Физика 1: Механика: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (16) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Кинематика

Скорость: v = v₀ + a·t
Перемещение: s = v₀·t + ½·a·t²
Без времени: v² = v₀² + 2·a·s
Единицы: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Выпишите известное: v₀, v, a, t и s с единицами.
Выберите уравнение, содержащее три известных величины и неизвестную.
Выберите одно положительное направление и припишите противоположно направленным величинам знак минус.
Решите и проверьте, что ответ физически разумен.

Законы Ньютона

Второй закон: ΣF = m·a
Вес: W = m·g
Трение скольжения: F_f = μ·N
На наклонной плоскости: вдоль: m·g·sin θ, по нормали: m·g·cos θ

Метод

Нарисуйте расчётную схему со всеми силами, действующими на тело.
Выберите положительное направление вдоль движения.
Разложите силы на составляющие вдоль движения и перпендикулярно ему (на наклонной плоскости: m·g·sin θ вдоль, m·g·cos θ перпендикулярно плоскости).
Примените ΣF = m·a вдоль движения; трение равно μ·N и направлено против движения.

Движение тела, брошенного под углом

Составляющие: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положение: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальная высота: H = h + v_y²/(2g)
Дальность (ровная поверхность): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Разложите начальную скорость на составляющие: v_x = v₀·cos θ и v_y = v₀·sin θ.
По горизонтали скорость постоянна; по вертикали ускорение равно −g.
Найдите время полёта из вертикального движения.
Подставьте это время в горизонтальное движение, чтобы найти дальность.

Движение по окружности

Центростремительное ускорение: a = v²/r = ω²·r
Центростремительная сила: F = m·v²/r
Угловая скорость: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальный поворот, трение: v_max = √(μ·g·r)

Работа и энергия

Кинетическая энергия: E_k = ½mv²
Потенциальная энергия: E_p = mgh
Энергетический баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Работа силы трения: W = μ·N·d
Мощность: P = W/t

Импульс и столкновения

Импульс: p = m·v
Сохранение: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно неупругий удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Импульс силы: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Выберите положительное направление и припишите каждой скорости её знак.
Запишите полный импульс до удара: Σm·v.
При абсолютно неупругом ударе тела после него движутся вместе; при упругом сохраняется ещё и кинетическая энергия.
Приравняйте импульс до удара импульсу после и решите.

Пружины и маятники

Груз на пружине: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Угловая частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Наибольшие скорость и ускорение: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Энергия: E = ½·k·A²

Волны, звук и оптика

Скорость волны: v = fλ, T = 1/f
Струна: v = √(T/μ), μ = m/L
Уровень звука: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Точечный источник: I = P/(4πr²)
Стоячие волны: струна или труба, открытая с обоих концов, f_n = n·v/(2L); закрытая труба f_n = n·v/(4L), n нечётное
Эффект Доплера: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Показатель преломления: n = c/v, λ = λ₀/n
Закон Снеллиуса: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Критический угол: sin θ_c = n₂/n₁
Оптическое волокно: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Линзы и зеркала: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Двойная щель: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Решётка: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Одиночная щель: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Метод

Определите тип задачи: скорость волны, уровень звука, стоячая волна, эффект Доплера, преломление, линза или зеркало, либо интерференция.
Сначала запишите соотношение: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) или n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Переведите единицы: nm, mm и cm в m, и проверьте, отсчитываются ли углы от нормали.
Проверьте знаки и правдоподобие: у мнимого изображения dᵢ < 0, приближающийся источник звучит выше, у закрытой трубы только нечётные гармоники.

2Тренировочные задачи

1.КинематикаСредняя

Для взлёта самолёту нужна скорость 280 km/h, а длина полосы 1200 m. С каким постоянным ускорением a он должен разгоняться с места?

v₀ = 0v = 280 km/hs = 1200 m

a = m/s²

2.КинематикаСложная

Мяч бросают вертикально вверх со скоростью 14 m/s с края крыши на высоте 20 m над землёй. Сопротивлением воздуха пренебречь, g = 9,81 m/s². Через какое время после броска он упадёт на землю? Найдите t.

v₀ = 14 m/sh₀ = 20 mg = 9,81 m/s²

t = s

3.Законы НьютонаСредняя

Брусок массой 5 kg скользит вниз по гладкой наклонной плоскости под углом 30° к горизонту. Примите g = 9,81 m/s². Найдите ускорение a бруска вдоль плоскости.

m = 5 kgθ = 30°μ = 0g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Законы НьютонаСложная

Брусок массой 4,5 kg на горизонтальном столе соединён лёгкой нитью, перекинутой через блок без трения, с подвешенным грузом массой 5 kg. Трения о стол нет. Примите g = 9,81 m/s². Найдите силу натяжения T нити.

m₁ = 4,5 kgm₂ = 5 kgμ = 0g = 9,81 m/s²

T = N

5.Движение тела, брошенного под угломСредняя

Мяч бросают под углом 35° к горизонту с ровной поверхности. Сопротивлением воздуха пренебречь. Найдите горизонтальное расстояние x, которое мяч пролетает до удара о землю.

v₀ = 32 m/sθ = 35°g = 9,81 m/s²

x = m

6.Движение тела, брошенного под угломСложная

Мяч бросают под углом 60° к горизонту с вершины скалы высотой 25 m. Сопротивлением воздуха пренебречь. Найдите горизонтальное расстояние x, которое мяч пролетает до удара о землю.

v₀ = 13 m/sθ = 60°h = 25 mg = 9,81 m/s²

x = m

7.Движение по окружностиСредняя

Маленький шарик на нити длиной 1,3 m движется по горизонтальной окружности так, что нить составляет постоянный угол 25° с вертикалью (конический маятник). Примите g = 9,81 m/s². Найдите время T одного оборота.

L = 1,3 mθ = 25°g = 9,81 m/s²

T = s

8.Движение по окружностиСложная

Шарик массой 1,6 kg на нити длиной 1,5 m вращают по вертикальной окружности. В нижней точке его скорость 4 m/s. Примите g = 9,81 m/s². Найдите силу натяжения T нити в нижней точке.

m = 1,6 kgr = 1,5 mv = 4 m/sg = 9,81 m/s²

T = N

9.Работа и энергияСредняя

Брусок массой 1 kg скользит 17 m по наклонной плоскости под углом 25° к горизонту с коэффициентом трения скольжения 0,15. Найдите работу W_f против силы трения.

m = 1 kgθ = 25°μ = 0,15d = 17 mg = 9,81 m/s²

W_f = J

10.Работа и энергияСложная

Пружину жёсткостью 1000 N/m у основания наклонной плоскости 30° сжимают на 12 cm бруском массой 1 kg и отпускают. Коэффициент трения скольжения между бруском и плоскостью равен 0,3. Какое расстояние d пройдёт брусок вверх по плоскости от точки отпускания до остановки? (Пренебрегите коротким участком, на котором толкает пружина, т. е. учитывайте трение и силу тяжести на всём расстоянии d.)

m = 1 kgk = 1000 N/mx = 12 cmθ = 30°μ = 0,3g = 9,81 m/s²

d = m

11.Импульс и столкновенияСредняя

Снаряд массой 8 kg, движущийся горизонтально со скоростью 30 m/s, разрывается на два осколка, движущихся вдоль той же прямой. Осколок массой 7 kg продолжает движение вперёд со скоростью 74 m/s. Найдите скорость v′₂ осколка массой 1 kg (положительна в исходном направлении).

M = 8 kgu = 30 m/sm₁ = 7 kgv′₁ = 74 m/sm₂ = 1 kg

v′₂ = m/s

12.Импульс и столкновенияСложная

На перекрёстке автомобиль массой 1100 kg, едущий на восток со скоростью 18 m/s, сталкивается с автомобилем массой 1800 kg, едущим на север со скоростью 22 m/s. Автомобили сцепляются. Найдите направление θ движения обломков сразу после столкновения, отсчитанное от востока к северу.

m₁ = 1100 kgv₁ = 18 m/s (E)m₂ = 1800 kgv₂ = 22 m/s (N)

θ = °

13.Пружины и маятникиСредняя

Какой длины должен быть математический маятник, чтобы его период был 1,2 s? Примите g = 9,81 m/s². Найдите L.

T = 1,2 sg = 9,81 m/s²

L = m

14.Пружины и маятникиСложная

Тело совершает гармонические колебания с периодом 1,8 s и амплитудой 4 cm. За какое наименьшее время t оно переместится из точки наибольшего смещения 4 cm в точку со смещением 3 cm?

T = 1,8 sA = 4 cmx = 3 cm

t = s

15.Волны, звук и оптикаСредняя

Одна машина создаёт уровень звука 60 dB в некоторой точке. Найдите уровень β в этой точке, когда одновременно работают 4 одинаковых машин (некогерентные источники).

β₁ = 60 dBn = 4

β = dB

16.Волны, звук и оптикаСложная

У оптического волокна сердцевина с n₁ = 1,46 и оболочка с n₂ = 1,41. Найдите его числовую апертуру NA.

n₁ = 1,46n₂ = 1,41

NA =

3Растворы

1.Кинематика

Ответ: a = 2,521 m/s²

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

Единицы

v = 280/3,6 = 77,78 m/s

Ускорение

a = v²/(2s) = 77,78²/(2·1200) = 2,521 m/s²

Ответ

a = 2,521 m/s²

2.Кинематика

Ответ: t = 3,9 s

Движение с постоянным ускорением: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² и v² = v₀² + 2·a·s. Выберите уравнение, в которое входят три известные величины и искомая, и следите за знаками относительно одного положительного направления.

Уравнение движения

Вверх — положительное направление, земля находится на h₀ ниже точки броска.

−20 = 14·t − ½·9,81·t²

4,905·t² − 14·t − 20 = 0

Решите квадратное уравнение

Физический смысл имеет только положительный корень.

t = (14 + √(14² + 2·9,81·20))/9,81 = 3,9 s

Ответ

t = 3,9 s

3.Законы Ньютона

Ответ: a = 4,905 m/s²

Второй закон Ньютона: равнодействующая сил, действующих на тело, равна произведению его массы на ускорение, ΣF = m·a. Нарисуйте расчётную схему, выберите положительное направление вдоль движения и сложите все силы в этом направлении: приложенные силы, трение μ·N против движения и составляющие силы тяжести.

Силы вдоль плоскости

Вниз по плоскости — положительное направление.

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

Ускорение

a = 9,81·(sin 30° − 0·cos 30°) = 9,81·(0,5 − 0) = 4,905 m/s²

Ответ

a = 4,905 m/s²

4.Законы Ньютона

Ответ: T = 23,23 N

Ускорение системы

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (49,05 − 0)/9,5 = 5,163 m/s²

Натяжение из уравнения для бруска на столе

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 4,5·5,163 + 0 = 23,23 N

Ответ

T = 23,23 N

5.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: x = 98,09 m

Движение тела, брошенного под углом: без сопротивления воздуха x = v_xt и y = h + v_yt − ½gt². Оба направления независимы, их связывает только общее время.

Разложите начальную скорость

Горизонтальная скорость постоянна; вертикальное движение имеет постоянное ускорение g = 9,81 m/s² вниз.

v_x = v₀·cos θ = 32·cos 35° = 26,21 m/s

v_y = v₀·sin θ = 32·sin 35° = 18,35 m/s

Время полёта

Старт и приземление на одной высоте: t = 2v_y/g.

t = 2·18,35/9,81 = 3,742 s

Горизонтальное расстояние

x = v_x·t = 26,21·3,742 = 98,09 m

Ответ

x = 98,09 m

6.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: x = 23,92 m

Разложите начальную скорость

Горизонтальная скорость постоянна; вертикальное движение имеет постоянное ускорение g = 9,81 m/s² вниз.

v_x = v₀·cos θ = 13·cos 60° = 6,5 m/s

v_y = v₀·sin θ = 13·sin 60° = 11,26 m/s

Время полёта

Решите y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 и возьмите положительный корень.

0 = 25 + 11,26·t − 4,905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (11,26 + √(126,7 + 490,5))/9,81 = 3,68 s

Горизонтальное расстояние

x = v_x·t = 6,5·3,68 = 23,92 m

Ответ

x = 23,92 m

7.Движение по окружности

Ответ: T = 2,177 s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

Радиус окружности

r = L·sin θ = 1,3·sin 25° = 0,5494 m

Скорость

Сила натяжения и сила тяжести вместе дают силу, направленную к центру: tan θ = v²/(r·g).

v = √(r·g·tan θ) = √(0,5494·9,81·tan 25°) = 1,585 m/s

Период

T = 2π·r/v = 2π·0,5494/1,585 = 2,177 s

Ответ

T = 2,177 s

8.Движение по окружности

Ответ: T = 32,76 N

Равномерное движение по окружности: тело, движущееся со скоростью v по окружности радиуса r, имеет ускорение a = v²/r, направленное к центру, поэтому на него должна действовать направленная к центру равнодействующая сила F = m·v²/r. Эту силу создаёт что-то реальное: трение, натяжение, сила тяжести или сила нормальной реакции.

Силы в нижней точке

К центру (вверх) — положительное направление.

T − m·g = m·v²/r

T = 1,6·9,81 + 1,6·4²/1,5 = 15,7 + 17,07 = 32,76 N

Ответ

T = 32,76 N

9.Работа и энергия

Ответ: W_f = 22,67 J

Теорема об изменении кинетической энергии: изменение кинетической энергии равно работе всех сил. Если записать тяжесть и пружины как потенциальную энергию (mgh и ½kx²), получается баланс: начальная энергия = конечная энергия + энергия, потерянная на трение (μN·d).

Сила трения

N = mg·cos θ = 9,81·0,9063 = 8,891 N

F = μN = 0,15·8,891 = 1,334 N

Работа против трения

W_f = F·d = 1,334·17 = 22,67 J

Ответ

W_f = 22,67 J

10.Работа и энергия

Ответ: d = 0,966 m

Энергия пружины

x = 12 cm = 0,12 m

½kx² = ½·1000·0,12² = 7,2 J

Энергетический баланс вдоль плоскости

m·g = 1·9,81 = 9,81 N

½kx² = mg·d·(sin θ + μ·cos θ)

d = 7,2/(9,81·(0,5 + 0,3·0,866)) = 0,966 m

Ответ

d = 0,966 m

11.Импульс и столкновения

Ответ: v′₂ = −278 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

Импульс до удара

p = M·u = 8·30 = 240 kg·m/s

Импульс после удара

240 = 7·74 + 1·v′₂

v′₂ = (240 − 518)/1 = −278 m/s

Ответ

v′₂ = −278 m/s

Знак минус означает, что второй осколок летит назад.

12.Импульс и столкновения

Ответ: θ = 63,43 °

Составляющие импульса

p_x = 1100·18 = 19800 kg·m/s

p_y = 1800·22 = 39600 kg·m/s

Направление

tan θ = p_y/p_x = 2 → θ = 63,43°

Ответ

θ = 63,43°

13.Пружины и маятники

Ответ: L = 0,3578 m

Гармонические колебания: груз массой m на пружине жёсткостью k колеблется с угловой частотой ω = √(k/m) и периодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математический маятник длиной L имеет период T = 2π·√(L/g). При амплитуде A наибольшая скорость равна A·ω, наибольшее ускорение — A·ω², а энергия — ½·k·A².

Выразите длину

L = g·(T/2π)² = 9,81·(1,2/2π)² = 0,3578 m

Ответ

L = 0,3578 m

14.Пружины и маятники

Ответ: t = 0,207 s

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Угловая частота

ω = 2π/T = 2π/1,8 = 3,491 rad/s

Выразите время

0,75 = cos(ω·t) → ω·t = arccos(0,75) = 0,7227 rad

t = 0,7227/3,491 = 0,207 s

Ответ

t = 0,207 s

15.Волны, звук и оптика

Ответ: β = 66,02 dB

Волны: периодическая волна проходит одну длину волны за один период, поэтому v = fλ при T = 1/f. На натянутой струне v = √(T/μ), где T — сила натяжения, а μ = m/L — масса на метр. Звук в воздухе распространяется со скоростью около 343 m/s при 20 °C, свет в вакууме — со скоростью c = 3,00 × 10⁸ m/s. Громкость измеряется в логарифмическом масштабе: β = 10·log₁₀(I/I₀) dB, где I₀ = 10⁻¹² W/m², поэтому десятикратная интенсивность добавляет 10 dB. Точечный источник распределяет мощность P по сфере: I = P/(4πr²).

Суммарная интенсивность

I = 4·I₁

Уровень

β = 60 + 10·log₁₀(4) = 66,02 dB

Ответ

β = 66,02 dB

16.Волны, звук и оптика

Ответ: NA = 0,3788

Геометрическая оптика: на границе n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (закон Снеллиуса), углы отсчитываются от нормали, а n = c/v. При входе в более медленную среду луч приближается к нормали. Из более плотной среды (n₁ > n₂) за пределом критического угла θ_c = arcsin(n₂/n₁) весь свет отражается: полное внутреннее отражение. Тонкие линзы и сферические зеркала подчиняются уравнению 1/f = 1/d_o + 1/d_i с увеличением m = −d_i/d_o. Правило знаков: f > 0 для собирающей линзы и вогнутого зеркала (f = R/2), f < 0 для рассеивающей линзы и выпуклого зеркала; d_i > 0 для действительного изображения, d_i < 0 для мнимого, а m < 0 для перевёрнутого изображения.

Критический угол на оболочке

sin θc = 1,41/1,46 = 0,9658 → θc = 74,96°

Числовая апертура

NA = √(1,46² − 1,41²) = 0,3788

Ответ

NA = 0,3788

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics