Физика 1: Механика: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (16) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Кинематика

Скорость: v = v₀ + a·t
Перемещение: s = v₀·t + ½·a·t²
Без времени: v² = v₀² + 2·a·s
Единицы: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Выпишите известное: v₀, v, a, t и s с единицами.
Выберите уравнение, содержащее три известных величины и неизвестную.
Выберите одно положительное направление и припишите противоположно направленным величинам знак минус.
Решите и проверьте, что ответ физически разумен.

Законы Ньютона

Второй закон: ΣF = m·a
Вес: W = m·g
Трение скольжения: F_f = μ·N
На наклонной плоскости: вдоль: m·g·sin θ, по нормали: m·g·cos θ

Метод

Нарисуйте расчётную схему со всеми силами, действующими на тело.
Выберите положительное направление вдоль движения.
Разложите силы на составляющие вдоль движения и перпендикулярно ему (на наклонной плоскости: m·g·sin θ вдоль, m·g·cos θ перпендикулярно плоскости).
Примените ΣF = m·a вдоль движения; трение равно μ·N и направлено против движения.

Движение тела, брошенного под углом

Составляющие: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положение: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальная высота: H = h + v_y²/(2g)
Дальность (ровная поверхность): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Разложите начальную скорость на составляющие: v_x = v₀·cos θ и v_y = v₀·sin θ.
По горизонтали скорость постоянна; по вертикали ускорение равно −g.
Найдите время полёта из вертикального движения.
Подставьте это время в горизонтальное движение, чтобы найти дальность.

Движение по окружности

Центростремительное ускорение: a = v²/r = ω²·r
Центростремительная сила: F = m·v²/r
Угловая скорость: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальный поворот, трение: v_max = √(μ·g·r)

Работа и энергия

Кинетическая энергия: E_k = ½mv²
Потенциальная энергия: E_p = mgh
Энергетический баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Работа силы трения: W = μ·N·d
Мощность: P = W/t

Импульс и столкновения

Импульс: p = m·v
Сохранение: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно неупругий удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Импульс силы: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Выберите положительное направление и припишите каждой скорости её знак.
Запишите полный импульс до удара: Σm·v.
При абсолютно неупругом ударе тела после него движутся вместе; при упругом сохраняется ещё и кинетическая энергия.
Приравняйте импульс до удара импульсу после и решите.

Пружины и маятники

Груз на пружине: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Угловая частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Наибольшие скорость и ускорение: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Энергия: E = ½·k·A²

Волны, звук и оптика

Скорость волны: v = fλ, T = 1/f
Струна: v = √(T/μ), μ = m/L
Уровень звука: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Точечный источник: I = P/(4πr²)
Стоячие волны: струна или труба, открытая с обоих концов, f_n = n·v/(2L); закрытая труба f_n = n·v/(4L), n нечётное
Эффект Доплера: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Показатель преломления: n = c/v, λ = λ₀/n
Закон Снеллиуса: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Критический угол: sin θ_c = n₂/n₁
Оптическое волокно: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Линзы и зеркала: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Двойная щель: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Решётка: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Одиночная щель: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Метод

Определите тип задачи: скорость волны, уровень звука, стоячая волна, эффект Доплера, преломление, линза или зеркало, либо интерференция.
Сначала запишите соотношение: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) или n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Переведите единицы: nm, mm и cm в m, и проверьте, отсчитываются ли углы от нормали.
Проверьте знаки и правдоподобие: у мнимого изображения dᵢ < 0, приближающийся источник звучит выше, у закрытой трубы только нечётные гармоники.

2Тренировочные задачи

1.КинематикаСредняя

Автомобиль, превышающий скорость, движется с постоянной скоростью 17 m/s и проезжает мимо стоящего полицейского автомобиля. В этот момент полицейский автомобиль трогается и равноускоренно разгоняется с ускорением 3 m/s². Через сколько времени полицейский автомобиль догонит нарушителя? Найдите t.

v_car = 17 m/sa_police = 3 m/s²v_0,police = 0

t = s

2.КинематикаСложная

Мяч бросают вертикально вверх со скоростью 8 m/s с края крыши на высоте 30 m над землёй. Сопротивлением воздуха пренебречь, g = 9,81 m/s². Через какое время после броска он упадёт на землю? Найдите t.

v₀ = 8 m/sh₀ = 30 mg = 9,81 m/s²

t = s

3.Законы НьютонаСредняя

Ящик скользит по горизонтальному полу с начальной скоростью 4,5 m/s и останавливается через 4,1 m. Примите g = 9,81 m/s². Найдите коэффициент трения скольжения μ.

v₀ = 4,5 m/sd = 4,1 mg = 9,81 m/s²

μ =

4.Законы НьютонаСложная

Бруску сообщают толчок, и он начинает скользить вверх по наклонной плоскости под углом 30° со скоростью 11,5 m/s. Коэффициент трения скольжения равен 0,25. Примите g = 9,81 m/s². Какое расстояние d вдоль плоскости он проскользит до остановки?

v₀ = 11,5 m/sθ = 30°μ = 0,25g = 9,81 m/s²

d = m

5.Движение тела, брошенного под угломСредняя

Мяч бросают с горизонтальной поверхности под углом 65° к горизонту, и он падает на расстоянии 145 m. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². Найдите начальную скорость v₀.

θ = 65°R = 145 mg = 9,81 m/s²

v₀ = m/s

6.Движение тела, брошенного под угломСложная

Мяч бросают со скоростью 23 m/s под углом 45° к горизонту с вершины обрыва высотой 20 m. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². Найдите скорость v, с которой он ударяется о землю.

v₀ = 23 m/sθ = 45°h = 20 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

7.Движение по окружностиСредняя

Автомобиль переезжает через вершину бугра на дороге, имеющего форму дуги окружности радиусом 45 m. Примите g = 9,81 m/s². При какой скорости v_max колёса отрываются от дороги на вершине?

r = 45 mg = 9,81 m/s²

v_max = m/s

8.Движение по окружностиСложная

Шарик массой 1,3 kg на нити длиной 0,9 m вращают по вертикальной окружности. В нижней точке его скорость 5,5 m/s. Примите g = 9,81 m/s². Найдите силу натяжения T нити в нижней точке.

m = 1,3 kgr = 0,9 mv = 5,5 m/sg = 9,81 m/s²

T = N

9.Работа и энергияСредняя

Брусок массой 0,5 kg скользит 15 m по наклонной плоскости под углом 20° к горизонту с коэффициентом трения скольжения 0,25. Найдите работу W_f против силы трения.

m = 0,5 kgθ = 20°μ = 0,25d = 15 mg = 9,81 m/s²

W_f = J

10.Работа и энергияСложная

Тележку массой 10 kg отпускают без начальной скорости на высоте 16 m на гладкой трассе, переходящей в вертикальную «мёртвую петлю» радиусом 4 m. Найдите силу нормальной реакции N, с которой трасса действует на тележку в верхней точке петли.

m = 10 kgh = 16 mR = 4 mg = 9,81 m/s²

N = N

11.Импульс и столкновенияСредняя

Тележка массой 2,5 kg, движущаяся со скоростью 2 m/s, испытывает абсолютно упругий центральный удар с покоящейся тележкой массой 3,5 kg на дорожке без трения. Найдите скорость v′₁ первой тележки после столкновения (положительную в направлении её первоначального движения).

m₁ = 2,5 kgm₂ = 3,5 kgv₁ = 2 m/sv₂ = 0

v′₁ = m/s

12.Импульс и столкновенияСложная

На перекрёстке автомобиль массой 1000 kg, едущий на восток со скоростью 21 m/s, сталкивается с автомобилем массой 1600 kg, едущим на север со скоростью 19 m/s. Автомобили сцепляются. Найдите направление θ движения обломков сразу после столкновения, отсчитанное от востока к северу.

m₁ = 1000 kgv₁ = 21 m/s (E)m₂ = 1600 kgv₂ = 19 m/s (N)

θ = °

13.Пружины и маятникиСредняя

Груз массой 0,9 kg на пружине с k = 60 N/m колеблется на поверхности без трения с амплитудой 6 cm. Найдите его скорость v на расстоянии 4 cm от положения равновесия.

m = 0,9 kgk = 60 N/mA = 6 cmx = 4 cm

v = m/s

14.Пружины и маятникиСложная

Груз на пружине с k = 330 N/m колеблется на поверхности без трения с амплитудой 9 cm. Найдите его кинетическую энергию K на расстоянии 3 cm от положения равновесия.

k = 330 N/mA = 9 cmx = 3 cm

K = J

15.Волны, звук и оптикаСредняя

Труба, открытая с обоих концов должна иметь следующий режим на частоте 229 Hz: основной тон (первая гармоника). Скорость звука равна 343 m/s. Найдите длину L трубы.

v = 343 m/sn = 1f₁ = 229 Hz

L = m

16.Волны, звук и оптикаСложная

Две тонкие линзы имеют общую ось и находятся на расстоянии 40 cm друг от друга: линза 1 с f₁ = 10 cm и линза 2 с f₂ = −20 cm. Предмет находится в 15 cm перед линзой 1. Найдите положение d_i2 итогового изображения, отсчитываемое от линзы 2 (положительное за линзой 2, действительное — положительное).

f₁ = 10 cmf₂ = −20 cms = 40 cmd_o = 15 cm

d_i2 = cm

3Растворы

1.Кинематика

Ответ: t = 11,33 s

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

Равные пути

v·t = ½·a·t² → t = 2v/a = 2·17/3 = 11,33 s

Ответ

t = 11,33 s

В этот момент полицейский автомобиль движется со скоростью 2v = 34 m/s.

2.Кинематика

Ответ: t = 3,42 s

Движение с постоянным ускорением: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² и v² = v₀² + 2·a·s. Выберите уравнение, в которое входят три известные величины и искомая, и следите за знаками относительно одного положительного направления.

Уравнение движения

Вверх — положительное направление, земля находится на h₀ ниже точки броска.

−30 = 8·t − ½·9,81·t²

4,905·t² − 8·t − 30 = 0

Решите квадратное уравнение

Физический смысл имеет только положительный корень.

t = (8 + √(8² + 2·9,81·30))/9,81 = 3,42 s

Ответ

t = 3,42 s

3.Законы Ньютона

Ответ: μ = 0,2517

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

Замедление

a = v₀²/(2d) = 4,5²/(2·4,1) = 2,47 m/s²

Коэффициент трения

μ·m·g = m·a → μ = a/g = 2,47/9,81 = 0,2517

Ответ

μ = 0,2517

4.Законы Ньютона

Ответ: d = 9,408 m

Замедление

Обе силы направлены вниз по склону; масса сокращается.

a = 9,81·(sin 30° + 0,25·cos 30°) = 7,029 m/s²

Путь

d = v₀²/(2a) = 11,5²/(2·7,029) = 9,408 m

Ответ

d = 9,408 m

5.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: v₀ = 43,09 m/s

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Выражаем v₀ из формулы дальности

v₀ = √(g·R/sin 2θ) = √(9,81·145/sin 130°) = 43,09 m/s

Ответ

v₀ = 43,09 m/s

6.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: v = 30,35 m/s

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Разложите начальную скорость

v_x = 23·cos 45° = 16,26 m/s

v_y0 = 23·sin 45° = 16,26 m/s

Вертикальная скорость при ударе

Закон сохранения энергии или v² = v₀² + 2as по вертикали.

v_y = √(16,26² + 2·9,81·20) = 25,63 m/s

Скорость при ударе

v = √(16,26² + 25,63²) = 30,35 m/s

Ответ

v = 30,35 m/s

Проверка по энергии: v² = v₀² + 2gh.

7.Движение по окружности

Ответ: v_max = 21,01 m/s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

Нулевая нормальная реакция

m·g = m·v²/r → v = √(g·r) = √(9,81·45) = 21,01 m/s

Ответ

v_max = 21,01 m/s

(75,64 km/h)

8.Движение по окружности

Ответ: T = 56,45 N

Равномерное движение по окружности: тело, движущееся со скоростью v по окружности радиуса r, имеет ускорение a = v²/r, направленное к центру, поэтому на него должна действовать направленная к центру равнодействующая сила F = m·v²/r. Эту силу создаёт что-то реальное: трение, натяжение, сила тяжести или сила нормальной реакции.

Силы в нижней точке

К центру (вверх) — положительное направление.

T − m·g = m·v²/r

T = 1,3·9,81 + 1,3·5,5²/0,9 = 12,75 + 43,69 = 56,45 N

Ответ

T = 56,45 N

9.Работа и энергия

Ответ: W_f = 17,28 J

Теорема об изменении кинетической энергии: изменение кинетической энергии равно работе всех сил. Если записать тяжесть и пружины как потенциальную энергию (mgh и ½kx²), получается баланс: начальная энергия = конечная энергия + энергия, потерянная на трение (μN·d).

Сила трения

N = mg·cos θ = 4,905·0,9397 = 4,609 N

F = μN = 0,25·4,609 = 1,152 N

Работа против трения

W_f = F·d = 1,152·15 = 17,28 J

Ответ

W_f = 17,28 J

10.Работа и энергия

Ответ: N = 294,3 N

Скорость в верхней точке

v² = 2g(h − 2R) = 2·9,81·(16 − 8) = 157 m²/s²

Силы в верхней точке

m·g = 10·9,81 = 98,1 N

N = mv²/R − mg = 10·157/4 − 98,1 = 294,3 N

Ответ

N = 294,3 N

Тележка едва проходит петлю при h = 2,5R; тогда в верхней точке N = 0.

11.Импульс и столкновения

Ответ: v′₁ = −0,3333 m/s

Закон сохранения импульса: если во время столкновения внешние силы не действуют, суммарный импульс Σm·v до столкновения равен суммарному импульсу после. Скорость имеет направление, поэтому выберите положительное направление и скорости, направленные в противоположную сторону, берите со знаком минус. При упругом столкновении сохраняется и кинетическая энергия; при абсолютно неупругом тела слипаются.

Упругий удар о покоящееся тело

Совместное решение уравнений сохранения импульса и энергии даёт эти два результата.

v′₁ = (2,5 − 3,5)/(2,5 + 3,5)·2 = −0,3333 m/s

v′₂ = 2·2,5/(2,5 + 3,5)·2 = 1,667 m/s

Ответ

v′₁ = −0,3333 m/s

Знак минус означает, что первая тележка отскакивает назад.

12.Импульс и столкновения

Ответ: θ = 55,36 °

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

Составляющие импульса

p_x = 1000·21 = 21000 kg·m/s

p_y = 1600·19 = 30400 kg·m/s

Направление

tan θ = p_y/p_x = 1,448 → θ = 55,36°

Ответ

θ = 55,36°

13.Пружины и маятники

Ответ: v = 0,3651 m/s

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Угловая частота

ω = √(60/0,9) = 8,165 rad/s

Скорость в точке x

v = ω·√(A² − x²) = 8,165·√(0,06² − 0,04²) = 0,3651 m/s

Ответ

v = 0,3651 m/s

14.Пружины и маятники

Ответ: K = 1,188 J

Полная энергия

E = ½·k·A² = ½·330·0,09² = 1,337 J

Энергия пружины в точке x

U = ½·k·x² = ½·330·0,03² = 0,1485 J

Кинетическая энергия

K = 1,337 − 0,1485 = 1,188 J

Ответ

K = 1,188 J

15.Волны, звук и оптика

Ответ: L = 0,7489 m

Стоячие волны и эффект Доплера: в струне, закреплённой с обоих концов, или в трубе, открытой с обоих концов, укладывается целое число полуволн: L = nλ/2, f_n = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … У трубы, закрытой с одного конца, на закрытом конце узел, а на открытом пучность: L = nλ/4 только при нечётных n, f_n = n·v/(4L). Когда источник или наблюдатель движутся вдоль линии между ними, f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s): верхние знаки берите для движения навстречу друг другу. Две волны почти равной частоты дают биения с частотой |f₁ − f₂|.

Длина волны

λ = v/f = 343/229 = 1,498 m

Длина

L = nλ/2 = 1·1,498/2 = 0,7489 m

Ответ

L = 0,7489 m

16.Волны, звук и оптика

Ответ: d_i2 = −6,667 cm

Геометрическая оптика: на границе n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (закон Снеллиуса), углы отсчитываются от нормали, а n = c/v. При входе в более медленную среду луч приближается к нормали. Из более плотной среды (n₁ > n₂) за пределом критического угла θ_c = arcsin(n₂/n₁) весь свет отражается: полное внутреннее отражение. Тонкие линзы и сферические зеркала подчиняются уравнению 1/f = 1/d_o + 1/d_i с увеличением m = −d_i/d_o. Правило знаков: f > 0 для собирающей линзы и вогнутого зеркала (f = R/2), f < 0 для рассеивающей линзы и выпуклого зеркала; d_i > 0 для действительного изображения, d_i < 0 для мнимого, а m < 0 для перевёрнутого изображения.

Изображение линзы 1

1/d_i1 = 1/10 − 1/15 → d_i1 = 30 cm

Предмет для линзы 2

d_o2 = 40 − 30 = 10 cm

Итоговое изображение

1/d_i2 = 1/(−20) − 1/10 → d_i2 = −6,667 cm

Ответ

d_i2 = −6,667 cm

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics