Физика 1: Механика: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (16) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Кинематика

Скорость: v = v₀ + a·t
Перемещение: s = v₀·t + ½·a·t²
Без времени: v² = v₀² + 2·a·s
Единицы: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Выпишите известное: v₀, v, a, t и s с единицами.
Выберите уравнение, содержащее три известных величины и неизвестную.
Выберите одно положительное направление и припишите противоположно направленным величинам знак минус.
Решите и проверьте, что ответ физически разумен.

Законы Ньютона

Второй закон: ΣF = m·a
Вес: W = m·g
Трение скольжения: F_f = μ·N
На наклонной плоскости: вдоль: m·g·sin θ, по нормали: m·g·cos θ

Метод

Нарисуйте расчётную схему со всеми силами, действующими на тело.
Выберите положительное направление вдоль движения.
Разложите силы на составляющие вдоль движения и перпендикулярно ему (на наклонной плоскости: m·g·sin θ вдоль, m·g·cos θ перпендикулярно плоскости).
Примените ΣF = m·a вдоль движения; трение равно μ·N и направлено против движения.

Движение тела, брошенного под углом

Составляющие: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положение: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальная высота: H = h + v_y²/(2g)
Дальность (ровная поверхность): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Разложите начальную скорость на составляющие: v_x = v₀·cos θ и v_y = v₀·sin θ.
По горизонтали скорость постоянна; по вертикали ускорение равно −g.
Найдите время полёта из вертикального движения.
Подставьте это время в горизонтальное движение, чтобы найти дальность.

Движение по окружности

Центростремительное ускорение: a = v²/r = ω²·r
Центростремительная сила: F = m·v²/r
Угловая скорость: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальный поворот, трение: v_max = √(μ·g·r)

Работа и энергия

Кинетическая энергия: E_k = ½mv²
Потенциальная энергия: E_p = mgh
Энергетический баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Работа силы трения: W = μ·N·d
Мощность: P = W/t

Импульс и столкновения

Импульс: p = m·v
Сохранение: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно неупругий удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Импульс силы: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Выберите положительное направление и припишите каждой скорости её знак.
Запишите полный импульс до удара: Σm·v.
При абсолютно неупругом ударе тела после него движутся вместе; при упругом сохраняется ещё и кинетическая энергия.
Приравняйте импульс до удара импульсу после и решите.

Пружины и маятники

Груз на пружине: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Угловая частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Наибольшие скорость и ускорение: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Энергия: E = ½·k·A²

Волны, звук и оптика

Скорость волны: v = fλ, T = 1/f
Струна: v = √(T/μ), μ = m/L
Уровень звука: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Точечный источник: I = P/(4πr²)
Стоячие волны: струна или труба, открытая с обоих концов, f_n = n·v/(2L); закрытая труба f_n = n·v/(4L), n нечётное
Эффект Доплера: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Показатель преломления: n = c/v, λ = λ₀/n
Закон Снеллиуса: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Критический угол: sin θ_c = n₂/n₁
Оптическое волокно: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Линзы и зеркала: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Двойная щель: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Решётка: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Одиночная щель: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Метод

Определите тип задачи: скорость волны, уровень звука, стоячая волна, эффект Доплера, преломление, линза или зеркало, либо интерференция.
Сначала запишите соотношение: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) или n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Переведите единицы: nm, mm и cm в m, и проверьте, отсчитываются ли углы от нормали.
Проверьте знаки и правдоподобие: у мнимого изображения dᵢ < 0, приближающийся источник звучит выше, у закрытой трубы только нечётные гармоники.

2Тренировочные задачи

1.КинематикаСредняя

Автомобиль, превышающий скорость, движется с постоянной скоростью 23 m/s и проезжает мимо стоящего полицейского автомобиля. В этот момент полицейский автомобиль трогается и равноускоренно разгоняется с ускорением 5 m/s². Через сколько времени полицейский автомобиль догонит нарушителя? Найдите t.

v_car = 23 m/sa_police = 5 m/s²v_0,police = 0

t = s

2.КинематикаСложная

Модель ракеты запускают вертикально вверх из состояния покоя. Двигатель сообщает ей постоянное ускорение 34 m/s², направленное вверх, в течение 3 s, после чего двигатель выключается и ракета движется свободно. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². Найдите наибольшую высоту h_max, которой достигает ракета.

a = 34 m/s²t₁ = 3 sg = 9,81 m/s²

h_max = m

3.Законы НьютонаСредняя

Санки массой 40 kg тянут по горизонтальному снегу верёвкой под углом 30° к горизонту с силой 130 N. Коэффициент трения скольжения равен 0,1. Примите g = 9,81 m/s². Найдите ускорение a санок.

m = 40 kgF = 130 Nθ = 30°μ = 0,1g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Законы НьютонаСложная

Брусок массой 4 kg на наклонной плоскости под углом 20° связан лёгкой нитью, перекинутой через блок без трения на вершине плоскости, с висящим грузом массой 8,5 kg. Висящий груз движется вниз. Коэффициент трения скольжения между бруском и плоскостью равен 0,15. Примите g = 9,81 m/s². Найдите силу натяжения T нити.

m₁ = 4 kgm₂ = 8,5 kgθ = 20°μ = 0,15g = 9,81 m/s²

T = N

5.Движение тела, брошенного под угломСредняя

Мяч бьют с горизонтальной поверхности со скоростью 40 m/s под углом 55° к горизонту в сторону стены, находящейся на расстоянии 61 m. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². На какой высоте y мяч пролетает у стены?

v₀ = 40 m/sθ = 55°x = 61 mg = 9,81 m/s²

y = m

6.Движение тела, брошенного под угломСложная

Мяч бросают со скоростью 34 m/s под углом 35° к горизонту с вершины обрыва высотой 50 m. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². Найдите наибольшую высоту H над землёй у подножия обрыва.

v₀ = 34 m/sθ = 35°h = 50 mg = 9,81 m/s²

H = m

7.Движение по окружностиСредняя

Автомобиль проходит горизонтальный поворот радиусом 125 m. Коэффициент трения покоя между шинами и дорогой 0,6. Примите g = 9,81 m/s². Найдите наибольшую скорость v_max, с которой автомобиль может пройти поворот без заноса.

r = 125 mμ_s = 0,6g = 9,81 m/s²

v_max = m/s

8.Движение по окружностиСложная

Шарик массой 2 kg на нити длиной 0,6 m вращают по вертикальной окружности. В нижней точке его скорость 5,5 m/s. Примите g = 9,81 m/s². Найдите силу натяжения T нити в нижней точке.

m = 2 kgr = 0,6 mv = 5,5 m/sg = 9,81 m/s²

T = N

9.Работа и энергияСредняя

Брусок массой 10 kg скользит 18 m по наклонной плоскости под углом 30° к горизонту с коэффициентом трения скольжения 0,15. Найдите работу W_f против силы трения.

m = 10 kgθ = 30°μ = 0,15d = 18 mg = 9,81 m/s²

W_f = J

10.Работа и энергияСложная

Пружину жёсткостью 1000 N/m у основания наклонной плоскости 20° сжимают на 15 cm бруском массой 0,5 kg и отпускают. Коэффициент трения скольжения между бруском и плоскостью равен 0,1. Какое расстояние d пройдёт брусок вверх по плоскости от точки отпускания до остановки? (Пренебрегите коротким участком, на котором толкает пружина, т. е. учитывайте трение и силу тяжести на всём расстоянии d.)

m = 0,5 kgk = 1000 N/mx = 15 cmθ = 20°μ = 0,1g = 9,81 m/s²

d = m

11.Импульс и столкновенияСредняя

Тележка массой 2,5 kg, движущаяся со скоростью 8 m/s, испытывает абсолютно упругий центральный удар с покоящейся тележкой массой 2 kg на дорожке без трения. Найдите скорость v′₂ второй тележки после столкновения.

m₁ = 2,5 kgm₂ = 2 kgv₁ = 8 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

12.Импульс и столкновенияСложная

Мяч массой 0,5 kg ударяется о стену со скоростью 27 m/s и отскакивает прямо назад со скоростью 9 m/s. Контакт длится 25 ms. Найдите среднюю силу F_avg, с которой стена действует на мяч.

m = 0,5 kgv_in = 27 m/sv_out = 9 m/sΔt = 25 ms

F_avg = N

13.Пружины и маятникиСредняя

Груз массой 2,7 kg на пружине с k = 160 N/m колеблется на поверхности без трения с амплитудой 15 cm. Найдите его скорость v на расстоянии 3 cm от положения равновесия.

m = 2,7 kgk = 160 N/mA = 15 cmx = 3 cm

v = m/s

14.Пружины и маятникиСложная

Груз массой 3,5 kg на пружине с k = 90 N/m оттягивают на 15 cm от положения равновесия и отпускают. Найдите его наибольшую скорость v_max.

m = 3,5 kgk = 90 N/mA = 15 cm

v_max = m/s

15.Волны, звук и оптикаСредняя

Труба, открытая с обоих концов должна иметь следующий режим на частоте 515 Hz: гармоника номер 3. Скорость звука равна 343 m/s. Найдите длину L трубы.

v = 343 m/sn = 3f₃ = 515 Hz

L = m

16.Волны, звук и оптикаСложная

Свет с длиной волны 450 nm падает на две щели на расстоянии 0,5 mm друг от друга. Экран находится на расстоянии 2 m. Найдите расстояние y₂ от центральной светлой полосы до светлой полосы номер 2.

λ = 450 nmd = 0,5 mmL = 2 mm = 2

y₂ = mm

3Растворы

1.Кинематика

Ответ: t = 9,2 s

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

Равные пути

v·t = ½·a·t² → t = 2v/a = 2·23/5 = 9,2 s

Ответ

t = 9,2 s

В этот момент полицейский автомобиль движется со скоростью 2v = 46 m/s.

2.Кинематика

Ответ: h_max = 683,3 m

Активный участок

v₁ = 34·3 = 102 m/s

h₁ = ½·34·3² = 153 m

Свободный полёт вверх

В наивысшей точке скорость равна нулю.

Δh = v₁²/(2g) = 102²/(2·9,81) = 530,3 m

h_max = 153 + 530,3 = 683,3 m

Ответ

h_max = 683,3 m

3.Законы Ньютона

Ответ: a = 1,996 m/s²

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

Сила нормальной реакции

N = m·g − F·sin θ = 392,4 − 130·sin 30° = 327,4 N

Горизонтальные силы

m·a = F·cos θ − μ·N = 112,6 − 32,74

a = 79,84/40 = 1,996 m/s²

Ответ

a = 1,996 m/s²

4.Законы Ньютона

Ответ: T = 39,57 N

Силы вдоль нити

m₂·g = 83,39 N

m₁·g·sin θ = 13,42 N

μ·m₁·g·cos θ = 5,531 N

Ускорение системы

a = (83,39 − 13,42 − 5,531)/12,5 = 5,155 m/s²

Натяжение по висящему грузу

m₂·g − T = m₂·a → T = 8,5·(9,81 − 5,155) = 39,57 N

Ответ

T = 39,57 N

5.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: y = 52,44 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Время до стены

v_x = 40·cos 55° = 22,94 m/s

t = x/v_x = 61/22,94 = 2,659 s

Высота в этот момент

y = 32,77·2,659 − ½·9,81·2,659² = 52,44 m

Ответ

y = 52,44 m

У стены мяч ещё поднимается.

6.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: H = 69,38 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Вертикальная начальная скорость

v_y = 34·sin 35° = 19,5 m/s

Подъём над обрывом

Δh = v_y²/(2g) = 19,5²/(2·9,81) = 19,38 m

Высота над землёй

H = 50 + 19,38 = 69,38 m

Ответ

H = 69,38 m

7.Движение по окружности

Ответ: v_max = 27,12 m/s

Равномерное движение по окружности: тело, движущееся со скоростью v по окружности радиуса r, имеет ускорение a = v²/r, направленное к центру, поэтому на него должна действовать направленная к центру равнодействующая сила F = m·v²/r. Эту силу создаёт что-то реальное: трение, натяжение, сила тяжести или сила нормальной реакции.

Трение создаёт центростремительную силу

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0,6·9,81·125) = 27,12 m/s

Ответ

v_max = 27,12 m/s (97,65 km/h)

8.Движение по окружности

Ответ: T = 120,5 N

Силы в нижней точке

К центру (вверх) — положительное направление.

T − m·g = m·v²/r

T = 2·9,81 + 2·5,5²/0,6 = 19,62 + 100,8 = 120,5 N

Ответ

T = 120,5 N

9.Работа и энергия

Ответ: W_f = 229,4 J

Теорема об изменении кинетической энергии: изменение кинетической энергии равно работе всех сил. Если записать тяжесть и пружины как потенциальную энергию (mgh и ½kx²), получается баланс: начальная энергия = конечная энергия + энергия, потерянная на трение (μN·d).

Сила трения

N = mg·cos θ = 98,1·0,866 = 84,96 N

F = μN = 0,15·84,96 = 12,74 N

Работа против трения

W_f = F·d = 12,74·18 = 229,4 J

Ответ

W_f = 229,4 J

10.Работа и энергия

Ответ: d = 5,261 m

Энергия пружины

x = 15 cm = 0,15 m

½kx² = ½·1000·0,15² = 11,25 J

Энергетический баланс вдоль плоскости

m·g = 0,5·9,81 = 4,905 N

½kx² = mg·d·(sin θ + μ·cos θ)

d = 11,25/(4,905·(0,342 + 0,1·0,9397)) = 5,261 m

Ответ

d = 5,261 m

11.Импульс и столкновения

Ответ: v′₂ = 8,889 m/s

Закон сохранения импульса: если во время столкновения внешние силы не действуют, суммарный импульс Σm·v до столкновения равен суммарному импульсу после. Скорость имеет направление, поэтому выберите положительное направление и скорости, направленные в противоположную сторону, берите со знаком минус. При упругом столкновении сохраняется и кинетическая энергия; при абсолютно неупругом тела слипаются.

Упругий удар о покоящееся тело

Совместное решение уравнений сохранения импульса и энергии даёт эти два результата.

v′₁ = (2,5 − 2)/(2,5 + 2)·8 = 0,8889 m/s

v′₂ = 2·2,5/(2,5 + 2)·8 = 8,889 m/s

Ответ

v′₂ = 8,889 m/s

12.Импульс и столкновения

Ответ: F_avg = 720 N

Изменение импульса

J = m·Δv = 0,5·(9 + 27) = 18 N·s

Средняя сила

F_avg = J/Δt = 18/0,025 = 720 N

Ответ

F_avg = 720 N

13.Пружины и маятники

Ответ: v = 1,131 m/s

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Угловая частота

ω = √(160/2,7) = 7,698 rad/s

Скорость в точке x

v = ω·√(A² − x²) = 7,698·√(0,15² − 0,03²) = 1,131 m/s

Ответ

v = 1,131 m/s

14.Пружины и маятники

Ответ: v_max = 0,7606 m/s

Гармонические колебания: груз массой m на пружине жёсткостью k колеблется с угловой частотой ω = √(k/m) и периодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математический маятник длиной L имеет период T = 2π·√(L/g). При амплитуде A наибольшая скорость равна A·ω, наибольшее ускорение — A·ω², а энергия — ½·k·A².

Угловая частота

ω = √(90/3,5) = 5,071 rad/s

Наибольшая скорость

v_max = A·ω = 0,15·5,071 = 0,7606 m/s

Ответ

v_max = 0,7606 m/s

15.Волны, звук и оптика

Ответ: L = 0,999 m

Стоячие волны и эффект Доплера: в струне, закреплённой с обоих концов, или в трубе, открытой с обоих концов, укладывается целое число полуволн: L = nλ/2, f_n = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … У трубы, закрытой с одного конца, на закрытом конце узел, а на открытом пучность: L = nλ/4 только при нечётных n, f_n = n·v/(4L). Когда источник или наблюдатель движутся вдоль линии между ними, f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s): верхние знаки берите для движения навстречу друг другу. Две волны почти равной частоты дают биения с частотой |f₁ − f₂|.

Длина волны

λ = v/f = 343/515 = 0,666 m

Длина

L = nλ/2 = 3·0,666/2 = 0,999 m

Ответ

L = 0,999 m

16.Волны, звук и оптика

Ответ: y₂ = 3,6 mm

Интерференция и дифракция: свет от двух щелей на расстоянии d друг от друга приходит в точку на экране с разностью хода d·sin θ. Светлые полосы появляются там, где d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …). Для экрана на расстоянии L ≫ d m-я светлая полоса находится при y = mλL/d, а расстояние между полосами равно Δy = λL/d. У решётки с N штрихами на миллиметр d = 1/N, а резкие максимумы находятся при d·sin θ = mλ; так как sin θ ≤ 1, наивысший порядок — наибольшее целое число m ≤ d/λ. У одной щели шириной a тёмные полосы находятся при a·sin θ = mλ, m = ±1, ±2, …

Расстояние между полосами

Δy = λL/d = 450 × 10⁻⁹·2/(0,5 × 10⁻³) = 1,8 mm

Полоса номер 2

y₂ = 2·1,8 = 3,6 mm

Ответ

y₂ = 3,6 mm

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics