Физика 1: Механика: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (16) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Кинематика

Скорость: v = v₀ + a·t
Перемещение: s = v₀·t + ½·a·t²
Без времени: v² = v₀² + 2·a·s
Единицы: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Выпишите известное: v₀, v, a, t и s с единицами.
Выберите уравнение, содержащее три известных величины и неизвестную.
Выберите одно положительное направление и припишите противоположно направленным величинам знак минус.
Решите и проверьте, что ответ физически разумен.

Законы Ньютона

Второй закон: ΣF = m·a
Вес: W = m·g
Трение скольжения: F_f = μ·N
На наклонной плоскости: вдоль: m·g·sin θ, по нормали: m·g·cos θ

Метод

Нарисуйте расчётную схему со всеми силами, действующими на тело.
Выберите положительное направление вдоль движения.
Разложите силы на составляющие вдоль движения и перпендикулярно ему (на наклонной плоскости: m·g·sin θ вдоль, m·g·cos θ перпендикулярно плоскости).
Примените ΣF = m·a вдоль движения; трение равно μ·N и направлено против движения.

Движение тела, брошенного под углом

Составляющие: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положение: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальная высота: H = h + v_y²/(2g)
Дальность (ровная поверхность): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Разложите начальную скорость на составляющие: v_x = v₀·cos θ и v_y = v₀·sin θ.
По горизонтали скорость постоянна; по вертикали ускорение равно −g.
Найдите время полёта из вертикального движения.
Подставьте это время в горизонтальное движение, чтобы найти дальность.

Движение по окружности

Центростремительное ускорение: a = v²/r = ω²·r
Центростремительная сила: F = m·v²/r
Угловая скорость: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальный поворот, трение: v_max = √(μ·g·r)

Работа и энергия

Кинетическая энергия: E_k = ½mv²
Потенциальная энергия: E_p = mgh
Энергетический баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Работа силы трения: W = μ·N·d
Мощность: P = W/t

Импульс и столкновения

Импульс: p = m·v
Сохранение: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно неупругий удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Импульс силы: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Выберите положительное направление и припишите каждой скорости её знак.
Запишите полный импульс до удара: Σm·v.
При абсолютно неупругом ударе тела после него движутся вместе; при упругом сохраняется ещё и кинетическая энергия.
Приравняйте импульс до удара импульсу после и решите.

Пружины и маятники

Груз на пружине: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Угловая частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Наибольшие скорость и ускорение: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Энергия: E = ½·k·A²

Волны, звук и оптика

Скорость волны: v = fλ, T = 1/f
Струна: v = √(T/μ), μ = m/L
Уровень звука: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Точечный источник: I = P/(4πr²)
Стоячие волны: струна или труба, открытая с обоих концов, f_n = n·v/(2L); закрытая труба f_n = n·v/(4L), n нечётное
Эффект Доплера: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Показатель преломления: n = c/v, λ = λ₀/n
Закон Снеллиуса: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Критический угол: sin θ_c = n₂/n₁
Оптическое волокно: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Линзы и зеркала: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Двойная щель: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Решётка: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Одиночная щель: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Метод

Определите тип задачи: скорость волны, уровень звука, стоячая волна, эффект Доплера, преломление, линза или зеркало, либо интерференция.
Сначала запишите соотношение: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) или n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Переведите единицы: nm, mm и cm в m, и проверьте, отсчитываются ли углы от нормали.
Проверьте знаки и правдоподобие: у мнимого изображения dᵢ < 0, приближающийся источник звучит выше, у закрытой трубы только нечётные гармоники.

2Тренировочные задачи

1.КинематикаСредняя

Водитель, едущий со скоростью 54 km/h, видит препятствие. Время её реакции 1,5 s, после чего автомобиль тормозит с постоянным замедлением 6,5 m/s². Найдите полный остановочный путь d с момента, когда она увидела препятствие.

v₀ = 54 km/ht_r = 1,5 sa = −6,5 m/s²

d = m

2.КинематикаСложная

Камень без начальной скорости падает в колодец. Всплеск слышен через 2,6 s после того, как камень отпустили. Скорость звука 343 m/s; пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². Найдите глубину d колодца.

t_total = 2,6 sv_sound = 343 m/sg = 9,81 m/s²

d = m

3.Законы НьютонаСредняя

Брусок массой 2 kg скользит вниз по наклонной плоскости под углом 30° к горизонту. Коэффициент трения скольжения 0,1. Примите g = 9,81 m/s². Найдите ускорение a бруска вдоль плоскости.

m = 2 kgθ = 30°μ = 0,1g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Законы НьютонаСложная

Два бруска на горизонтальном полу связаны лёгкой горизонтальной нитью. Горизонтальная сила 130 N тянет передний брусок массой 7 kg; брусок массой 10 kg тащится сзади. Коэффициент трения скольжения для обоих брусков равен 0,25. Примите g = 9,81 m/s². Найдите силу натяжения T соединительной нити.

m₁ = 10 kgm₂ = 7 kgF = 130 Nμ = 0,25g = 9,81 m/s²

T = N

5.Движение тела, брошенного под угломСредняя

Мяч бросают с горизонтальной поверхности со скоростью 36 m/s, и он должен упасть на расстоянии 115 m. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². Найдите меньший из двух возможных углов броска θ.

v₀ = 36 m/sR = 115 mg = 9,81 m/s²

θ = °

6.Движение тела, брошенного под угломСложная

Мяч бросают под углом 60° к горизонту с вершины скалы высотой 20 m. Сопротивлением воздуха пренебречь. Найдите время полёта t до удара мяча о землю.

v₀ = 25 m/sθ = 60°h = 20 mg = 9,81 m/s²

t = s

7.Движение по окружностиСредняя

Автомобиль проходит горизонтальный поворот радиусом 140 m. Коэффициент трения покоя между шинами и дорогой 0,5. Примите g = 9,81 m/s². Найдите наибольшую скорость v_max, с которой автомобиль может пройти поворот без заноса.

r = 140 mμ_s = 0,5g = 9,81 m/s²

v_max = m/s

8.Движение по окружностиСложная

Небольшую тележку отпускают без начальной скорости на трассе без трения, и она въезжает в вертикальную петлю радиусом 7 m. С какой наименьшей высоты h_min над нижней точкой петли она должна стартовать, чтобы удержаться на трассе в верхней точке петли?

R = 7 mv₀ = 0

h_min = m

9.Работа и энергияСредняя

Брусок без начальной скорости скользит по наклонной плоскости под углом 45° к горизонту. Коэффициент трения скольжения 0,35. Найдите его скорость v после того, как он проскользит 15 m вдоль плоскости.

θ = 45°μ = 0,35d = 15 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

10.Работа и энергияСложная

Брусок массой 2 kg отпускают без начальной скорости на высоте 5 m на гладкой рампе. Внизу он пересекает шероховатую горизонтальную полосу длиной 1,5 m (μ = 0,1), а затем наезжает на пружину (k = 2000 N/m) на гладкой поверхности. Найдите наибольшее сжатие x пружины.

m = 2 kgh = 5 mL = 1,5 mμ = 0,1k = 2000 N/mg = 9,81 m/s²

x = cm

11.Импульс и столкновенияСредняя

Тележка массой 5 kg, движущаяся со скоростью 3 m/s, испытывает абсолютно упругий центральный удар с покоящейся тележкой массой 4 kg на дорожке без трения. Найдите скорость v′₂ второй тележки после столкновения.

m₁ = 5 kgm₂ = 4 kgv₁ = 3 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

12.Импульс и столкновенияСложная

Пуля массой 20 g, выпущенная горизонтально, попадает в брусок массой 1 kg, подвешенный на лёгких нитях длиной 0,9 m, и застревает в нём. Нити отклоняются на наибольший угол 15° от вертикали. Примите g = 9,81 m/s². Найдите скорость v пули до удара.

m = 20 gM = 1 kgL = 0,9 mθ = 15°g = 9,81 m/s²

v = m/s

13.Пружины и маятникиСредняя

Астронавт на другой планете обнаруживает, что математический маятник длиной 1 m имеет период малых колебаний 2,11 s. Найдите ускорение свободного падения g на этой планете.

L = 1 mT = 2,11 s

g = m/s²

14.Пружины и маятникиСложная

Груз массой 3,6 kg на пружине с k = 160 N/m оттягивают на 13 cm от положения равновесия и отпускают. Найдите его наибольшее ускорение a_max.

m = 3,6 kgk = 160 N/mA = 13 cm

a_max = m/s²

15.Волны, звук и оптикаСредняя

Свет внутри прозрачного блока полностью отражается на границе со средой «глицерин» (n = 1,47) при любом угле падения больше 48,8°. Найдите показатель преломления n₁ блока.

θ_c = 48,8°n₂ = 1,47

n₁ =

16.Волны, звук и оптикаСложная

Две тонкие линзы имеют общую ось и находятся на расстоянии 25 cm друг от друга: линза 1 с f₁ = 12 cm и линза 2 с f₂ = 10 cm. Предмет находится в 20 cm перед линзой 1. Найдите положение d_i2 итогового изображения, отсчитываемое от линзы 2 (положительное за линзой 2, действительное — положительное).

f₁ = 12 cmf₂ = 10 cms = 25 cmd_o = 20 cm

d_i2 = cm

3Растворы

1.Кинематика

Ответ: d = 39,81 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

Единицы

v₀ = 54/3,6 = 15 m/s

Путь за время реакции

d₁ = v₀·t_r = 15·1,5 = 22,5 m

Тормозной путь

d₂ = v₀²/(2a) = 15²/(2·6,5) = 17,31 m

Итого

d = 22,5 + 17,31 = 39,81 m

Ответ

d = 39,81 m

2.Кинематика

Ответ: d = 30,9 m

Две части времени

½·9,81·t₁² = 343·(2,6 − t₁)

4,905·t₁² + 343·t₁ − 891,8 = 0

Время падения

Физический смысл имеет только положительный корень.

t₁ = (−343 + √(343² + 4·4,905·891,8))/(2·4,905) = 2,51 s

Глубина

d = ½·9,81·2,51² = 30,9 m

Ответ

d = 30,9 m

3.Законы Ньютона

Ответ: a = 4,055 m/s²

Второй закон Ньютона: равнодействующая сил, действующих на тело, равна произведению его массы на ускорение, ΣF = m·a. Нарисуйте расчётную схему, выберите положительное направление вдоль движения и сложите все силы в этом направлении: приложенные силы, трение μ·N против движения и составляющие силы тяжести.

Силы вдоль плоскости

Вниз по плоскости — положительное направление.

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

Ускорение

a = 9,81·(sin 30° − 0,1·cos 30°) = 9,81·(0,5 − 0,0866) = 4,055 m/s²

Ответ

a = 4,055 m/s²

4.Законы Ньютона

Ответ: T = 76,47 N

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

Вся система

a = (F − μ·(m₁ + m₂)·g)/(m₁ + m₂) = (130 − 41,69)/17 = 5,195 m/s²

Только задний брусок

T = m₁·(a + μ·g) = 10·(5,195 + 2,453) = 76,47 N

Ответ

T = 76,47 N

При одинаковом μ для обоих брусков трение выпадает: T = F·m₁/(m₁ + m₂).

5.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: θ = 30,26 °

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Формула дальности

R = v₀²·sin 2θ/g → sin 2θ = 9,81·115/36² = 0,8705

Угол

2θ = 60,52° → θ = 30,26°

Ответ

θ = 30,26°

Второе решение: 90° − θ = 59,74°.

6.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: t = 5,198 s

Движение тела, брошенного под углом: без сопротивления воздуха x = v_xt и y = h + v_yt − ½gt². Оба направления независимы, их связывает только общее время.

Разложите начальную скорость

Горизонтальная скорость постоянна; вертикальное движение имеет постоянное ускорение g = 9,81 m/s² вниз.

v_x = v₀·cos θ = 25·cos 60° = 12,5 m/s

v_y = v₀·sin θ = 25·sin 60° = 21,65 m/s

Время полёта

Решите y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 и возьмите положительный корень.

0 = 20 + 21,65·t − 4,905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (21,65 + √(468,8 + 392,4))/9,81 = 5,198 s

Ответ

t = 5,198 s

7.Движение по окружности

Ответ: v_max = 26,2 m/s

Равномерное движение по окружности: тело, движущееся со скоростью v по окружности радиуса r, имеет ускорение a = v²/r, направленное к центру, поэтому на него должна действовать направленная к центру равнодействующая сила F = m·v²/r. Эту силу создаёт что-то реальное: трение, натяжение, сила тяжести или сила нормальной реакции.

Трение создаёт центростремительную силу

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0,5·9,81·140) = 26,2 m/s

Ответ

v_max = 26,2 m/s (94,34 km/h)

8.Движение по окружности

Ответ: h_min = 17,5 m

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

Условие в верхней точке

m·g = m·v²/R → v² = g·R

Закон сохранения энергии

g·h = g·2R + ½·g·R → h = 2,5·R = 2,5·7 = 17,5 m

Ответ

h_min = 17,5 m

9.Работа и энергия

Ответ: v = 11,63 m/s

Теорема об изменении кинетической энергии: изменение кинетической энергии равно работе всех сил. Если записать тяжесть и пружины как потенциальную энергию (mgh и ½kx²), получается баланс: начальная энергия = конечная энергия + энергия, потерянная на трение (μN·d).

Энергетический баланс вдоль плоскости

Брусок опускается на высоту d·sin θ, а трение забирает μmg·cos θ·d. Масса сокращается.

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)

v = √(2·9,81·15·(0,7071 − 0,35·0,7071)) = 11,63 m/s

Ответ

v = 11,63 m/s

10.Работа и энергия

Ответ: x = 30,85 cm

Энергия после шероховатой полосы

Рампа гладкая, поэтому энергию забирает только полоса.

mgh − μmgL = 19,62·(5 − 0,1·1,5) = 95,16 J

Наибольшее сжатие

½kx² = 95,16 → x = √(2·95,16/2000) = 0,3085 m = 30,85 cm

Ответ

x = 30,85 cm

11.Импульс и столкновения

Ответ: v′₂ = 3,333 m/s

Закон сохранения импульса: если во время столкновения внешние силы не действуют, суммарный импульс Σm·v до столкновения равен суммарному импульсу после. Скорость имеет направление, поэтому выберите положительное направление и скорости, направленные в противоположную сторону, берите со знаком минус. При упругом столкновении сохраняется и кинетическая энергия; при абсолютно неупругом тела слипаются.

Упругий удар о покоящееся тело

Совместное решение уравнений сохранения импульса и энергии даёт эти два результата.

v′₁ = (5 − 4)/(5 + 4)·3 = 0,3333 m/s

v′₂ = 2·5/(5 + 4)·3 = 3,333 m/s

Ответ

v′₂ = 3,333 m/s

12.Импульс и столкновения

Ответ: v = 39,56 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

Подъём бруска

h = L·(1 − cos θ) = 0,9·(1 − cos 15°) = 0,03067 m

Скорость после удара

V = √(2·9,81·0,03067) = 0,7757 m/s

Столкновение

v = (m + M)·V/m = 1,02·0,7757/0,02 = 39,56 m/s

Ответ

v = 39,56 m/s

13.Пружины и маятники

Ответ: g = 8,867 m/s²

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Находим g

g = 4π²·L/T² = 4π²·1/2,11² = 8,867 m/s²

Ответ

g = 8,867 m/s²

14.Пружины и маятники

Ответ: a_max = 5,778 m/s²

Гармонические колебания: груз массой m на пружине жёсткостью k колеблется с угловой частотой ω = √(k/m) и периодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математический маятник длиной L имеет период T = 2π·√(L/g). При амплитуде A наибольшая скорость равна A·ω, наибольшее ускорение — A·ω², а энергия — ½·k·A².

Угловая частота

ω = √(160/3,6) = 6,667 rad/s

Наибольшее ускорение

a_max = A·ω² = 0,13·6,667² = 5,778 m/s²

Ответ

a_max = 5,778 m/s²

15.Волны, звук и оптика

Ответ: n₁ = 1,954

Геометрическая оптика: на границе n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (закон Снеллиуса), углы отсчитываются от нормали, а n = c/v. При входе в более медленную среду луч приближается к нормали. Из более плотной среды (n₁ > n₂) за пределом критического угла θ_c = arcsin(n₂/n₁) весь свет отражается: полное внутреннее отражение. Тонкие линзы и сферические зеркала подчиняются уравнению 1/f = 1/d_o + 1/d_i с увеличением m = −d_i/d_o. Правило знаков: f > 0 для собирающей линзы и вогнутого зеркала (f = R/2), f < 0 для рассеивающей линзы и выпуклого зеркала; d_i > 0 для действительного изображения, d_i < 0 для мнимого, а m < 0 для перевёрнутого изображения.

Показатель преломления блока

n₁ = n₂/sin θc = 1,47/0,7524 = 1,954

Ответ

n₁ = 1,954

16.Волны, звук и оптика

Ответ: d_i2 = 3,333 cm

Изображение линзы 1

1/d_i1 = 1/12 − 1/20 → d_i1 = 30 cm

Предмет для линзы 2

d_o2 = 25 − 30 = −5 cm

Итоговое изображение

1/d_i2 = 1/10 − 1/(−5) → d_i2 = 3,333 cm

Ответ

d_i2 = 3,333 cm

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics