Физика 1: Механика: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (16) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Кинематика

Скорость: v = v₀ + a·t
Перемещение: s = v₀·t + ½·a·t²
Без времени: v² = v₀² + 2·a·s
Единицы: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Выпишите известное: v₀, v, a, t и s с единицами.
Выберите уравнение, содержащее три известных величины и неизвестную.
Выберите одно положительное направление и припишите противоположно направленным величинам знак минус.
Решите и проверьте, что ответ физически разумен.

Законы Ньютона

Второй закон: ΣF = m·a
Вес: W = m·g
Трение скольжения: F_f = μ·N
На наклонной плоскости: вдоль: m·g·sin θ, по нормали: m·g·cos θ

Метод

Нарисуйте расчётную схему со всеми силами, действующими на тело.
Выберите положительное направление вдоль движения.
Разложите силы на составляющие вдоль движения и перпендикулярно ему (на наклонной плоскости: m·g·sin θ вдоль, m·g·cos θ перпендикулярно плоскости).
Примените ΣF = m·a вдоль движения; трение равно μ·N и направлено против движения.

Движение тела, брошенного под углом

Составляющие: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положение: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальная высота: H = h + v_y²/(2g)
Дальность (ровная поверхность): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Разложите начальную скорость на составляющие: v_x = v₀·cos θ и v_y = v₀·sin θ.
По горизонтали скорость постоянна; по вертикали ускорение равно −g.
Найдите время полёта из вертикального движения.
Подставьте это время в горизонтальное движение, чтобы найти дальность.

Движение по окружности

Центростремительное ускорение: a = v²/r = ω²·r
Центростремительная сила: F = m·v²/r
Угловая скорость: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальный поворот, трение: v_max = √(μ·g·r)

Работа и энергия

Кинетическая энергия: E_k = ½mv²
Потенциальная энергия: E_p = mgh
Энергетический баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Работа силы трения: W = μ·N·d
Мощность: P = W/t

Импульс и столкновения

Импульс: p = m·v
Сохранение: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно неупругий удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Импульс силы: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Выберите положительное направление и припишите каждой скорости её знак.
Запишите полный импульс до удара: Σm·v.
При абсолютно неупругом ударе тела после него движутся вместе; при упругом сохраняется ещё и кинетическая энергия.
Приравняйте импульс до удара импульсу после и решите.

Пружины и маятники

Груз на пружине: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Угловая частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Наибольшие скорость и ускорение: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Энергия: E = ½·k·A²

Волны, звук и оптика

Скорость волны: v = fλ, T = 1/f
Струна: v = √(T/μ), μ = m/L
Уровень звука: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Точечный источник: I = P/(4πr²)
Стоячие волны: струна или труба, открытая с обоих концов, f_n = n·v/(2L); закрытая труба f_n = n·v/(4L), n нечётное
Эффект Доплера: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Показатель преломления: n = c/v, λ = λ₀/n
Закон Снеллиуса: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Критический угол: sin θ_c = n₂/n₁
Оптическое волокно: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Линзы и зеркала: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Двойная щель: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Решётка: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Одиночная щель: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Метод

Определите тип задачи: скорость волны, уровень звука, стоячая волна, эффект Доплера, преломление, линза или зеркало, либо интерференция.
Сначала запишите соотношение: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) или n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Переведите единицы: nm, mm и cm в m, и проверьте, отсчитываются ли углы от нормали.
Проверьте знаки и правдоподобие: у мнимого изображения dᵢ < 0, приближающийся источник звучит выше, у закрытой трубы только нечётные гармоники.

2Тренировочные задачи

1.КинематикаСредняя

Автомобиль, едущий со скоростью 72 km/h, тормозит с постоянным замедлением 8 m/s² до полной остановки. Найдите тормозной путь s.

v₀ = 72 km/ha = −8 m/s²v = 0

s = m

2.КинематикаСложная

Трамвай трогается с места и разгоняется с ускорением 2,5 m/s² в течение 4 s, затем движется с постоянной скоростью 27 s и, наконец, тормозит с замедлением 3,5 m/s² до остановки. Найдите полное время движения t.

a₁ = 2,5 m/s²t₁ = 4 st₂ = 27 sa₃ = −3,5 m/s²

t = s

3.Законы НьютонаСредняя

Ящик скользит по горизонтальному полу с начальной скоростью 10,5 m/s и останавливается через 56 m. Примите g = 9,81 m/s². Найдите коэффициент трения скольжения μ.

v₀ = 10,5 m/sd = 56 mg = 9,81 m/s²

μ =

4.Законы НьютонаСложная

Два бруска на горизонтальном полу связаны лёгкой горизонтальной нитью. Горизонтальная сила 80 N тянет передний брусок массой 8 kg; брусок массой 7 kg тащится сзади. Коэффициент трения скольжения для обоих брусков равен 0,2. Примите g = 9,81 m/s². Найдите силу натяжения T соединительной нити.

m₁ = 7 kgm₂ = 8 kgF = 80 Nμ = 0,2g = 9,81 m/s²

T = N

5.Движение тела, брошенного под угломСредняя

Мяч бьют с горизонтальной поверхности со скоростью 20 m/s под углом 40° к горизонту в сторону стены, находящейся на расстоянии 16 m. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². На какой высоте y мяч пролетает у стены?

v₀ = 20 m/sθ = 40°x = 16 mg = 9,81 m/s²

y = m

6.Движение тела, брошенного под угломСложная

Мяч бросают со скоростью 29 m/s под углом 25° к горизонту с вершины обрыва высотой 15 m. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². Найдите наибольшую высоту H над землёй у подножия обрыва.

v₀ = 29 m/sθ = 25°h = 15 mg = 9,81 m/s²

H = m

7.Движение по окружностиСредняя

Автомобиль проходит горизонтальный поворот радиусом 100 m. Коэффициент трения покоя между шинами и дорогой 0,8. Примите g = 9,81 m/s². Найдите наибольшую скорость v_max, с которой автомобиль может пройти поворот без заноса.

r = 100 mμ_s = 0,8g = 9,81 m/s²

v_max = m/s

8.Движение по окружностиСложная

Шарик массой 0,6 kg на лёгкой нити длиной 0,9 m вращают по вертикальной окружности. В нижней точке его скорость 10,5 m/s. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². Найдите силу натяжения T_top нити в верхней точке.

m = 0,6 kgr = 0,9 mv_bottom = 10,5 m/sg = 9,81 m/s²

T_top = N

9.Работа и энергияСредняя

Брусок без начальной скорости скользит по наклонной плоскости под углом 40° к горизонту. Коэффициент трения скольжения 0,3. Найдите его скорость v после того, как он проскользит 8 m вдоль плоскости.

θ = 40°μ = 0,3d = 8 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

10.Работа и энергияСложная

Брусок массой 5 kg отпускают без начальной скорости на высоте 3 m на гладкой рампе. Внизу он пересекает шероховатую горизонтальную полосу длиной 2 m (μ = 0,15), а затем наезжает на пружину (k = 2500 N/m) на гладкой поверхности. Найдите скорость v бруска, когда он достигает пружины.

m = 5 kgh = 3 mL = 2 mμ = 0,15k = 2500 N/mg = 9,81 m/s²

v = m/s

11.Импульс и столкновенияСредняя

Автомобиль массой 1200 kg, движущийся со скоростью 5 m/s, налетает на стоящий автомобиль массой 1300 kg, и они сцепляются. Какая кинетическая энергия ΔK теряется при столкновении?

m₁ = 1200 kgv₁ = 5 m/sm₂ = 1300 kgv₂ = 0

ΔK = J

12.Импульс и столкновенияСложная

На перекрёстке автомобиль массой 1400 kg, едущий на восток со скоростью 23 m/s, сталкивается с автомобилем массой 900 kg, едущим на север со скоростью 12 m/s. Автомобили сцепляются. Найдите направление θ движения обломков сразу после столкновения, отсчитанное от востока к северу.

m₁ = 1400 kgv₁ = 23 m/s (E)m₂ = 900 kgv₂ = 12 m/s (N)

θ = °

13.Пружины и маятникиСредняя

Астронавт на другой планете обнаруживает, что математический маятник длиной 2 m имеет период малых колебаний 6,98 s. Найдите ускорение свободного падения g на этой планете.

L = 2 mT = 6,98 s

g = m/s²

14.Пружины и маятникиСложная

Груз массой 3,7 kg на пружине с k = 300 N/m оттягивают на 2 cm от положения равновесия и отпускают. Найдите его наибольшее ускорение a_max.

m = 3,7 kgk = 300 N/mA = 2 cm

a_max = m/s²

15.Волны, звук и оптикаСредняя

Источник частотой 600 Hz движется со скоростью 10 m/s от неподвижного наблюдателя. Скорость звука равна 343 m/s. Найдите частоту f′, которую слышит наблюдатель.

f = 600 Hzv = 343 m/sv_s = 10 m/s

f′ = Hz

16.Волны, звук и оптикаСложная

Свет с длиной волны 532 nm падает на две щели на расстоянии 0,2 mm друг от друга. Экран находится на расстоянии 2,5 m. Найдите расстояние y₅ от центральной светлой полосы до светлой полосы номер 5.

λ = 532 nmd = 0,2 mmL = 2,5 mm = 5

y₅ = mm

3Растворы

1.Кинематика

Ответ: s = 25 m

Движение с постоянным ускорением: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² и v² = v₀² + 2·a·s. Выберите уравнение, в которое входят три известные величины и искомая, и следите за знаками относительно одного положительного направления.

Единицы

v₀ = 72/3,6 = 20 m/s

Тормозной путь

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 20²/(2·8) = 25 m

Ответ

s = 25 m

2.Кинематика

Ответ: t = 33,86 s

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

Наибольшая скорость

v = a₁·t₁ = 2,5·4 = 10 m/s

Время торможения

t₃ = v/a₃ = 10/3,5 = 2,857 s

Общее время

t = 4 + 27 + 2,857 = 33,86 s

Ответ

t = 33,86 s

3.Законы Ньютона

Ответ: μ = 0,1003

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

Замедление

a = v₀²/(2d) = 10,5²/(2·56) = 0,9844 m/s²

Коэффициент трения

μ·m·g = m·a → μ = a/g = 0,9844/9,81 = 0,1003

Ответ

μ = 0,1003

4.Законы Ньютона

Ответ: T = 37,33 N

Вся система

a = (F − μ·(m₁ + m₂)·g)/(m₁ + m₂) = (80 − 29,43)/15 = 3,371 m/s²

Только задний брусок

T = m₁·(a + μ·g) = 7·(3,371 + 1,962) = 37,33 N

Ответ

T = 37,33 N

При одинаковом μ для обоих брусков трение выпадает: T = F·m₁/(m₁ + m₂).

5.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: y = 8,076 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Время до стены

v_x = 20·cos 40° = 15,32 m/s

t = x/v_x = 16/15,32 = 1,044 s

Высота в этот момент

y = 12,86·1,044 − ½·9,81·1,044² = 8,076 m

Ответ

y = 8,076 m

У стены мяч ещё поднимается.

6.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: H = 22,66 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Вертикальная начальная скорость

v_y = 29·sin 25° = 12,26 m/s

Подъём над обрывом

Δh = v_y²/(2g) = 12,26²/(2·9,81) = 7,656 m

Высота над землёй

H = 15 + 7,656 = 22,66 m

Ответ

H = 22,66 m

7.Движение по окружности

Ответ: v_max = 28,01 m/s

Равномерное движение по окружности: тело, движущееся со скоростью v по окружности радиуса r, имеет ускорение a = v²/r, направленное к центру, поэтому на него должна действовать направленная к центру равнодействующая сила F = m·v²/r. Эту силу создаёт что-то реальное: трение, натяжение, сила тяжести или сила нормальной реакции.

Трение создаёт центростремительную силу

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0,8·9,81·100) = 28,01 m/s

Ответ

v_max = 28,01 m/s (100,9 km/h)

8.Движение по окружности

Ответ: T_top = 44,07 N

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

Скорость в верхней точке

Кинетическая энергия переходит в потенциальную на высоте 2r.

v_top² = 10,5² − 4·9,81·0,9 = 74,93 m²/s²

Силы в верхней точке

Сила натяжения и сила тяжести обе направлены вниз, к центру.

T + m·g = m·v_top²/r

T = 0,6·74,93/0,9 − 0,6·9,81 = 44,07 N

Ответ

T_top = 44,07 N

9.Работа и энергия

Ответ: v = 8,051 m/s

Теорема об изменении кинетической энергии: изменение кинетической энергии равно работе всех сил. Если записать тяжесть и пружины как потенциальную энергию (mgh и ½kx²), получается баланс: начальная энергия = конечная энергия + энергия, потерянная на трение (μN·d).

Энергетический баланс вдоль плоскости

Брусок опускается на высоту d·sin θ, а трение забирает μmg·cos θ·d. Масса сокращается.

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)

v = √(2·9,81·8·(0,6428 − 0,3·0,766)) = 8,051 m/s

Ответ

v = 8,051 m/s

10.Работа и энергия

Ответ: v = 7,278 m/s

Энергия после шероховатой полосы

Рампа гладкая, поэтому энергию забирает только полоса.

mgh − μmgL = 49,05·(3 − 0,15·2) = 132,4 J

Скорость у пружины

½mv² = mg(h − μL) → v = √(2g(h − μL)) = √(2·9,81·2,7) = 7,278 m/s

Ответ

v = 7,278 m/s

11.Импульс и столкновения

Ответ: ΔK = 7800 J

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

Общая скорость

v′ = m₁·v₁/(m₁ + m₂) = 1200·5/2500 = 2,4 m/s

Кинетическая энергия до и после

K_before = ½·1200·5² = 15000 J

K_after = ½·2500·2,4² = 7200 J

Потерянная энергия

ΔK = 15000 − 7200 = 7800 J

Ответ

ΔK = 7800 J

Потерянная энергия идёт на деформацию, теплоту и звук.

12.Импульс и столкновения

Ответ: θ = 18,54 °

Составляющие импульса

p_x = 1400·23 = 32200 kg·m/s

p_y = 900·12 = 10800 kg·m/s

Направление

tan θ = p_y/p_x = 0,3354 → θ = 18,54°

Ответ

θ = 18,54°

13.Пружины и маятники

Ответ: g = 1,621 m/s²

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Находим g

g = 4π²·L/T² = 4π²·2/6,98² = 1,621 m/s²

Ответ

g = 1,621 m/s²

14.Пружины и маятники

Ответ: a_max = 1,622 m/s²

Гармонические колебания: груз массой m на пружине жёсткостью k колеблется с угловой частотой ω = √(k/m) и периодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математический маятник длиной L имеет период T = 2π·√(L/g). При амплитуде A наибольшая скорость равна A·ω, наибольшее ускорение — A·ω², а энергия — ½·k·A².

Угловая частота

ω = √(300/3,7) = 9,005 rad/s

Наибольшее ускорение

a_max = A·ω² = 0,02·9,005² = 1,622 m/s²

Ответ

a_max = 1,622 m/s²

15.Волны, звук и оптика

Ответ: f′ = 583 Hz

Стоячие волны и эффект Доплера: в струне, закреплённой с обоих концов, или в трубе, открытой с обоих концов, укладывается целое число полуволн: L = nλ/2, f_n = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … У трубы, закрытой с одного конца, на закрытом конце узел, а на открытом пучность: L = nλ/4 только при нечётных n, f_n = n·v/(4L). Когда источник или наблюдатель движутся вдоль линии между ними, f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s): верхние знаки берите для движения навстречу друг другу. Две волны почти равной частоты дают биения с частотой |f₁ − f₂|.

Формула Доплера

f′ = f·(v − v_o)/(v + v_s) = 600·(343 − 0)/(343 + 10)

f′ = 583 Hz

Ответ

f′ = 583 Hz

16.Волны, звук и оптика

Ответ: y₅ = 33,25 mm

Интерференция и дифракция: свет от двух щелей на расстоянии d друг от друга приходит в точку на экране с разностью хода d·sin θ. Светлые полосы появляются там, где d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …). Для экрана на расстоянии L ≫ d m-я светлая полоса находится при y = mλL/d, а расстояние между полосами равно Δy = λL/d. У решётки с N штрихами на миллиметр d = 1/N, а резкие максимумы находятся при d·sin θ = mλ; так как sin θ ≤ 1, наивысший порядок — наибольшее целое число m ≤ d/λ. У одной щели шириной a тёмные полосы находятся при a·sin θ = mλ, m = ±1, ±2, …

Расстояние между полосами

Δy = λL/d = 532 × 10⁻⁹·2,5/(0,2 × 10⁻³) = 6,65 mm

Полоса номер 5

y₅ = 5·6,65 = 33,25 mm

Ответ

y₅ = 33,25 mm

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics