Физика 1: Механика: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (16) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Кинематика

Скорость: v = v₀ + a·t
Перемещение: s = v₀·t + ½·a·t²
Без времени: v² = v₀² + 2·a·s
Единицы: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Выпишите известное: v₀, v, a, t и s с единицами.
Выберите уравнение, содержащее три известных величины и неизвестную.
Выберите одно положительное направление и припишите противоположно направленным величинам знак минус.
Решите и проверьте, что ответ физически разумен.

Законы Ньютона

Второй закон: ΣF = m·a
Вес: W = m·g
Трение скольжения: F_f = μ·N
На наклонной плоскости: вдоль: m·g·sin θ, по нормали: m·g·cos θ

Метод

Нарисуйте расчётную схему со всеми силами, действующими на тело.
Выберите положительное направление вдоль движения.
Разложите силы на составляющие вдоль движения и перпендикулярно ему (на наклонной плоскости: m·g·sin θ вдоль, m·g·cos θ перпендикулярно плоскости).
Примените ΣF = m·a вдоль движения; трение равно μ·N и направлено против движения.

Движение тела, брошенного под углом

Составляющие: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положение: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальная высота: H = h + v_y²/(2g)
Дальность (ровная поверхность): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Разложите начальную скорость на составляющие: v_x = v₀·cos θ и v_y = v₀·sin θ.
По горизонтали скорость постоянна; по вертикали ускорение равно −g.
Найдите время полёта из вертикального движения.
Подставьте это время в горизонтальное движение, чтобы найти дальность.

Движение по окружности

Центростремительное ускорение: a = v²/r = ω²·r
Центростремительная сила: F = m·v²/r
Угловая скорость: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальный поворот, трение: v_max = √(μ·g·r)

Работа и энергия

Кинетическая энергия: E_k = ½mv²
Потенциальная энергия: E_p = mgh
Энергетический баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Работа силы трения: W = μ·N·d
Мощность: P = W/t

Импульс и столкновения

Импульс: p = m·v
Сохранение: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно неупругий удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Импульс силы: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Выберите положительное направление и припишите каждой скорости её знак.
Запишите полный импульс до удара: Σm·v.
При абсолютно неупругом ударе тела после него движутся вместе; при упругом сохраняется ещё и кинетическая энергия.
Приравняйте импульс до удара импульсу после и решите.

Пружины и маятники

Груз на пружине: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Угловая частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Наибольшие скорость и ускорение: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Энергия: E = ½·k·A²

Волны, звук и оптика

Скорость волны: v = fλ, T = 1/f
Струна: v = √(T/μ), μ = m/L
Уровень звука: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Точечный источник: I = P/(4πr²)
Стоячие волны: струна или труба, открытая с обоих концов, f_n = n·v/(2L); закрытая труба f_n = n·v/(4L), n нечётное
Эффект Доплера: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Показатель преломления: n = c/v, λ = λ₀/n
Закон Снеллиуса: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Критический угол: sin θ_c = n₂/n₁
Оптическое волокно: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Линзы и зеркала: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Двойная щель: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Решётка: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Одиночная щель: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Метод

Определите тип задачи: скорость волны, уровень звука, стоячая волна, эффект Доплера, преломление, линза или зеркало, либо интерференция.
Сначала запишите соотношение: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) или n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Переведите единицы: nm, mm и cm в m, и проверьте, отсчитываются ли углы от нормали.
Проверьте знаки и правдоподобие: у мнимого изображения dᵢ < 0, приближающийся источник звучит выше, у закрытой трубы только нечётные гармоники.

2Тренировочные задачи

1.КинематикаСредняя

Водитель, едущий со скоростью 54 km/h, видит препятствие. Время её реакции 0,5 s, после чего автомобиль тормозит с постоянным замедлением 4 m/s². Найдите полный остановочный путь d с момента, когда она увидела препятствие.

v₀ = 54 km/ht_r = 0,5 sa = −4 m/s²

d = m

2.КинематикаСложная

Трамвай трогается с места и разгоняется с ускорением 2 m/s² в течение 4 s, затем движется с постоянной скоростью 16 s и, наконец, тормозит с замедлением 2,5 m/s² до остановки. Найдите полный путь s между двумя остановками.

a₁ = 2 m/s²t₁ = 4 st₂ = 16 sa₃ = −2,5 m/s²

s = m

3.Законы НьютонаСредняя

Санки массой 30 kg тянут по горизонтальному снегу верёвкой под углом 15° к горизонту с силой 100 N. Коэффициент трения скольжения равен 0,1. Примите g = 9,81 m/s². Найдите ускорение a санок.

m = 30 kgF = 100 Nθ = 15°μ = 0,1g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Законы НьютонаСложная

Брусок массой 7,5 kg на горизонтальном столе соединён лёгкой нитью, перекинутой через блок без трения, с подвешенным грузом массой 5,5 kg. Коэффициент трения скольжения между бруском и столом 0,3. Примите g = 9,81 m/s². Найдите силу натяжения T нити.

m₁ = 7,5 kgm₂ = 5,5 kgμ = 0,3g = 9,81 m/s²

T = N

5.Движение тела, брошенного под угломСредняя

Мяч бросают с горизонтальной поверхности со скоростью 34 m/s, и он должен упасть на расстоянии 110 m. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². Найдите меньший из двух возможных углов броска θ.

v₀ = 34 m/sR = 110 mg = 9,81 m/s²

θ = °

6.Движение тела, брошенного под угломСложная

Мяч бросают со скоростью 17 m/s под углом 50° к горизонту с вершины обрыва высотой 20 m. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². Под каким углом α к горизонту (ниже горизонта) он ударяется о землю?

v₀ = 17 m/sθ = 50°h = 20 mg = 9,81 m/s²

α = °

7.Движение по окружностиСредняя

Автомобиль проходит горизонтальный поворот радиусом 60 m. Коэффициент трения покоя между шинами и дорогой 0,5. Примите g = 9,81 m/s². Найдите наибольшую скорость v_max, с которой автомобиль может пройти поворот без заноса.

r = 60 mμ_s = 0,5g = 9,81 m/s²

v_max = m/s

8.Движение по окружностиСложная

Шарик массой 0,3 kg на лёгкой нити длиной 1,4 m вращают по вертикальной окружности. В нижней точке его скорость 10,5 m/s. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². Найдите силу натяжения T_top нити в верхней точке.

m = 0,3 kgr = 1,4 mv_bottom = 10,5 m/sg = 9,81 m/s²

T_top = N

9.Работа и энергияСредняя

Брусок массой 10 kg скользит 20 m по наклонной плоскости под углом 20° к горизонту с коэффициентом трения скольжения 0,2. Найдите работу W_f против силы трения.

m = 10 kgθ = 20°μ = 0,2d = 20 mg = 9,81 m/s²

W_f = J

10.Работа и энергияСложная

Брусок массой 1 kg отпускают без начальной скорости на высоте 1,5 m на гладкой рампе. Внизу он пересекает шероховатую горизонтальную полосу длиной 2,5 m (μ = 0,1), а затем наезжает на пружину (k = 4000 N/m) на гладкой поверхности. Найдите наибольшее сжатие x пружины.

m = 1 kgh = 1,5 mL = 2,5 mμ = 0,1k = 4000 N/mg = 9,81 m/s²

x = cm

11.Импульс и столкновенияСредняя

Тележка массой 4,5 kg, движущаяся со скоростью 9 m/s, испытывает абсолютно упругий центральный удар с покоящейся тележкой массой 3 kg на дорожке без трения. Найдите скорость v′₂ второй тележки после столкновения.

m₁ = 4,5 kgm₂ = 3 kgv₁ = 9 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

12.Импульс и столкновенияСложная

Пуля массой 12 g, выпущенная горизонтально, попадает в брусок массой 2,5 kg, подвешенный на лёгких нитях длиной 0,7 m, и застревает в нём. Нити отклоняются на наибольший угол 20° от вертикали. Примите g = 9,81 m/s². Найдите скорость v пули до удара.

m = 12 gM = 2,5 kgL = 0,7 mθ = 20°g = 9,81 m/s²

v = m/s

13.Пружины и маятникиСредняя

Какой длины должен быть математический маятник, чтобы его период был 2,5 s? Примите g = 9,81 m/s². Найдите L.

T = 2,5 sg = 9,81 m/s²

L = m

14.Пружины и маятникиСложная

Груз массой 3 kg на пружине с k = 210 N/m оттягивают на 2 cm от положения равновесия и отпускают. Найдите его наибольшую скорость v_max.

m = 3 kgk = 210 N/mA = 2 cm

v_max = m/s

15.Волны, звук и оптикаСредняя

Труба, закрытая с одного конца имеет длину 0,8 m. Скорость звука равна 343 m/s. Найдите частоту f₃ для режима: гармоника номер 3.

v = 343 m/sn = 3L = 0,8 m

f₃ = Hz

16.Волны, звук и оптикаСложная

Две тонкие линзы имеют общую ось и находятся на расстоянии 20 cm друг от друга: линза 1 с f₁ = 15 cm и линза 2 с f₂ = −20 cm. Предмет находится в 12 cm перед линзой 1. Найдите положение d_i2 итогового изображения, отсчитываемое от линзы 2 (положительное за линзой 2, действительное — положительное).

f₁ = 15 cmf₂ = −20 cms = 20 cmd_o = 12 cm

d_i2 = cm

3Растворы

1.Кинематика

Ответ: d = 35,63 m

Движение с постоянным ускорением: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² и v² = v₀² + 2·a·s. Выберите уравнение, в которое входят три известные величины и искомая, и следите за знаками относительно одного положительного направления.

Единицы

v₀ = 54/3,6 = 15 m/s

Путь за время реакции

d₁ = v₀·t_r = 15·0,5 = 7,5 m

Тормозной путь

d₂ = v₀²/(2a) = 15²/(2·4) = 28,13 m

Итого

d = 7,5 + 28,13 = 35,63 m

Ответ

d = 35,63 m

2.Кинематика

Ответ: s = 156,8 m

Наибольшая скорость

v = a₁·t₁ = 2·4 = 8 m/s

Путь на каждом этапе

s₁ = ½·2·4² = 16 m

s₂ = 8·16 = 128 m

s₃ = 8²/(2·2,5) = 12,8 m

Полный путь

s = 16 + 128 + 12,8 = 156,8 m

Ответ

s = 156,8 m

3.Законы Ньютона

Ответ: a = 2,325 m/s²

Второй закон Ньютона: равнодействующая сил, действующих на тело, равна произведению его массы на ускорение, ΣF = m·a. Нарисуйте расчётную схему, выберите положительное направление вдоль движения и сложите все силы в этом направлении: приложенные силы, трение μ·N против движения и составляющие силы тяжести.

Сила нормальной реакции

N = m·g − F·sin θ = 294,3 − 100·sin 15° = 268,4 N

Горизонтальные силы

m·a = F·cos θ − μ·N = 96,59 − 26,84

a = 69,75/30 = 2,325 m/s²

Ответ

a = 2,325 m/s²

4.Законы Ньютона

Ответ: T = 40,47 N

Ускорение системы

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (53,96 − 22,07)/13 = 2,453 m/s²

Натяжение из уравнения для бруска на столе

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 7,5·2,453 + 22,07 = 40,47 N

Ответ

T = 40,47 N

5.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: θ = 34,49 °

Движение тела, брошенного под углом: без сопротивления воздуха x = v_xt и y = h + v_yt − ½gt². Оба направления независимы, их связывает только общее время.

Формула дальности

R = v₀²·sin 2θ/g → sin 2θ = 9,81·110/34² = 0,9335

Угол

2θ = 68,98° → θ = 34,49°

Ответ

θ = 34,49°

Второе решение: 90° − θ = 55,51°.

6.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: α = 65,25 °

Разложите начальную скорость

v_x = 17·cos 50° = 10,93 m/s

v_y0 = 17·sin 50° = 13,02 m/s

Вертикальная скорость при ударе

Закон сохранения энергии или v² = v₀² + 2as по вертикали.

v_y = √(13,02² + 2·9,81·20) = 23,71 m/s

Угол падения

tan α = v_y/v_x = 23,71/10,93 → α = 65,25°

Ответ

α = 65,25°

7.Движение по окружности

Ответ: v_max = 17,16 m/s

Равномерное движение по окружности: тело, движущееся со скоростью v по окружности радиуса r, имеет ускорение a = v²/r, направленное к центру, поэтому на него должна действовать направленная к центру равнодействующая сила F = m·v²/r. Эту силу создаёт что-то реальное: трение, натяжение, сила тяжести или сила нормальной реакции.

Трение создаёт центростремительную силу

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0,5·9,81·60) = 17,16 m/s

Ответ

v_max = 17,16 m/s (61,76 km/h)

8.Движение по окружности

Ответ: T_top = 8,91 N

Скорость в верхней точке

Кинетическая энергия переходит в потенциальную на высоте 2r.

v_top² = 10,5² − 4·9,81·1,4 = 55,31 m²/s²

Силы в верхней точке

Сила натяжения и сила тяжести обе направлены вниз, к центру.

T + m·g = m·v_top²/r

T = 0,3·55,31/1,4 − 0,3·9,81 = 8,91 N

Ответ

T_top = 8,91 N

9.Работа и энергия

Ответ: W_f = 368,7 J

Теорема об изменении кинетической энергии: изменение кинетической энергии равно работе всех сил. Если записать тяжесть и пружины как потенциальную энергию (mgh и ½kx²), получается баланс: начальная энергия = конечная энергия + энергия, потерянная на трение (μN·d).

Сила трения

N = mg·cos θ = 98,1·0,9397 = 92,18 N

F = μN = 0,2·92,18 = 18,44 N

Работа против трения

W_f = F·d = 18,44·20 = 368,7 J

Ответ

W_f = 368,7 J

10.Работа и энергия

Ответ: x = 7,83 cm

Энергия после шероховатой полосы

Рампа гладкая, поэтому энергию забирает только полоса.

mgh − μmgL = 9,81·(1,5 − 0,1·2,5) = 12,26 J

Наибольшее сжатие

½kx² = 12,26 → x = √(2·12,26/4000) = 0,0783 m = 7,83 cm

Ответ

x = 7,83 cm

11.Импульс и столкновения

Ответ: v′₂ = 10,8 m/s

Закон сохранения импульса: если во время столкновения внешние силы не действуют, суммарный импульс Σm·v до столкновения равен суммарному импульсу после. Скорость имеет направление, поэтому выберите положительное направление и скорости, направленные в противоположную сторону, берите со знаком минус. При упругом столкновении сохраняется и кинетическая энергия; при абсолютно неупругом тела слипаются.

Упругий удар о покоящееся тело

Совместное решение уравнений сохранения импульса и энергии даёт эти два результата.

v′₁ = (4,5 − 3)/(4,5 + 3)·9 = 1,8 m/s

v′₂ = 2·4,5/(4,5 + 3)·9 = 10,8 m/s

Ответ

v′₂ = 10,8 m/s

12.Импульс и столкновения

Ответ: v = 190,5 m/s

Подъём бруска

h = L·(1 − cos θ) = 0,7·(1 − cos 20°) = 0,04222 m

Скорость после удара

V = √(2·9,81·0,04222) = 0,9101 m/s

Столкновение

v = (m + M)·V/m = 2,512·0,9101/0,012 = 190,5 m/s

Ответ

v = 190,5 m/s

13.Пружины и маятники

Ответ: L = 1,553 m

Гармонические колебания: груз массой m на пружине жёсткостью k колеблется с угловой частотой ω = √(k/m) и периодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математический маятник длиной L имеет период T = 2π·√(L/g). При амплитуде A наибольшая скорость равна A·ω, наибольшее ускорение — A·ω², а энергия — ½·k·A².

Выразите длину

L = g·(T/2π)² = 9,81·(2,5/2π)² = 1,553 m

Ответ

L = 1,553 m

14.Пружины и маятники

Ответ: v_max = 0,1673 m/s

Угловая частота

ω = √(210/3) = 8,367 rad/s

Наибольшая скорость

v_max = A·ω = 0,02·8,367 = 0,1673 m/s

Ответ

v_max = 0,1673 m/s

15.Волны, звук и оптика

Ответ: f₃ = 321,6 Hz

Стоячие волны и эффект Доплера: в струне, закреплённой с обоих концов, или в трубе, открытой с обоих концов, укладывается целое число полуволн: L = nλ/2, f_n = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … У трубы, закрытой с одного конца, на закрытом конце узел, а на открытом пучность: L = nλ/4 только при нечётных n, f_n = n·v/(4L). Когда источник или наблюдатель движутся вдоль линии между ними, f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s): верхние знаки берите для движения навстречу друг другу. Две волны почти равной частоты дают биения с частотой |f₁ − f₂|.

Длина волны этого режима

λ = 4L/n = 4·0,8/3 = 1,067 m

Частота

f = v/λ = 343/1,067 = 321,6 Hz

Ответ

f₃ = 321,6 Hz

16.Волны, звук и оптика

Ответ: d_i2 = −16 cm

Геометрическая оптика: на границе n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (закон Снеллиуса), углы отсчитываются от нормали, а n = c/v. При входе в более медленную среду луч приближается к нормали. Из более плотной среды (n₁ > n₂) за пределом критического угла θ_c = arcsin(n₂/n₁) весь свет отражается: полное внутреннее отражение. Тонкие линзы и сферические зеркала подчиняются уравнению 1/f = 1/d_o + 1/d_i с увеличением m = −d_i/d_o. Правило знаков: f > 0 для собирающей линзы и вогнутого зеркала (f = R/2), f < 0 для рассеивающей линзы и выпуклого зеркала; d_i > 0 для действительного изображения, d_i < 0 для мнимого, а m < 0 для перевёрнутого изображения.

Изображение линзы 1

1/d_i1 = 1/15 − 1/12 → d_i1 = −60 cm

Предмет для линзы 2

d_o2 = 20 − (−60) = 80 cm

Итоговое изображение

1/d_i2 = 1/(−20) − 1/80 → d_i2 = −16 cm

Ответ

d_i2 = −16 cm

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics