Физика 1: Механика: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (16) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Кинематика

Скорость: v = v₀ + a·t
Перемещение: s = v₀·t + ½·a·t²
Без времени: v² = v₀² + 2·a·s
Единицы: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Выпишите известное: v₀, v, a, t и s с единицами.
Выберите уравнение, содержащее три известных величины и неизвестную.
Выберите одно положительное направление и припишите противоположно направленным величинам знак минус.
Решите и проверьте, что ответ физически разумен.

Законы Ньютона

Второй закон: ΣF = m·a
Вес: W = m·g
Трение скольжения: F_f = μ·N
На наклонной плоскости: вдоль: m·g·sin θ, по нормали: m·g·cos θ

Метод

Нарисуйте расчётную схему со всеми силами, действующими на тело.
Выберите положительное направление вдоль движения.
Разложите силы на составляющие вдоль движения и перпендикулярно ему (на наклонной плоскости: m·g·sin θ вдоль, m·g·cos θ перпендикулярно плоскости).
Примените ΣF = m·a вдоль движения; трение равно μ·N и направлено против движения.

Движение тела, брошенного под углом

Составляющие: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положение: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальная высота: H = h + v_y²/(2g)
Дальность (ровная поверхность): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Разложите начальную скорость на составляющие: v_x = v₀·cos θ и v_y = v₀·sin θ.
По горизонтали скорость постоянна; по вертикали ускорение равно −g.
Найдите время полёта из вертикального движения.
Подставьте это время в горизонтальное движение, чтобы найти дальность.

Движение по окружности

Центростремительное ускорение: a = v²/r = ω²·r
Центростремительная сила: F = m·v²/r
Угловая скорость: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальный поворот, трение: v_max = √(μ·g·r)

Работа и энергия

Кинетическая энергия: E_k = ½mv²
Потенциальная энергия: E_p = mgh
Энергетический баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Работа силы трения: W = μ·N·d
Мощность: P = W/t

Импульс и столкновения

Импульс: p = m·v
Сохранение: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно неупругий удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Импульс силы: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Выберите положительное направление и припишите каждой скорости её знак.
Запишите полный импульс до удара: Σm·v.
При абсолютно неупругом ударе тела после него движутся вместе; при упругом сохраняется ещё и кинетическая энергия.
Приравняйте импульс до удара импульсу после и решите.

Пружины и маятники

Груз на пружине: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Угловая частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Наибольшие скорость и ускорение: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Энергия: E = ½·k·A²

Волны, звук и оптика

Скорость волны: v = fλ, T = 1/f
Струна: v = √(T/μ), μ = m/L
Уровень звука: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Точечный источник: I = P/(4πr²)
Стоячие волны: струна или труба, открытая с обоих концов, f_n = n·v/(2L); закрытая труба f_n = n·v/(4L), n нечётное
Эффект Доплера: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Показатель преломления: n = c/v, λ = λ₀/n
Закон Снеллиуса: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Критический угол: sin θ_c = n₂/n₁
Оптическое волокно: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Линзы и зеркала: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Двойная щель: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Решётка: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Одиночная щель: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Метод

Определите тип задачи: скорость волны, уровень звука, стоячая волна, эффект Доплера, преломление, линза или зеркало, либо интерференция.
Сначала запишите соотношение: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) или n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Переведите единицы: nm, mm и cm в m, и проверьте, отсчитываются ли углы от нормали.
Проверьте знаки и правдоподобие: у мнимого изображения dᵢ < 0, приближающийся источник звучит выше, у закрытой трубы только нечётные гармоники.

2Тренировочные задачи

1.КинематикаСредняя

Автомобиль, едущий со скоростью 72 km/h, тормозит с постоянным замедлением 7 m/s² до полной остановки. Найдите тормозной путь s.

v₀ = 72 km/ha = −7 m/s²v = 0

s = m

2.КинематикаСложная

Мяч A без начальной скорости падает с высоты 30 m. В тот же момент мяч B бросают вертикально вверх с земли прямо под ним со скоростью 29 m/s. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². На какой высоте y над землёй они встретятся?

H = 30 mv_0B = 29 m/sg = 9,81 m/s²

y = m

3.Законы НьютонаСредняя

Брусок массой 19 kg скользит вниз по гладкой наклонной плоскости под углом 35° к горизонту. Примите g = 9,81 m/s². Найдите ускорение a бруска вдоль плоскости.

m = 19 kgθ = 35°μ = 0g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Законы НьютонаСложная

Брусок массой 2 kg на горизонтальном столе соединён лёгкой нитью, перекинутой через блок без трения, с подвешенным грузом массой 3,5 kg. Коэффициент трения скольжения между бруском и столом 0,3. Примите g = 9,81 m/s². Найдите силу натяжения T нити.

m₁ = 2 kgm₂ = 3,5 kgμ = 0,3g = 9,81 m/s²

T = N

5.Движение тела, брошенного под угломСредняя

Мяч бросают под углом 30° к горизонту с ровной поверхности. Сопротивлением воздуха пренебречь. Найдите наибольшую высоту H, которой достигает мяч.

v₀ = 30 m/sθ = 30°g = 9,81 m/s²

H = m

6.Движение тела, брошенного под угломСложная

Мяч бросают с уровня земли со скоростью 23 m/s под углом 60° к горизонту. Он падает на плоскую крышу здания высотой 5 m, уже опускаясь. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². Найдите горизонтальное расстояние x от точки броска до места падения.

v₀ = 23 m/sθ = 60°h_roof = 5 mg = 9,81 m/s²

x = m

7.Движение по окружностиСредняя

Маленький шарик на нити длиной 1,8 m движется по горизонтальной окружности так, что нить составляет постоянный угол 40° с вертикалью (конический маятник). Примите g = 9,81 m/s². Найдите время T одного оборота.

L = 1,8 mθ = 40°g = 9,81 m/s²

T = s

8.Движение по окружностиСложная

Шарик массой 0,3 kg на нити длиной 0,5 m вращают по вертикальной окружности. В нижней точке его скорость 8,5 m/s. Примите g = 9,81 m/s². Найдите силу натяжения T нити в нижней точке.

m = 0,3 kgr = 0,5 mv = 8,5 m/sg = 9,81 m/s²

T = N

9.Работа и энергияСредняя

Брусок массой 5 kg скользит 2 m по наклонной плоскости под углом 35° к горизонту с коэффициентом трения скольжения 0,3. Найдите работу W_f против силы трения.

m = 5 kgθ = 35°μ = 0,3d = 2 mg = 9,81 m/s²

W_f = J

10.Работа и энергияСложная

Брусок массой 2 kg отпускают без начальной скорости на высоте 3,5 m на гладкой рампе. Внизу он пересекает шероховатую горизонтальную полосу длиной 3,5 m (μ = 0,1), а затем наезжает на пружину (k = 800 N/m) на гладкой поверхности. Найдите скорость v бруска, когда он достигает пружины.

m = 2 kgh = 3,5 mL = 3,5 mμ = 0,1k = 800 N/mg = 9,81 m/s²

v = m/s

11.Импульс и столкновенияСредняя

Тележка массой 4,5 kg, движущаяся со скоростью 2 m/s, испытывает абсолютно упругий центральный удар с покоящейся тележкой массой 4 kg на дорожке без трения. Найдите скорость v′₁ первой тележки после столкновения (положительную в направлении её первоначального движения).

m₁ = 4,5 kgm₂ = 4 kgv₁ = 2 m/sv₂ = 0

v′₁ = m/s

12.Импульс и столкновенияСложная

Пуля массой 20 g, выпущенная горизонтально, попадает в брусок массой 3,5 kg, подвешенный на лёгких нитях длиной 0,7 m, и застревает в нём. Нити отклоняются на наибольший угол 40° от вертикали. Примите g = 9,81 m/s². Найдите скорость v пули до удара.

m = 20 gM = 3,5 kgL = 0,7 mθ = 40°g = 9,81 m/s²

v = m/s

13.Пружины и маятникиСредняя

Какой длины должен быть математический маятник, чтобы его период был 2,1 s? Примите g = 9,81 m/s². Найдите L.

T = 2,1 sg = 9,81 m/s²

L = m

14.Пружины и маятникиСложная

Груз массой 1,1 kg прикрепляют к нижнему концу нерастянутой вертикальной пружины с k = 250 N/m и отпускают без начальной скорости. Примите g = 9,81 m/s². Найдите наибольшую скорость v_max груза.

m = 1,1 kgk = 250 N/mg = 9,81 m/s²

v_max = m/s

15.Волны, звук и оптикаСредняя

Источник частотой 440 Hz движется со скоростью 25 m/s к неподвижному наблюдателю. Скорость звука равна 343 m/s. Найдите частоту f′, которую слышит наблюдатель.

f = 440 Hzv = 343 m/sv_s = 25 m/s

f′ = Hz

16.Волны, звук и оптикаСложная

Свет с длиной волны 550 nm проходит через одиночную щель шириной 0,2 mm. Найдите ширину w центрального светлого максимума на экране на расстоянии 2 m (между первыми тёмными полосами по обе стороны).

λ = 550 nma = 0,2 mmL = 2 m

w = mm

3Растворы

1.Кинематика

Ответ: s = 28,57 m

Движение с постоянным ускорением: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² и v² = v₀² + 2·a·s. Выберите уравнение, в которое входят три известные величины и искомая, и следите за знаками относительно одного положительного направления.

Единицы

v₀ = 72/3,6 = 20 m/s

Тормозной путь

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 20²/(2·7) = 28,57 m

Ответ

s = 28,57 m

2.Кинематика

Ответ: y = 24,75 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

Время встречи

Направление вверх положительно, земля — y = 0.

30 − ½g·t² = 29·t − ½g·t² → t = 30/29 = 1,034 s

Высота встречи

y = 29·1,034 − ½·9,81·1,034² = 24,75 m

Ответ

y = 24,75 m

3.Законы Ньютона

Ответ: a = 5,627 m/s²

Второй закон Ньютона: равнодействующая сил, действующих на тело, равна произведению его массы на ускорение, ΣF = m·a. Нарисуйте расчётную схему, выберите положительное направление вдоль движения и сложите все силы в этом направлении: приложенные силы, трение μ·N против движения и составляющие силы тяжести.

Силы вдоль плоскости

Вниз по плоскости — положительное направление.

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

Ускорение

a = 9,81·(sin 35° − 0·cos 35°) = 9,81·(0,5736 − 0) = 5,627 m/s²

Ответ

a = 5,627 m/s²

4.Законы Ньютона

Ответ: T = 16,23 N

Ускорение системы

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (34,34 − 5,886)/5,5 = 5,173 m/s²

Натяжение из уравнения для бруска на столе

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 2·5,173 + 5,886 = 16,23 N

Ответ

T = 16,23 N

5.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: H = 11,47 m

Движение тела, брошенного под углом: без сопротивления воздуха x = v_xt и y = h + v_yt − ½gt². Оба направления независимы, их связывает только общее время.

Разложите начальную скорость

Горизонтальная скорость постоянна; вертикальное движение имеет постоянное ускорение g = 9,81 m/s² вниз.

v_x = v₀·cos θ = 30·cos 30° = 25,98 m/s

v_y = v₀·sin θ = 30·sin 30° = 15 m/s

Высшая точка

В верхней точке вертикальная скорость равна нулю: v_y² = 2gH.

H = v_y²/(2g) = 15²/(2·9,81) = 11,47 m

Ответ

H = 11,47 m

6.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: x = 43,61 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Разложите начальную скорость

v_x = 11,5 m/s, v_y = 19,92 m/s

Время до падения на крышу

Больший корень: мяч опускается.

5 = 19,92·t − 4,905·t²

t = (19,92 + √(19,92² − 2·9,81·5))/9,81 = 3,792 s

Горизонтальное расстояние

x = v_x·t = 11,5·3,792 = 43,61 m

Ответ

x = 43,61 m

7.Движение по окружности

Ответ: T = 2,356 s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

Радиус окружности

r = L·sin θ = 1,8·sin 40° = 1,157 m

Скорость

Сила натяжения и сила тяжести вместе дают силу, направленную к центру: tan θ = v²/(r·g).

v = √(r·g·tan θ) = √(1,157·9,81·tan 40°) = 3,086 m/s

Период

T = 2π·r/v = 2π·1,157/3,086 = 2,356 s

Ответ

T = 2,356 s

8.Движение по окружности

Ответ: T = 46,29 N

Равномерное движение по окружности: тело, движущееся со скоростью v по окружности радиуса r, имеет ускорение a = v²/r, направленное к центру, поэтому на него должна действовать направленная к центру равнодействующая сила F = m·v²/r. Эту силу создаёт что-то реальное: трение, натяжение, сила тяжести или сила нормальной реакции.

Силы в нижней точке

К центру (вверх) — положительное направление.

T − m·g = m·v²/r

T = 0,3·9,81 + 0,3·8,5²/0,5 = 2,943 + 43,35 = 46,29 N

Ответ

T = 46,29 N

9.Работа и энергия

Ответ: W_f = 24,11 J

Теорема об изменении кинетической энергии: изменение кинетической энергии равно работе всех сил. Если записать тяжесть и пружины как потенциальную энергию (mgh и ½kx²), получается баланс: начальная энергия = конечная энергия + энергия, потерянная на трение (μN·d).

Сила трения

N = mg·cos θ = 49,05·0,8192 = 40,18 N

F = μN = 0,3·40,18 = 12,05 N

Работа против трения

W_f = F·d = 12,05·2 = 24,11 J

Ответ

W_f = 24,11 J

10.Работа и энергия

Ответ: v = 7,861 m/s

Энергия после шероховатой полосы

Рампа гладкая, поэтому энергию забирает только полоса.

mgh − μmgL = 19,62·(3,5 − 0,1·3,5) = 61,8 J

Скорость у пружины

½mv² = mg(h − μL) → v = √(2g(h − μL)) = √(2·9,81·3,15) = 7,861 m/s

Ответ

v = 7,861 m/s

11.Импульс и столкновения

Ответ: v′₁ = 0,1176 m/s

Закон сохранения импульса: если во время столкновения внешние силы не действуют, суммарный импульс Σm·v до столкновения равен суммарному импульсу после. Скорость имеет направление, поэтому выберите положительное направление и скорости, направленные в противоположную сторону, берите со знаком минус. При упругом столкновении сохраняется и кинетическая энергия; при абсолютно неупругом тела слипаются.

Упругий удар о покоящееся тело

Совместное решение уравнений сохранения импульса и энергии даёт эти два результата.

v′₁ = (4,5 − 4)/(4,5 + 4)·2 = 0,1176 m/s

v′₂ = 2·4,5/(4,5 + 4)·2 = 2,118 m/s

Ответ

v′₁ = 0,1176 m/s

12.Импульс и столкновения

Ответ: v = 315,5 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

Подъём бруска

h = L·(1 − cos θ) = 0,7·(1 − cos 40°) = 0,1638 m

Скорость после удара

V = √(2·9,81·0,1638) = 1,793 m/s

Столкновение

v = (m + M)·V/m = 3,52·1,793/0,02 = 315,5 m/s

Ответ

v = 315,5 m/s

13.Пружины и маятники

Ответ: L = 1,096 m

Гармонические колебания: груз массой m на пружине жёсткостью k колеблется с угловой частотой ω = √(k/m) и периодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математический маятник длиной L имеет период T = 2π·√(L/g). При амплитуде A наибольшая скорость равна A·ω, наибольшее ускорение — A·ω², а энергия — ½·k·A².

Выразите длину

L = g·(T/2π)² = 9,81·(2,1/2π)² = 1,096 m

Ответ

L = 1,096 m

14.Пружины и маятники

Ответ: v_max = 0,6507 m/s

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Положение равновесия и амплитуда

x₀ = m·g/k = 1,1·9,81/250 = 0,04316 m = A

Наибольшая скорость

Скорость наибольшая в положении равновесия.

ω = √(250/1,1) = 15,08 rad/s

v_max = A·ω = 0,04316·15,08 = 0,6507 m/s

Ответ

v_max = 0,6507 m/s

15.Волны, звук и оптика

Ответ: f′ = 474,6 Hz

Стоячие волны и эффект Доплера: в струне, закреплённой с обоих концов, или в трубе, открытой с обоих концов, укладывается целое число полуволн: L = nλ/2, f_n = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … У трубы, закрытой с одного конца, на закрытом конце узел, а на открытом пучность: L = nλ/4 только при нечётных n, f_n = n·v/(4L). Когда источник или наблюдатель движутся вдоль линии между ними, f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s): верхние знаки берите для движения навстречу друг другу. Две волны почти равной частоты дают биения с частотой |f₁ − f₂|.

Формула Доплера

f′ = f·(v + v_o)/(v − v_s) = 440·(343 + 0)/(343 − 25)

f′ = 474,6 Hz

Ответ

f′ = 474,6 Hz

16.Волны, звук и оптика

Ответ: w = 11 mm

Интерференция и дифракция: свет от двух щелей на расстоянии d друг от друга приходит в точку на экране с разностью хода d·sin θ. Светлые полосы появляются там, где d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …). Для экрана на расстоянии L ≫ d m-я светлая полоса находится при y = mλL/d, а расстояние между полосами равно Δy = λL/d. У решётки с N штрихами на миллиметр d = 1/N, а резкие максимумы находятся при d·sin θ = mλ; так как sin θ ≤ 1, наивысший порядок — наибольшее целое число m ≤ d/λ. У одной щели шириной a тёмные полосы находятся при a·sin θ = mλ, m = ±1, ±2, …

Первая тёмная полоса

y₁ = λL/a = 550 × 10⁻⁹·2/(0,2 × 10⁻³) = 5,5 mm

Ширина центрального максимума

w = 2y₁ = 11 mm

Ответ

w = 11 mm

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics