Физика 1: Механика: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (16) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Кинематика

Скорость: v = v₀ + a·t
Перемещение: s = v₀·t + ½·a·t²
Без времени: v² = v₀² + 2·a·s
Единицы: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Выпишите известное: v₀, v, a, t и s с единицами.
Выберите уравнение, содержащее три известных величины и неизвестную.
Выберите одно положительное направление и припишите противоположно направленным величинам знак минус.
Решите и проверьте, что ответ физически разумен.

Законы Ньютона

Второй закон: ΣF = m·a
Вес: W = m·g
Трение скольжения: F_f = μ·N
На наклонной плоскости: вдоль: m·g·sin θ, по нормали: m·g·cos θ

Метод

Нарисуйте расчётную схему со всеми силами, действующими на тело.
Выберите положительное направление вдоль движения.
Разложите силы на составляющие вдоль движения и перпендикулярно ему (на наклонной плоскости: m·g·sin θ вдоль, m·g·cos θ перпендикулярно плоскости).
Примените ΣF = m·a вдоль движения; трение равно μ·N и направлено против движения.

Движение тела, брошенного под углом

Составляющие: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положение: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальная высота: H = h + v_y²/(2g)
Дальность (ровная поверхность): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Разложите начальную скорость на составляющие: v_x = v₀·cos θ и v_y = v₀·sin θ.
По горизонтали скорость постоянна; по вертикали ускорение равно −g.
Найдите время полёта из вертикального движения.
Подставьте это время в горизонтальное движение, чтобы найти дальность.

Движение по окружности

Центростремительное ускорение: a = v²/r = ω²·r
Центростремительная сила: F = m·v²/r
Угловая скорость: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальный поворот, трение: v_max = √(μ·g·r)

Работа и энергия

Кинетическая энергия: E_k = ½mv²
Потенциальная энергия: E_p = mgh
Энергетический баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Работа силы трения: W = μ·N·d
Мощность: P = W/t

Импульс и столкновения

Импульс: p = m·v
Сохранение: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно неупругий удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Импульс силы: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Выберите положительное направление и припишите каждой скорости её знак.
Запишите полный импульс до удара: Σm·v.
При абсолютно неупругом ударе тела после него движутся вместе; при упругом сохраняется ещё и кинетическая энергия.
Приравняйте импульс до удара импульсу после и решите.

Пружины и маятники

Груз на пружине: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Угловая частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Наибольшие скорость и ускорение: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Энергия: E = ½·k·A²

Волны, звук и оптика

Скорость волны: v = fλ, T = 1/f
Струна: v = √(T/μ), μ = m/L
Уровень звука: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Точечный источник: I = P/(4πr²)
Стоячие волны: струна или труба, открытая с обоих концов, f_n = n·v/(2L); закрытая труба f_n = n·v/(4L), n нечётное
Эффект Доплера: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Показатель преломления: n = c/v, λ = λ₀/n
Закон Снеллиуса: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Критический угол: sin θ_c = n₂/n₁
Оптическое волокно: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Линзы и зеркала: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Двойная щель: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Решётка: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Одиночная щель: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Метод

Определите тип задачи: скорость волны, уровень звука, стоячая волна, эффект Доплера, преломление, линза или зеркало, либо интерференция.
Сначала запишите соотношение: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) или n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Переведите единицы: nm, mm и cm в m, и проверьте, отсчитываются ли углы от нормали.
Проверьте знаки и правдоподобие: у мнимого изображения dᵢ < 0, приближающийся источник звучит выше, у закрытой трубы только нечётные гармоники.

2Тренировочные задачи

1.КинематикаСредняя

Автомобиль, едущий со скоростью 50 km/h, тормозит с постоянным замедлением 5 m/s² до полной остановки. Найдите тормозной путь s.

v₀ = 50 km/ha = −5 m/s²v = 0

s = m

2.КинематикаСложная

Трамвай трогается с места и разгоняется с ускорением 2 m/s² в течение 7 s, затем движется с постоянной скоростью 25 s и, наконец, тормозит с замедлением 3 m/s² до остановки. Найдите полный путь s между двумя остановками.

a₁ = 2 m/s²t₁ = 7 st₂ = 25 sa₃ = −3 m/s²

s = m

3.Законы НьютонаСредняя

Брусок массой 2 kg скользит вниз по наклонной плоскости под углом 40° к горизонту. Коэффициент трения скольжения 0,3. Примите g = 9,81 m/s². Найдите ускорение a бруска вдоль плоскости.

m = 2 kgθ = 40°μ = 0,3g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Законы НьютонаСложная

Брусок массой 2,5 kg на горизонтальном столе соединён лёгкой нитью, перекинутой через блок без трения, с подвешенным грузом массой 4,5 kg. Трения о стол нет. Примите g = 9,81 m/s². Найдите ускорение a системы.

m₁ = 2,5 kgm₂ = 4,5 kgμ = 0g = 9,81 m/s²

a = m/s²

5.Движение тела, брошенного под угломСредняя

Мяч бросают под углом 45° к горизонту с ровной поверхности. Сопротивлением воздуха пренебречь. Найдите наибольшую высоту H, которой достигает мяч.

v₀ = 26 m/sθ = 45°g = 9,81 m/s²

H = m

6.Движение тела, брошенного под угломСложная

Мяч бросают под углом 40° к горизонту с вершины скалы высотой 40 m. Сопротивлением воздуха пренебречь. Найдите время полёта t до удара мяча о землю.

v₀ = 13 m/sθ = 40°h = 40 mg = 9,81 m/s²

t = s

7.Движение по окружностиСредняя

В аттракционе «ротор» посетители стоят у стенки вертикального цилиндра радиусом 2,6 m. Когда он вращается достаточно быстро, пол опускается, и их удерживает трение. Коэффициент трения покоя равен 0,8. Примите g = 9,81 m/s². Найдите наименьшую угловую скорость ω в rad/s.

r = 2,6 mμ_s = 0,8g = 9,81 m/s²

ω = rad/s

8.Движение по окружностиСложная

Шарик на нити длиной 1,4 m вращают по вертикальной окружности. Примите g = 9,81 m/s². При какой наименьшей скорости v_min в верхней точке нить ещё остаётся натянутой?

r = 1,4 mg = 9,81 m/s²

v_min = m/s

9.Работа и энергияСредняя

Брусок массой 1 kg скользит 18 m по наклонной плоскости под углом 35° к горизонту с коэффициентом трения скольжения 0,35. Найдите работу W_f против силы трения.

m = 1 kgθ = 35°μ = 0,35d = 18 mg = 9,81 m/s²

W_f = J

10.Работа и энергияСложная

Пружину жёсткостью 3000 N/m у основания наклонной плоскости 40° сжимают на 20 cm бруском массой 1 kg и отпускают. Коэффициент трения скольжения между бруском и плоскостью равен 0,3. Какое расстояние d пройдёт брусок вверх по плоскости от точки отпускания до остановки? (Пренебрегите коротким участком, на котором толкает пружина, т. е. учитывайте трение и силу тяжести на всём расстоянии d.)

m = 1 kgk = 3000 N/mx = 20 cmθ = 40°μ = 0,3g = 9,81 m/s²

d = m

11.Импульс и столкновенияСредняя

Автомобиль массой 600 kg, движущийся со скоростью 24 m/s, налетает на стоящий автомобиль массой 2000 kg, и они сцепляются. Какая кинетическая энергия ΔK теряется при столкновении?

m₁ = 600 kgv₁ = 24 m/sm₂ = 2000 kgv₂ = 0

ΔK = J

12.Импульс и столкновенияСложная

Автомобиль массой 900 kg врезается в припаркованный автомобиль массой 1700 kg. Сцепившиеся автомобили скользят 5 m до остановки. Коэффициент трения скольжения между шинами и дорогой равен 0,7. Примите g = 9,81 m/s². Найдите скорость v₁ первого автомобиля непосредственно перед столкновением.

m₁ = 900 kgm₂ = 1700 kgd = 5 mμ = 0,7g = 9,81 m/s²

v₁ = m/s

13.Пружины и маятникиСредняя

Какой длины должен быть математический маятник, чтобы его период был 1,7 s? Примите g = 9,81 m/s². Найдите L.

T = 1,7 sg = 9,81 m/s²

L = m

14.Пружины и маятникиСложная

Груз массой 3,5 kg на пружине с k = 330 N/m оттягивают на 13 cm от положения равновесия и отпускают. Найдите полную энергию E колебаний.

m = 3,5 kgk = 330 N/mA = 13 cm

E = J

15.Волны, звук и оптикаСредняя

Свет внутри прозрачного блока полностью отражается на границе со средой «вода» (n = 1,33) при любом угле падения больше 48,8°. Найдите показатель преломления n₁ блока.

θ_c = 48,8°n₂ = 1,33

n₁ =

16.Волны, звук и оптикаСложная

Предмет находится в 12 cm перед выпуклым зеркалом с радиусом кривизны 24 cm. Найдите расстояние до изображения d_i: положительное для изображения перед зеркалом (действительного) и отрицательное для изображения за ним (мнимого).

d_o = 12 cmR = 24 cm

d_i = cm

3Растворы

1.Кинематика

Ответ: s = 19,29 m

Движение с постоянным ускорением: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² и v² = v₀² + 2·a·s. Выберите уравнение, в которое входят три известные величины и искомая, и следите за знаками относительно одного положительного направления.

Единицы

v₀ = 50/3,6 = 13,89 m/s

Тормозной путь

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 13,89²/(2·5) = 19,29 m

Ответ

s = 19,29 m

2.Кинематика

Ответ: s = 431,7 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

Наибольшая скорость

v = a₁·t₁ = 2·7 = 14 m/s

Путь на каждом этапе

s₁ = ½·2·7² = 49 m

s₂ = 14·25 = 350 m

s₃ = 14²/(2·3) = 32,67 m

Полный путь

s = 49 + 350 + 32,67 = 431,7 m

Ответ

s = 431,7 m

3.Законы Ньютона

Ответ: a = 4,051 m/s²

Второй закон Ньютона: равнодействующая сил, действующих на тело, равна произведению его массы на ускорение, ΣF = m·a. Нарисуйте расчётную схему, выберите положительное направление вдоль движения и сложите все силы в этом направлении: приложенные силы, трение μ·N против движения и составляющие силы тяжести.

Силы вдоль плоскости

Вниз по плоскости — положительное направление.

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

Ускорение

a = 9,81·(sin 40° − 0,3·cos 40°) = 9,81·(0,6428 − 0,2298) = 4,051 m/s²

Ответ

a = 4,051 m/s²

4.Законы Ньютона

Ответ: a = 6,306 m/s²

Ускорение системы

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (44,15 − 0)/7 = 6,306 m/s²

Ответ

a = 6,306 m/s²

5.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: H = 17,23 m

Движение тела, брошенного под углом: без сопротивления воздуха x = v_xt и y = h + v_yt − ½gt². Оба направления независимы, их связывает только общее время.

Разложите начальную скорость

Горизонтальная скорость постоянна; вертикальное движение имеет постоянное ускорение g = 9,81 m/s² вниз.

v_x = v₀·cos θ = 26·cos 45° = 18,38 m/s

v_y = v₀·sin θ = 26·sin 45° = 18,38 m/s

Высшая точка

В верхней точке вертикальная скорость равна нулю: v_y² = 2gH.

H = v_y²/(2g) = 18,38²/(2·9,81) = 17,23 m

Ответ

H = 17,23 m

6.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: t = 3,832 s

Разложите начальную скорость

Горизонтальная скорость постоянна; вертикальное движение имеет постоянное ускорение g = 9,81 m/s² вниз.

v_x = v₀·cos θ = 13·cos 40° = 9,959 m/s

v_y = v₀·sin θ = 13·sin 40° = 8,356 m/s

Время полёта

Решите y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 и возьмите положительный корень.

0 = 40 + 8,356·t − 4,905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (8,356 + √(69,83 + 784,8))/9,81 = 3,832 s

Ответ

t = 3,832 s

7.Движение по окружности

Ответ: ω = 2,172 rad/s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

Силы, действующие на посетителя

N = m·ω²·r

μ·N = m·g → μ·ω²·r = g

Угловая скорость

ω = √(g/(μ·r)) = √(9,81/(0,8·2,6)) = 2,172 rad/s

Ответ

ω = 2,172 rad/s

8.Движение по окружности

Ответ: v_min = 3,706 m/s

Равномерное движение по окружности: тело, движущееся со скоростью v по окружности радиуса r, имеет ускорение a = v²/r, направленное к центру, поэтому на него должна действовать направленная к центру равнодействующая сила F = m·v²/r. Эту силу создаёт что-то реальное: трение, натяжение, сила тяжести или сила нормальной реакции.

Нулевое натяжение в верхней точке

m·g = m·v²/r → v = √(g·r) = √(9,81·1,4) = 3,706 m/s

Ответ

v_min = 3,706 m/s

9.Работа и энергия

Ответ: W_f = 50,63 J

Теорема об изменении кинетической энергии: изменение кинетической энергии равно работе всех сил. Если записать тяжесть и пружины как потенциальную энергию (mgh и ½kx²), получается баланс: начальная энергия = конечная энергия + энергия, потерянная на трение (μN·d).

Сила трения

N = mg·cos θ = 9,81·0,8192 = 8,036 N

F = μN = 0,35·8,036 = 2,813 N

Работа против трения

W_f = F·d = 2,813·18 = 50,63 J

Ответ

W_f = 50,63 J

10.Работа и энергия

Ответ: d = 7,009 m

Энергия пружины

x = 20 cm = 0,2 m

½kx² = ½·3000·0,2² = 60 J

Энергетический баланс вдоль плоскости

m·g = 1·9,81 = 9,81 N

½kx² = mg·d·(sin θ + μ·cos θ)

d = 60/(9,81·(0,6428 + 0,3·0,766)) = 7,009 m

Ответ

d = 7,009 m

11.Импульс и столкновения

Ответ: ΔK = 132923 J

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

Общая скорость

v′ = m₁·v₁/(m₁ + m₂) = 600·24/2600 = 5,538 m/s

Кинетическая энергия до и после

K_before = ½·600·24² = 172800 J

K_after = ½·2600·5,538² = 39877 J

Потерянная энергия

ΔK = 172800 − 39877 = 132923 J

Ответ

ΔK = 132923 J

Потерянная энергия идёт на деформацию, теплоту и звук.

12.Импульс и столкновения

Ответ: v₁ = 23,94 m/s

Скорость после столкновения

V = √(2·μ·g·d) = √(2·0,7·9,81·5) = 8,287 m/s

Импульс при столкновении

m₁·v₁ = (m₁ + m₂)·V → v₁ = 2600·8,287/900 = 23,94 m/s

Ответ

v₁ = 23,94 m/s

(86,18 km/h)

13.Пружины и маятники

Ответ: L = 0,7181 m

Гармонические колебания: груз массой m на пружине жёсткостью k колеблется с угловой частотой ω = √(k/m) и периодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математический маятник длиной L имеет период T = 2π·√(L/g). При амплитуде A наибольшая скорость равна A·ω, наибольшее ускорение — A·ω², а энергия — ½·k·A².

Выразите длину

L = g·(T/2π)² = 9,81·(1,7/2π)² = 0,7181 m

Ответ

L = 0,7181 m

14.Пружины и маятники

Ответ: E = 2,788 J

Угловая частота

ω = √(330/3,5) = 9,71 rad/s

Энергия

E = ½·k·A² = ½·330·0,13² = 2,788 J

Ответ

E = 2,788 J

15.Волны, звук и оптика

Ответ: n₁ = 1,768

Геометрическая оптика: на границе n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (закон Снеллиуса), углы отсчитываются от нормали, а n = c/v. При входе в более медленную среду луч приближается к нормали. Из более плотной среды (n₁ > n₂) за пределом критического угла θ_c = arcsin(n₂/n₁) весь свет отражается: полное внутреннее отражение. Тонкие линзы и сферические зеркала подчиняются уравнению 1/f = 1/d_o + 1/d_i с увеличением m = −d_i/d_o. Правило знаков: f > 0 для собирающей линзы и вогнутого зеркала (f = R/2), f < 0 для рассеивающей линзы и выпуклого зеркала; d_i > 0 для действительного изображения, d_i < 0 для мнимого, а m < 0 для перевёрнутого изображения.

Показатель преломления блока

n₁ = n₂/sin θc = 1,33/0,7524 = 1,768

Ответ

n₁ = 1,768

16.Волны, звук и оптика

Ответ: d_i = −6 cm

Фокусное расстояние

f = −R/2 = −12 cm

Уравнение зеркала

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/(−12) − 1/12

d_i = −6 cm

Ход лучей

мнимое изображение за зеркалом

Ответ

d_i = −6 cm

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics