Физика 1: Механика: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (16) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Кинематика

Скорость: v = v₀ + a·t
Перемещение: s = v₀·t + ½·a·t²
Без времени: v² = v₀² + 2·a·s
Единицы: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Выпишите известное: v₀, v, a, t и s с единицами.
Выберите уравнение, содержащее три известных величины и неизвестную.
Выберите одно положительное направление и припишите противоположно направленным величинам знак минус.
Решите и проверьте, что ответ физически разумен.

Законы Ньютона

Второй закон: ΣF = m·a
Вес: W = m·g
Трение скольжения: F_f = μ·N
На наклонной плоскости: вдоль: m·g·sin θ, по нормали: m·g·cos θ

Метод

Нарисуйте расчётную схему со всеми силами, действующими на тело.
Выберите положительное направление вдоль движения.
Разложите силы на составляющие вдоль движения и перпендикулярно ему (на наклонной плоскости: m·g·sin θ вдоль, m·g·cos θ перпендикулярно плоскости).
Примените ΣF = m·a вдоль движения; трение равно μ·N и направлено против движения.

Движение тела, брошенного под углом

Составляющие: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положение: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальная высота: H = h + v_y²/(2g)
Дальность (ровная поверхность): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Разложите начальную скорость на составляющие: v_x = v₀·cos θ и v_y = v₀·sin θ.
По горизонтали скорость постоянна; по вертикали ускорение равно −g.
Найдите время полёта из вертикального движения.
Подставьте это время в горизонтальное движение, чтобы найти дальность.

Движение по окружности

Центростремительное ускорение: a = v²/r = ω²·r
Центростремительная сила: F = m·v²/r
Угловая скорость: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальный поворот, трение: v_max = √(μ·g·r)

Работа и энергия

Кинетическая энергия: E_k = ½mv²
Потенциальная энергия: E_p = mgh
Энергетический баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Работа силы трения: W = μ·N·d
Мощность: P = W/t

Импульс и столкновения

Импульс: p = m·v
Сохранение: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно неупругий удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Импульс силы: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Выберите положительное направление и припишите каждой скорости её знак.
Запишите полный импульс до удара: Σm·v.
При абсолютно неупругом ударе тела после него движутся вместе; при упругом сохраняется ещё и кинетическая энергия.
Приравняйте импульс до удара импульсу после и решите.

Пружины и маятники

Груз на пружине: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Угловая частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Наибольшие скорость и ускорение: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Энергия: E = ½·k·A²

Волны, звук и оптика

Скорость волны: v = fλ, T = 1/f
Струна: v = √(T/μ), μ = m/L
Уровень звука: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Точечный источник: I = P/(4πr²)
Стоячие волны: струна или труба, открытая с обоих концов, f_n = n·v/(2L); закрытая труба f_n = n·v/(4L), n нечётное
Эффект Доплера: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Показатель преломления: n = c/v, λ = λ₀/n
Закон Снеллиуса: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Критический угол: sin θ_c = n₂/n₁
Оптическое волокно: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Линзы и зеркала: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Двойная щель: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Решётка: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Одиночная щель: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Метод

Определите тип задачи: скорость волны, уровень звука, стоячая волна, эффект Доплера, преломление, линза или зеркало, либо интерференция.
Сначала запишите соотношение: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) или n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Переведите единицы: nm, mm и cm в m, и проверьте, отсчитываются ли углы от нормали.
Проверьте знаки и правдоподобие: у мнимого изображения dᵢ < 0, приближающийся источник звучит выше, у закрытой трубы только нечётные гармоники.

2Тренировочные задачи

1.КинематикаСредняя

Автомобиль, едущий со скоростью 100 km/h, тормозит с постоянным замедлением 7 m/s² до полной остановки. Сколько длится торможение? Найдите t.

v₀ = 100 km/ha = −7 m/s²v = 0

t = s

2.КинематикаСложная

Мяч бросают вертикально вверх со скоростью 19 m/s с края крыши на высоте 40 m над землёй. Сопротивлением воздуха пренебречь, g = 9,81 m/s². Через какое время после броска он упадёт на землю? Найдите t.

v₀ = 19 m/sh₀ = 40 mg = 9,81 m/s²

t = s

3.Законы НьютонаСредняя

Ящик скользит по горизонтальному полу с начальной скоростью 10 m/s и останавливается через 51 m. Примите g = 9,81 m/s². Найдите коэффициент трения скольжения μ.

v₀ = 10 m/sd = 51 mg = 9,81 m/s²

μ =

4.Законы НьютонаСложная

Брусок массой 1,5 kg на горизонтальном столе соединён лёгкой нитью, перекинутой через блок без трения, с подвешенным грузом массой 4 kg. Коэффициент трения скольжения между бруском и столом 0,3. Примите g = 9,81 m/s². Найдите силу натяжения T нити.

m₁ = 1,5 kgm₂ = 4 kgμ = 0,3g = 9,81 m/s²

T = N

5.Движение тела, брошенного под угломСредняя

Мяч бросают под углом 20° к горизонту с ровной поверхности. Сопротивлением воздуха пренебречь. Найдите горизонтальное расстояние x, которое мяч пролетает до удара о землю.

v₀ = 32 m/sθ = 20°g = 9,81 m/s²

x = m

6.Движение тела, брошенного под угломСложная

Мяч бросают под углом 60° к горизонту с вершины скалы высотой 50 m. Сопротивлением воздуха пренебречь. Найдите горизонтальное расстояние x, которое мяч пролетает до удара о землю.

v₀ = 29 m/sθ = 60°h = 50 mg = 9,81 m/s²

x = m

7.Движение по окружностиСредняя

Автомобиль проходит горизонтальный поворот радиусом 115 m. Коэффициент трения покоя между шинами и дорогой 0,4. Примите g = 9,81 m/s². Найдите наибольшую скорость v_max, с которой автомобиль может пройти поворот без заноса.

r = 115 mμ_s = 0,4g = 9,81 m/s²

v_max = m/s

8.Движение по окружностиСложная

Шарик массой 0,5 kg на нити длиной 0,6 m вращают по вертикальной окружности. В нижней точке его скорость 5,5 m/s. Примите g = 9,81 m/s². Найдите силу натяжения T нити в нижней точке.

m = 0,5 kgr = 0,6 mv = 5,5 m/sg = 9,81 m/s²

T = N

9.Работа и энергияСредняя

Брусок без начальной скорости скользит по наклонной плоскости под углом 30° к горизонту. Коэффициент трения скольжения 0,25. Найдите его скорость v после того, как он проскользит 13 m вдоль плоскости.

θ = 30°μ = 0,25d = 13 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

10.Работа и энергияСложная

Тележку массой 5 kg отпускают без начальной скорости на высоте 2,8 m на гладкой трассе, переходящей в вертикальную «мёртвую петлю» радиусом 1 m. Найдите силу нормальной реакции N, с которой трасса действует на тележку в верхней точке петли.

m = 5 kgh = 2,8 mR = 1 mg = 9,81 m/s²

N = N

11.Импульс и столкновенияСредняя

Автомобиль массой 1200 kg, движущийся со скоростью 12 m/s, налетает на стоящий автомобиль массой 1400 kg, и они сцепляются. Какая кинетическая энергия ΔK теряется при столкновении?

m₁ = 1200 kgv₁ = 12 m/sm₂ = 1400 kgv₂ = 0

ΔK = J

12.Импульс и столкновенияСложная

Мяч массой 0,15 kg ударяется о стену со скоростью 30 m/s и отскакивает прямо назад со скоростью 5 m/s. Контакт длится 50 ms. Найдите модуль импульса силы J, который стена сообщает мячу.

m = 0,15 kgv_in = 30 m/sv_out = 5 m/sΔt = 50 ms

J = N·s

13.Пружины и маятникиСредняя

Какой длины должен быть математический маятник, чтобы его период был 2,5 s? Примите g = 9,81 m/s². Найдите L.

T = 2,5 sg = 9,81 m/s²

L = m

14.Пружины и маятникиСложная

Груз на пружине с k = 30 N/m колеблется на поверхности без трения с амплитудой 18 cm. Найдите его кинетическую энергию K на расстоянии 13 cm от положения равновесия.

k = 30 N/mA = 18 cmx = 13 cm

K = J

15.Волны, звук и оптикаСредняя

Предмет находится в 18 cm перед тонкой рассеивающей линзой с фокусным расстоянием 8 cm. Найдите расстояние до изображения d_i. Используйте правило знаков 1/f = 1/d_o + 1/d_i (f < 0 для рассеивающей линзы, d_i < 0 для мнимого изображения).

d_o = 18 cmf = −8 cm

d_i = cm

16.Волны, звук и оптикаСложная

У оптического волокна сердцевина с n₁ = 1,46 и оболочка с n₂ = 1,38. Найдите наибольший угол θ_a к оси волокна, при котором свет из воздуха может войти в торец волокна и всё ещё направляться полным внутренним отражением.

n₁ = 1,46n₂ = 1,38n₀ = 1,00

θ_a = °

3Растворы

1.Кинематика

Ответ: t = 3,968 s

Движение с постоянным ускорением: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² и v² = v₀² + 2·a·s. Выберите уравнение, в которое входят три известные величины и искомая, и следите за знаками относительно одного положительного направления.

Единицы

v₀ = 100/3,6 = 27,78 m/s

Время торможения

0 = v₀ − a·t → t = v₀/a = 27,78/7 = 3,968 s

Ответ

t = 3,968 s

2.Кинематика

Ответ: t = 5,387 s

Уравнение движения

Вверх — положительное направление, земля находится на h₀ ниже точки броска.

−40 = 19·t − ½·9,81·t²

4,905·t² − 19·t − 40 = 0

Решите квадратное уравнение

Физический смысл имеет только положительный корень.

t = (19 + √(19² + 2·9,81·40))/9,81 = 5,387 s

Ответ

t = 5,387 s

3.Законы Ньютона

Ответ: μ = 0,09994

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

Замедление

a = v₀²/(2d) = 10²/(2·51) = 0,9804 m/s²

Коэффициент трения

μ·m·g = m·a → μ = a/g = 0,9804/9,81 = 0,09994

Ответ

μ = 0,09994

4.Законы Ньютона

Ответ: T = 13,91 N

Второй закон Ньютона: равнодействующая сил, действующих на тело, равна произведению его массы на ускорение, ΣF = m·a. Нарисуйте расчётную схему, выберите положительное направление вдоль движения и сложите все силы в этом направлении: приложенные силы, трение μ·N против движения и составляющие силы тяжести.

Ускорение системы

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (39,24 − 4,414)/5,5 = 6,332 m/s²

Натяжение из уравнения для бруска на столе

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 1,5·6,332 + 4,414 = 13,91 N

Ответ

T = 13,91 N

5.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: x = 67,1 m

Движение тела, брошенного под углом: без сопротивления воздуха x = v_xt и y = h + v_yt − ½gt². Оба направления независимы, их связывает только общее время.

Разложите начальную скорость

Горизонтальная скорость постоянна; вертикальное движение имеет постоянное ускорение g = 9,81 m/s² вниз.

v_x = v₀·cos θ = 32·cos 20° = 30,07 m/s

v_y = v₀·sin θ = 32·sin 20° = 10,94 m/s

Время полёта

Старт и приземление на одной высоте: t = 2v_y/g.

t = 2·10,94/9,81 = 2,231 s

Горизонтальное расстояние

x = v_x·t = 30,07·2,231 = 67,1 m

Ответ

x = 67,1 m

6.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: x = 96,46 m

Разложите начальную скорость

Горизонтальная скорость постоянна; вертикальное движение имеет постоянное ускорение g = 9,81 m/s² вниз.

v_x = v₀·cos θ = 29·cos 60° = 14,5 m/s

v_y = v₀·sin θ = 29·sin 60° = 25,11 m/s

Время полёта

Решите y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 и возьмите положительный корень.

0 = 50 + 25,11·t − 4,905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (25,11 + √(630,7 + 981))/9,81 = 6,653 s

Горизонтальное расстояние

x = v_x·t = 14,5·6,653 = 96,46 m

Ответ

x = 96,46 m

7.Движение по окружности

Ответ: v_max = 21,24 m/s

Равномерное движение по окружности: тело, движущееся со скоростью v по окружности радиуса r, имеет ускорение a = v²/r, направленное к центру, поэтому на него должна действовать направленная к центру равнодействующая сила F = m·v²/r. Эту силу создаёт что-то реальное: трение, натяжение, сила тяжести или сила нормальной реакции.

Трение создаёт центростремительную силу

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0,4·9,81·115) = 21,24 m/s

Ответ

v_max = 21,24 m/s (76,47 km/h)

8.Движение по окружности

Ответ: T = 30,11 N

Силы в нижней точке

К центру (вверх) — положительное направление.

T − m·g = m·v²/r

T = 0,5·9,81 + 0,5·5,5²/0,6 = 4,905 + 25,21 = 30,11 N

Ответ

T = 30,11 N

9.Работа и энергия

Ответ: v = 8,503 m/s

Теорема об изменении кинетической энергии: изменение кинетической энергии равно работе всех сил. Если записать тяжесть и пружины как потенциальную энергию (mgh и ½kx²), получается баланс: начальная энергия = конечная энергия + энергия, потерянная на трение (μN·d).

Энергетический баланс вдоль плоскости

Брусок опускается на высоту d·sin θ, а трение забирает μmg·cos θ·d. Масса сокращается.

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)

v = √(2·9,81·13·(0,5 − 0,25·0,866)) = 8,503 m/s

Ответ

v = 8,503 m/s

10.Работа и энергия

Ответ: N = 29,43 N

Скорость в верхней точке

v² = 2g(h − 2R) = 2·9,81·(2,8 − 2) = 15,7 m²/s²

Силы в верхней точке

m·g = 5·9,81 = 49,05 N

N = mv²/R − mg = 5·15,7/1 − 49,05 = 29,43 N

Ответ

N = 29,43 N

Тележка едва проходит петлю при h = 2,5R; тогда в верхней точке N = 0.

11.Импульс и столкновения

Ответ: ΔK = 46523 J

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

Общая скорость

v′ = m₁·v₁/(m₁ + m₂) = 1200·12/2600 = 5,538 m/s

Кинетическая энергия до и после

K_before = ½·1200·12² = 86400 J

K_after = ½·2600·5,538² = 39877 J

Потерянная энергия

ΔK = 86400 − 39877 = 46523 J

Ответ

ΔK = 46523 J

Потерянная энергия идёт на деформацию, теплоту и звук.

12.Импульс и столкновения

Ответ: J = 5,25 N·s

Закон сохранения импульса: если во время столкновения внешние силы не действуют, суммарный импульс Σm·v до столкновения равен суммарному импульсу после. Скорость имеет направление, поэтому выберите положительное направление и скорости, направленные в противоположную сторону, берите со знаком минус. При упругом столкновении сохраняется и кинетическая энергия; при абсолютно неупругом тела слипаются.

Изменение импульса

J = m·Δv = 0,15·(5 + 30) = 5,25 N·s

Ответ

J = 5,25 N·s

13.Пружины и маятники

Ответ: L = 1,553 m

Гармонические колебания: груз массой m на пружине жёсткостью k колеблется с угловой частотой ω = √(k/m) и периодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математический маятник длиной L имеет период T = 2π·√(L/g). При амплитуде A наибольшая скорость равна A·ω, наибольшее ускорение — A·ω², а энергия — ½·k·A².

Выразите длину

L = g·(T/2π)² = 9,81·(2,5/2π)² = 1,553 m

Ответ

L = 1,553 m

14.Пружины и маятники

Ответ: K = 0,2325 J

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Полная энергия

E = ½·k·A² = ½·30·0,18² = 0,486 J

Энергия пружины в точке x

U = ½·k·x² = ½·30·0,13² = 0,2535 J

Кинетическая энергия

K = 0,486 − 0,2535 = 0,2325 J

Ответ

K = 0,2325 J

15.Волны, звук и оптика

Ответ: d_i = −5,538 cm

Геометрическая оптика: на границе n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (закон Снеллиуса), углы отсчитываются от нормали, а n = c/v. При входе в более медленную среду луч приближается к нормали. Из более плотной среды (n₁ > n₂) за пределом критического угла θ_c = arcsin(n₂/n₁) весь свет отражается: полное внутреннее отражение. Тонкие линзы и сферические зеркала подчиняются уравнению 1/f = 1/d_o + 1/d_i с увеличением m = −d_i/d_o. Правило знаков: f > 0 для собирающей линзы и вогнутого зеркала (f = R/2), f < 0 для рассеивающей линзы и выпуклого зеркала; d_i > 0 для действительного изображения, d_i < 0 для мнимого, а m < 0 для перевёрнутого изображения.

Формула тонкой линзы

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/(−8) − 1/18

d_i = −5,538 cm

Ход лучей

мнимое, по ту же сторону, что и предмет

Ответ

d_i = −5,538 cm

16.Волны, звук и оптика

Ответ: θ_a = 28,47 °

Критический угол на оболочке

sin θc = 1,38/1,46 = 0,9452 → θc = 70,94°

Числовая апертура

NA = √(1,46² − 1,38²) = 0,4767

Угол приёма

θ_a = arcsin(0,4767) = 28,47°

Ответ

θ_a = 28,47°

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics