Физика 1: Механика: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (16) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Кинематика

Скорость: v = v₀ + a·t
Перемещение: s = v₀·t + ½·a·t²
Без времени: v² = v₀² + 2·a·s
Единицы: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Выпишите известное: v₀, v, a, t и s с единицами.
Выберите уравнение, содержащее три известных величины и неизвестную.
Выберите одно положительное направление и припишите противоположно направленным величинам знак минус.
Решите и проверьте, что ответ физически разумен.

Законы Ньютона

Второй закон: ΣF = m·a
Вес: W = m·g
Трение скольжения: F_f = μ·N
На наклонной плоскости: вдоль: m·g·sin θ, по нормали: m·g·cos θ

Метод

Нарисуйте расчётную схему со всеми силами, действующими на тело.
Выберите положительное направление вдоль движения.
Разложите силы на составляющие вдоль движения и перпендикулярно ему (на наклонной плоскости: m·g·sin θ вдоль, m·g·cos θ перпендикулярно плоскости).
Примените ΣF = m·a вдоль движения; трение равно μ·N и направлено против движения.

Движение тела, брошенного под углом

Составляющие: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положение: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальная высота: H = h + v_y²/(2g)
Дальность (ровная поверхность): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Разложите начальную скорость на составляющие: v_x = v₀·cos θ и v_y = v₀·sin θ.
По горизонтали скорость постоянна; по вертикали ускорение равно −g.
Найдите время полёта из вертикального движения.
Подставьте это время в горизонтальное движение, чтобы найти дальность.

Движение по окружности

Центростремительное ускорение: a = v²/r = ω²·r
Центростремительная сила: F = m·v²/r
Угловая скорость: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальный поворот, трение: v_max = √(μ·g·r)

Работа и энергия

Кинетическая энергия: E_k = ½mv²
Потенциальная энергия: E_p = mgh
Энергетический баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Работа силы трения: W = μ·N·d
Мощность: P = W/t

Импульс и столкновения

Импульс: p = m·v
Сохранение: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно неупругий удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Импульс силы: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Выберите положительное направление и припишите каждой скорости её знак.
Запишите полный импульс до удара: Σm·v.
При абсолютно неупругом ударе тела после него движутся вместе; при упругом сохраняется ещё и кинетическая энергия.
Приравняйте импульс до удара импульсу после и решите.

Пружины и маятники

Груз на пружине: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Угловая частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Наибольшие скорость и ускорение: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Энергия: E = ½·k·A²

Волны, звук и оптика

Скорость волны: v = fλ, T = 1/f
Струна: v = √(T/μ), μ = m/L
Уровень звука: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Точечный источник: I = P/(4πr²)
Стоячие волны: струна или труба, открытая с обоих концов, f_n = n·v/(2L); закрытая труба f_n = n·v/(4L), n нечётное
Эффект Доплера: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Показатель преломления: n = c/v, λ = λ₀/n
Закон Снеллиуса: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Критический угол: sin θ_c = n₂/n₁
Оптическое волокно: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Линзы и зеркала: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Двойная щель: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Решётка: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Одиночная щель: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Метод

Определите тип задачи: скорость волны, уровень звука, стоячая волна, эффект Доплера, преломление, линза или зеркало, либо интерференция.
Сначала запишите соотношение: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) или n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Переведите единицы: nm, mm и cm в m, и проверьте, отсчитываются ли углы от нормали.
Проверьте знаки и правдоподобие: у мнимого изображения dᵢ < 0, приближающийся источник звучит выше, у закрытой трубы только нечётные гармоники.

2Тренировочные задачи

1.КинематикаСредняя

Автомобиль, едущий со скоростью 60 km/h, тормозит с постоянным замедлением 7,5 m/s² до полной остановки. Найдите тормозной путь s.

v₀ = 60 km/ha = −7,5 m/s²v = 0

s = m

2.КинематикаСложная

Мяч бросают вертикально вверх со скоростью 12 m/s с края крыши на высоте 5 m над землёй. Сопротивлением воздуха пренебречь, g = 9,81 m/s². Найдите наибольшую высоту h_max над землёй.

v₀ = 12 m/sh₀ = 5 mg = 9,81 m/s²

h_max = m

3.Законы НьютонаСредняя

Брусок массой 13 kg скользит вниз по наклонной плоскости под углом 30° к горизонту. Коэффициент трения скольжения 0,25. Примите g = 9,81 m/s². Найдите ускорение a бруска вдоль плоскости.

m = 13 kgθ = 30°μ = 0,25g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Законы НьютонаСложная

Брусок массой 1 kg на горизонтальном столе соединён лёгкой нитью, перекинутой через блок без трения, с подвешенным грузом массой 0,5 kg. Коэффициент трения скольжения между бруском и столом 0,2. Примите g = 9,81 m/s². Найдите силу натяжения T нити.

m₁ = 1 kgm₂ = 0,5 kgμ = 0,2g = 9,81 m/s²

T = N

5.Движение тела, брошенного под угломСредняя

Мяч бьют с горизонтальной поверхности со скоростью 20 m/s под углом 25° к горизонту в сторону стены, находящейся на расстоянии 6 m. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². На какой высоте y мяч пролетает у стены?

v₀ = 20 m/sθ = 25°x = 6 mg = 9,81 m/s²

y = m

6.Движение тела, брошенного под угломСложная

Мяч бросают под углом 60° к горизонту с вершины скалы высотой 45 m. Сопротивлением воздуха пренебречь. Найдите горизонтальное расстояние x, которое мяч пролетает до удара о землю.

v₀ = 31 m/sθ = 60°h = 45 mg = 9,81 m/s²

x = m

7.Движение по окружностиСредняя

Поворот радиусом 270 m имеет вираж с уклоном 5°. С какой скоростью v автомобиль может пройти его вообще без участия трения? Примите g = 9,81 m/s².

r = 270 mθ = 5°g = 9,81 m/s²

v = m/s

8.Движение по окружностиСложная

Шарик массой 0,8 kg на нити длиной 0,6 m вращают по вертикальной окружности. В нижней точке его скорость 8 m/s. Примите g = 9,81 m/s². Найдите силу натяжения T нити в нижней точке.

m = 0,8 kgr = 0,6 mv = 8 m/sg = 9,81 m/s²

T = N

9.Работа и энергияСредняя

Шарик массой 0,2 kg висит на лёгкой нити длиной 3 m. Его отводят в сторону, пока нить не составит 50° с вертикалью, и отпускают без начальной скорости. Найдите силу натяжения T нити в момент прохождения шариком нижней точки.

m = 0,2 kgL = 3 mθ = 50°g = 9,81 m/s²

T = N

10.Работа и энергияСложная

Пружину жёсткостью 5000 N/m у основания наклонной плоскости 35° сжимают на 5 cm бруском массой 1 kg и отпускают. Коэффициент трения скольжения между бруском и плоскостью равен 0,1. Какое расстояние d пройдёт брусок вверх по плоскости от точки отпускания до остановки? (Пренебрегите коротким участком, на котором толкает пружина, т. е. учитывайте трение и силу тяжести на всём расстоянии d.)

m = 1 kgk = 5000 N/mx = 5 cmθ = 35°μ = 0,1g = 9,81 m/s²

d = m

11.Импульс и столкновенияСредняя

Снаряд массой 19 kg, движущийся горизонтально со скоростью 32 m/s, разрывается на два осколка, движущихся вдоль той же прямой. Осколок массой 14 kg продолжает движение вперёд со скоростью 89 m/s. Найдите скорость v′₂ осколка массой 5 kg (положительна в исходном направлении).

M = 19 kgu = 32 m/sm₁ = 14 kgv′₁ = 89 m/sm₂ = 5 kg

v′₂ = m/s

12.Импульс и столкновенияСложная

Мяч массой 0,3 kg ударяется о стену со скоростью 28 m/s и отскакивает прямо назад со скоростью 15 m/s. Контакт длится 50 ms. Найдите модуль импульса силы J, который стена сообщает мячу.

m = 0,3 kgv_in = 28 m/sv_out = 15 m/sΔt = 50 ms

J = N·s

13.Пружины и маятникиСредняя

Длина математического маятника 0,8 m. Примите g = 9,81 m/s². Найдите его период T при малых колебаниях.

L = 0,8 mg = 9,81 m/s²

T = s

14.Пружины и маятникиСложная

Груз массой 1,5 kg на пружине с k = 40 N/m оттягивают на 11 cm от положения равновесия и отпускают. Найдите полную энергию E колебаний.

m = 1,5 kgk = 40 N/mA = 11 cm

E = J

15.Волны, звук и оптикаСредняя

Предмет находится в 30 cm перед тонкой собирающей линзой с фокусным расстоянием 12 cm. Найдите увеличение m (отрицательное для перевёрнутого изображения).

d_o = 30 cmf = 12 cm

m =

16.Волны, звук и оптикаСложная

У оптического волокна сердцевина с n₁ = 1,5 и оболочка с n₂ = 1,42. Найдите наибольший угол θ_a к оси волокна, при котором свет из воздуха может войти в торец волокна и всё ещё направляться полным внутренним отражением.

n₁ = 1,5n₂ = 1,42n₀ = 1,00

θ_a = °

3Растворы

1.Кинематика

Ответ: s = 18,52 m

Движение с постоянным ускорением: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² и v² = v₀² + 2·a·s. Выберите уравнение, в которое входят три известные величины и искомая, и следите за знаками относительно одного положительного направления.

Единицы

v₀ = 60/3,6 = 16,67 m/s

Тормозной путь

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 16,67²/(2·7,5) = 18,52 m

Ответ

s = 18,52 m

2.Кинематика

Ответ: h_max = 12,34 m

Подъём над крышей

0 = v₀² − 2·g·Δh → Δh = 12²/(2·9,81) = 7,339 m

Высота над землёй

h_max = 5 + 7,339 = 12,34 m

Ответ

h_max = 12,34 m

3.Законы Ньютона

Ответ: a = 2,781 m/s²

Второй закон Ньютона: равнодействующая сил, действующих на тело, равна произведению его массы на ускорение, ΣF = m·a. Нарисуйте расчётную схему, выберите положительное направление вдоль движения и сложите все силы в этом направлении: приложенные силы, трение μ·N против движения и составляющие силы тяжести.

Силы вдоль плоскости

Вниз по плоскости — положительное направление.

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

Ускорение

a = 9,81·(sin 30° − 0,25·cos 30°) = 9,81·(0,5 − 0,2165) = 2,781 m/s²

Ответ

a = 2,781 m/s²

4.Законы Ньютона

Ответ: T = 3,924 N

Ускорение системы

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (4,905 − 1,962)/1,5 = 1,962 m/s²

Натяжение из уравнения для бруска на столе

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 1·1,962 + 1,962 = 3,924 N

Ответ

T = 3,924 N

5.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: y = 2,26 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Время до стены

v_x = 20·cos 25° = 18,13 m/s

t = x/v_x = 6/18,13 = 0,331 s

Высота в этот момент

y = 8,452·0,331 − ½·9,81·0,331² = 2,26 m

Ответ

y = 2,26 m

У стены мяч ещё поднимается.

6.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: x = 105,7 m

Движение тела, брошенного под углом: без сопротивления воздуха x = v_xt и y = h + v_yt − ½gt². Оба направления независимы, их связывает только общее время.

Разложите начальную скорость

Горизонтальная скорость постоянна; вертикальное движение имеет постоянное ускорение g = 9,81 m/s² вниз.

v_x = v₀·cos θ = 31·cos 60° = 15,5 m/s

v_y = v₀·sin θ = 31·sin 60° = 26,85 m/s

Время полёта

Решите y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 и возьмите положительный корень.

0 = 45 + 26,85·t − 4,905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (26,85 + √(720,8 + 882,9))/9,81 = 6,819 s

Горизонтальное расстояние

x = v_x·t = 15,5·6,819 = 105,7 m

Ответ

x = 105,7 m

7.Движение по окружности

Ответ: v = 15,22 m/s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

Баланс сил

N·cos θ = m·g, N·sin θ = m·v²/r → tan θ = v²/(r·g)

Скорость

v = √(r·g·tan θ) = √(270·9,81·tan 5°) = 15,22 m/s

Ответ

v = 15,22 m/s

(54,8 km/h)

8.Движение по окружности

Ответ: T = 93,18 N

Равномерное движение по окружности: тело, движущееся со скоростью v по окружности радиуса r, имеет ускорение a = v²/r, направленное к центру, поэтому на него должна действовать направленная к центру равнодействующая сила F = m·v²/r. Эту силу создаёт что-то реальное: трение, натяжение, сила тяжести или сила нормальной реакции.

Силы в нижней точке

К центру (вверх) — положительное направление.

T − m·g = m·v²/r

T = 0,8·9,81 + 0,8·8²/0,6 = 7,848 + 85,33 = 93,18 N

Ответ

T = 93,18 N

9.Работа и энергия

Ответ: T = 3,364 N

Теорема об изменении кинетической энергии: изменение кинетической энергии равно работе всех сил. Если записать тяжесть и пружины как потенциальную энергию (mgh и ½kx²), получается баланс: начальная энергия = конечная энергия + энергия, потерянная на трение (μN·d). При движении по окружности равнодействующая, направленная к центру, должна быть равна mv²/r.

Скорость в нижней точке

v² = 2gL(1 − cos θ) = 2·9,81·3·(1 − cos 50°) = 21,03 m²/s²

Силы в нижней точке

m·g = 0,2·9,81 = 1,962 N

T = mg + mv²/L = 1,962 + 0,2·21,03/3 = 3,364 N

Ответ

T = 3,364 N

Проверка: T = mg(3 − 2cos θ) = 3,364 N.

10.Работа и энергия

Ответ: d = 0,9719 m

Энергия пружины

x = 5 cm = 0,05 m

½kx² = ½·5000·0,05² = 6,25 J

Энергетический баланс вдоль плоскости

m·g = 1·9,81 = 9,81 N

½kx² = mg·d·(sin θ + μ·cos θ)

d = 6,25/(9,81·(0,5736 + 0,1·0,8192)) = 0,9719 m

Ответ

d = 0,9719 m

11.Импульс и столкновения

Ответ: v′₂ = −127,6 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

Импульс до удара

p = M·u = 19·32 = 608 kg·m/s

Импульс после удара

608 = 14·89 + 5·v′₂

v′₂ = (608 − 1246)/5 = −127,6 m/s

Ответ

v′₂ = −127,6 m/s

Знак минус означает, что второй осколок летит назад.

12.Импульс и столкновения

Ответ: J = 12,9 N·s

Закон сохранения импульса: если во время столкновения внешние силы не действуют, суммарный импульс Σm·v до столкновения равен суммарному импульсу после. Скорость имеет направление, поэтому выберите положительное направление и скорости, направленные в противоположную сторону, берите со знаком минус. При упругом столкновении сохраняется и кинетическая энергия; при абсолютно неупругом тела слипаются.

Изменение импульса

J = m·Δv = 0,3·(15 + 28) = 12,9 N·s

Ответ

J = 12,9 N·s

13.Пружины и маятники

Ответ: T = 1,794 s

Гармонические колебания: груз массой m на пружине жёсткостью k колеблется с угловой частотой ω = √(k/m) и периодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математический маятник длиной L имеет период T = 2π·√(L/g). При амплитуде A наибольшая скорость равна A·ω, наибольшее ускорение — A·ω², а энергия — ½·k·A².

Период маятника

T = 2π·√(0,8/9,81) = 1,794 s

Ответ

T = 1,794 s

14.Пружины и маятники

Ответ: E = 0,242 J

Угловая частота

ω = √(40/1,5) = 5,164 rad/s

Энергия

E = ½·k·A² = ½·40·0,11² = 0,242 J

Ответ

E = 0,242 J

15.Волны, звук и оптика

Ответ: m = −0,6667

Геометрическая оптика: на границе n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (закон Снеллиуса), углы отсчитываются от нормали, а n = c/v. При входе в более медленную среду луч приближается к нормали. Из более плотной среды (n₁ > n₂) за пределом критического угла θ_c = arcsin(n₂/n₁) весь свет отражается: полное внутреннее отражение. Тонкие линзы и сферические зеркала подчиняются уравнению 1/f = 1/d_o + 1/d_i с увеличением m = −d_i/d_o. Правило знаков: f > 0 для собирающей линзы и вогнутого зеркала (f = R/2), f < 0 для рассеивающей линзы и выпуклого зеркала; d_i > 0 для действительного изображения, d_i < 0 для мнимого, а m < 0 для перевёрнутого изображения.

Формула тонкой линзы

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/12 − 1/30

d_i = 20 cm

Увеличение

m = −d_i/d_o = −20/30 = −0,6667

Ответ

m = −0,6667

16.Волны, звук и оптика

Ответ: θ_a = 28,9 °

Критический угол на оболочке

sin θc = 1,42/1,5 = 0,9467 → θc = 71,2°

Числовая апертура

NA = √(1,5² − 1,42²) = 0,4833

Угол приёма

θ_a = arcsin(0,4833) = 28,9°

Ответ

θ_a = 28,9°

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics