Физика 1: Механика: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (16) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Кинематика

Скорость: v = v₀ + a·t
Перемещение: s = v₀·t + ½·a·t²
Без времени: v² = v₀² + 2·a·s
Единицы: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Выпишите известное: v₀, v, a, t и s с единицами.
Выберите уравнение, содержащее три известных величины и неизвестную.
Выберите одно положительное направление и припишите противоположно направленным величинам знак минус.
Решите и проверьте, что ответ физически разумен.

Законы Ньютона

Второй закон: ΣF = m·a
Вес: W = m·g
Трение скольжения: F_f = μ·N
На наклонной плоскости: вдоль: m·g·sin θ, по нормали: m·g·cos θ

Метод

Нарисуйте расчётную схему со всеми силами, действующими на тело.
Выберите положительное направление вдоль движения.
Разложите силы на составляющие вдоль движения и перпендикулярно ему (на наклонной плоскости: m·g·sin θ вдоль, m·g·cos θ перпендикулярно плоскости).
Примените ΣF = m·a вдоль движения; трение равно μ·N и направлено против движения.

Движение тела, брошенного под углом

Составляющие: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положение: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальная высота: H = h + v_y²/(2g)
Дальность (ровная поверхность): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Разложите начальную скорость на составляющие: v_x = v₀·cos θ и v_y = v₀·sin θ.
По горизонтали скорость постоянна; по вертикали ускорение равно −g.
Найдите время полёта из вертикального движения.
Подставьте это время в горизонтальное движение, чтобы найти дальность.

Движение по окружности

Центростремительное ускорение: a = v²/r = ω²·r
Центростремительная сила: F = m·v²/r
Угловая скорость: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальный поворот, трение: v_max = √(μ·g·r)

Работа и энергия

Кинетическая энергия: E_k = ½mv²
Потенциальная энергия: E_p = mgh
Энергетический баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Работа силы трения: W = μ·N·d
Мощность: P = W/t

Импульс и столкновения

Импульс: p = m·v
Сохранение: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно неупругий удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Импульс силы: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Выберите положительное направление и припишите каждой скорости её знак.
Запишите полный импульс до удара: Σm·v.
При абсолютно неупругом ударе тела после него движутся вместе; при упругом сохраняется ещё и кинетическая энергия.
Приравняйте импульс до удара импульсу после и решите.

Пружины и маятники

Груз на пружине: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Угловая частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Наибольшие скорость и ускорение: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Энергия: E = ½·k·A²

Волны, звук и оптика

Скорость волны: v = fλ, T = 1/f
Струна: v = √(T/μ), μ = m/L
Уровень звука: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Точечный источник: I = P/(4πr²)
Стоячие волны: струна или труба, открытая с обоих концов, f_n = n·v/(2L); закрытая труба f_n = n·v/(4L), n нечётное
Эффект Доплера: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Показатель преломления: n = c/v, λ = λ₀/n
Закон Снеллиуса: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Критический угол: sin θ_c = n₂/n₁
Оптическое волокно: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Линзы и зеркала: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Двойная щель: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Решётка: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Одиночная щель: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Метод

Определите тип задачи: скорость волны, уровень звука, стоячая волна, эффект Доплера, преломление, линза или зеркало, либо интерференция.
Сначала запишите соотношение: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) или n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Переведите единицы: nm, mm и cm в m, и проверьте, отсчитываются ли углы от нормали.
Проверьте знаки и правдоподобие: у мнимого изображения dᵢ < 0, приближающийся источник звучит выше, у закрытой трубы только нечётные гармоники.

2Тренировочные задачи

1.КинематикаСредняя

Автомобиль, едущий со скоростью 50 km/h, тормозит с постоянным замедлением 4 m/s² до полной остановки. Найдите тормозной путь s.

v₀ = 50 km/ha = −4 m/s²v = 0

s = m

2.КинематикаСложная

Мяч A без начальной скорости падает с высоты 25 m. В тот же момент мяч B бросают вертикально вверх с земли прямо под ним со скоростью 14 m/s. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². Когда мячи встретятся? Найдите t.

H = 25 mv_0B = 14 m/sg = 9,81 m/s²

t = s

3.Законы НьютонаСредняя

Брусок массой 2 kg скользит вниз по гладкой наклонной плоскости под углом 30° к горизонту. Примите g = 9,81 m/s². Найдите ускорение a бруска вдоль плоскости.

m = 2 kgθ = 30°μ = 0g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Законы НьютонаСложная

Брусок массой 10 kg на горизонтальном столе соединён лёгкой нитью, перекинутой через блок без трения, с подвешенным грузом массой 3,5 kg. Коэффициент трения скольжения между бруском и столом 0,2. Примите g = 9,81 m/s². Найдите ускорение a системы.

m₁ = 10 kgm₂ = 3,5 kgμ = 0,2g = 9,81 m/s²

a = m/s²

5.Движение тела, брошенного под угломСредняя

Мяч бьют с горизонтальной поверхности со скоростью 22 m/s под углом 40° к горизонту в сторону стены, находящейся на расстоянии 10 m. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². На какой высоте y мяч пролетает у стены?

v₀ = 22 m/sθ = 40°x = 10 mg = 9,81 m/s²

y = m

6.Движение тела, брошенного под угломСложная

Мяч бросают с уровня земли со скоростью 35 m/s под углом 55° к горизонту. Он падает на плоскую крышу здания высотой 9 m, уже опускаясь. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². Найдите горизонтальное расстояние x от точки броска до места падения.

v₀ = 35 m/sθ = 55°h_roof = 9 mg = 9,81 m/s²

x = m

7.Движение по окружностиСредняя

Автомобиль проходит горизонтальный поворот радиусом 90 m. Коэффициент трения покоя между шинами и дорогой 0,5. Примите g = 9,81 m/s². Найдите наибольшую скорость v_max, с которой автомобиль может пройти поворот без заноса.

r = 90 mμ_s = 0,5g = 9,81 m/s²

v_max = m/s

8.Движение по окружностиСложная

Шарик на нити длиной 1 m вращают по вертикальной окружности. Примите g = 9,81 m/s². При какой наименьшей скорости v_min в верхней точке нить ещё остаётся натянутой?

r = 1 mg = 9,81 m/s²

v_min = m/s

9.Работа и энергияСредняя

Автомобиль, движущийся со скоростью 50 km/h по горизонтальной дороге, резко тормозит и с заблокированными колёсами скользит до остановки. Коэффициент трения скольжения между шинами и дорогой равен 0,8. Найдите тормозной путь d.

v = 50 km/hμ = 0,8g = 9,81 m/s²

d = m

10.Работа и энергияСложная

Брусок массой 5 kg начинает движение из состояния покоя у основания наклонной плоскости 35° и тянется вверх по ней постоянной силой 55 N, параллельной плоскости. Коэффициент трения скольжения равен 0,1. Найдите скорость v бруска после того, как он переместится на 7 m вверх по плоскости.

m = 5 kgF = 55 Nθ = 35°μ = 0,1d = 7 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

11.Импульс и столкновенияСредняя

Автомобиль массой 700 kg, движущийся со скоростью 6 m/s, налетает на стоящий автомобиль массой 1800 kg, и они сцепляются. Какой процент ΔK/K исходной кинетической энергии теряется?

m₁ = 700 kgv₁ = 6 m/sm₂ = 1800 kgv₂ = 0

ΔK/K = %

12.Импульс и столкновенияСложная

Автомобиль массой 1600 kg врезается в припаркованный автомобиль массой 1900 kg. Сцепившиеся автомобили скользят 10,5 m до остановки. Коэффициент трения скольжения между шинами и дорогой равен 0,75. Примите g = 9,81 m/s². Найдите скорость v₁ первого автомобиля непосредственно перед столкновением.

m₁ = 1600 kgm₂ = 1900 kgd = 10,5 mμ = 0,75g = 9,81 m/s²

v₁ = m/s

13.Пружины и маятникиСредняя

Длина математического маятника 2,5 m. Примите g = 9,81 m/s². Найдите его период T при малых колебаниях.

L = 2,5 mg = 9,81 m/s²

T = s

14.Пружины и маятникиСложная

Пуля массой 12 g, летящая со скоростью 350 m/s, попадает в брусок массой 4 kg, лежащий на поверхности без трения, и застревает в нём. Брусок прикреплён к горизонтальной пружине с k = 1800 N/m. Найдите амплитуду A возникающих колебаний в cm.

m = 12 gv = 350 m/sM = 4 kgk = 1800 N/m

A = cm

15.Волны, звук и оптикаСредняя

Источник частотой 440 Hz движется со скоростью 15 m/s от неподвижного наблюдателя. Скорость звука равна 343 m/s. Найдите частоту f′, которую слышит наблюдатель.

f = 440 Hzv = 343 m/sv_s = 15 m/s

f′ = Hz

16.Волны, звук и оптикаСложная

Две тонкие линзы имеют общую ось и находятся на расстоянии 60 cm друг от друга: линза 1 с f₁ = 12 cm и линза 2 с f₂ = −10 cm. Предмет находится в 20 cm перед линзой 1. Найдите положение d_i2 итогового изображения, отсчитываемое от линзы 2 (положительное за линзой 2, действительное — положительное).

f₁ = 12 cmf₂ = −10 cms = 60 cmd_o = 20 cm

d_i2 = cm

3Растворы

1.Кинематика

Ответ: s = 24,11 m

Движение с постоянным ускорением: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² и v² = v₀² + 2·a·s. Выберите уравнение, в которое входят три известные величины и искомая, и следите за знаками относительно одного положительного направления.

Единицы

v₀ = 50/3,6 = 13,89 m/s

Тормозной путь

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 13,89²/(2·4) = 24,11 m

Ответ

s = 24,11 m

2.Кинематика

Ответ: t = 1,786 s

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

Время встречи

Направление вверх положительно, земля — y = 0.

25 − ½g·t² = 14·t − ½g·t² → t = 25/14 = 1,786 s

Ответ

t = 1,786 s

3.Законы Ньютона

Ответ: a = 4,905 m/s²

Второй закон Ньютона: равнодействующая сил, действующих на тело, равна произведению его массы на ускорение, ΣF = m·a. Нарисуйте расчётную схему, выберите положительное направление вдоль движения и сложите все силы в этом направлении: приложенные силы, трение μ·N против движения и составляющие силы тяжести.

Силы вдоль плоскости

Вниз по плоскости — положительное направление.

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

Ускорение

a = 9,81·(sin 30° − 0·cos 30°) = 9,81·(0,5 − 0) = 4,905 m/s²

Ответ

a = 4,905 m/s²

4.Законы Ньютона

Ответ: a = 1,09 m/s²

Ускорение системы

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (34,34 − 19,62)/13,5 = 1,09 m/s²

Ответ

a = 1,09 m/s²

5.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: y = 6,664 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Время до стены

v_x = 22·cos 40° = 16,85 m/s

t = x/v_x = 10/16,85 = 0,5934 s

Высота в этот момент

y = 14,14·0,5934 − ½·9,81·0,5934² = 6,664 m

Ответ

y = 6,664 m

У стены мяч ещё поднимается.

6.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: x = 110,7 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Разложите начальную скорость

v_x = 20,08 m/s, v_y = 28,67 m/s

Время до падения на крышу

Больший корень: мяч опускается.

9 = 28,67·t − 4,905·t²

t = (28,67 + √(28,67² − 2·9,81·9))/9,81 = 5,512 s

Горизонтальное расстояние

x = v_x·t = 20,08·5,512 = 110,7 m

Ответ

x = 110,7 m

7.Движение по окружности

Ответ: v_max = 21,01 m/s

Равномерное движение по окружности: тело, движущееся со скоростью v по окружности радиуса r, имеет ускорение a = v²/r, направленное к центру, поэтому на него должна действовать направленная к центру равнодействующая сила F = m·v²/r. Эту силу создаёт что-то реальное: трение, натяжение, сила тяжести или сила нормальной реакции.

Трение создаёт центростремительную силу

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0,5·9,81·90) = 21,01 m/s

Ответ

v_max = 21,01 m/s (75,64 km/h)

8.Движение по окружности

Ответ: v_min = 3,132 m/s

Нулевое натяжение в верхней точке

m·g = m·v²/r → v = √(g·r) = √(9,81·1) = 3,132 m/s

Ответ

v_min = 3,132 m/s

9.Работа и энергия

Ответ: d = 12,29 m

Теорема об изменении кинетической энергии: изменение кинетической энергии равно работе всех сил. Если записать тяжесть и пружины как потенциальную энергию (mgh и ½kx²), получается баланс: начальная энергия = конечная энергия + энергия, потерянная на трение (μN·d).

Скорость в основных единицах

v = 50/3,6 = 13,89 m/s

Энергетический баланс

½mv² = μmg·d → d = v²/(2μg) = 13,89²/(2·0,8·9,81) = 12,29 m

Ответ

d = 12,29 m

При удвоении скорости тормозной путь увеличивается в четыре раза.

10.Работа и энергия

Ответ: v = 7,998 m/s

Силы вдоль плоскости

m·g = 5·9,81 = 49,05 N

mg·sin θ = 28,13 N

μ·mg·cos θ = 4,018 N

Работа и энергия

½mv² = (55 − 32,15)·7 = 159,9 J

v = √(2·159,9/5) = 7,998 m/s

Ответ

v = 7,998 m/s

11.Импульс и столкновения

Ответ: ΔK/K = 72 %

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

Общая скорость

v′ = m₁·v₁/(m₁ + m₂) = 700·6/2500 = 1,68 m/s

Кинетическая энергия до и после

K_before = ½·700·6² = 12600 J

K_after = ½·2500·1,68² = 3528 J

Потерянная доля

ΔK/K = 9072/12600 = 72 %

Ответ

ΔK/K = 72 %

Потерянная энергия идёт на деформацию, теплоту и звук.

12.Импульс и столкновения

Ответ: v₁ = 27,19 m/s

Скорость после столкновения

V = √(2·μ·g·d) = √(2·0,75·9,81·10,5) = 12,43 m/s

Импульс при столкновении

m₁·v₁ = (m₁ + m₂)·V → v₁ = 3500·12,43/1600 = 27,19 m/s

Ответ

v₁ = 27,19 m/s

(97,89 km/h)

13.Пружины и маятники

Ответ: T = 3,172 s

Гармонические колебания: груз массой m на пружине жёсткостью k колеблется с угловой частотой ω = √(k/m) и периодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математический маятник длиной L имеет период T = 2π·√(L/g). При амплитуде A наибольшая скорость равна A·ω, наибольшее ускорение — A·ω², а энергия — ½·k·A².

Период маятника

T = 2π·√(2,5/9,81) = 3,172 s

Ответ

T = 3,172 s

14.Пружины и маятники

Ответ: A = 4,942 cm

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Скорость после удара

V = m·v/(m + M) = 0,012·350/4,012 = 1,047 m/s

Угловая частота

ω = √(k/(m + M)) = √(1800/4,012) = 21,18 rad/s

Амплитуда

A = V/ω = 1,047/21,18 = 0,04942 m = 4,942 cm

Ответ

A = 4,942 cm

15.Волны, звук и оптика

Ответ: f′ = 421,6 Hz

Стоячие волны и эффект Доплера: в струне, закреплённой с обоих концов, или в трубе, открытой с обоих концов, укладывается целое число полуволн: L = nλ/2, f_n = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … У трубы, закрытой с одного конца, на закрытом конце узел, а на открытом пучность: L = nλ/4 только при нечётных n, f_n = n·v/(4L). Когда источник или наблюдатель движутся вдоль линии между ними, f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s): верхние знаки берите для движения навстречу друг другу. Две волны почти равной частоты дают биения с частотой |f₁ − f₂|.

Формула Доплера

f′ = f·(v − v_o)/(v + v_s) = 440·(343 − 0)/(343 + 15)

f′ = 421,6 Hz

Ответ

f′ = 421,6 Hz

16.Волны, звук и оптика

Ответ: d_i2 = −7,5 cm

Геометрическая оптика: на границе n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (закон Снеллиуса), углы отсчитываются от нормали, а n = c/v. При входе в более медленную среду луч приближается к нормали. Из более плотной среды (n₁ > n₂) за пределом критического угла θ_c = arcsin(n₂/n₁) весь свет отражается: полное внутреннее отражение. Тонкие линзы и сферические зеркала подчиняются уравнению 1/f = 1/d_o + 1/d_i с увеличением m = −d_i/d_o. Правило знаков: f > 0 для собирающей линзы и вогнутого зеркала (f = R/2), f < 0 для рассеивающей линзы и выпуклого зеркала; d_i > 0 для действительного изображения, d_i < 0 для мнимого, а m < 0 для перевёрнутого изображения.

Изображение линзы 1

1/d_i1 = 1/12 − 1/20 → d_i1 = 30 cm

Предмет для линзы 2

d_o2 = 60 − 30 = 30 cm

Итоговое изображение

1/d_i2 = 1/(−10) − 1/30 → d_i2 = −7,5 cm

Ответ

d_i2 = −7,5 cm

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics