Физика 1: Механика: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (16) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Кинематика

Скорость
v = v0 + a·t
Перемещение
s = v0·t + ½·a·t²
Без времени
v² = v0² + 2·a·s
Единицы
1 m/s = 3,6 km/h

Метод

  1. Выпишите известное: v₀, v, a, t и s с единицами.
  2. Выберите уравнение, содержащее три известных величины и неизвестную.
  3. Выберите одно положительное направление и припишите противоположно направленным величинам знак минус.
  4. Решите и проверьте, что ответ физически разумен.

Законы Ньютона

Второй закон
ΣF = m·a
Вес
W = m·g
Трение скольжения
Ff = μ·N
На наклонной плоскости
вдоль: m·g·sin θ, по нормали: m·g·cos θ

Метод

  1. Нарисуйте расчётную схему со всеми силами, действующими на тело.
  2. Выберите положительное направление вдоль движения.
  3. Разложите силы на составляющие вдоль движения и перпендикулярно ему (на наклонной плоскости: m·g·sin θ вдоль, m·g·cos θ перпендикулярно плоскости).
  4. Примените ΣF = m·a вдоль движения; трение равно μ·N и направлено против движения.

Движение тела, брошенного под углом

Составляющие
vx = v0cos θ, vy = v0sin θ
Положение
x = vxt, y = h + vyt − ½gt²
Максимальная высота
H = h + vy²/(2g)
Дальность (ровная поверхность)
R = v0²·sin 2θ/g

Метод

  1. Разложите начальную скорость на составляющие: vx = v₀·cos θ и vy = v₀·sin θ.
  2. По горизонтали скорость постоянна; по вертикали ускорение равно −g.
  3. Найдите время полёта из вертикального движения.
  4. Подставьте это время в горизонтальное движение, чтобы найти дальность.

Движение по окружности

Центростремительное ускорение
a = v²/r = ω²·r
Центростремительная сила
F = m·v²/r
Угловая скорость
ω = v/r = 2π/T
Горизонтальный поворот, трение
vmax = √(μ·g·r)

Работа и энергия

Кинетическая энергия
Ek = ½mv²
Потенциальная энергия
Ep = mgh
Энергетический баланс
Ek1 + Ep1 + W = Ek2 + Ep2 + losses
Работа силы трения
W = μ·N·d
Мощность
P = W/t

Импульс и столкновения

Импульс
p = m·v
Сохранение
Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно неупругий удар
v′ = (m1v1 + m2v2)/(m1 + m2)
Импульс силы
J = F·Δt = m·Δv

Метод

  1. Выберите положительное направление и припишите каждой скорости её знак.
  2. Запишите полный импульс до удара: Σm·v.
  3. При абсолютно неупругом ударе тела после него движутся вместе; при упругом сохраняется ещё и кинетическая энергия.
  4. Приравняйте импульс до удара импульсу после и решите.

Пружины и маятники

Груз на пружине
T = 2π·√(m/k)
Маятник
T = 2π·√(L/g)
Угловая частота
ω = √(k/m) = 2π/T
Наибольшие скорость и ускорение
vmax = A·ω, amax = A·ω²
Энергия
E = ½·k·A²

Волны, звук и оптика

Скорость волны
v = fλ, T = 1/f
Струна
v = √(T/μ), μ = m/L
Уровень звука
β = 10·log10(I/I0), I0 = 10⁻¹² W/m²
Точечный источник
I = P/(4πr²)
Стоячие волны
струна или труба, открытая с обоих концов, fn = n·v/(2L); закрытая труба fn = n·v/(4L), n нечётное
Эффект Доплера
f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs)
Показатель преломления
n = c/v, λ = λ0/n
Закон Снеллиуса
n1sin θ1 = n2sin θ2
Критический угол
sin θc = n2/n1
Оптическое волокно
NA = sin θa = √(n1² − n2²)
Линзы и зеркала
1/f = 1/do + 1/di, m = −di/do, mirror f = R/2
Двойная щель
d·sin θ = mλ, ym = mλL/d
Решётка
d = 1/N, d·sin θ = mλ, mmax ≤ d/λ
Одиночная щель
a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Метод

  1. Определите тип задачи: скорость волны, уровень звука, стоячая волна, эффект Доплера, преломление, линза или зеркало, либо интерференция.
  2. Сначала запишите соотношение: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) или n·v/(4L), f′ = f(v ± vo)/(v ∓ vs), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
  3. Переведите единицы: nm, mm и cm в m, и проверьте, отсчитываются ли углы от нормали.
  4. Проверьте знаки и правдоподобие: у мнимого изображения dᵢ < 0, приближающийся источник звучит выше, у закрытой трубы только нечётные гармоники.

2Тренировочные задачи

1.КинематикаСредняя
t (s)v (m/s)0,6 s30

Водитель, едущий со скоростью 108 km/h, видит препятствие. Время её реакции 0,6 s, после чего автомобиль тормозит с постоянным замедлением 5 m/s². Найдите полный остановочный путь d с момента, когда она увидела препятствие.

v₀ = 108 km/htr = 0,6 sa = −5 m/s²
d = m
2.КинематикаСложная
d = ?

Камень без начальной скорости падает в колодец. Всплеск слышен через 4,9 s после того, как камень отпустили. Скорость звука 343 m/s; пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². Найдите глубину d колодца.

ttotal = 4,9 svsound = 343 m/sg = 9,81 m/s²
d = m
3.Законы НьютонаСредняя
θ = 20°15 kgF = ?

Ящик массой 15 kg толкают вверх по наклонной плоскости под углом 20° к горизонту с постоянной скоростью силой, параллельной плоскости. Коэффициент трения скольжения равен 0,25. Примите g = 9,81 m/s². Найдите толкающую силу F.

m = 15 kgθ = 20°μ = 0,25g = 9,81 m/s²
F = N
4.Законы НьютонаСложная
m1​ = 4 kg7 kgθ = 30°

Брусок массой 4 kg на наклонной плоскости под углом 30° связан лёгкой нитью, перекинутой через блок без трения на вершине плоскости, с висящим грузом массой 7 kg. Висящий груз движется вниз. Наклонная плоскость гладкая (без трения). Примите g = 9,81 m/s². Найдите силу натяжения T нити.

m1 = 4 kgm2 = 7 kgθ = 30°μ = 0g = 9,81 m/s²
T = N
5.Движение тела, брошенного под угломСредняя
v0​ = 24 m/s30°x = ?

Мяч бросают под углом 30° к горизонту с ровной поверхности. Сопротивлением воздуха пренебречь. Найдите горизонтальное расстояние x, которое мяч пролетает до удара о землю.

v0 = 24 m/sθ = 30°g = 9,81 m/s²
x = m
6.Движение тела, брошенного под угломСложная
h = 45 mv0​ = 12 m/s20°α = ?

Мяч бросают со скоростью 12 m/s под углом 20° к горизонту с вершины обрыва высотой 45 m. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². Под каким углом α к горизонту (ниже горизонта) он ударяется о землю?

v₀ = 12 m/sθ = 20°h = 45 mg = 9,81 m/s²
α = °
7.Движение по окружностиСредняя
r = 150 mvmax​ = ?

Автомобиль проходит горизонтальный поворот радиусом 150 m. Коэффициент трения покоя между шинами и дорогой 0,3. Примите g = 9,81 m/s². Найдите наибольшую скорость vmax, с которой автомобиль может пройти поворот без заноса.

r = 150 mμs = 0,3g = 9,81 m/s²
vmax = m/s
8.Движение по окружностиСложная
r = 0,6 mv = ?

Шарик на нити длиной 0,6 m вращают по вертикальной окружности. Примите g = 9,81 m/s². При какой наименьшей скорости vmin в верхней точке нить ещё остаётся натянутой?

r = 0,6 mg = 9,81 m/s²
vmin = m/s
9.Работа и энергияСредняя
35°d = 2 mμ = 0,35

Брусок массой 5 kg скользит 2 m по наклонной плоскости под углом 35° к горизонту с коэффициентом трения скольжения 0,35. Найдите работу Wf против силы трения.

m = 5 kgθ = 35°μ = 0,35d = 2 mg = 9,81 m/s²
Wf = J
10.Работа и энергияСложная
h = 4 mL = 4,5 mμ = 0,3k = 1500 N/m

Брусок массой 5 kg отпускают без начальной скорости на высоте 4 m на гладкой рампе. Внизу он пересекает шероховатую горизонтальную полосу длиной 4,5 m (μ = 0,3), а затем наезжает на пружину (k = 1500 N/m) на гладкой поверхности. Найдите скорость v бруска, когда он достигает пружины.

m = 5 kgh = 4 mL = 4,5 mμ = 0,3k = 1500 N/mg = 9,81 m/s²
v = m/s
11.Импульс и столкновенияСредняя
4,5 kg6 m/s3 kg

Тележка массой 4,5 kg, движущаяся со скоростью 6 m/s, испытывает абсолютно упругий центральный удар с покоящейся тележкой массой 3 kg на дорожке без трения. Найдите скорость v′2 второй тележки после столкновения.

m1 = 4,5 kgm2 = 3 kgv1 = 6 m/sv2 = 0
v′2 = m/s
12.Импульс и столкновенияСложная
25 m/s8 m/s

Мяч массой 0,2 kg ударяется о стену со скоростью 25 m/s и отскакивает прямо назад со скоростью 8 m/s. Контакт длится 50 ms. Найдите модуль импульса силы J, который стена сообщает мячу.

m = 0,2 kgvin = 25 m/svout = 8 m/sΔt = 50 ms
J = N·s
13.Пружины и маятникиСредняя
L = 0,2 m

Длина математического маятника 0,2 m. Примите g = 9,81 m/s². Найдите его период T при малых колебаниях.

L = 0,2 mg = 9,81 m/s²
T = s
14.Пружины и маятникиСложная
1 kgk = 150 N/mA = 16 cm

Груз массой 1 kg на пружине с k = 150 N/m оттягивают на 16 cm от положения равновесия и отпускают. Найдите его наибольшее ускорение amax.

m = 1 kgk = 150 N/mA = 16 cm
amax = m/s²
15.Волны, звук и оптикаСредняя
θc = ?90°алмаз, n1​ = 2,42вода, n2​ = 1,33

Свет идёт в среде «алмаз» (n = 2,42) к плоской границе со средой «вода» (n = 1,33). Найдите критический угол θc, за пределом которого происходит полное отражение.

n1 = 2,42n2 = 1,33
θc = °
16.Волны, звук и оптикаСложная
Fdo​ = 10 cmR = 30 cm

Предмет находится в 10 cm перед вогнутым зеркалом с радиусом кривизны 30 cm. Найдите расстояние до изображения di: положительное для изображения перед зеркалом (действительного) и отрицательное для изображения за ним (мнимого).

do = 10 cmR = 30 cm
di = cm

3Растворы

1.Кинематика

Ответ: d = 108 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

Единицы

v₀ = 108/3,6 = 30 m/s

Путь за время реакции

d1 = v₀·tr = 30·0,6 = 18 m

Тормозной путь

d2 = v₀²/(2a) = 30²/(2·5) = 90 m

Итого

d = 18 + 90 = 108 m

Ответ

d = 108 m
2.Кинематика

Ответ: d = 103,7 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

Две части времени

½·9,81·t₁² = 343·(4,9 − t₁)
4,905·t₁² + 343·t₁ − 1681 = 0

Время падения

Физический смысл имеет только положительный корень.

t₁ = (−343 + √(343² + 4·4,905·1681))/(2·4,905) = 4,598 s

Глубина

d = ½·9,81·4,598² = 103,7 m

Ответ

d = 103,7 m
3.Законы Ньютона

Ответ: F = 84,9 N

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

Силы вдоль плоскости

Постоянная скорость: силы уравновешены.

F = m·g·sin θ + μ·m·g·cos θ

Толкающая сила

F = 50,33 + 34,57 = 84,9 N

Ответ

F = 84,9 N
4.Законы Ньютона

Ответ: T = 37,46 N

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

Силы вдоль нити

m₂·g = 68,67 N
m₁·g·sin θ = 19,62 N
μ·m₁·g·cos θ = 0 N

Ускорение системы

a = (68,67 − 19,62 − 0)/11 = 4,459 m/s²

Натяжение по висящему грузу

m2·g − T = m2·a → T = 7·(9,81 − 4,459) = 37,46 N

Ответ

T = 37,46 N
5.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: x = 50,85 m

Движение тела, брошенного под углом: без сопротивления воздуха x = vxt и y = h + vyt − ½gt². Оба направления независимы, их связывает только общее время.

Разложите начальную скорость

Горизонтальная скорость постоянна; вертикальное движение имеет постоянное ускорение g = 9,81 m/s² вниз.

vx = v0·cos θ = 24·cos 30° = 20,78 m/s
vy = v0·sin θ = 24·sin 30° = 12 m/s

Время полёта

Старт и приземление на одной высоте: t = 2vy/g.

t = 2·12/9,81 = 2,446 s

Горизонтальное расстояние

x = vx·t = 20,78·2,446 = 50,85 m

Ответ

x = 50,85 m
6.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: α = 69,4 °

Projectile motion: with no air resistance, x = vxt and y = h + vyt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Разложите начальную скорость

vx = 12·cos 20° = 11,28 m/s
vy0 = 12·sin 20° = 4,104 m/s

Вертикальная скорость при ударе

Закон сохранения энергии или v² = v₀² + 2as по вертикали.

vy = √(4,104² + 2·9,81·45) = 30 m/s

Угол падения

tan α = vy/vx = 30/11,28 → α = 69,4°

Ответ

α = 69,4°
7.Движение по окружности

Ответ: vmax = 21,01 m/s

Равномерное движение по окружности: тело, движущееся со скоростью v по окружности радиуса r, имеет ускорение a = v²/r, направленное к центру, поэтому на него должна действовать направленная к центру равнодействующая сила F = m·v²/r. Эту силу создаёт что-то реальное: трение, натяжение, сила тяжести или сила нормальной реакции.

Трение создаёт центростремительную силу

m·v²/r = μ·m·g
v = √(μ·g·r) = √(0,3·9,81·150) = 21,01 m/s

Ответ

vmax = 21,01 m/s (75,64 km/h)
8.Движение по окружности

Ответ: vmin = 2,426 m/s

Равномерное движение по окружности: тело, движущееся со скоростью v по окружности радиуса r, имеет ускорение a = v²/r, направленное к центру, поэтому на него должна действовать направленная к центру равнодействующая сила F = m·v²/r. Эту силу создаёт что-то реальное: трение, натяжение, сила тяжести или сила нормальной реакции.

Нулевое натяжение в верхней точке

m·g = m·v²/r → v = √(g·r) = √(9,81·0,6) = 2,426 m/s

Ответ

vmin = 2,426 m/s
9.Работа и энергия

Ответ: Wf = 28,13 J

Теорема об изменении кинетической энергии: изменение кинетической энергии равно работе всех сил. Если записать тяжесть и пружины как потенциальную энергию (mgh и ½kx²), получается баланс: начальная энергия = конечная энергия + энергия, потерянная на трение (μN·d).

Сила трения

N = mg·cos θ = 49,05·0,8192 = 40,18 N
F = μN = 0,35·40,18 = 14,06 N

Работа против трения

Wf = F·d = 14,06·2 = 28,13 J

Ответ

Wf = 28,13 J
10.Работа и энергия

Ответ: v = 7,211 m/s

Теорема об изменении кинетической энергии: изменение кинетической энергии равно работе всех сил. Если записать тяжесть и пружины как потенциальную энергию (mgh и ½kx²), получается баланс: начальная энергия = конечная энергия + энергия, потерянная на трение (μN·d).

Энергия после шероховатой полосы

Рампа гладкая, поэтому энергию забирает только полоса.

mgh − μmgL = 49,05·(4 − 0,3·4,5) = 130 J

Скорость у пружины

½mv² = mg(h − μL) → v = √(2g(h − μL)) = √(2·9,81·2,65) = 7,211 m/s

Ответ

v = 7,211 m/s
11.Импульс и столкновения

Ответ: v′2 = 7,2 m/s

Закон сохранения импульса: если во время столкновения внешние силы не действуют, суммарный импульс Σm·v до столкновения равен суммарному импульсу после. Скорость имеет направление, поэтому выберите положительное направление и скорости, направленные в противоположную сторону, берите со знаком минус. При упругом столкновении сохраняется и кинетическая энергия; при абсолютно неупругом тела слипаются.

Упругий удар о покоящееся тело

Совместное решение уравнений сохранения импульса и энергии даёт эти два результата.

v′1 = (4,5 − 3)/(4,5 + 3)·6 = 1,2 m/s
v′2 = 2·4,5/(4,5 + 3)·6 = 7,2 m/s

Ответ

v′2 = 7,2 m/s
12.Импульс и столкновения

Ответ: J = 6,6 N·s

Закон сохранения импульса: если во время столкновения внешние силы не действуют, суммарный импульс Σm·v до столкновения равен суммарному импульсу после. Скорость имеет направление, поэтому выберите положительное направление и скорости, направленные в противоположную сторону, берите со знаком минус. При упругом столкновении сохраняется и кинетическая энергия; при абсолютно неупругом тела слипаются.

Изменение импульса

J = m·Δv = 0,2·(8 + 25) = 6,6 N·s

Ответ

J = 6,6 N·s
13.Пружины и маятники

Ответ: T = 0,8971 s

Гармонические колебания: груз массой m на пружине жёсткостью k колеблется с угловой частотой ω = √(k/m) и периодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математический маятник длиной L имеет период T = 2π·√(L/g). При амплитуде A наибольшая скорость равна A·ω, наибольшее ускорение — A·ω², а энергия — ½·k·A².

Период маятника

T = 2π·√(0,2/9,81) = 0,8971 s

Ответ

T = 0,8971 s
14.Пружины и маятники

Ответ: amax = 24 m/s²

Гармонические колебания: груз массой m на пружине жёсткостью k колеблется с угловой частотой ω = √(k/m) и периодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математический маятник длиной L имеет период T = 2π·√(L/g). При амплитуде A наибольшая скорость равна A·ω, наибольшее ускорение — A·ω², а энергия — ½·k·A².

Угловая частота

ω = √(150/1) = 12,25 rad/s

Наибольшее ускорение

amax = A·ω² = 0,16·12,25² = 24 m/s²

Ответ

amax = 24 m/s²
15.Волны, звук и оптика

Ответ: θc = 33,34 °

Геометрическая оптика: на границе n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (закон Снеллиуса), углы отсчитываются от нормали, а n = c/v. При входе в более медленную среду луч приближается к нормали. Из более плотной среды (n₁ > n₂) за пределом критического угла θc = arcsin(n₂/n₁) весь свет отражается: полное внутреннее отражение. Тонкие линзы и сферические зеркала подчиняются уравнению 1/f = 1/do + 1/di с увеличением m = −di/do. Правило знаков: f > 0 для собирающей линзы и вогнутого зеркала (f = R/2), f < 0 для рассеивающей линзы и выпуклого зеркала; di > 0 для действительного изображения, di < 0 для мнимого, а m < 0 для перевёрнутого изображения.

Преломление под 90°

sin θc = n₂/n₁ = 1,33/2,42 = 0,5496

Критический угол

θc = arcsin(0,5496) = 33,34°

Ответ

θc = 33,34°
16.Волны, звук и оптика

Ответ: di = −30 cm

Геометрическая оптика: на границе n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (закон Снеллиуса), углы отсчитываются от нормали, а n = c/v. При входе в более медленную среду луч приближается к нормали. Из более плотной среды (n₁ > n₂) за пределом критического угла θc = arcsin(n₂/n₁) весь свет отражается: полное внутреннее отражение. Тонкие линзы и сферические зеркала подчиняются уравнению 1/f = 1/do + 1/di с увеличением m = −di/do. Правило знаков: f > 0 для собирающей линзы и вогнутого зеркала (f = R/2), f < 0 для рассеивающей линзы и выпуклого зеркала; di > 0 для действительного изображения, di < 0 для мнимого, а m < 0 для перевёрнутого изображения.

Фокусное расстояние

f = R/2 = 15 cm

Уравнение зеркала

1/di = 1/f − 1/do = 1/15 − 1/10
di = −30 cm
F10 cmf = 15 cm

Ход лучей

мнимое изображение за зеркалом

Ответ

di = −30 cm

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics