленную среду луч приближается к нормали. Из более плотной среды (n₁ > n₂) за пределом критического угла θ_c = arcsin(n₂/n₁) весь свет отражается: полное внутреннее отражение. Тонкие линзы и сферические зеркала подчиняются уравнению 1/f = 1/d_o + 1/d_i с увеличением m = −d_i/d_o. Правило знаков: f > 0 для собирающей линзы и вогнутого зеркала (f = R/2), f < 0 для рассеивающей линзы и выпуклого зеркала; d_i > 0 для действительного изображения, d_i < 0 для мнимого, а m < 0 для перевёрнутого изображения.

Преломление под 90°

sin θc = n₂/n₁ = 1,49/1,50 = 0,9933

Критический угол

θc = arcsin(0,9933) = 83,38°

Ответ

θ_c = 83,38°

16.Волны, звук и оптика

Ответ: d_i = −4 cm

Фокусное расстояние

f = −R/2 = −20 cm

Уравнение зеркала

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/(−20) − 1/5

d_i = −4 cm

Ход лучей

мнимое изображение за зеркалом

Ответ

d_i = −4 cm

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics