Физика 1: Механика: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (16) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Кинематика

Скорость: v = v₀ + a·t
Перемещение: s = v₀·t + ½·a·t²
Без времени: v² = v₀² + 2·a·s
Единицы: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Выпишите известное: v₀, v, a, t и s с единицами.
Выберите уравнение, содержащее три известных величины и неизвестную.
Выберите одно положительное направление и припишите противоположно направленным величинам знак минус.
Решите и проверьте, что ответ физически разумен.

Законы Ньютона

Второй закон: ΣF = m·a
Вес: W = m·g
Трение скольжения: F_f = μ·N
На наклонной плоскости: вдоль: m·g·sin θ, по нормали: m·g·cos θ

Метод

Нарисуйте расчётную схему со всеми силами, действующими на тело.
Выберите положительное направление вдоль движения.
Разложите силы на составляющие вдоль движения и перпендикулярно ему (на наклонной плоскости: m·g·sin θ вдоль, m·g·cos θ перпендикулярно плоскости).
Примените ΣF = m·a вдоль движения; трение равно μ·N и направлено против движения.

Движение тела, брошенного под углом

Составляющие: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положение: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальная высота: H = h + v_y²/(2g)
Дальность (ровная поверхность): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Разложите начальную скорость на составляющие: v_x = v₀·cos θ и v_y = v₀·sin θ.
По горизонтали скорость постоянна; по вертикали ускорение равно −g.
Найдите время полёта из вертикального движения.
Подставьте это время в горизонтальное движение, чтобы найти дальность.

Движение по окружности

Центростремительное ускорение: a = v²/r = ω²·r
Центростремительная сила: F = m·v²/r
Угловая скорость: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальный поворот, трение: v_max = √(μ·g·r)

Работа и энергия

Кинетическая энергия: E_k = ½mv²
Потенциальная энергия: E_p = mgh
Энергетический баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Работа силы трения: W = μ·N·d
Мощность: P = W/t

Импульс и столкновения

Импульс: p = m·v
Сохранение: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно неупругий удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Импульс силы: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Выберите положительное направление и припишите каждой скорости её знак.
Запишите полный импульс до удара: Σm·v.
При абсолютно неупругом ударе тела после него движутся вместе; при упругом сохраняется ещё и кинетическая энергия.
Приравняйте импульс до удара импульсу после и решите.

Пружины и маятники

Груз на пружине: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Угловая частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Наибольшие скорость и ускорение: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Энергия: E = ½·k·A²

Волны, звук и оптика

Скорость волны: v = fλ, T = 1/f
Струна: v = √(T/μ), μ = m/L
Уровень звука: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Точечный источник: I = P/(4πr²)
Стоячие волны: струна или труба, открытая с обоих концов, f_n = n·v/(2L); закрытая труба f_n = n·v/(4L), n нечётное
Эффект Доплера: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Показатель преломления: n = c/v, λ = λ₀/n
Закон Снеллиуса: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Критический угол: sin θ_c = n₂/n₁
Оптическое волокно: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Линзы и зеркала: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Двойная щель: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Решётка: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Одиночная щель: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Метод

Определите тип задачи: скорость волны, уровень звука, стоячая волна, эффект Доплера, преломление, линза или зеркало, либо интерференция.
Сначала запишите соотношение: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) или n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Переведите единицы: nm, mm и cm в m, и проверьте, отсчитываются ли углы от нормали.
Проверьте знаки и правдоподобие: у мнимого изображения dᵢ < 0, приближающийся источник звучит выше, у закрытой трубы только нечётные гармоники.

2Тренировочные задачи

1.КинематикаСредняя

Автомобиль, едущий со скоростью 50 km/h, тормозит с постоянным замедлением 4 m/s² до полной остановки. Найдите тормозной путь s.

v₀ = 50 km/ha = −4 m/s²v = 0

s = m

2.КинематикаСложная

Мяч бросают вертикально вверх со скоростью 17 m/s с края крыши на высоте 35 m над землёй. Сопротивлением воздуха пренебречь, g = 9,81 m/s². Через какое время после броска он упадёт на землю? Найдите t.

v₀ = 17 m/sh₀ = 35 mg = 9,81 m/s²

t = s

3.Законы НьютонаСредняя

Грузы массами 5 kg и 0,5 kg висят по обе стороны лёгкого блока без трения и связаны лёгкой нитью. Систему отпускают из состояния покоя. Примите g = 9,81 m/s². Найдите силу натяжения T нити.

m₁ = 5 kgm₂ = 0,5 kgg = 9,81 m/s²

T = N

4.Законы НьютонаСложная

Бруску сообщают толчок, и он начинает скользить вверх по наклонной плоскости под углом 20° со скоростью 5 m/s. Коэффициент трения скольжения равен 0,25. Примите g = 9,81 m/s². Какое расстояние d вдоль плоскости он проскользит до остановки?

v₀ = 5 m/sθ = 20°μ = 0,25g = 9,81 m/s²

d = m

5.Движение тела, брошенного под угломСредняя

Мяч бросают с горизонтальной поверхности под углом 75° к горизонту, и он падает на расстоянии 110 m. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². Найдите начальную скорость v₀.

θ = 75°R = 110 mg = 9,81 m/s²

v₀ = m/s

6.Движение тела, брошенного под угломСложная

Мяч бросают под углом 25° к горизонту с вершины скалы высотой 30 m. Сопротивлением воздуха пренебречь. Найдите время полёта t до удара мяча о землю.

v₀ = 35 m/sθ = 25°h = 30 mg = 9,81 m/s²

t = s

7.Движение по окружностиСредняя

Маленький шарик на нити длиной 0,9 m движется по горизонтальной окружности так, что нить составляет постоянный угол 25° с вертикалью (конический маятник). Примите g = 9,81 m/s². Найдите скорость v шарика.

L = 0,9 mθ = 25°g = 9,81 m/s²

v = m/s

8.Движение по окружностиСложная

Небольшую тележку отпускают без начальной скорости на трассе без трения, и она въезжает в вертикальную петлю радиусом 2,5 m. С какой наименьшей высоты h_min над нижней точкой петли она должна стартовать, чтобы удержаться на трассе в верхней точке петли?

R = 2,5 mv₀ = 0

h_min = m

9.Работа и энергияСредняя

Брусок массой 2 kg скользит 16 m по наклонной плоскости под углом 45° к горизонту с коэффициентом трения скольжения 0,35. Найдите работу W_f против силы трения.

m = 2 kgθ = 45°μ = 0,35d = 16 mg = 9,81 m/s²

W_f = J

10.Работа и энергияСложная

Брусок массой 15 kg начинает движение из состояния покоя у основания наклонной плоскости 35° и тянется вверх по ней постоянной силой 195 N, параллельной плоскости. Коэффициент трения скольжения равен 0,1. Найдите скорость v бруска после того, как он переместится на 2 m вверх по плоскости.

m = 15 kgF = 195 Nθ = 35°μ = 0,1d = 2 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

11.Импульс и столкновенияСредняя

Снаряд массой 18 kg, движущийся горизонтально со скоростью 22 m/s, разрывается на два осколка, движущихся вдоль той же прямой. Осколок массой 9 kg продолжает движение вперёд со скоростью 32 m/s. Найдите скорость v′₂ осколка массой 9 kg (положительна в исходном направлении).

M = 18 kgu = 22 m/sm₁ = 9 kgv′₁ = 32 m/sm₂ = 9 kg

v′₂ = m/s

12.Импульс и столкновенияСложная

Пуля массой 15 g, выпущенная горизонтально, попадает в брусок массой 3 kg, подвешенный на лёгких нитях длиной 2 m, и застревает в нём. Нити отклоняются на наибольший угол 30° от вертикали. Примите g = 9,81 m/s². Найдите скорость v пули до удара.

m = 15 gM = 3 kgL = 2 mθ = 30°g = 9,81 m/s²

v = m/s

13.Пружины и маятникиСредняя

Груз массой 1,2 kg на пружине с k = 20 N/m оттягивают на 3 cm в положительном направлении и отпускают без начальной скорости при t = 0. Найдите его смещение x от положения равновесия при t = 1,1 s (со знаком).

m = 1,2 kgk = 20 N/mA = 3 cmt = 1,1 s

x = cm

14.Пружины и маятникиСложная

Груз массой 0,5 kg на пружине с k = 160 N/m оттягивают на 9 cm от положения равновесия и отпускают. Найдите его наибольшее ускорение a_max.

m = 0,5 kgk = 160 N/mA = 9 cm

a_max = m/s²

15.Волны, звук и оптикаСредняя

Предмет находится в 8 cm перед тонкой собирающей линзой с фокусным расстоянием 5 cm. Найдите расстояние до изображения d_i. Используйте правило знаков 1/f = 1/d_o + 1/d_i (f < 0 для рассеивающей линзы, d_i < 0 для мнимого изображения).

d_o = 8 cmf = 5 cm

d_i = cm

16.Волны, звук и оптикаСложная

Предмет находится в 4 cm перед выпуклым зеркалом с радиусом кривизны 20 cm. Найдите увеличение m (отрицательное для перевёрнутого изображения).

d_o = 4 cmR = 20 cm

m =

3Растворы

1.Кинематика

Ответ: s = 24,11 m

Движение с постоянным ускорением: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² и v² = v₀² + 2·a·s. Выберите уравнение, в которое входят три известные величины и искомая, и следите за знаками относительно одного положительного направления.

Единицы

v₀ = 50/3,6 = 13,89 m/s

Тормозной путь

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 13,89²/(2·4) = 24,11 m

Ответ

s = 24,11 m

2.Кинематика

Ответ: t = 4,917 s

Уравнение движения

Вверх — положительное направление, земля находится на h₀ ниже точки броска.

−35 = 17·t − ½·9,81·t²

4,905·t² − 17·t − 35 = 0

Решите квадратное уравнение

Физический смысл имеет только положительный корень.

t = (17 + √(17² + 2·9,81·35))/9,81 = 4,917 s

Ответ

t = 4,917 s

3.Законы Ньютона

Ответ: T = 8,918 N

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

Ускорение

Движущая равнодействующая — это разность весов; она разгоняет полную массу.

a = (5 − 0,5)·9,81/(5 + 0,5) = 8,026 m/s²

Натяжение по лёгкому грузу

T − m₂·g = m₂·a → T = 0,5·(9,81 + 8,026) = 8,918 N

Ответ

T = 8,918 N

4.Законы Ньютона

Ответ: d = 2,209 m

Замедление

Обе силы направлены вниз по склону; масса сокращается.

a = 9,81·(sin 20° + 0,25·cos 20°) = 5,66 m/s²

Путь

d = v₀²/(2a) = 5²/(2·5,66) = 2,209 m

Ответ

d = 2,209 m

5.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: v₀ = 46,46 m/s

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Выражаем v₀ из формулы дальности

v₀ = √(g·R/sin 2θ) = √(9,81·110/sin 150°) = 46,46 m/s

Ответ

v₀ = 46,46 m/s

6.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: t = 4,404 s

Движение тела, брошенного под углом: без сопротивления воздуха x = v_xt и y = h + v_yt − ½gt². Оба направления независимы, их связывает только общее время.

Разложите начальную скорость

Горизонтальная скорость постоянна; вертикальное движение имеет постоянное ускорение g = 9,81 m/s² вниз.

v_x = v₀·cos θ = 35·cos 25° = 31,72 m/s

v_y = v₀·sin θ = 35·sin 25° = 14,79 m/s

Время полёта

Решите y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 и возьмите положительный корень.

0 = 30 + 14,79·t − 4,905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (14,79 + √(218,8 + 588,6))/9,81 = 4,404 s

Ответ

t = 4,404 s

7.Движение по окружности

Ответ: v = 1,319 m/s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

Радиус окружности

r = L·sin θ = 0,9·sin 25° = 0,3804 m

Скорость

Сила натяжения и сила тяжести вместе дают силу, направленную к центру: tan θ = v²/(r·g).

v = √(r·g·tan θ) = √(0,3804·9,81·tan 25°) = 1,319 m/s

Ответ

v = 1,319 m/s

8.Движение по окружности

Ответ: h_min = 6,25 m

Условие в верхней точке

m·g = m·v²/R → v² = g·R

Закон сохранения энергии

g·h = g·2R + ½·g·R → h = 2,5·R = 2,5·2,5 = 6,25 m

Ответ

h_min = 6,25 m

9.Работа и энергия

Ответ: W_f = 77,69 J

Теорема об изменении кинетической энергии: изменение кинетической энергии равно работе всех сил. Если записать тяжесть и пружины как потенциальную энергию (mgh и ½kx²), получается баланс: начальная энергия = конечная энергия + энергия, потерянная на трение (μN·d).

Сила трения

N = mg·cos θ = 19,62·0,7071 = 13,87 N

F = μN = 0,35·13,87 = 4,856 N

Работа против трения

W_f = F·d = 4,856·16 = 77,69 J

Ответ

W_f = 77,69 J

10.Работа и энергия

Ответ: v = 5,126 m/s

Силы вдоль плоскости

m·g = 15·9,81 = 147,2 N

mg·sin θ = 84,4 N

μ·mg·cos θ = 12,05 N

Работа и энергия

½mv² = (195 − 96,46)·2 = 197,1 J

v = √(2·197,1/15) = 5,126 m/s

Ответ

v = 5,126 m/s

11.Импульс и столкновения

Ответ: v′₂ = 12 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

Импульс до удара

p = M·u = 18·22 = 396 kg·m/s

Импульс после удара

396 = 9·32 + 9·v′₂

v′₂ = (396 − 288)/9 = 12 m/s

Ответ

v′₂ = 12 m/s

12.Импульс и столкновения

Ответ: v = 460,9 m/s

Подъём бруска

h = L·(1 − cos θ) = 2·(1 − cos 30°) = 0,2679 m

Скорость после удара

V = √(2·9,81·0,2679) = 2,293 m/s

Столкновение

v = (m + M)·V/m = 3,015·2,293/0,015 = 460,9 m/s

Ответ

v = 460,9 m/s

13.Пружины и маятники

Ответ: x = −0,6595 cm

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Угловая частота

ω = √(20/1,2) = 4,082 rad/s

ω·t = 4,082·1,1 = 4,491 rad

Перемещение

x = A·cos(ω·t) = 3·cos(4,491) = −0,6595 cm

Ответ

x = −0,6595 cm

14.Пружины и маятники

Ответ: a_max = 28,8 m/s²

Гармонические колебания: груз массой m на пружине жёсткостью k колеблется с угловой частотой ω = √(k/m) и периодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математический маятник длиной L имеет период T = 2π·√(L/g). При амплитуде A наибольшая скорость равна A·ω, наибольшее ускорение — A·ω², а энергия — ½·k·A².

Угловая частота

ω = √(160/0,5) = 17,89 rad/s

Наибольшее ускорение

a_max = A·ω² = 0,09·17,89² = 28,8 m/s²

Ответ

a_max = 28,8 m/s²

15.Волны, звук и оптика

Ответ: d_i = 13,33 cm

Геометрическая оптика: на границе n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (закон Снеллиуса), углы отсчитываются от нормали, а n = c/v. При входе в более медленную среду луч приближается к нормали. Из более плотной среды (n₁ > n₂) за пределом критического угла θ_c = arcsin(n₂/n₁) весь свет отражается: полное внутреннее отражение. Тонкие линзы и сферические зеркала подчиняются уравнению 1/f = 1/d_o + 1/d_i с увеличением m = −d_i/d_o. Правило знаков: f > 0 для собирающей линзы и вогнутого зеркала (f = R/2), f < 0 для рассеивающей линзы и выпуклого зеркала; d_i > 0 для действительного изображения, d_i < 0 для мнимого, а m < 0 для перевёрнутого изображения.

Формула тонкой линзы

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/5 − 1/8

d_i = 13,33 cm

Ход лучей

действительное, по другую сторону линзы

Ответ

d_i = 13,33 cm

16.Волны, звук и оптика

Ответ: m = 0,7143

Фокусное расстояние

f = −R/2 = −10 cm

Уравнение зеркала

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/(−10) − 1/4

d_i = −2,857 cm

Увеличение

m = −(−2,857)/4 = 0,7143

Ответ

m = 0,7143

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics