Физика 1: Механика: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (16) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Кинематика

Скорость: v = v₀ + a·t
Перемещение: s = v₀·t + ½·a·t²
Без времени: v² = v₀² + 2·a·s
Единицы: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Выпишите известное: v₀, v, a, t и s с единицами.
Выберите уравнение, содержащее три известных величины и неизвестную.
Выберите одно положительное направление и припишите противоположно направленным величинам знак минус.
Решите и проверьте, что ответ физически разумен.

Законы Ньютона

Второй закон: ΣF = m·a
Вес: W = m·g
Трение скольжения: F_f = μ·N
На наклонной плоскости: вдоль: m·g·sin θ, по нормали: m·g·cos θ

Метод

Нарисуйте расчётную схему со всеми силами, действующими на тело.
Выберите положительное направление вдоль движения.
Разложите силы на составляющие вдоль движения и перпендикулярно ему (на наклонной плоскости: m·g·sin θ вдоль, m·g·cos θ перпендикулярно плоскости).
Примените ΣF = m·a вдоль движения; трение равно μ·N и направлено против движения.

Движение тела, брошенного под углом

Составляющие: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положение: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальная высота: H = h + v_y²/(2g)
Дальность (ровная поверхность): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Разложите начальную скорость на составляющие: v_x = v₀·cos θ и v_y = v₀·sin θ.
По горизонтали скорость постоянна; по вертикали ускорение равно −g.
Найдите время полёта из вертикального движения.
Подставьте это время в горизонтальное движение, чтобы найти дальность.

Движение по окружности

Центростремительное ускорение: a = v²/r = ω²·r
Центростремительная сила: F = m·v²/r
Угловая скорость: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальный поворот, трение: v_max = √(μ·g·r)

Работа и энергия

Кинетическая энергия: E_k = ½mv²
Потенциальная энергия: E_p = mgh
Энергетический баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Работа силы трения: W = μ·N·d
Мощность: P = W/t

Импульс и столкновения

Импульс: p = m·v
Сохранение: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно неупругий удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Импульс силы: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Выберите положительное направление и припишите каждой скорости её знак.
Запишите полный импульс до удара: Σm·v.
При абсолютно неупругом ударе тела после него движутся вместе; при упругом сохраняется ещё и кинетическая энергия.
Приравняйте импульс до удара импульсу после и решите.

Пружины и маятники

Груз на пружине: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Угловая частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Наибольшие скорость и ускорение: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Энергия: E = ½·k·A²

Волны, звук и оптика

Скорость волны: v = fλ, T = 1/f
Струна: v = √(T/μ), μ = m/L
Уровень звука: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Точечный источник: I = P/(4πr²)
Стоячие волны: струна или труба, открытая с обоих концов, f_n = n·v/(2L); закрытая труба f_n = n·v/(4L), n нечётное
Эффект Доплера: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Показатель преломления: n = c/v, λ = λ₀/n
Закон Снеллиуса: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Критический угол: sin θ_c = n₂/n₁
Оптическое волокно: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Линзы и зеркала: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Двойная щель: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Решётка: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Одиночная щель: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Метод

Определите тип задачи: скорость волны, уровень звука, стоячая волна, эффект Доплера, преломление, линза или зеркало, либо интерференция.
Сначала запишите соотношение: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) или n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Переведите единицы: nm, mm и cm в m, и проверьте, отсчитываются ли углы от нормали.
Проверьте знаки и правдоподобие: у мнимого изображения dᵢ < 0, приближающийся источник звучит выше, у закрытой трубы только нечётные гармоники.

2Тренировочные задачи

1.КинематикаСредняя

Автомобиль, едущий со скоростью 60 km/h, тормозит с постоянным замедлением 6 m/s² до полной остановки. Найдите тормозной путь s.

v₀ = 60 km/ha = −6 m/s²v = 0

s = m

2.КинематикаСложная

Трамвай трогается с места и разгоняется с ускорением 3 m/s² в течение 9 s, затем движется с постоянной скоростью 26 s и, наконец, тормозит с замедлением 2,5 m/s² до остановки. Найдите полное время движения t.

a₁ = 3 m/s²t₁ = 9 st₂ = 26 sa₃ = −2,5 m/s²

t = s

3.Законы НьютонаСредняя

Ящик массой 40 kg толкают вверх по наклонной плоскости под углом 15° к горизонту с постоянной скоростью силой, параллельной плоскости. Коэффициент трения скольжения равен 0,1. Примите g = 9,81 m/s². Найдите толкающую силу F.

m = 40 kgθ = 15°μ = 0,1g = 9,81 m/s²

F = N

4.Законы НьютонаСложная

Брусок массой 1 kg на горизонтальном столе соединён лёгкой нитью, перекинутой через блок без трения, с подвешенным грузом массой 4,5 kg. Коэффициент трения скольжения между бруском и столом 0,2. Примите g = 9,81 m/s². Найдите ускорение a системы.

m₁ = 1 kgm₂ = 4,5 kgμ = 0,2g = 9,81 m/s²

a = m/s²

5.Движение тела, брошенного под угломСредняя

Мяч бросают с горизонтальной поверхности под углом 15° к горизонту, и он падает на расстоянии 80 m. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². Найдите начальную скорость v₀.

θ = 15°R = 80 mg = 9,81 m/s²

v₀ = m/s

6.Движение тела, брошенного под угломСложная

Мяч бросают с уровня земли со скоростью 30 m/s под углом 65° к горизонту. Он падает на плоскую крышу здания высотой 11 m, уже опускаясь. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². Найдите горизонтальное расстояние x от точки броска до места падения.

v₀ = 30 m/sθ = 65°h_roof = 11 mg = 9,81 m/s²

x = m

7.Движение по окружностиСредняя

Маленький шарик на нити длиной 0,7 m движется по горизонтальной окружности так, что нить составляет постоянный угол 45° с вертикалью (конический маятник). Примите g = 9,81 m/s². Найдите время T одного оборота.

L = 0,7 mθ = 45°g = 9,81 m/s²

T = s

8.Движение по окружностиСложная

Шарик массой 1,3 kg на лёгкой нити длиной 0,5 m вращают по вертикальной окружности. В нижней точке его скорость 9,5 m/s. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². Найдите силу натяжения T_top нити в верхней точке.

m = 1,3 kgr = 0,5 mv_bottom = 9,5 m/sg = 9,81 m/s²

T_top = N

9.Работа и энергияСредняя

Шарик массой 1 kg висит на лёгкой нити длиной 2 m. Его отводят в сторону, пока нить не составит 20° с вертикалью, и отпускают без начальной скорости. Найдите силу натяжения T нити в момент прохождения шариком нижней точки.

m = 1 kgL = 2 mθ = 20°g = 9,81 m/s²

T = N

10.Работа и энергияСложная

Тележку массой 2 kg отпускают без начальной скорости на высоте 20 m на гладкой трассе, переходящей в вертикальную «мёртвую петлю» радиусом 5 m. Найдите силу нормальной реакции N, с которой трасса действует на тележку в верхней точке петли.

m = 2 kgh = 20 mR = 5 mg = 9,81 m/s²

N = N

11.Импульс и столкновенияСредняя

Автомобиль массой 2000 kg, движущийся со скоростью 23 m/s, налетает на стоящий автомобиль массой 1400 kg, и они сцепляются. Какая кинетическая энергия ΔK теряется при столкновении?

m₁ = 2000 kgv₁ = 23 m/sm₂ = 1400 kgv₂ = 0

ΔK = J

12.Импульс и столкновенияСложная

Мяч массой 0,5 kg ударяется о стену со скоростью 29 m/s и отскакивает прямо назад со скоростью 14 m/s. Контакт длится 50 ms. Найдите модуль импульса силы J, который стена сообщает мячу.

m = 0,5 kgv_in = 29 m/sv_out = 14 m/sΔt = 50 ms

J = N·s

13.Пружины и маятникиСредняя

Астронавт на другой планете обнаруживает, что математический маятник длиной 1,5 m имеет период малых колебаний 2,3 s. Найдите ускорение свободного падения g на этой планете.

L = 1,5 mT = 2,3 s

g = m/s²

14.Пружины и маятникиСложная

Тело совершает гармонические колебания с периодом 3,1 s и амплитудой 4 cm. За какое наименьшее время t оно переместится из точки наибольшего смещения 4 cm в точку со смещением 3 cm?

T = 3,1 sA = 4 cmx = 3 cm

t = s

15.Волны, звук и оптикаСредняя

Малый громкоговоритель излучает звуковую мощность 1 W одинаково во все стороны. Найдите уровень интенсивности звука β на расстоянии 5 m.

P = 1 Wr = 5 mI₀ = 10⁻¹² W/m²

β = dB

16.Волны, звук и оптикаСложная

Свет с длиной волны 656 nm падает под прямым углом на решётку с 100 штрихами на миллиметр. Найдите угол θ₁ максимума порядка 1.

N = 100 mm⁻¹λ = 656 nmm = 1

θ₁ = °

3Растворы

1.Кинематика

Ответ: s = 23,15 m

Движение с постоянным ускорением: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² и v² = v₀² + 2·a·s. Выберите уравнение, в которое входят три известные величины и искомая, и следите за знаками относительно одного положительного направления.

Единицы

v₀ = 60/3,6 = 16,67 m/s

Тормозной путь

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 16,67²/(2·6) = 23,15 m

Ответ

s = 23,15 m

2.Кинематика

Ответ: t = 45,8 s

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

Наибольшая скорость

v = a₁·t₁ = 3·9 = 27 m/s

Время торможения

t₃ = v/a₃ = 27/2,5 = 10,8 s

Общее время

t = 9 + 26 + 10,8 = 45,8 s

Ответ

t = 45,8 s

3.Законы Ньютона

Ответ: F = 139,5 N

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

Силы вдоль плоскости

Постоянная скорость: силы уравновешены.

F = m·g·sin θ + μ·m·g·cos θ

Толкающая сила

F = 101,6 + 37,9 = 139,5 N

Ответ

F = 139,5 N

4.Законы Ньютона

Ответ: a = 7,67 m/s²

Второй закон Ньютона: равнодействующая сил, действующих на тело, равна произведению его массы на ускорение, ΣF = m·a. Нарисуйте расчётную схему, выберите положительное направление вдоль движения и сложите все силы в этом направлении: приложенные силы, трение μ·N против движения и составляющие силы тяжести.

Ускорение системы

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (44,15 − 1,962)/5,5 = 7,67 m/s²

Ответ

a = 7,67 m/s²

5.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: v₀ = 39,62 m/s

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Выражаем v₀ из формулы дальности

v₀ = √(g·R/sin 2θ) = √(9,81·80/sin 30°) = 39,62 m/s

Ответ

v₀ = 39,62 m/s

6.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: x = 64,71 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Разложите начальную скорость

v_x = 12,68 m/s, v_y = 27,19 m/s

Время до падения на крышу

Больший корень: мяч опускается.

11 = 27,19·t − 4,905·t²

t = (27,19 + √(27,19² − 2·9,81·11))/9,81 = 5,104 s

Горизонтальное расстояние

x = v_x·t = 12,68·5,104 = 64,71 m

Ответ

x = 64,71 m

7.Движение по окружности

Ответ: T = 1,411 s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

Радиус окружности

r = L·sin θ = 0,7·sin 45° = 0,495 m

Скорость

Сила натяжения и сила тяжести вместе дают силу, направленную к центру: tan θ = v²/(r·g).

v = √(r·g·tan θ) = √(0,495·9,81·tan 45°) = 2,204 m/s

Период

T = 2π·r/v = 2π·0,495/2,204 = 1,411 s

Ответ

T = 1,411 s

8.Движение по окружности

Ответ: T_top = 170,9 N

Скорость в верхней точке

Кинетическая энергия переходит в потенциальную на высоте 2r.

v_top² = 9,5² − 4·9,81·0,5 = 70,63 m²/s²

Силы в верхней точке

Сила натяжения и сила тяжести обе направлены вниз, к центру.

T + m·g = m·v_top²/r

T = 1,3·70,63/0,5 − 1,3·9,81 = 170,9 N

Ответ

T_top = 170,9 N

9.Работа и энергия

Ответ: T = 10,99 N

Теорема об изменении кинетической энергии: изменение кинетической энергии равно работе всех сил. Если записать тяжесть и пружины как потенциальную энергию (mgh и ½kx²), получается баланс: начальная энергия = конечная энергия + энергия, потерянная на трение (μN·d). При движении по окружности равнодействующая, направленная к центру, должна быть равна mv²/r.

Скорость в нижней точке

v² = 2gL(1 − cos θ) = 2·9,81·2·(1 − cos 20°) = 2,366 m²/s²

Силы в нижней точке

m·g = 1·9,81 = 9,81 N

T = mg + mv²/L = 9,81 + 1·2,366/2 = 10,99 N

Ответ

T = 10,99 N

Проверка: T = mg(3 − 2cos θ) = 10,99 N.

10.Работа и энергия

Ответ: N = 58,86 N

Скорость в верхней точке

v² = 2g(h − 2R) = 2·9,81·(20 − 10) = 196,2 m²/s²

Силы в верхней точке

m·g = 2·9,81 = 19,62 N

N = mv²/R − mg = 2·196,2/5 − 19,62 = 58,86 N

Ответ

N = 58,86 N

Тележка едва проходит петлю при h = 2,5R; тогда в верхней точке N = 0.

11.Импульс и столкновения

Ответ: ΔK = 217824 J

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

Общая скорость

v′ = m₁·v₁/(m₁ + m₂) = 2000·23/3400 = 13,53 m/s

Кинетическая энергия до и после

K_before = ½·2000·23² = 529000 J

K_after = ½·3400·13,53² = 311176 J

Потерянная энергия

ΔK = 529000 − 311176 = 217824 J

Ответ

ΔK = 217824 J

Потерянная энергия идёт на деформацию, теплоту и звук.

12.Импульс и столкновения

Ответ: J = 21,5 N·s

Закон сохранения импульса: если во время столкновения внешние силы не действуют, суммарный импульс Σm·v до столкновения равен суммарному импульсу после. Скорость имеет направление, поэтому выберите положительное направление и скорости, направленные в противоположную сторону, берите со знаком минус. При упругом столкновении сохраняется и кинетическая энергия; при абсолютно неупругом тела слипаются.

Изменение импульса

J = m·Δv = 0,5·(14 + 29) = 21,5 N·s

Ответ

J = 21,5 N·s

13.Пружины и маятники

Ответ: g = 11,19 m/s²

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Находим g

g = 4π²·L/T² = 4π²·1,5/2,3² = 11,19 m/s²

Ответ

g = 11,19 m/s²

14.Пружины и маятники

Ответ: t = 0,3566 s

Угловая частота

ω = 2π/T = 2π/3,1 = 2,027 rad/s

Выразите время

0,75 = cos(ω·t) → ω·t = arccos(0,75) = 0,7227 rad

t = 0,7227/2,027 = 0,3566 s

Ответ

t = 0,3566 s

15.Волны, звук и оптика

Ответ: β = 95,03 dB

Волны: периодическая волна проходит одну длину волны за один период, поэтому v = fλ при T = 1/f. На натянутой струне v = √(T/μ), где T — сила натяжения, а μ = m/L — масса на метр. Звук в воздухе распространяется со скоростью около 343 m/s при 20 °C, свет в вакууме — со скоростью c = 3,00 × 10⁸ m/s. Громкость измеряется в логарифмическом масштабе: β = 10·log₁₀(I/I₀) dB, где I₀ = 10⁻¹² W/m², поэтому десятикратная интенсивность добавляет 10 dB. Точечный источник распределяет мощность P по сфере: I = P/(4πr²).

Интенсивность

I = P/(4πr²) = 0,003183 W/m²

Уровень

β = 10·log₁₀(0,003183/10⁻¹²) = 95,03 dB

Ответ

β = 95,03 dB

16.Волны, звук и оптика

Ответ: θ₁ = 3,761 °

Интерференция и дифракция: свет от двух щелей на расстоянии d друг от друга приходит в точку на экране с разностью хода d·sin θ. Светлые полосы появляются там, где d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …). Для экрана на расстоянии L ≫ d m-я светлая полоса находится при y = mλL/d, а расстояние между полосами равно Δy = λL/d. У решётки с N штрихами на миллиметр d = 1/N, а резкие максимумы находятся при d·sin θ = mλ; так как sin θ ≤ 1, наивысший порядок — наибольшее целое число m ≤ d/λ. У одной щели шириной a тёмные полосы находятся при a·sin θ = mλ, m = ±1, ±2, …

Расстояние между штрихами

d = 1/100 mm = 1 × 10⁻⁵ m

Уравнение решётки

sin θ = mλ/d = 1·656 × 10⁻⁹/(1 × 10⁻⁵) = 0,0656

θ = 3,761°

Ответ

θ₁ = 3,761°

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics