Физика 1: Механика: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (16) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Кинематика

Скорость: v = v₀ + a·t
Перемещение: s = v₀·t + ½·a·t²
Без времени: v² = v₀² + 2·a·s
Единицы: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Выпишите известное: v₀, v, a, t и s с единицами.
Выберите уравнение, содержащее три известных величины и неизвестную.
Выберите одно положительное направление и припишите противоположно направленным величинам знак минус.
Решите и проверьте, что ответ физически разумен.

Законы Ньютона

Второй закон: ΣF = m·a
Вес: W = m·g
Трение скольжения: F_f = μ·N
На наклонной плоскости: вдоль: m·g·sin θ, по нормали: m·g·cos θ

Метод

Нарисуйте расчётную схему со всеми силами, действующими на тело.
Выберите положительное направление вдоль движения.
Разложите силы на составляющие вдоль движения и перпендикулярно ему (на наклонной плоскости: m·g·sin θ вдоль, m·g·cos θ перпендикулярно плоскости).
Примените ΣF = m·a вдоль движения; трение равно μ·N и направлено против движения.

Движение тела, брошенного под углом

Составляющие: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положение: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальная высота: H = h + v_y²/(2g)
Дальность (ровная поверхность): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Разложите начальную скорость на составляющие: v_x = v₀·cos θ и v_y = v₀·sin θ.
По горизонтали скорость постоянна; по вертикали ускорение равно −g.
Найдите время полёта из вертикального движения.
Подставьте это время в горизонтальное движение, чтобы найти дальность.

Движение по окружности

Центростремительное ускорение: a = v²/r = ω²·r
Центростремительная сила: F = m·v²/r
Угловая скорость: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальный поворот, трение: v_max = √(μ·g·r)

Работа и энергия

Кинетическая энергия: E_k = ½mv²
Потенциальная энергия: E_p = mgh
Энергетический баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Работа силы трения: W = μ·N·d
Мощность: P = W/t

Импульс и столкновения

Импульс: p = m·v
Сохранение: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно неупругий удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Импульс силы: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Выберите положительное направление и припишите каждой скорости её знак.
Запишите полный импульс до удара: Σm·v.
При абсолютно неупругом ударе тела после него движутся вместе; при упругом сохраняется ещё и кинетическая энергия.
Приравняйте импульс до удара импульсу после и решите.

Пружины и маятники

Груз на пружине: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Угловая частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Наибольшие скорость и ускорение: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Энергия: E = ½·k·A²

Волны, звук и оптика

Скорость волны: v = fλ, T = 1/f
Струна: v = √(T/μ), μ = m/L
Уровень звука: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Точечный источник: I = P/(4πr²)
Стоячие волны: струна или труба, открытая с обоих концов, f_n = n·v/(2L); закрытая труба f_n = n·v/(4L), n нечётное
Эффект Доплера: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Показатель преломления: n = c/v, λ = λ₀/n
Закон Снеллиуса: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Критический угол: sin θ_c = n₂/n₁
Оптическое волокно: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Линзы и зеркала: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Двойная щель: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Решётка: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Одиночная щель: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Метод

Определите тип задачи: скорость волны, уровень звука, стоячая волна, эффект Доплера, преломление, линза или зеркало, либо интерференция.
Сначала запишите соотношение: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) или n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Переведите единицы: nm, mm и cm в m, и проверьте, отсчитываются ли углы от нормали.
Проверьте знаки и правдоподобие: у мнимого изображения dᵢ < 0, приближающийся источник звучит выше, у закрытой трубы только нечётные гармоники.

2Тренировочные задачи

1.КинематикаСредняя

Автомобиль, едущий со скоростью 90 km/h, тормозит с постоянным замедлением 6,5 m/s² до полной остановки. Найдите тормозной путь s.

v₀ = 90 km/ha = −6,5 m/s²v = 0

s = m

2.КинематикаСложная

Трамвай трогается с места и разгоняется с ускорением 2,5 m/s² в течение 5 s, затем движется с постоянной скоростью 17 s и, наконец, тормозит с замедлением 3 m/s² до остановки. Найдите полное время движения t.

a₁ = 2,5 m/s²t₁ = 5 st₂ = 17 sa₃ = −3 m/s²

t = s

3.Законы НьютонаСредняя

Брусок массой 17 kg скользит вниз по наклонной плоскости под углом 30° к горизонту. Коэффициент трения скольжения 0,2. Примите g = 9,81 m/s². Найдите ускорение a бруска вдоль плоскости.

m = 17 kgθ = 30°μ = 0,2g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Законы НьютонаСложная

Брусок массой 2,5 kg на горизонтальном столе соединён лёгкой нитью, перекинутой через блок без трения, с подвешенным грузом массой 3 kg. Коэффициент трения скольжения между бруском и столом 0,3. Примите g = 9,81 m/s². Найдите ускорение a системы.

m₁ = 2,5 kgm₂ = 3 kgμ = 0,3g = 9,81 m/s²

a = m/s²

5.Движение тела, брошенного под угломСредняя

Мяч бьют с горизонтальной поверхности со скоростью 40 m/s под углом 25° к горизонту в сторону стены, находящейся на расстоянии 37 m. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². На какой высоте y мяч пролетает у стены?

v₀ = 40 m/sθ = 25°x = 37 mg = 9,81 m/s²

y = m

6.Движение тела, брошенного под угломСложная

Мяч бросают с уровня земли со скоростью 39 m/s под углом 60° к горизонту. Он падает на плоскую крышу здания высотой 8 m, уже опускаясь. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². Найдите горизонтальное расстояние x от точки броска до места падения.

v₀ = 39 m/sθ = 60°h_roof = 8 mg = 9,81 m/s²

x = m

7.Движение по окружностиСредняя

Автомобиль проходит горизонтальный поворот радиусом 135 m. Коэффициент трения покоя между шинами и дорогой 0,7. Примите g = 9,81 m/s². Найдите наибольшую скорость v_max, с которой автомобиль может пройти поворот без заноса.

r = 135 mμ_s = 0,7g = 9,81 m/s²

v_max = m/s

8.Движение по окружностиСложная

Шарик на нити длиной 0,6 m вращают по вертикальной окружности. Примите g = 9,81 m/s². При какой наименьшей скорости v_min в верхней точке нить ещё остаётся натянутой?

r = 0,6 mg = 9,81 m/s²

v_min = m/s

9.Работа и энергияСредняя

Автомобиль, движущийся со скоростью 70 km/h по горизонтальной дороге, резко тормозит и с заблокированными колёсами скользит до остановки. Коэффициент трения скольжения между шинами и дорогой равен 0,4. Найдите тормозной путь d.

v = 70 km/hμ = 0,4g = 9,81 m/s²

d = m

10.Работа и энергияСложная

Брусок массой 4 kg отпускают без начальной скорости на высоте 3 m на гладкой рампе. Внизу он пересекает шероховатую горизонтальную полосу длиной 4 m (μ = 0,1), а затем наезжает на пружину (k = 500 N/m) на гладкой поверхности. Найдите наибольшее сжатие x пружины.

m = 4 kgh = 3 mL = 4 mμ = 0,1k = 500 N/mg = 9,81 m/s²

x = cm

11.Импульс и столкновенияСредняя

Пуля массой 20 g, выпущенная горизонтально, попадает в деревянный брусок массой 3,5 kg, подвешенный на лёгких нитях, и застревает в нём. Брусок отклоняется и поднимается на 18 cm выше начального положения. Примите g = 9,81 m/s². Найдите скорость v пули до удара.

m = 20 gM = 3,5 kgh = 18 cmg = 9,81 m/s²

v = m/s

12.Импульс и столкновенияСложная

На перекрёстке автомобиль массой 1200 kg, едущий на восток со скоростью 9 m/s, сталкивается с автомобилем массой 1100 kg, едущим на север со скоростью 8 m/s. Автомобили сцепляются. Найдите скорость v′ обломков сразу после столкновения.

m₁ = 1200 kgv₁ = 9 m/s (E)m₂ = 1100 kgv₂ = 8 m/s (N)

v′ = m/s

13.Пружины и маятникиСредняя

Груз массой 1,5 kg на пружине с k = 300 N/m колеблется на поверхности без трения с амплитудой 13 cm. Найдите его скорость v на расстоянии 12 cm от положения равновесия.

m = 1,5 kgk = 300 N/mA = 13 cmx = 12 cm

v = m/s

14.Пружины и маятникиСложная

Пуля массой 10 g, летящая со скоростью 400 m/s, попадает в брусок массой 2 kg, лежащий на поверхности без трения, и застревает в нём. Брусок прикреплён к горизонтальной пружине с k = 1400 N/m. Найдите амплитуду A возникающих колебаний в cm.

m = 10 gv = 400 m/sM = 2 kgk = 1400 N/m

A = cm

15.Волны, звук и оптикаСредняя

Свет идёт в среде «крон» (n = 1,50) к плоской границе со средой «глицерин» (n = 1,47). Найдите критический угол θ_c, за пределом которого происходит полное отражение.

n₁ = 1,50n₂ = 1,47

θ_c = °

16.Волны, звук и оптикаСложная

Дифракционная решётка имеет 600 штрихов на миллиметр. Свет с длиной волны 532 nm падает на неё под прямым углом. Каков наивысший порядок m_max светлого максимума, который можно увидеть?

N = 600 mm⁻¹λ = 532 nm

m_max =

3Растворы

1.Кинематика

Ответ: s = 48,08 m

Движение с постоянным ускорением: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² и v² = v₀² + 2·a·s. Выберите уравнение, в которое входят три известные величины и искомая, и следите за знаками относительно одного положительного направления.

Единицы

v₀ = 90/3,6 = 25 m/s

Тормозной путь

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 25²/(2·6,5) = 48,08 m

Ответ

s = 48,08 m

2.Кинематика

Ответ: t = 26,17 s

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

Наибольшая скорость

v = a₁·t₁ = 2,5·5 = 12,5 m/s

Время торможения

t₃ = v/a₃ = 12,5/3 = 4,167 s

Общее время

t = 5 + 17 + 4,167 = 26,17 s

Ответ

t = 26,17 s

3.Законы Ньютона

Ответ: a = 3,206 m/s²

Второй закон Ньютона: равнодействующая сил, действующих на тело, равна произведению его массы на ускорение, ΣF = m·a. Нарисуйте расчётную схему, выберите положительное направление вдоль движения и сложите все силы в этом направлении: приложенные силы, трение μ·N против движения и составляющие силы тяжести.

Силы вдоль плоскости

Вниз по плоскости — положительное направление.

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

Ускорение

a = 9,81·(sin 30° − 0,2·cos 30°) = 9,81·(0,5 − 0,1732) = 3,206 m/s²

Ответ

a = 3,206 m/s²

4.Законы Ньютона

Ответ: a = 4,013 m/s²

Ускорение системы

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (29,43 − 7,357)/5,5 = 4,013 m/s²

Ответ

a = 4,013 m/s²

5.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: y = 12,14 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Время до стены

v_x = 40·cos 25° = 36,25 m/s

t = x/v_x = 37/36,25 = 1,021 s

Высота в этот момент

y = 16,9·1,021 − ½·9,81·1,021² = 12,14 m

Ответ

y = 12,14 m

У стены мяч ещё поднимается.

6.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: x = 129,5 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Разложите начальную скорость

v_x = 19,5 m/s, v_y = 33,77 m/s

Время до падения на крышу

Больший корень: мяч опускается.

8 = 33,77·t − 4,905·t²

t = (33,77 + √(33,77² − 2·9,81·8))/9,81 = 6,64 s

Горизонтальное расстояние

x = v_x·t = 19,5·6,64 = 129,5 m

Ответ

x = 129,5 m

7.Движение по окружности

Ответ: v_max = 30,45 m/s

Равномерное движение по окружности: тело, движущееся со скоростью v по окружности радиуса r, имеет ускорение a = v²/r, направленное к центру, поэтому на него должна действовать направленная к центру равнодействующая сила F = m·v²/r. Эту силу создаёт что-то реальное: трение, натяжение, сила тяжести или сила нормальной реакции.

Трение создаёт центростремительную силу

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0,7·9,81·135) = 30,45 m/s

Ответ

v_max = 30,45 m/s (109,6 km/h)

8.Движение по окружности

Ответ: v_min = 2,426 m/s

Нулевое натяжение в верхней точке

m·g = m·v²/r → v = √(g·r) = √(9,81·0,6) = 2,426 m/s

Ответ

v_min = 2,426 m/s

9.Работа и энергия

Ответ: d = 48,18 m

Теорема об изменении кинетической энергии: изменение кинетической энергии равно работе всех сил. Если записать тяжесть и пружины как потенциальную энергию (mgh и ½kx²), получается баланс: начальная энергия = конечная энергия + энергия, потерянная на трение (μN·d).

Скорость в основных единицах

v = 70/3,6 = 19,44 m/s

Энергетический баланс

½mv² = μmg·d → d = v²/(2μg) = 19,44²/(2·0,4·9,81) = 48,18 m

Ответ

d = 48,18 m

При удвоении скорости тормозной путь увеличивается в четыре раза.

10.Работа и энергия

Ответ: x = 63,88 cm

Энергия после шероховатой полосы

Рампа гладкая, поэтому энергию забирает только полоса.

mgh − μmgL = 39,24·(3 − 0,1·4) = 102 J

Наибольшее сжатие

½kx² = 102 → x = √(2·102/500) = 0,6388 m = 63,88 cm

Ответ

x = 63,88 cm

11.Импульс и столкновения

Ответ: v = 330,7 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

Отклонение после удара

V = √(2·g·h) = √(2·9,81·0,18) = 1,879 m/s

Столкновение

m·v = (m + M)·V → v = (0,02 + 3,5)·1,879/0,02 = 330,7 m/s

Ответ

v = 330,7 m/s

12.Импульс и столкновения

Ответ: v′ = 6,057 m/s

Составляющие импульса

p_x = 1200·9 = 10800 kg·m/s

p_y = 1100·8 = 8800 kg·m/s

Скорость обломков

v′ = √(p_x² + p_y²)/(m₁ + m₂) = 13931/2300 = 6,057 m/s

Ответ

v′ = 6,057 m/s

13.Пружины и маятники

Ответ: v = 0,7071 m/s

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Угловая частота

ω = √(300/1,5) = 14,14 rad/s

Скорость в точке x

v = ω·√(A² − x²) = 14,14·√(0,13² − 0,12²) = 0,7071 m/s

Ответ

v = 0,7071 m/s

14.Пружины и маятники

Ответ: A = 7,54 cm

Скорость после удара

V = m·v/(m + M) = 0,01·400/2,01 = 1,99 m/s

Угловая частота

ω = √(k/(m + M)) = √(1400/2,01) = 26,39 rad/s

Амплитуда

A = V/ω = 1,99/26,39 = 0,0754 m = 7,54 cm

Ответ

A = 7,54 cm

15.Волны, звук и оптика

Ответ: θ_c = 78,52 °

Геометрическая оптика: на границе n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (закон Снеллиуса), углы отсчитываются от нормали, а n = c/v. При входе в более медленную среду луч приближается к нормали. Из более плотной среды (n₁ > n₂) за пределом критического угла θ_c = arcsin(n₂/n₁) весь свет отражается: полное внутреннее отражение. Тонкие линзы и сферические зеркала подчиняются уравнению 1/f = 1/d_o + 1/d_i с увеличением m = −d_i/d_o. Правило знаков: f > 0 для собирающей линзы и вогнутого зеркала (f = R/2), f < 0 для рассеивающей линзы и выпуклого зеркала; d_i > 0 для действительного изображения, d_i < 0 для мнимого, а m < 0 для перевёрнутого изображения.

Преломление под 90°

sin θc = n₂/n₁ = 1,47/1,50 = 0,98

Критический угол

θc = arcsin(0,98) = 78,52°

Ответ

θ_c = 78,52°

16.Волны, звук и оптика

Ответ: m_max = 3

Интерференция и дифракция: свет от двух щелей на расстоянии d друг от друга приходит в точку на экране с разностью хода d·sin θ. Светлые полосы появляются там, где d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …). Для экрана на расстоянии L ≫ d m-я светлая полоса находится при y = mλL/d, а расстояние между полосами равно Δy = λL/d. У решётки с N штрихами на миллиметр d = 1/N, а резкие максимумы находятся при d·sin θ = mλ; так как sin θ ≤ 1, наивысший порядок — наибольшее целое число m ≤ d/λ. У одной щели шириной a тёмные полосы находятся при a·sin θ = mλ, m = ±1, ±2, …

Расстояние между штрихами

d = 1/600 mm = 1,667 µm

Наивысший порядок

m ≤ d/λ = 1,667 µm/0,532 µm = 3,133 → m_max = 3

Ответ

m_max = 3

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics