Физика 1: Механика: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (16) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Кинематика

Скорость: v = v₀ + a·t
Перемещение: s = v₀·t + ½·a·t²
Без времени: v² = v₀² + 2·a·s
Единицы: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Выпишите известное: v₀, v, a, t и s с единицами.
Выберите уравнение, содержащее три известных величины и неизвестную.
Выберите одно положительное направление и припишите противоположно направленным величинам знак минус.
Решите и проверьте, что ответ физически разумен.

Законы Ньютона

Второй закон: ΣF = m·a
Вес: W = m·g
Трение скольжения: F_f = μ·N
На наклонной плоскости: вдоль: m·g·sin θ, по нормали: m·g·cos θ

Метод

Нарисуйте расчётную схему со всеми силами, действующими на тело.
Выберите положительное направление вдоль движения.
Разложите силы на составляющие вдоль движения и перпендикулярно ему (на наклонной плоскости: m·g·sin θ вдоль, m·g·cos θ перпендикулярно плоскости).
Примените ΣF = m·a вдоль движения; трение равно μ·N и направлено против движения.

Движение тела, брошенного под углом

Составляющие: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положение: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальная высота: H = h + v_y²/(2g)
Дальность (ровная поверхность): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Разложите начальную скорость на составляющие: v_x = v₀·cos θ и v_y = v₀·sin θ.
По горизонтали скорость постоянна; по вертикали ускорение равно −g.
Найдите время полёта из вертикального движения.
Подставьте это время в горизонтальное движение, чтобы найти дальность.

Движение по окружности

Центростремительное ускорение: a = v²/r = ω²·r
Центростремительная сила: F = m·v²/r
Угловая скорость: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальный поворот, трение: v_max = √(μ·g·r)

Работа и энергия

Кинетическая энергия: E_k = ½mv²
Потенциальная энергия: E_p = mgh
Энергетический баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Работа силы трения: W = μ·N·d
Мощность: P = W/t

Импульс и столкновения

Импульс: p = m·v
Сохранение: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно неупругий удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Импульс силы: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Выберите положительное направление и припишите каждой скорости её знак.
Запишите полный импульс до удара: Σm·v.
При абсолютно неупругом ударе тела после него движутся вместе; при упругом сохраняется ещё и кинетическая энергия.
Приравняйте импульс до удара импульсу после и решите.

Пружины и маятники

Груз на пружине: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Угловая частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Наибольшие скорость и ускорение: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Энергия: E = ½·k·A²

Волны, звук и оптика

Скорость волны: v = fλ, T = 1/f
Струна: v = √(T/μ), μ = m/L
Уровень звука: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Точечный источник: I = P/(4πr²)
Стоячие волны: струна или труба, открытая с обоих концов, f_n = n·v/(2L); закрытая труба f_n = n·v/(4L), n нечётное
Эффект Доплера: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Показатель преломления: n = c/v, λ = λ₀/n
Закон Снеллиуса: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Критический угол: sin θ_c = n₂/n₁
Оптическое волокно: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Линзы и зеркала: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Двойная щель: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Решётка: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Одиночная щель: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Метод

Определите тип задачи: скорость волны, уровень звука, стоячая волна, эффект Доплера, преломление, линза или зеркало, либо интерференция.
Сначала запишите соотношение: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) или n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Переведите единицы: nm, mm и cm в m, и проверьте, отсчитываются ли углы от нормали.
Проверьте знаки и правдоподобие: у мнимого изображения dᵢ < 0, приближающийся источник звучит выше, у закрытой трубы только нечётные гармоники.

2Тренировочные задачи

1.КинематикаСредняя

Автомобиль, превышающий скорость, движется с постоянной скоростью 22 m/s и проезжает мимо стоящего полицейского автомобиля. В этот момент полицейский автомобиль трогается и равноускоренно разгоняется с ускорением 2 m/s². На каком расстоянии от места старта полицейский автомобиль догонит нарушителя? Найдите d.

v_car = 22 m/sa_police = 2 m/s²v_0,police = 0

d = m

2.КинематикаСложная

Мяч бросают вертикально вверх со скоростью 11 m/s с края крыши на высоте 40 m над землёй. Сопротивлением воздуха пренебречь, g = 9,81 m/s². Через какое время после броска он упадёт на землю? Найдите t.

v₀ = 11 m/sh₀ = 40 mg = 9,81 m/s²

t = s

3.Законы НьютонаСредняя

Ящик массой 45 kg толкают вверх по наклонной плоскости под углом 20° к горизонту с постоянной скоростью силой, параллельной плоскости. Коэффициент трения скольжения равен 0,25. Примите g = 9,81 m/s². Найдите толкающую силу F.

m = 45 kgθ = 20°μ = 0,25g = 9,81 m/s²

F = N

4.Законы НьютонаСложная

Бруску сообщают толчок, и он начинает скользить вверх по наклонной плоскости под углом 35° со скоростью 7 m/s. Коэффициент трения скольжения равен 0,2. Примите g = 9,81 m/s². Какое расстояние d вдоль плоскости он проскользит до остановки?

v₀ = 7 m/sθ = 35°μ = 0,2g = 9,81 m/s²

d = m

5.Движение тела, брошенного под угломСредняя

Мяч бросают под углом 35° к горизонту с ровной поверхности. Сопротивлением воздуха пренебречь. Найдите время полёта t до удара мяча о землю.

v₀ = 14 m/sθ = 35°g = 9,81 m/s²

t = s

6.Движение тела, брошенного под угломСложная

Мяч бросают со скоростью 13 m/s под углом 55° к горизонту с вершины обрыва высотой 50 m. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². Найдите наибольшую высоту H над землёй у подножия обрыва.

v₀ = 13 m/sθ = 55°h = 50 mg = 9,81 m/s²

H = m

7.Движение по окружностиСредняя

Маленький шарик на нити длиной 1 m движется по горизонтальной окружности так, что нить составляет постоянный угол 30° с вертикалью (конический маятник). Примите g = 9,81 m/s². Найдите скорость v шарика.

L = 1 mθ = 30°g = 9,81 m/s²

v = m/s

8.Движение по окружностиСложная

Поворот радиусом 190 m имеет вираж с уклоном 15°, коэффициент трения покоя между шинами и дорогой равен 0,2. Примите g = 9,81 m/s². Найдите наибольшую скорость v_max, при которой автомобиль может пройти поворот, не соскальзывая вверх и наружу.

r = 190 mθ = 15°μ_s = 0,2g = 9,81 m/s²

v_max = m/s

9.Работа и энергияСредняя

Брусок массой 4 kg скользит 3 m по наклонной плоскости под углом 30° к горизонту с коэффициентом трения скольжения 0,1. Найдите работу W_f против силы трения.

m = 4 kgθ = 30°μ = 0,1d = 3 mg = 9,81 m/s²

W_f = J

10.Работа и энергияСложная

Брусок массой 5 kg лежит на шероховатом горизонтальном столе (μ = 0,25). От него лёгкая нить идёт через гладкий блок на краю стола к висящему грузу массой 6 kg. Систему отпускают из состояния покоя. Найдите скорость v грузов после того, как висящий груз опустится на 1 m.

m₁ = 5 kgm₂ = 6 kgμ = 0,25d = 1 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

11.Импульс и столкновенияСредняя

Снаряд массой 17 kg, движущийся горизонтально со скоростью 35 m/s, разрывается на два осколка, движущихся вдоль той же прямой. Осколок массой 9 kg продолжает движение вперёд со скоростью 64 m/s. Найдите скорость v′₂ осколка массой 8 kg (положительна в исходном направлении).

M = 17 kgu = 35 m/sm₁ = 9 kgv′₁ = 64 m/sm₂ = 8 kg

v′₂ = m/s

12.Импульс и столкновенияСложная

Пуля массой 10 g, выпущенная горизонтально, попадает в брусок массой 1 kg, подвешенный на лёгких нитях длиной 1,3 m, и застревает в нём. Нити отклоняются на наибольший угол 30° от вертикали. Примите g = 9,81 m/s². Найдите скорость v пули до удара.

m = 10 gM = 1 kgL = 1,3 mθ = 30°g = 9,81 m/s²

v = m/s

13.Пружины и маятникиСредняя

Груз массой 2,1 kg на пружине с k = 250 N/m колеблется на поверхности без трения с амплитудой 18 cm. Найдите его скорость v на расстоянии 5 cm от положения равновесия.

m = 2,1 kgk = 250 N/mA = 18 cmx = 5 cm

v = m/s

14.Пружины и маятникиСложная

Тело совершает гармонические колебания с периодом 1 s и амплитудой 17 cm. За какое наименьшее время t оно переместится из положения равновесия в точку со смещением 12,75 cm?

T = 1 sA = 17 cmx = 12,75 cm

t = s

15.Волны, звук и оптикаСредняя

Труба, открытая с обоих концов должна иметь следующий режим на частоте 858 Hz: гармоника номер 5. Скорость звука равна 343 m/s. Найдите длину L трубы.

v = 343 m/sn = 5f₅ = 858 Hz

L = m

16.Волны, звук и оптикаСложная

Неподвижный парковочный датчик посылает ультразвук 40 kHz на автомобиль, удаляющийся со скоростью 15 m/s. Найдите частоту f″ эха, принятого обратно датчиком (скорость звука 343 m/s).

f = 40 kHzu = 15 m/sv = 343 m/s

f″ = Hz

3Растворы

1.Кинематика

Ответ: d = 484 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

Равные пути

v·t = ½·a·t² → t = 2v/a = 2·22/2 = 22 s

Путь

d = v·t = 22·22 = 484 m

Ответ

d = 484 m

В этот момент полицейский автомобиль движется со скоростью 2v = 44 m/s.

2.Кинематика

Ответ: t = 4,189 s

Движение с постоянным ускорением: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² и v² = v₀² + 2·a·s. Выберите уравнение, в которое входят три известные величины и искомая, и следите за знаками относительно одного положительного направления.

Уравнение движения

Вверх — положительное направление, земля находится на h₀ ниже точки броска.

−40 = 11·t − ½·9,81·t²

4,905·t² − 11·t − 40 = 0

Решите квадратное уравнение

Физический смысл имеет только положительный корень.

t = (11 + √(11² + 2·9,81·40))/9,81 = 4,189 s

Ответ

t = 4,189 s

3.Законы Ньютона

Ответ: F = 254,7 N

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

Силы вдоль плоскости

Постоянная скорость: силы уравновешены.

F = m·g·sin θ + μ·m·g·cos θ

Толкающая сила

F = 151 + 103,7 = 254,7 N

Ответ

F = 254,7 N

4.Законы Ньютона

Ответ: d = 3,387 m

Замедление

Обе силы направлены вниз по склону; масса сокращается.

a = 9,81·(sin 35° + 0,2·cos 35°) = 7,234 m/s²

Путь

d = v₀²/(2a) = 7²/(2·7,234) = 3,387 m

Ответ

d = 3,387 m

5.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: t = 1,637 s

Движение тела, брошенного под углом: без сопротивления воздуха x = v_xt и y = h + v_yt − ½gt². Оба направления независимы, их связывает только общее время.

Разложите начальную скорость

Горизонтальная скорость постоянна; вертикальное движение имеет постоянное ускорение g = 9,81 m/s² вниз.

v_x = v₀·cos θ = 14·cos 35° = 11,47 m/s

v_y = v₀·sin θ = 14·sin 35° = 8,03 m/s

Время полёта

Старт и приземление на одной высоте: t = 2v_y/g.

t = 2·8,03/9,81 = 1,637 s

Ответ

t = 1,637 s

6.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: H = 55,78 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Вертикальная начальная скорость

v_y = 13·sin 55° = 10,65 m/s

Подъём над обрывом

Δh = v_y²/(2g) = 10,65²/(2·9,81) = 5,78 m

Высота над землёй

H = 50 + 5,78 = 55,78 m

Ответ

H = 55,78 m

7.Движение по окружности

Ответ: v = 1,683 m/s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

Радиус окружности

r = L·sin θ = 1·sin 30° = 0,5 m

Скорость

Сила натяжения и сила тяжести вместе дают силу, направленную к центру: tan θ = v²/(r·g).

v = √(r·g·tan θ) = √(0,5·9,81·tan 30°) = 1,683 m/s

Ответ

v = 1,683 m/s

8.Движение по окружности

Ответ: v_max = 30,36 m/s

Балансы сил

Трение направлено вниз по склону.

N·(sin θ + μ·cos θ) = m·v²/r

N·(cos θ − μ·sin θ) = m·g

Скорость

v = √(190·9,81·0,452/0,9142) = 30,36 m/s

Ответ

v_max = 30,36 m/s

(109,3 km/h)

9.Работа и энергия

Ответ: W_f = 10,19 J

Теорема об изменении кинетической энергии: изменение кинетической энергии равно работе всех сил. Если записать тяжесть и пружины как потенциальную энергию (mgh и ½kx²), получается баланс: начальная энергия = конечная энергия + энергия, потерянная на трение (μN·d).

Сила трения

N = mg·cos θ = 39,24·0,866 = 33,98 N

F = μN = 0,1·33,98 = 3,398 N

Работа против трения

W_f = F·d = 3,398·3 = 10,19 J

Ответ

W_f = 10,19 J

10.Работа и энергия

Ответ: v = 2,911 m/s

Выделившаяся и потерянная энергия

m₂g·d = 58,86·1 = 58,86 J

μ·m₁g·d = 0,25·49,05·1 = 12,26 J

Кинетическая энергия обоих грузов

½(m₁ + m₂)v² = 46,6 → v = √(2·46,6/11) = 2,911 m/s

Ответ

v = 2,911 m/s

11.Импульс и столкновения

Ответ: v′₂ = 2,375 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

Импульс до удара

p = M·u = 17·35 = 595 kg·m/s

Импульс после удара

595 = 9·64 + 8·v′₂

v′₂ = (595 − 576)/8 = 2,375 m/s

Ответ

v′₂ = 2,375 m/s

12.Импульс и столкновения

Ответ: v = 186,7 m/s

Подъём бруска

h = L·(1 − cos θ) = 1,3·(1 − cos 30°) = 0,1742 m

Скорость после удара

V = √(2·9,81·0,1742) = 1,849 m/s

Столкновение

v = (m + M)·V/m = 1,01·1,849/0,01 = 186,7 m/s

Ответ

v = 186,7 m/s

13.Пружины и маятники

Ответ: v = 1,887 m/s

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Угловая частота

ω = √(250/2,1) = 10,91 rad/s

Скорость в точке x

v = ω·√(A² − x²) = 10,91·√(0,18² − 0,05²) = 1,887 m/s

Ответ

v = 1,887 m/s

14.Пружины и маятники

Ответ: t = 0,135 s

Угловая частота

ω = 2π/T = 2π/1 = 6,283 rad/s

Выразите время

0,75 = sin(ω·t) → ω·t = arcsin(0,75) = 0,8481 rad

t = 0,8481/6,283 = 0,135 s

Ответ

t = 0,135 s

15.Волны, звук и оптика

Ответ: L = 0,9994 m

Стоячие волны и эффект Доплера: в струне, закреплённой с обоих концов, или в трубе, открытой с обоих концов, укладывается целое число полуволн: L = nλ/2, f_n = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … У трубы, закрытой с одного конца, на закрытом конце узел, а на открытом пучность: L = nλ/4 только при нечётных n, f_n = n·v/(4L). Когда источник или наблюдатель движутся вдоль линии между ними, f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s): верхние знаки берите для движения навстречу друг другу. Две волны почти равной частоты дают биения с частотой |f₁ − f₂|.

Длина волны

λ = v/f = 343/858 = 0,3998 m

Длина

L = nλ/2 = 5·0,3998/2 = 0,9994 m

Ответ

L = 0,9994 m

16.Волны, звук и оптика

Ответ: f″ = 36648 Hz

Частота у автомобиля

f′ = 40000·(343 − 15)/343 = 38251 Hz

Частота эха

f″ = f′·343/(343 + 15) = 36648 Hz

Ответ

f″ = 36648 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics