Физика 1: Механика: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (16) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Кинематика

Скорость: v = v₀ + a·t
Перемещение: s = v₀·t + ½·a·t²
Без времени: v² = v₀² + 2·a·s
Единицы: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Выпишите известное: v₀, v, a, t и s с единицами.
Выберите уравнение, содержащее три известных величины и неизвестную.
Выберите одно положительное направление и припишите противоположно направленным величинам знак минус.
Решите и проверьте, что ответ физически разумен.

Законы Ньютона

Второй закон: ΣF = m·a
Вес: W = m·g
Трение скольжения: F_f = μ·N
На наклонной плоскости: вдоль: m·g·sin θ, по нормали: m·g·cos θ

Метод

Нарисуйте расчётную схему со всеми силами, действующими на тело.
Выберите положительное направление вдоль движения.
Разложите силы на составляющие вдоль движения и перпендикулярно ему (на наклонной плоскости: m·g·sin θ вдоль, m·g·cos θ перпендикулярно плоскости).
Примените ΣF = m·a вдоль движения; трение равно μ·N и направлено против движения.

Движение тела, брошенного под углом

Составляющие: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положение: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальная высота: H = h + v_y²/(2g)
Дальность (ровная поверхность): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Разложите начальную скорость на составляющие: v_x = v₀·cos θ и v_y = v₀·sin θ.
По горизонтали скорость постоянна; по вертикали ускорение равно −g.
Найдите время полёта из вертикального движения.
Подставьте это время в горизонтальное движение, чтобы найти дальность.

Движение по окружности

Центростремительное ускорение: a = v²/r = ω²·r
Центростремительная сила: F = m·v²/r
Угловая скорость: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальный поворот, трение: v_max = √(μ·g·r)

Работа и энергия

Кинетическая энергия: E_k = ½mv²
Потенциальная энергия: E_p = mgh
Энергетический баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Работа силы трения: W = μ·N·d
Мощность: P = W/t

Импульс и столкновения

Импульс: p = m·v
Сохранение: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно неупругий удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Импульс силы: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Выберите положительное направление и припишите каждой скорости её знак.
Запишите полный импульс до удара: Σm·v.
При абсолютно неупругом ударе тела после него движутся вместе; при упругом сохраняется ещё и кинетическая энергия.
Приравняйте импульс до удара импульсу после и решите.

Пружины и маятники

Груз на пружине: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Угловая частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Наибольшие скорость и ускорение: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Энергия: E = ½·k·A²

Волны, звук и оптика

Скорость волны: v = fλ, T = 1/f
Струна: v = √(T/μ), μ = m/L
Уровень звука: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Точечный источник: I = P/(4πr²)
Стоячие волны: струна или труба, открытая с обоих концов, f_n = n·v/(2L); закрытая труба f_n = n·v/(4L), n нечётное
Эффект Доплера: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Показатель преломления: n = c/v, λ = λ₀/n
Закон Снеллиуса: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Критический угол: sin θ_c = n₂/n₁
Оптическое волокно: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Линзы и зеркала: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Двойная щель: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Решётка: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Одиночная щель: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Метод

Определите тип задачи: скорость волны, уровень звука, стоячая волна, эффект Доплера, преломление, линза или зеркало, либо интерференция.
Сначала запишите соотношение: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) или n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Переведите единицы: nm, mm и cm в m, и проверьте, отсчитываются ли углы от нормали.
Проверьте знаки и правдоподобие: у мнимого изображения dᵢ < 0, приближающийся источник звучит выше, у закрытой трубы только нечётные гармоники.

2Тренировочные задачи

1.КинематикаСредняя

Автомобиль, едущий со скоростью 36 km/h, тормозит с постоянным замедлением 6 m/s² до полной остановки. Найдите тормозной путь s.

v₀ = 36 km/ha = −6 m/s²v = 0

s = m

2.КинематикаСложная

Мяч бросают вертикально вверх со скоростью 12 m/s с края крыши на высоте 30 m над землёй. Сопротивлением воздуха пренебречь, g = 9,81 m/s². Через какое время после броска он упадёт на землю? Найдите t.

v₀ = 12 m/sh₀ = 30 mg = 9,81 m/s²

t = s

3.Законы НьютонаСредняя

Ящик скользит по горизонтальному полу с начальной скоростью 8 m/s и останавливается через 8,2 m. Примите g = 9,81 m/s². Найдите коэффициент трения скольжения μ.

v₀ = 8 m/sd = 8,2 mg = 9,81 m/s²

μ =

4.Законы НьютонаСложная

Брусок массой 10 kg на горизонтальном столе соединён лёгкой нитью, перекинутой через блок без трения, с подвешенным грузом массой 1,5 kg. Трения о стол нет. Примите g = 9,81 m/s². Найдите силу натяжения T нити.

m₁ = 10 kgm₂ = 1,5 kgμ = 0g = 9,81 m/s²

T = N

5.Движение тела, брошенного под угломСредняя

Мяч бросают с горизонтальной поверхности под углом 65° к горизонту, и он падает на расстоянии 120 m. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². Найдите начальную скорость v₀.

θ = 65°R = 120 mg = 9,81 m/s²

v₀ = m/s

6.Движение тела, брошенного под угломСложная

Мяч бросают под углом 20° к горизонту с вершины скалы высотой 50 m. Сопротивлением воздуха пренебречь. Найдите время полёта t до удара мяча о землю.

v₀ = 33 m/sθ = 20°h = 50 mg = 9,81 m/s²

t = s

7.Движение по окружностиСредняя

Маленький шарик на нити длиной 1,6 m движется по горизонтальной окружности так, что нить составляет постоянный угол 60° с вертикалью (конический маятник). Примите g = 9,81 m/s². Найдите время T одного оборота.

L = 1,6 mθ = 60°g = 9,81 m/s²

T = s

8.Движение по окружностиСложная

Поворот радиусом 200 m имеет вираж с уклоном 30°, коэффициент трения покоя между шинами и дорогой равен 0,2. Примите g = 9,81 m/s². Найдите наибольшую скорость v_max, при которой автомобиль может пройти поворот, не соскальзывая вверх и наружу.

r = 200 mθ = 30°μ_s = 0,2g = 9,81 m/s²

v_max = m/s

9.Работа и энергияСредняя

Брусок массой 5 kg скользит 13 m по наклонной плоскости под углом 25° к горизонту с коэффициентом трения скольжения 0,15. Найдите работу W_f против силы трения.

m = 5 kgθ = 25°μ = 0,15d = 13 mg = 9,81 m/s²

W_f = J

10.Работа и энергияСложная

Брусок массой 5 kg отпускают без начальной скорости на высоте 4,5 m на гладкой рампе. Внизу он пересекает шероховатую горизонтальную полосу длиной 4 m (μ = 0,15), а затем наезжает на пружину (k = 500 N/m) на гладкой поверхности. Найдите наибольшее сжатие x пружины.

m = 5 kgh = 4,5 mL = 4 mμ = 0,15k = 500 N/mg = 9,81 m/s²

x = cm

11.Импульс и столкновенияСредняя

Автомобиль массой 700 kg, движущийся со скоростью 13 m/s, налетает на стоящий автомобиль массой 800 kg, и они сцепляются. Какой процент ΔK/K исходной кинетической энергии теряется?

m₁ = 700 kgv₁ = 13 m/sm₂ = 800 kgv₂ = 0

ΔK/K = %

12.Импульс и столкновенияСложная

Автомобиль массой 1300 kg врезается в припаркованный автомобиль массой 1800 kg. Сцепившиеся автомобили скользят 22 m до остановки. Коэффициент трения скольжения между шинами и дорогой равен 0,7. Примите g = 9,81 m/s². Найдите скорость v₁ первого автомобиля непосредственно перед столкновением.

m₁ = 1300 kgm₂ = 1800 kgd = 22 mμ = 0,7g = 9,81 m/s²

v₁ = m/s

13.Пружины и маятникиСредняя

Груз массой 2,1 kg на пружине с k = 120 N/m оттягивают на 11 cm в положительном направлении и отпускают без начальной скорости при t = 0. Найдите его скорость v при t = 0,85 s (со знаком).

m = 2,1 kgk = 120 N/mA = 11 cmt = 0,85 s

v = m/s

14.Пружины и маятникиСложная

Груз массой 3,3 kg на пружине с k = 480 N/m оттягивают на 18 cm от положения равновесия и отпускают. Найдите его наибольшую скорость v_max.

m = 3,3 kgk = 480 N/mA = 18 cm

v_max = m/s

15.Волны, звук и оптикаСредняя

Труба, открытая с обоих концов имеет длину 0,4 m. Скорость звука равна 343 m/s. Найдите частоту f₄ для режима: гармоника номер 4.

v = 343 m/sn = 4L = 0,4 m

f₄ = Hz

16.Волны, звук и оптикаСложная

Свет с длиной волны 550 nm падает на две щели на расстоянии 0,5 mm друг от друга. Экран находится на расстоянии 1 m. Найдите расстояние y₄ от центральной светлой полосы до светлой полосы номер 4.

λ = 550 nmd = 0,5 mmL = 1 mm = 4

y₄ = mm

3Растворы

1.Кинематика

Ответ: s = 8,333 m

Движение с постоянным ускорением: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² и v² = v₀² + 2·a·s. Выберите уравнение, в которое входят три известные величины и искомая, и следите за знаками относительно одного положительного направления.

Единицы

v₀ = 36/3,6 = 10 m/s

Тормозной путь

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 10²/(2·6) = 8,333 m

Ответ

s = 8,333 m

2.Кинематика

Ответ: t = 3,982 s

Уравнение движения

Вверх — положительное направление, земля находится на h₀ ниже точки броска.

−30 = 12·t − ½·9,81·t²

4,905·t² − 12·t − 30 = 0

Решите квадратное уравнение

Физический смысл имеет только положительный корень.

t = (12 + √(12² + 2·9,81·30))/9,81 = 3,982 s

Ответ

t = 3,982 s

3.Законы Ньютона

Ответ: μ = 0,3978

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

Замедление

a = v₀²/(2d) = 8²/(2·8,2) = 3,902 m/s²

Коэффициент трения

μ·m·g = m·a → μ = a/g = 3,902/9,81 = 0,3978

Ответ

μ = 0,3978

4.Законы Ньютона

Ответ: T = 12,8 N

Второй закон Ньютона: равнодействующая сил, действующих на тело, равна произведению его массы на ускорение, ΣF = m·a. Нарисуйте расчётную схему, выберите положительное направление вдоль движения и сложите все силы в этом направлении: приложенные силы, трение μ·N против движения и составляющие силы тяжести.

Ускорение системы

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (14,71 − 0)/11,5 = 1,28 m/s²

Натяжение из уравнения для бруска на столе

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 10·1,28 + 0 = 12,8 N

Ответ

T = 12,8 N

5.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: v₀ = 39,2 m/s

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Выражаем v₀ из формулы дальности

v₀ = √(g·R/sin 2θ) = √(9,81·120/sin 130°) = 39,2 m/s

Ответ

v₀ = 39,2 m/s

6.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: t = 4,544 s

Движение тела, брошенного под углом: без сопротивления воздуха x = v_xt и y = h + v_yt − ½gt². Оба направления независимы, их связывает только общее время.

Разложите начальную скорость

Горизонтальная скорость постоянна; вертикальное движение имеет постоянное ускорение g = 9,81 m/s² вниз.

v_x = v₀·cos θ = 33·cos 20° = 31,01 m/s

v_y = v₀·sin θ = 33·sin 20° = 11,29 m/s

Время полёта

Решите y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 и возьмите положительный корень.

0 = 50 + 11,29·t − 4,905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (11,29 + √(127,4 + 981))/9,81 = 4,544 s

Ответ

t = 4,544 s

7.Движение по окружности

Ответ: T = 1,794 s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

Радиус окружности

r = L·sin θ = 1,6·sin 60° = 1,386 m

Скорость

Сила натяжения и сила тяжести вместе дают силу, направленную к центру: tan θ = v²/(r·g).

v = √(r·g·tan θ) = √(1,386·9,81·tan 60°) = 4,852 m/s

Период

T = 2π·r/v = 2π·1,386/4,852 = 1,794 s

Ответ

T = 1,794 s

8.Движение по окружности

Ответ: v_max = 41,52 m/s

Балансы сил

Трение направлено вниз по склону.

N·(sin θ + μ·cos θ) = m·v²/r

N·(cos θ − μ·sin θ) = m·g

Скорость

v = √(200·9,81·0,6732/0,766) = 41,52 m/s

Ответ

v_max = 41,52 m/s

(149,5 km/h)

9.Работа и энергия

Ответ: W_f = 86,69 J

Теорема об изменении кинетической энергии: изменение кинетической энергии равно работе всех сил. Если записать тяжесть и пружины как потенциальную энергию (mgh и ½kx²), получается баланс: начальная энергия = конечная энергия + энергия, потерянная на трение (μN·d).

Сила трения

N = mg·cos θ = 49,05·0,9063 = 44,45 N

F = μN = 0,15·44,45 = 6,668 N

Работа против трения

W_f = F·d = 6,668·13 = 86,69 J

Ответ

W_f = 86,69 J

10.Работа и энергия

Ответ: x = 87,47 cm

Энергия после шероховатой полосы

Рампа гладкая, поэтому энергию забирает только полоса.

mgh − μmgL = 49,05·(4,5 − 0,15·4) = 191,3 J

Наибольшее сжатие

½kx² = 191,3 → x = √(2·191,3/500) = 0,8747 m = 87,47 cm

Ответ

x = 87,47 cm

11.Импульс и столкновения

Ответ: ΔK/K = 53,33 %

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

Общая скорость

v′ = m₁·v₁/(m₁ + m₂) = 700·13/1500 = 6,067 m/s

Кинетическая энергия до и после

K_before = ½·700·13² = 59150 J

K_after = ½·1500·6,067² = 27603 J

Потерянная доля

ΔK/K = 31547/59150 = 53,33 %

Ответ

ΔK/K = 53,33 %

Потерянная энергия идёт на деформацию, теплоту и звук.

12.Импульс и столкновения

Ответ: v₁ = 41,45 m/s

Скорость после столкновения

V = √(2·μ·g·d) = √(2·0,7·9,81·22) = 17,38 m/s

Импульс при столкновении

m₁·v₁ = (m₁ + m₂)·V → v₁ = 3100·17,38/1300 = 41,45 m/s

Ответ

v₁ = 41,45 m/s

(149,2 km/h)

13.Пружины и маятники

Ответ: v = −0,1179 m/s

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Угловая частота

ω = √(120/2,1) = 7,559 rad/s

ω·t = 7,559·0,85 = 6,425 rad

Скорость

v = −A·ω·sin(ω·t) = −0,11·7,559·sin(6,425) = −0,1179 m/s

Ответ

v = −0,1179 m/s

14.Пружины и маятники

Ответ: v_max = 2,171 m/s

Гармонические колебания: груз массой m на пружине жёсткостью k колеблется с угловой частотой ω = √(k/m) и периодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математический маятник длиной L имеет период T = 2π·√(L/g). При амплитуде A наибольшая скорость равна A·ω, наибольшее ускорение — A·ω², а энергия — ½·k·A².

Угловая частота

ω = √(480/3,3) = 12,06 rad/s

Наибольшая скорость

v_max = A·ω = 0,18·12,06 = 2,171 m/s

Ответ

v_max = 2,171 m/s

15.Волны, звук и оптика

Ответ: f₄ = 1715 Hz

Стоячие волны и эффект Доплера: в струне, закреплённой с обоих концов, или в трубе, открытой с обоих концов, укладывается целое число полуволн: L = nλ/2, f_n = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … У трубы, закрытой с одного конца, на закрытом конце узел, а на открытом пучность: L = nλ/4 только при нечётных n, f_n = n·v/(4L). Когда источник или наблюдатель движутся вдоль линии между ними, f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s): верхние знаки берите для движения навстречу друг другу. Две волны почти равной частоты дают биения с частотой |f₁ − f₂|.

Длина волны этого режима

λ = 2L/n = 2·0,4/4 = 0,2 m

Частота

f = v/λ = 343/0,2 = 1715 Hz

Ответ

f₄ = 1715 Hz

16.Волны, звук и оптика

Ответ: y₄ = 4,4 mm

Интерференция и дифракция: свет от двух щелей на расстоянии d друг от друга приходит в точку на экране с разностью хода d·sin θ. Светлые полосы появляются там, где d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …). Для экрана на расстоянии L ≫ d m-я светлая полоса находится при y = mλL/d, а расстояние между полосами равно Δy = λL/d. У решётки с N штрихами на миллиметр d = 1/N, а резкие максимумы находятся при d·sin θ = mλ; так как sin θ ≤ 1, наивысший порядок — наибольшее целое число m ≤ d/λ. У одной щели шириной a тёмные полосы находятся при a·sin θ = mλ, m = ±1, ±2, …

Расстояние между полосами

Δy = λL/d = 550 × 10⁻⁹·1/(0,5 × 10⁻³) = 1,1 mm

Полоса номер 4

y₄ = 4·1,1 = 4,4 mm

Ответ

y₄ = 4,4 mm

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics