Физика 1: Механика: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (16) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Кинематика

Скорость: v = v₀ + a·t
Перемещение: s = v₀·t + ½·a·t²
Без времени: v² = v₀² + 2·a·s
Единицы: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Выпишите известное: v₀, v, a, t и s с единицами.
Выберите уравнение, содержащее три известных величины и неизвестную.
Выберите одно положительное направление и припишите противоположно направленным величинам знак минус.
Решите и проверьте, что ответ физически разумен.

Законы Ньютона

Второй закон: ΣF = m·a
Вес: W = m·g
Трение скольжения: F_f = μ·N
На наклонной плоскости: вдоль: m·g·sin θ, по нормали: m·g·cos θ

Метод

Нарисуйте расчётную схему со всеми силами, действующими на тело.
Выберите положительное направление вдоль движения.
Разложите силы на составляющие вдоль движения и перпендикулярно ему (на наклонной плоскости: m·g·sin θ вдоль, m·g·cos θ перпендикулярно плоскости).
Примените ΣF = m·a вдоль движения; трение равно μ·N и направлено против движения.

Движение тела, брошенного под углом

Составляющие: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положение: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальная высота: H = h + v_y²/(2g)
Дальность (ровная поверхность): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Разложите начальную скорость на составляющие: v_x = v₀·cos θ и v_y = v₀·sin θ.
По горизонтали скорость постоянна; по вертикали ускорение равно −g.
Найдите время полёта из вертикального движения.
Подставьте это время в горизонтальное движение, чтобы найти дальность.

Движение по окружности

Центростремительное ускорение: a = v²/r = ω²·r
Центростремительная сила: F = m·v²/r
Угловая скорость: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальный поворот, трение: v_max = √(μ·g·r)

Работа и энергия

Кинетическая энергия: E_k = ½mv²
Потенциальная энергия: E_p = mgh
Энергетический баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Работа силы трения: W = μ·N·d
Мощность: P = W/t

Импульс и столкновения

Импульс: p = m·v
Сохранение: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно неупругий удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Импульс силы: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Выберите положительное направление и припишите каждой скорости её знак.
Запишите полный импульс до удара: Σm·v.
При абсолютно неупругом ударе тела после него движутся вместе; при упругом сохраняется ещё и кинетическая энергия.
Приравняйте импульс до удара импульсу после и решите.

Пружины и маятники

Груз на пружине: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Угловая частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Наибольшие скорость и ускорение: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Энергия: E = ½·k·A²

Волны, звук и оптика

Скорость волны: v = fλ, T = 1/f
Струна: v = √(T/μ), μ = m/L
Уровень звука: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Точечный источник: I = P/(4πr²)
Стоячие волны: струна или труба, открытая с обоих концов, f_n = n·v/(2L); закрытая труба f_n = n·v/(4L), n нечётное
Эффект Доплера: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Показатель преломления: n = c/v, λ = λ₀/n
Закон Снеллиуса: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Критический угол: sin θ_c = n₂/n₁
Оптическое волокно: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Линзы и зеркала: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Двойная щель: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Решётка: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Одиночная щель: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Метод

Определите тип задачи: скорость волны, уровень звука, стоячая волна, эффект Доплера, преломление, линза или зеркало, либо интерференция.
Сначала запишите соотношение: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) или n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Переведите единицы: nm, mm и cm в m, и проверьте, отсчитываются ли углы от нормали.
Проверьте знаки и правдоподобие: у мнимого изображения dᵢ < 0, приближающийся источник звучит выше, у закрытой трубы только нечётные гармоники.

2Тренировочные задачи

1.КинематикаСредняя

Самолёт трогается с места и равноускоренно разгоняется с ускорением 2 m/s² по взлётной полосе. Найдите его скорость v через 1300 m.

v₀ = 0a = 2 m/s²s = 1300 m

v = m/s

2.КинематикаСложная

Модель ракеты запускают вертикально вверх из состояния покоя. Двигатель сообщает ей постоянное ускорение 38 m/s², направленное вверх, в течение 1 s, после чего двигатель выключается и ракета движется свободно. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². Найдите наибольшую высоту h_max, которой достигает ракета.

a = 38 m/s²t₁ = 1 sg = 9,81 m/s²

h_max = m

3.Законы НьютонаСредняя

Брусок массой 5 kg скользит вниз по наклонной плоскости под углом 35° к горизонту. Коэффициент трения скольжения 0,3. Примите g = 9,81 m/s². Найдите ускорение a бруска вдоль плоскости.

m = 5 kgθ = 35°μ = 0,3g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Законы НьютонаСложная

Брусок массой 1,5 kg на горизонтальном столе соединён лёгкой нитью, перекинутой через блок без трения, с подвешенным грузом массой 3 kg. Трения о стол нет. Примите g = 9,81 m/s². Найдите силу натяжения T нити.

m₁ = 1,5 kgm₂ = 3 kgμ = 0g = 9,81 m/s²

T = N

5.Движение тела, брошенного под угломСредняя

Мяч бросают с горизонтальной поверхности со скоростью 18 m/s, и он должен упасть на расстоянии 20 m. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². Найдите меньший из двух возможных углов броска θ.

v₀ = 18 m/sR = 20 mg = 9,81 m/s²

θ = °

6.Движение тела, брошенного под угломСложная

Мяч бросают со скоростью 30 m/s под углом 50° к горизонту с вершины обрыва высотой 15 m. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². Найдите скорость v, с которой он ударяется о землю.

v₀ = 30 m/sθ = 50°h = 15 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

7.Движение по окружностиСредняя

Автомобиль проходит горизонтальный поворот радиусом 95 m. Коэффициент трения покоя между шинами и дорогой 0,3. Примите g = 9,81 m/s². Найдите наибольшую скорость v_max, с которой автомобиль может пройти поворот без заноса.

r = 95 mμ_s = 0,3g = 9,81 m/s²

v_max = m/s

8.Движение по окружностиСложная

Небольшую тележку отпускают без начальной скорости на трассе без трения, и она въезжает в вертикальную петлю радиусом 5,5 m. С какой наименьшей высоты h_min над нижней точкой петли она должна стартовать, чтобы удержаться на трассе в верхней точке петли?

R = 5,5 mv₀ = 0

h_min = m

9.Работа и энергияСредняя

Игрушечная пусковая установка имеет вертикальную пружину жёсткостью 400 N/m. На неё кладут мяч массой 0,15 kg, сжимают пружину на 6 cm и отпускают. Пренебрегая сопротивлением воздуха и массой пружины, найдите высоту h, на которую поднимется мяч, отсчитывая от его положения при сжатой пружине.

m = 0,15 kgk = 400 N/mx = 6 cmg = 9,81 m/s²

h = m

10.Работа и энергияСложная

Брусок массой 10 kg начинает движение из состояния покоя у основания наклонной плоскости 25° и тянется вверх по ней постоянной силой 75 N, параллельной плоскости. Коэффициент трения скольжения равен 0,2. Найдите скорость v бруска после того, как он переместится на 2 m вверх по плоскости.

m = 10 kgF = 75 Nθ = 25°μ = 0,2d = 2 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

11.Импульс и столкновенияСредняя

Автомобиль массой 900 kg, движущийся со скоростью 24 m/s, налетает на стоящий автомобиль массой 1400 kg, и они сцепляются. Какая кинетическая энергия ΔK теряется при столкновении?

m₁ = 900 kgv₁ = 24 m/sm₂ = 1400 kgv₂ = 0

ΔK = J

12.Импульс и столкновенияСложная

Пуля массой 8 g, выпущенная горизонтально, попадает в брусок массой 5 kg, подвешенный на лёгких нитях длиной 1,7 m, и застревает в нём. Нити отклоняются на наибольший угол 20° от вертикали. Примите g = 9,81 m/s². Найдите скорость v пули до удара.

m = 8 gM = 5 kgL = 1,7 mθ = 20°g = 9,81 m/s²

v = m/s

13.Пружины и маятникиСредняя

Какой длины должен быть математический маятник, чтобы его период был 1,4 s? Примите g = 9,81 m/s². Найдите L.

T = 1,4 sg = 9,81 m/s²

L = m

14.Пружины и маятникиСложная

Груз массой 2,1 kg на пружине с k = 160 N/m оттягивают на 13 cm от положения равновесия и отпускают. Найдите его наибольшую скорость v_max.

m = 2,1 kgk = 160 N/mA = 13 cm

v_max = m/s

15.Волны, звук и оптикаСредняя

Предмет высотой 2 cm находится в 20 cm перед тонкой собирающей линзой с фокусным расстоянием 8 cm. Найдите высоту изображения h_i (отрицательную для перевёрнутого изображения).

h_o = 2 cmd_o = 20 cmf = 8 cm

h_i = cm

16.Волны, звук и оптикаСложная

У оптического волокна сердцевина с n₁ = 1,48 и оболочка с n₂ = 1,45. Найдите его числовую апертуру NA.

n₁ = 1,48n₂ = 1,45

NA =

3Растворы

1.Кинематика

Ответ: v = 72,11 m/s

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

Скорость после пройденного пути

v = √(2·a·s) = √(2·2·1300) = 72,11 m/s

Ответ

v = 72,11 m/s

(259,6 km/h)

2.Кинематика

Ответ: h_max = 92,6 m

Активный участок

v₁ = 38·1 = 38 m/s

h₁ = ½·38·1² = 19 m

Свободный полёт вверх

В наивысшей точке скорость равна нулю.

Δh = v₁²/(2g) = 38²/(2·9,81) = 73,6 m

h_max = 19 + 73,6 = 92,6 m

Ответ

h_max = 92,6 m

3.Законы Ньютона

Ответ: a = 3,216 m/s²

Второй закон Ньютона: равнодействующая сил, действующих на тело, равна произведению его массы на ускорение, ΣF = m·a. Нарисуйте расчётную схему, выберите положительное направление вдоль движения и сложите все силы в этом направлении: приложенные силы, трение μ·N против движения и составляющие силы тяжести.

Силы вдоль плоскости

Вниз по плоскости — положительное направление.

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

Ускорение

a = 9,81·(sin 35° − 0,3·cos 35°) = 9,81·(0,5736 − 0,2457) = 3,216 m/s²

Ответ

a = 3,216 m/s²

4.Законы Ньютона

Ответ: T = 9,81 N

Ускорение системы

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (29,43 − 0)/4,5 = 6,54 m/s²

Натяжение из уравнения для бруска на столе

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 1,5·6,54 + 0 = 9,81 N

Ответ

T = 9,81 N

5.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: θ = 18,63 °

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Формула дальности

R = v₀²·sin 2θ/g → sin 2θ = 9,81·20/18² = 0,6056

Угол

2θ = 37,27° → θ = 18,63°

Ответ

θ = 18,63°

Второе решение: 90° − θ = 71,37°.

6.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: v = 34,56 m/s

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Разложите начальную скорость

v_x = 30·cos 50° = 19,28 m/s

v_y0 = 30·sin 50° = 22,98 m/s

Вертикальная скорость при ударе

Закон сохранения энергии или v² = v₀² + 2as по вертикали.

v_y = √(22,98² + 2·9,81·15) = 28,68 m/s

Скорость при ударе

v = √(19,28² + 28,68²) = 34,56 m/s

Ответ

v = 34,56 m/s

Проверка по энергии: v² = v₀² + 2gh.

7.Движение по окружности

Ответ: v_max = 16,72 m/s

Равномерное движение по окружности: тело, движущееся со скоростью v по окружности радиуса r, имеет ускорение a = v²/r, направленное к центру, поэтому на него должна действовать направленная к центру равнодействующая сила F = m·v²/r. Эту силу создаёт что-то реальное: трение, натяжение, сила тяжести или сила нормальной реакции.

Трение создаёт центростремительную силу

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0,3·9,81·95) = 16,72 m/s

Ответ

v_max = 16,72 m/s (60,19 km/h)

8.Движение по окружности

Ответ: h_min = 13,75 m

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

Условие в верхней точке

m·g = m·v²/R → v² = g·R

Закон сохранения энергии

g·h = g·2R + ½·g·R → h = 2,5·R = 2,5·5,5 = 13,75 m

Ответ

h_min = 13,75 m

9.Работа и энергия

Ответ: h = 0,4893 m

Теорема об изменении кинетической энергии: изменение кинетической энергии равно работе всех сил. Если записать тяжесть и пружины как потенциальную энергию (mgh и ½kx²), получается баланс: начальная энергия = конечная энергия + энергия, потерянная на трение (μN·d).

Энергия пружины

x = 6 cm = 0,06 m

½kx² = ½·400·0,06² = 0,72 J

Высота

m·g = 0,15·9,81 = 1,472 N

h = ½kx²/(mg) = 0,72/1,472 = 0,4893 m

Ответ

h = 0,4893 m

10.Работа и энергия

Ответ: v = 2,511 m/s

Силы вдоль плоскости

m·g = 10·9,81 = 98,1 N

mg·sin θ = 41,46 N

μ·mg·cos θ = 17,78 N

Работа и энергия

½mv² = (75 − 59,24)·2 = 31,52 J

v = √(2·31,52/10) = 2,511 m/s

Ответ

v = 2,511 m/s

11.Импульс и столкновения

Ответ: ΔK = 157774 J

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

Общая скорость

v′ = m₁·v₁/(m₁ + m₂) = 900·24/2300 = 9,391 m/s

Кинетическая энергия до и после

K_before = ½·900·24² = 259200 J

K_after = ½·2300·9,391² = 101426 J

Потерянная энергия

ΔK = 259200 − 101426 = 157774 J

Ответ

ΔK = 157774 J

Потерянная энергия идёт на деформацию, теплоту и звук.

12.Импульс и столкновения

Ответ: v = 887,8 m/s

Подъём бруска

h = L·(1 − cos θ) = 1,7·(1 − cos 20°) = 0,1025 m

Скорость после удара

V = √(2·9,81·0,1025) = 1,418 m/s

Столкновение

v = (m + M)·V/m = 5,008·1,418/0,008 = 887,8 m/s

Ответ

v = 887,8 m/s

13.Пружины и маятники

Ответ: L = 0,487 m

Гармонические колебания: груз массой m на пружине жёсткостью k колеблется с угловой частотой ω = √(k/m) и периодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математический маятник длиной L имеет период T = 2π·√(L/g). При амплитуде A наибольшая скорость равна A·ω, наибольшее ускорение — A·ω², а энергия — ½·k·A².

Выразите длину

L = g·(T/2π)² = 9,81·(1,4/2π)² = 0,487 m

Ответ

L = 0,487 m

14.Пружины и маятники

Ответ: v_max = 1,135 m/s

Угловая частота

ω = √(160/2,1) = 8,729 rad/s

Наибольшая скорость

v_max = A·ω = 0,13·8,729 = 1,135 m/s

Ответ

v_max = 1,135 m/s

15.Волны, звук и оптика

Ответ: h_i = −1,333 cm

Геометрическая оптика: на границе n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (закон Снеллиуса), углы отсчитываются от нормали, а n = c/v. При входе в более медленную среду луч приближается к нормали. Из более плотной среды (n₁ > n₂) за пределом критического угла θ_c = arcsin(n₂/n₁) весь свет отражается: полное внутреннее отражение. Тонкие линзы и сферические зеркала подчиняются уравнению 1/f = 1/d_o + 1/d_i с увеличением m = −d_i/d_o. Правило знаков: f > 0 для собирающей линзы и вогнутого зеркала (f = R/2), f < 0 для рассеивающей линзы и выпуклого зеркала; d_i > 0 для действительного изображения, d_i < 0 для мнимого, а m < 0 для перевёрнутого изображения.

Формула тонкой линзы

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/8 − 1/20

d_i = 13,33 cm

Увеличение и высота

m = −13,33/20 = −0,6667

h_i = −0,6667·2 = −1,333 cm

Ответ

h_i = −1,333 cm

16.Волны, звук и оптика

Ответ: NA = 0,2965

Критический угол на оболочке

sin θc = 1,45/1,48 = 0,9797 → θc = 78,44°

Числовая апертура

NA = √(1,48² − 1,45²) = 0,2965

Ответ

NA = 0,2965

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics