Физика 1: Механика: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (16) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Кинематика

Скорость: v = v₀ + a·t
Перемещение: s = v₀·t + ½·a·t²
Без времени: v² = v₀² + 2·a·s
Единицы: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Выпишите известное: v₀, v, a, t и s с единицами.
Выберите уравнение, содержащее три известных величины и неизвестную.
Выберите одно положительное направление и припишите противоположно направленным величинам знак минус.
Решите и проверьте, что ответ физически разумен.

Законы Ньютона

Второй закон: ΣF = m·a
Вес: W = m·g
Трение скольжения: F_f = μ·N
На наклонной плоскости: вдоль: m·g·sin θ, по нормали: m·g·cos θ

Метод

Нарисуйте расчётную схему со всеми силами, действующими на тело.
Выберите положительное направление вдоль движения.
Разложите силы на составляющие вдоль движения и перпендикулярно ему (на наклонной плоскости: m·g·sin θ вдоль, m·g·cos θ перпендикулярно плоскости).
Примените ΣF = m·a вдоль движения; трение равно μ·N и направлено против движения.

Движение тела, брошенного под углом

Составляющие: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положение: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальная высота: H = h + v_y²/(2g)
Дальность (ровная поверхность): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Разложите начальную скорость на составляющие: v_x = v₀·cos θ и v_y = v₀·sin θ.
По горизонтали скорость постоянна; по вертикали ускорение равно −g.
Найдите время полёта из вертикального движения.
Подставьте это время в горизонтальное движение, чтобы найти дальность.

Движение по окружности

Центростремительное ускорение: a = v²/r = ω²·r
Центростремительная сила: F = m·v²/r
Угловая скорость: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальный поворот, трение: v_max = √(μ·g·r)

Работа и энергия

Кинетическая энергия: E_k = ½mv²
Потенциальная энергия: E_p = mgh
Энергетический баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Работа силы трения: W = μ·N·d
Мощность: P = W/t

Импульс и столкновения

Импульс: p = m·v
Сохранение: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно неупругий удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Импульс силы: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Выберите положительное направление и припишите каждой скорости её знак.
Запишите полный импульс до удара: Σm·v.
При абсолютно неупругом ударе тела после него движутся вместе; при упругом сохраняется ещё и кинетическая энергия.
Приравняйте импульс до удара импульсу после и решите.

Пружины и маятники

Груз на пружине: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Угловая частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Наибольшие скорость и ускорение: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Энергия: E = ½·k·A²

Волны, звук и оптика

Скорость волны: v = fλ, T = 1/f
Струна: v = √(T/μ), μ = m/L
Уровень звука: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Точечный источник: I = P/(4πr²)
Стоячие волны: струна или труба, открытая с обоих концов, f_n = n·v/(2L); закрытая труба f_n = n·v/(4L), n нечётное
Эффект Доплера: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Показатель преломления: n = c/v, λ = λ₀/n
Закон Снеллиуса: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Критический угол: sin θ_c = n₂/n₁
Оптическое волокно: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Линзы и зеркала: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Двойная щель: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Решётка: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Одиночная щель: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Метод

Определите тип задачи: скорость волны, уровень звука, стоячая волна, эффект Доплера, преломление, линза или зеркало, либо интерференция.
Сначала запишите соотношение: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) или n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Переведите единицы: nm, mm и cm в m, и проверьте, отсчитываются ли углы от нормали.
Проверьте знаки и правдоподобие: у мнимого изображения dᵢ < 0, приближающийся источник звучит выше, у закрытой трубы только нечётные гармоники.

2Тренировочные задачи

1.КинематикаСредняя

Автомобиль, едущий со скоростью 45 km/h, тормозит с постоянным замедлением 5,5 m/s² до полной остановки. Найдите тормозной путь s.

v₀ = 45 km/ha = −5,5 m/s²v = 0

s = m

2.КинематикаСложная

Модель ракеты запускают вертикально вверх из состояния покоя. Двигатель сообщает ей постоянное ускорение 26 m/s², направленное вверх, в течение 1,5 s, после чего двигатель выключается и ракета движется свободно. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². Через сколько времени после старта она упадёт на землю? Найдите t.

a = 26 m/s²t₁ = 1,5 sg = 9,81 m/s²

t = s

3.Законы НьютонаСредняя

Ящик скользит по горизонтальному полу с начальной скоростью 3,5 m/s и останавливается через 3,1 m. Примите g = 9,81 m/s². Найдите коэффициент трения скольжения μ.

v₀ = 3,5 m/sd = 3,1 mg = 9,81 m/s²

μ =

4.Законы НьютонаСложная

Брусок массой 2 kg на горизонтальном столе соединён лёгкой нитью, перекинутой через блок без трения, с подвешенным грузом массой 5,5 kg. Коэффициент трения скольжения между бруском и столом 0,25. Примите g = 9,81 m/s². Найдите силу натяжения T нити.

m₁ = 2 kgm₂ = 5,5 kgμ = 0,25g = 9,81 m/s²

T = N

5.Движение тела, брошенного под угломСредняя

Мяч бросают с горизонтальной поверхности под углом 25° к горизонту, и он падает на расстоянии 110 m. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². Найдите начальную скорость v₀.

θ = 25°R = 110 mg = 9,81 m/s²

v₀ = m/s

6.Движение тела, брошенного под угломСложная

Мяч бросают под углом 40° к горизонту с вершины скалы высотой 45 m. Сопротивлением воздуха пренебречь. Найдите время полёта t до удара мяча о землю.

v₀ = 26 m/sθ = 40°h = 45 mg = 9,81 m/s²

t = s

7.Движение по окружностиСредняя

Автомобиль проходит горизонтальный поворот радиусом 65 m. Коэффициент трения покоя между шинами и дорогой 0,5. Примите g = 9,81 m/s². Найдите наибольшую скорость v_max, с которой автомобиль может пройти поворот без заноса.

r = 65 mμ_s = 0,5g = 9,81 m/s²

v_max = m/s

8.Движение по окружностиСложная

Поворот радиусом 300 m имеет вираж с уклоном 25°, коэффициент трения покоя между шинами и дорогой равен 0,15. Примите g = 9,81 m/s². Найдите наибольшую скорость v_max, при которой автомобиль может пройти поворот, не соскальзывая вверх и наружу.

r = 300 mθ = 25°μ_s = 0,15g = 9,81 m/s²

v_max = m/s

9.Работа и энергияСредняя

Шарик массой 0,5 kg висит на лёгкой нити длиной 1 m. Его отводят в сторону, пока нить не составит 40° с вертикалью, и отпускают без начальной скорости. Найдите силу натяжения T нити в момент прохождения шариком нижней точки.

m = 0,5 kgL = 1 mθ = 40°g = 9,81 m/s²

T = N

10.Работа и энергияСложная

Брусок массой 0,5 kg отпускают без начальной скорости на высоте 4,5 m на гладкой рампе. Внизу он пересекает шероховатую горизонтальную полосу длиной 1,5 m (μ = 0,25), а затем наезжает на пружину (k = 500 N/m) на гладкой поверхности. Найдите наибольшее сжатие x пружины.

m = 0,5 kgh = 4,5 mL = 1,5 mμ = 0,25k = 500 N/mg = 9,81 m/s²

x = cm

11.Импульс и столкновенияСредняя

Снаряд массой 6 kg, движущийся горизонтально со скоростью 34 m/s, разрывается на два осколка, движущихся вдоль той же прямой. Осколок массой 4 kg продолжает движение вперёд со скоростью 54 m/s. Найдите скорость v′₂ осколка массой 2 kg (положительна в исходном направлении).

M = 6 kgu = 34 m/sm₁ = 4 kgv′₁ = 54 m/sm₂ = 2 kg

v′₂ = m/s

12.Импульс и столкновенияСложная

Мяч массой 0,4 kg ударяется о стену со скоростью 18 m/s и отскакивает прямо назад со скоростью 5 m/s. Контакт длится 40 ms. Найдите модуль импульса силы J, который стена сообщает мячу.

m = 0,4 kgv_in = 18 m/sv_out = 5 m/sΔt = 40 ms

J = N·s

13.Пружины и маятникиСредняя

Астронавт на другой планете обнаруживает, что математический маятник длиной 0,8 m имеет период малых колебаний 1,13 s. Найдите ускорение свободного падения g на этой планете.

L = 0,8 mT = 1,13 s

g = m/s²

14.Пружины и маятникиСложная

Пуля массой 12 g, летящая со скоростью 450 m/s, попадает в брусок массой 1 kg, лежащий на поверхности без трения, и застревает в нём. Брусок прикреплён к горизонтальной пружине с k = 300 N/m. Найдите амплитуду A возникающих колебаний в cm.

m = 12 gv = 450 m/sM = 1 kgk = 300 N/m

A = cm

15.Волны, звук и оптикаСредняя

Свет идёт в среде «алмаз» (n = 2,42) к плоской границе со средой «этанол» (n = 1,36). Найдите критический угол θ_c, за пределом которого происходит полное отражение.

n₁ = 2,42n₂ = 1,36

θ_c = °

16.Волны, звук и оптикаСложная

Неподвижный датчик посылает ультразвук 25 kHz на автомобиль, удаляющийся со скоростью 15 m/s, и смешивает эхо с излучаемым сигналом. Найдите частоту биений f_b (скорость звука 343 m/s).

f = 25 kHzu = 15 m/sv = 343 m/s

f_b = Hz

3Растворы

1.Кинематика

Ответ: s = 14,2 m

Движение с постоянным ускорением: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² и v² = v₀² + 2·a·s. Выберите уравнение, в которое входят три известные величины и искомая, и следите за знаками относительно одного положительного направления.

Единицы

v₀ = 45/3,6 = 12,5 m/s

Тормозной путь

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 12,5²/(2·5,5) = 14,2 m

Ответ

s = 14,2 m

2.Кинематика

Ответ: t = 10,14 s

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

Активный участок

v₁ = 26·1,5 = 39 m/s

h₁ = ½·26·1,5² = 29,25 m

Свободный полёт до земли

Решите −h₁ = v₁·t₂ − ½·g·t₂² и возьмите положительный корень.

t₂ = (39 + √(39² + 2·9,81·29,25))/9,81 = 8,641 s

t = 1,5 + 8,641 = 10,14 s

Ответ

t = 10,14 s

3.Законы Ньютона

Ответ: μ = 0,2014

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

Замедление

a = v₀²/(2d) = 3,5²/(2·3,1) = 1,976 m/s²

Коэффициент трения

μ·m·g = m·a → μ = a/g = 1,976/9,81 = 0,2014

Ответ

μ = 0,2014

4.Законы Ньютона

Ответ: T = 17,99 N

Второй закон Ньютона: равнодействующая сил, действующих на тело, равна произведению его массы на ускорение, ΣF = m·a. Нарисуйте расчётную схему, выберите положительное направление вдоль движения и сложите все силы в этом направлении: приложенные силы, трение μ·N против движения и составляющие силы тяжести.

Ускорение системы

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (53,96 − 4,905)/7,5 = 6,54 m/s²

Натяжение из уравнения для бруска на столе

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 2·6,54 + 4,905 = 17,99 N

Ответ

T = 17,99 N

5.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: v₀ = 37,53 m/s

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Выражаем v₀ из формулы дальности

v₀ = √(g·R/sin 2θ) = √(9,81·110/sin 50°) = 37,53 m/s

Ответ

v₀ = 37,53 m/s

6.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: t = 5,179 s

Движение тела, брошенного под углом: без сопротивления воздуха x = v_xt и y = h + v_yt − ½gt². Оба направления независимы, их связывает только общее время.

Разложите начальную скорость

Горизонтальная скорость постоянна; вертикальное движение имеет постоянное ускорение g = 9,81 m/s² вниз.

v_x = v₀·cos θ = 26·cos 40° = 19,92 m/s

v_y = v₀·sin θ = 26·sin 40° = 16,71 m/s

Время полёта

Решите y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 и возьмите положительный корень.

0 = 45 + 16,71·t − 4,905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (16,71 + √(279,3 + 882,9))/9,81 = 5,179 s

Ответ

t = 5,179 s

7.Движение по окружности

Ответ: v_max = 17,86 m/s

Равномерное движение по окружности: тело, движущееся со скоростью v по окружности радиуса r, имеет ускорение a = v²/r, направленное к центру, поэтому на него должна действовать направленная к центру равнодействующая сила F = m·v²/r. Эту силу создаёт что-то реальное: трение, натяжение, сила тяжести или сила нормальной реакции.

Трение создаёт центростремительную силу

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0,5·9,81·65) = 17,86 m/s

Ответ

v_max = 17,86 m/s (64,28 km/h)

8.Движение по окружности

Ответ: v_max = 44,16 m/s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

Балансы сил

Трение направлено вниз по склону.

N·(sin θ + μ·cos θ) = m·v²/r

N·(cos θ − μ·sin θ) = m·g

Скорость

v = √(300·9,81·0,5586/0,8429) = 44,16 m/s

Ответ

v_max = 44,16 m/s

(159 km/h)

9.Работа и энергия

Ответ: T = 7,2 N

Теорема об изменении кинетической энергии: изменение кинетической энергии равно работе всех сил. Если записать тяжесть и пружины как потенциальную энергию (mgh и ½kx²), получается баланс: начальная энергия = конечная энергия + энергия, потерянная на трение (μN·d). При движении по окружности равнодействующая, направленная к центру, должна быть равна mv²/r.

Скорость в нижней точке

v² = 2gL(1 − cos θ) = 2·9,81·1·(1 − cos 40°) = 4,59 m²/s²

Силы в нижней точке

m·g = 0,5·9,81 = 4,905 N

T = mg + mv²/L = 4,905 + 0,5·4,59/1 = 7,2 N

Ответ

T = 7,2 N

Проверка: T = mg(3 − 2cos θ) = 7,2 N.

10.Работа и энергия

Ответ: x = 28,45 cm

Энергия после шероховатой полосы

Рампа гладкая, поэтому энергию забирает только полоса.

mgh − μmgL = 4,905·(4,5 − 0,25·1,5) = 20,23 J

Наибольшее сжатие

½kx² = 20,23 → x = √(2·20,23/500) = 0,2845 m = 28,45 cm

Ответ

x = 28,45 cm

11.Импульс и столкновения

Ответ: v′₂ = −6 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

Импульс до удара

p = M·u = 6·34 = 204 kg·m/s

Импульс после удара

204 = 4·54 + 2·v′₂

v′₂ = (204 − 216)/2 = −6 m/s

Ответ

v′₂ = −6 m/s

Знак минус означает, что второй осколок летит назад.

12.Импульс и столкновения

Ответ: J = 9,2 N·s

Закон сохранения импульса: если во время столкновения внешние силы не действуют, суммарный импульс Σm·v до столкновения равен суммарному импульсу после. Скорость имеет направление, поэтому выберите положительное направление и скорости, направленные в противоположную сторону, берите со знаком минус. При упругом столкновении сохраняется и кинетическая энергия; при абсолютно неупругом тела слипаются.

Изменение импульса

J = m·Δv = 0,4·(5 + 18) = 9,2 N·s

Ответ

J = 9,2 N·s

13.Пружины и маятники

Ответ: g = 24,73 m/s²

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Находим g

g = 4π²·L/T² = 4π²·0,8/1,13² = 24,73 m/s²

Ответ

g = 24,73 m/s²

14.Пружины и маятники

Ответ: A = 30,99 cm

Скорость после удара

V = m·v/(m + M) = 0,012·450/1,012 = 5,336 m/s

Угловая частота

ω = √(k/(m + M)) = √(300/1,012) = 17,22 rad/s

Амплитуда

A = V/ω = 5,336/17,22 = 0,3099 m = 30,99 cm

Ответ

A = 30,99 cm

15.Волны, звук и оптика

Ответ: θ_c = 34,19 °

Геометрическая оптика: на границе n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (закон Снеллиуса), углы отсчитываются от нормали, а n = c/v. При входе в более медленную среду луч приближается к нормали. Из более плотной среды (n₁ > n₂) за пределом критического угла θ_c = arcsin(n₂/n₁) весь свет отражается: полное внутреннее отражение. Тонкие линзы и сферические зеркала подчиняются уравнению 1/f = 1/d_o + 1/d_i с увеличением m = −d_i/d_o. Правило знаков: f > 0 для собирающей линзы и вогнутого зеркала (f = R/2), f < 0 для рассеивающей линзы и выпуклого зеркала; d_i > 0 для действительного изображения, d_i < 0 для мнимого, а m < 0 для перевёрнутого изображения.

Преломление под 90°

sin θc = n₂/n₁ = 1,36/2,42 = 0,562

Критический угол

θc = arcsin(0,562) = 34,19°

Ответ

θ_c = 34,19°

16.Волны, звук и оптика

Ответ: f_b = 2095 Hz

Стоячие волны и эффект Доплера: в струне, закреплённой с обоих концов, или в трубе, открытой с обоих концов, укладывается целое число полуволн: L = nλ/2, f_n = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … У трубы, закрытой с одного конца, на закрытом конце узел, а на открытом пучность: L = nλ/4 только при нечётных n, f_n = n·v/(4L). Когда источник или наблюдатель движутся вдоль линии между ними, f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s): верхние знаки берите для движения навстречу друг другу. Две волны почти равной частоты дают биения с частотой |f₁ − f₂|.

Частота у автомобиля

f′ = 25000·(343 − 15)/343 = 23907 Hz

Частота эха

f″ = f′·343/(343 + 15) = 22905 Hz

Частота биений

f_b = |f″ − f| = 2095 Hz

Ответ

f_b = 2095 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics