Физика 1: Механика: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (16) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Кинематика

Скорость: v = v₀ + a·t
Перемещение: s = v₀·t + ½·a·t²
Без времени: v² = v₀² + 2·a·s
Единицы: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Выпишите известное: v₀, v, a, t и s с единицами.
Выберите уравнение, содержащее три известных величины и неизвестную.
Выберите одно положительное направление и припишите противоположно направленным величинам знак минус.
Решите и проверьте, что ответ физически разумен.

Законы Ньютона

Второй закон: ΣF = m·a
Вес: W = m·g
Трение скольжения: F_f = μ·N
На наклонной плоскости: вдоль: m·g·sin θ, по нормали: m·g·cos θ

Метод

Нарисуйте расчётную схему со всеми силами, действующими на тело.
Выберите положительное направление вдоль движения.
Разложите силы на составляющие вдоль движения и перпендикулярно ему (на наклонной плоскости: m·g·sin θ вдоль, m·g·cos θ перпендикулярно плоскости).
Примените ΣF = m·a вдоль движения; трение равно μ·N и направлено против движения.

Движение тела, брошенного под углом

Составляющие: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положение: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальная высота: H = h + v_y²/(2g)
Дальность (ровная поверхность): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Разложите начальную скорость на составляющие: v_x = v₀·cos θ и v_y = v₀·sin θ.
По горизонтали скорость постоянна; по вертикали ускорение равно −g.
Найдите время полёта из вертикального движения.
Подставьте это время в горизонтальное движение, чтобы найти дальность.

Движение по окружности

Центростремительное ускорение: a = v²/r = ω²·r
Центростремительная сила: F = m·v²/r
Угловая скорость: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальный поворот, трение: v_max = √(μ·g·r)

Работа и энергия

Кинетическая энергия: E_k = ½mv²
Потенциальная энергия: E_p = mgh
Энергетический баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Работа силы трения: W = μ·N·d
Мощность: P = W/t

Импульс и столкновения

Импульс: p = m·v
Сохранение: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно неупругий удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Импульс силы: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Выберите положительное направление и припишите каждой скорости её знак.
Запишите полный импульс до удара: Σm·v.
При абсолютно неупругом ударе тела после него движутся вместе; при упругом сохраняется ещё и кинетическая энергия.
Приравняйте импульс до удара импульсу после и решите.

Пружины и маятники

Груз на пружине: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Угловая частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Наибольшие скорость и ускорение: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Энергия: E = ½·k·A²

Волны, звук и оптика

Скорость волны: v = fλ, T = 1/f
Струна: v = √(T/μ), μ = m/L
Уровень звука: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Точечный источник: I = P/(4πr²)
Стоячие волны: струна или труба, открытая с обоих концов, f_n = n·v/(2L); закрытая труба f_n = n·v/(4L), n нечётное
Эффект Доплера: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Показатель преломления: n = c/v, λ = λ₀/n
Закон Снеллиуса: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Критический угол: sin θ_c = n₂/n₁
Оптическое волокно: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Линзы и зеркала: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Двойная щель: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Решётка: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Одиночная щель: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Метод

Определите тип задачи: скорость волны, уровень звука, стоячая волна, эффект Доплера, преломление, линза или зеркало, либо интерференция.
Сначала запишите соотношение: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) или n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Переведите единицы: nm, mm и cm в m, и проверьте, отсчитываются ли углы от нормали.
Проверьте знаки и правдоподобие: у мнимого изображения dᵢ < 0, приближающийся источник звучит выше, у закрытой трубы только нечётные гармоники.

2Тренировочные задачи

1.КинематикаСредняя

Автомобиль, едущий со скоростью 72 km/h, тормозит с постоянным замедлением 6,5 m/s² до полной остановки. Сколько длится торможение? Найдите t.

v₀ = 72 km/ha = −6,5 m/s²v = 0

t = s

2.КинематикаСложная

Мяч A без начальной скорости падает с высоты 35 m. В тот же момент мяч B бросают вертикально вверх с земли прямо под ним со скоростью 27 m/s. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². Когда мячи встретятся? Найдите t.

H = 35 mv_0B = 27 m/sg = 9,81 m/s²

t = s

3.Законы НьютонаСредняя

Ящик массой 30 kg толкают вверх по наклонной плоскости под углом 30° к горизонту с постоянной скоростью силой, параллельной плоскости. Коэффициент трения скольжения равен 0,2. Примите g = 9,81 m/s². Найдите толкающую силу F.

m = 30 kgθ = 30°μ = 0,2g = 9,81 m/s²

F = N

4.Законы НьютонаСложная

Брусок массой 2,5 kg на наклонной плоскости под углом 40° связан лёгкой нитью, перекинутой через блок без трения на вершине плоскости, с висящим грузом массой 2,5 kg. Висящий груз движется вниз. Коэффициент трения скольжения между бруском и плоскостью равен 0,15. Примите g = 9,81 m/s². Найдите силу натяжения T нити.

m₁ = 2,5 kgm₂ = 2,5 kgθ = 40°μ = 0,15g = 9,81 m/s²

T = N

5.Движение тела, брошенного под угломСредняя

Мяч бьют с горизонтальной поверхности со скоростью 24 m/s под углом 40° к горизонту в сторону стены, находящейся на расстоянии 35 m. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². На какой высоте y мяч пролетает у стены?

v₀ = 24 m/sθ = 40°x = 35 mg = 9,81 m/s²

y = m

6.Движение тела, брошенного под угломСложная

Мяч бросают под углом 30° к горизонту с вершины скалы высотой 35 m. Сопротивлением воздуха пренебречь. Найдите горизонтальное расстояние x, которое мяч пролетает до удара о землю.

v₀ = 28 m/sθ = 30°h = 35 mg = 9,81 m/s²

x = m

7.Движение по окружностиСредняя

Поворот радиусом 170 m имеет вираж с уклоном 10°. С какой скоростью v автомобиль может пройти его вообще без участия трения? Примите g = 9,81 m/s².

r = 170 mθ = 10°g = 9,81 m/s²

v = m/s

8.Движение по окружностиСложная

Шарик массой 0,3 kg на нити длиной 1,3 m вращают по вертикальной окружности. В нижней точке его скорость 4,5 m/s. Примите g = 9,81 m/s². Найдите силу натяжения T нити в нижней точке.

m = 0,3 kgr = 1,3 mv = 4,5 m/sg = 9,81 m/s²

T = N

9.Работа и энергияСредняя

Шарик массой 2 kg висит на лёгкой нити длиной 1,5 m. Его отводят в сторону, пока нить не составит 50° с вертикалью, и отпускают без начальной скорости. Найдите силу натяжения T нити в момент прохождения шариком нижней точки.

m = 2 kgL = 1,5 mθ = 50°g = 9,81 m/s²

T = N

10.Работа и энергияСложная

Брусок массой 2,5 kg отпускают без начальной скорости на высоте 2 m на гладкой рампе. Внизу он пересекает шероховатую горизонтальную полосу длиной 2 m (μ = 0,25), а затем наезжает на пружину (k = 500 N/m) на гладкой поверхности. Найдите наибольшее сжатие x пружины.

m = 2,5 kgh = 2 mL = 2 mμ = 0,25k = 500 N/mg = 9,81 m/s²

x = cm

11.Импульс и столкновенияСредняя

Тележка массой 2,5 kg, движущаяся со скоростью 4 m/s, испытывает абсолютно упругий центральный удар с покоящейся тележкой массой 2 kg на дорожке без трения. Найдите скорость v′₂ второй тележки после столкновения.

m₁ = 2,5 kgm₂ = 2 kgv₁ = 4 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

12.Импульс и столкновенияСложная

Мяч массой 0,6 kg ударяется о стену со скоростью 12 m/s и отскакивает прямо назад со скоростью 4 m/s. Контакт длится 40 ms. Найдите модуль импульса силы J, который стена сообщает мячу.

m = 0,6 kgv_in = 12 m/sv_out = 4 m/sΔt = 40 ms

J = N·s

13.Пружины и маятникиСредняя

Груз массой 0,7 kg на пружине с k = 100 N/m оттягивают на 13 cm в положительном направлении и отпускают без начальной скорости при t = 0. Найдите его смещение x от положения равновесия при t = 0,3 s (со знаком).

m = 0,7 kgk = 100 N/mA = 13 cmt = 0,3 s

x = cm

14.Пружины и маятникиСложная

Груз массой 3,4 kg на пружине с k = 110 N/m оттягивают на 13 cm от положения равновесия и отпускают. Найдите его наибольшее ускорение a_max.

m = 3,4 kgk = 110 N/mA = 13 cm

a_max = m/s²

15.Волны, звук и оптикаСредняя

Источник частотой 440 Hz, движущийся со скоростью 30 m/s, и наблюдатель, движущийся со скоростью 5 m/s, удаляются друг от друга. Скорость звука равна 343 m/s. Найдите частоту f′, которую слышит наблюдатель.

f = 440 Hzv = 343 m/sv_s = 30 m/sv_o = 5 m/s

f′ = Hz

16.Волны, звук и оптикаСложная

Две щели на расстоянии 0,1 mm друг от друга освещаются монохроматическим светом. На экране на расстоянии 1 m светлая полоса номер 3 находится в 19,5 mm от центральной полосы. Найдите длину волны λ.

d = 0,1 mmL = 1 my₃ = 19,5 mmm = 3

λ = nm

3Растворы

1.Кинематика

Ответ: t = 3,077 s

Движение с постоянным ускорением: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² и v² = v₀² + 2·a·s. Выберите уравнение, в которое входят три известные величины и искомая, и следите за знаками относительно одного положительного направления.

Единицы

v₀ = 72/3,6 = 20 m/s

Время торможения

0 = v₀ − a·t → t = v₀/a = 20/6,5 = 3,077 s

Ответ

t = 3,077 s

2.Кинематика

Ответ: t = 1,296 s

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

Время встречи

Направление вверх положительно, земля — y = 0.

35 − ½g·t² = 27·t − ½g·t² → t = 35/27 = 1,296 s

Ответ

t = 1,296 s

3.Законы Ньютона

Ответ: F = 198,1 N

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

Силы вдоль плоскости

Постоянная скорость: силы уравновешены.

F = m·g·sin θ + μ·m·g·cos θ

Толкающая сила

F = 147,1 + 50,97 = 198,1 N

Ответ

F = 198,1 N

4.Законы Ньютона

Ответ: T = 21,55 N

Силы вдоль нити

m₂·g = 24,53 N

m₁·g·sin θ = 15,76 N

μ·m₁·g·cos θ = 2,818 N

Ускорение системы

a = (24,53 − 15,76 − 2,818)/5 = 1,189 m/s²

Натяжение по висящему грузу

m₂·g − T = m₂·a → T = 2,5·(9,81 − 1,189) = 21,55 N

Ответ

T = 21,55 N

5.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: y = 11,59 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Время до стены

v_x = 24·cos 40° = 18,39 m/s

t = x/v_x = 35/18,39 = 1,904 s

Высота в этот момент

y = 15,43·1,904 − ½·9,81·1,904² = 11,59 m

Ответ

y = 11,59 m

У стены мяч уже опускается.

6.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: x = 108 m

Движение тела, брошенного под углом: без сопротивления воздуха x = v_xt и y = h + v_yt − ½gt². Оба направления независимы, их связывает только общее время.

Разложите начальную скорость

Горизонтальная скорость постоянна; вертикальное движение имеет постоянное ускорение g = 9,81 m/s² вниз.

v_x = v₀·cos θ = 28·cos 30° = 24,25 m/s

v_y = v₀·sin θ = 28·sin 30° = 14 m/s

Время полёта

Решите y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 и возьмите положительный корень.

0 = 35 + 14·t − 4,905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (14 + √(196 + 686,7))/9,81 = 4,456 s

Горизонтальное расстояние

x = v_x·t = 24,25·4,456 = 108 m

Ответ

x = 108 m

7.Движение по окружности

Ответ: v = 17,15 m/s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

Баланс сил

N·cos θ = m·g, N·sin θ = m·v²/r → tan θ = v²/(r·g)

Скорость

v = √(r·g·tan θ) = √(170·9,81·tan 10°) = 17,15 m/s

Ответ

v = 17,15 m/s

(61,73 km/h)

8.Движение по окружности

Ответ: T = 7,616 N

Равномерное движение по окружности: тело, движущееся со скоростью v по окружности радиуса r, имеет ускорение a = v²/r, направленное к центру, поэтому на него должна действовать направленная к центру равнодействующая сила F = m·v²/r. Эту силу создаёт что-то реальное: трение, натяжение, сила тяжести или сила нормальной реакции.

Силы в нижней точке

К центру (вверх) — положительное направление.

T − m·g = m·v²/r

T = 0,3·9,81 + 0,3·4,5²/1,3 = 2,943 + 4,673 = 7,616 N

Ответ

T = 7,616 N

9.Работа и энергия

Ответ: T = 33,64 N

Теорема об изменении кинетической энергии: изменение кинетической энергии равно работе всех сил. Если записать тяжесть и пружины как потенциальную энергию (mgh и ½kx²), получается баланс: начальная энергия = конечная энергия + энергия, потерянная на трение (μN·d). При движении по окружности равнодействующая, направленная к центру, должна быть равна mv²/r.

Скорость в нижней точке

v² = 2gL(1 − cos θ) = 2·9,81·1,5·(1 − cos 50°) = 10,51 m²/s²

Силы в нижней точке

m·g = 2·9,81 = 19,62 N

T = mg + mv²/L = 19,62 + 2·10,51/1,5 = 33,64 N

Ответ

T = 33,64 N

Проверка: T = mg(3 − 2cos θ) = 33,64 N.

10.Работа и энергия

Ответ: x = 38,36 cm

Энергия после шероховатой полосы

Рампа гладкая, поэтому энергию забирает только полоса.

mgh − μmgL = 24,53·(2 − 0,25·2) = 36,79 J

Наибольшее сжатие

½kx² = 36,79 → x = √(2·36,79/500) = 0,3836 m = 38,36 cm

Ответ

x = 38,36 cm

11.Импульс и столкновения

Ответ: v′₂ = 4,444 m/s

Закон сохранения импульса: если во время столкновения внешние силы не действуют, суммарный импульс Σm·v до столкновения равен суммарному импульсу после. Скорость имеет направление, поэтому выберите положительное направление и скорости, направленные в противоположную сторону, берите со знаком минус. При упругом столкновении сохраняется и кинетическая энергия; при абсолютно неупругом тела слипаются.

Упругий удар о покоящееся тело

Совместное решение уравнений сохранения импульса и энергии даёт эти два результата.

v′₁ = (2,5 − 2)/(2,5 + 2)·4 = 0,4444 m/s

v′₂ = 2·2,5/(2,5 + 2)·4 = 4,444 m/s

Ответ

v′₂ = 4,444 m/s

12.Импульс и столкновения

Ответ: J = 9,6 N·s

Изменение импульса

J = m·Δv = 0,6·(4 + 12) = 9,6 N·s

Ответ

J = 9,6 N·s

13.Пружины и маятники

Ответ: x = −11,74 cm

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Угловая частота

ω = √(100/0,7) = 11,95 rad/s

ω·t = 11,95·0,3 = 3,586 rad

Перемещение

x = A·cos(ω·t) = 13·cos(3,586) = −11,74 cm

Ответ

x = −11,74 cm

14.Пружины и маятники

Ответ: a_max = 4,206 m/s²

Гармонические колебания: груз массой m на пружине жёсткостью k колеблется с угловой частотой ω = √(k/m) и периодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математический маятник длиной L имеет период T = 2π·√(L/g). При амплитуде A наибольшая скорость равна A·ω, наибольшее ускорение — A·ω², а энергия — ½·k·A².

Угловая частота

ω = √(110/3,4) = 5,688 rad/s

Наибольшее ускорение

a_max = A·ω² = 0,13·5,688² = 4,206 m/s²

Ответ

a_max = 4,206 m/s²

15.Волны, звук и оптика

Ответ: f′ = 398,7 Hz

Стоячие волны и эффект Доплера: в струне, закреплённой с обоих концов, или в трубе, открытой с обоих концов, укладывается целое число полуволн: L = nλ/2, f_n = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … У трубы, закрытой с одного конца, на закрытом конце узел, а на открытом пучность: L = nλ/4 только при нечётных n, f_n = n·v/(4L). Когда источник или наблюдатель движутся вдоль линии между ними, f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s): верхние знаки берите для движения навстречу друг другу. Две волны почти равной частоты дают биения с частотой |f₁ − f₂|.

Формула Доплера

f′ = f·(v − v_o)/(v + v_s) = 440·(343 − 5)/(343 + 30)

f′ = 398,7 Hz

Ответ

f′ = 398,7 Hz

16.Волны, звук и оптика

Ответ: λ = 650 nm

Интерференция и дифракция: свет от двух щелей на расстоянии d друг от друга приходит в точку на экране с разностью хода d·sin θ. Светлые полосы появляются там, где d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …). Для экрана на расстоянии L ≫ d m-я светлая полоса находится при y = mλL/d, а расстояние между полосами равно Δy = λL/d. У решётки с N штрихами на миллиметр d = 1/N, а резкие максимумы находятся при d·sin θ = mλ; так как sin θ ≤ 1, наивысший порядок — наибольшее целое число m ≤ d/λ. У одной щели шириной a тёмные полосы находятся при a·sin θ = mλ, m = ±1, ±2, …

Длина волны

λ = y·d/(mL) = 0,0195·0,0001/(3·1) = 6,5 × 10⁻⁷ m = 650 nm

Ответ

λ = 650 nm

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics