Физика 1: Механика: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (16) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Кинематика

Скорость: v = v₀ + a·t
Перемещение: s = v₀·t + ½·a·t²
Без времени: v² = v₀² + 2·a·s
Единицы: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Выпишите известное: v₀, v, a, t и s с единицами.
Выберите уравнение, содержащее три известных величины и неизвестную.
Выберите одно положительное направление и припишите противоположно направленным величинам знак минус.
Решите и проверьте, что ответ физически разумен.

Законы Ньютона

Второй закон: ΣF = m·a
Вес: W = m·g
Трение скольжения: F_f = μ·N
На наклонной плоскости: вдоль: m·g·sin θ, по нормали: m·g·cos θ

Метод

Нарисуйте расчётную схему со всеми силами, действующими на тело.
Выберите положительное направление вдоль движения.
Разложите силы на составляющие вдоль движения и перпендикулярно ему (на наклонной плоскости: m·g·sin θ вдоль, m·g·cos θ перпендикулярно плоскости).
Примените ΣF = m·a вдоль движения; трение равно μ·N и направлено против движения.

Движение тела, брошенного под углом

Составляющие: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положение: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальная высота: H = h + v_y²/(2g)
Дальность (ровная поверхность): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Разложите начальную скорость на составляющие: v_x = v₀·cos θ и v_y = v₀·sin θ.
По горизонтали скорость постоянна; по вертикали ускорение равно −g.
Найдите время полёта из вертикального движения.
Подставьте это время в горизонтальное движение, чтобы найти дальность.

Движение по окружности

Центростремительное ускорение: a = v²/r = ω²·r
Центростремительная сила: F = m·v²/r
Угловая скорость: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальный поворот, трение: v_max = √(μ·g·r)

Работа и энергия

Кинетическая энергия: E_k = ½mv²
Потенциальная энергия: E_p = mgh
Энергетический баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Работа силы трения: W = μ·N·d
Мощность: P = W/t

Импульс и столкновения

Импульс: p = m·v
Сохранение: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно неупругий удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Импульс силы: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Выберите положительное направление и припишите каждой скорости её знак.
Запишите полный импульс до удара: Σm·v.
При абсолютно неупругом ударе тела после него движутся вместе; при упругом сохраняется ещё и кинетическая энергия.
Приравняйте импульс до удара импульсу после и решите.

Пружины и маятники

Груз на пружине: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Угловая частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Наибольшие скорость и ускорение: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Энергия: E = ½·k·A²

Волны, звук и оптика

Скорость волны: v = fλ, T = 1/f
Струна: v = √(T/μ), μ = m/L
Уровень звука: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Точечный источник: I = P/(4πr²)
Стоячие волны: струна или труба, открытая с обоих концов, f_n = n·v/(2L); закрытая труба f_n = n·v/(4L), n нечётное
Эффект Доплера: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Показатель преломления: n = c/v, λ = λ₀/n
Закон Снеллиуса: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Критический угол: sin θ_c = n₂/n₁
Оптическое волокно: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Линзы и зеркала: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Двойная щель: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Решётка: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Одиночная щель: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Метод

Определите тип задачи: скорость волны, уровень звука, стоячая волна, эффект Доплера, преломление, линза или зеркало, либо интерференция.
Сначала запишите соотношение: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) или n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Переведите единицы: nm, mm и cm в m, и проверьте, отсчитываются ли углы от нормали.
Проверьте знаки и правдоподобие: у мнимого изображения dᵢ < 0, приближающийся источник звучит выше, у закрытой трубы только нечётные гармоники.

2Тренировочные задачи

1.КинематикаСредняя

Водитель, едущий со скоростью 50 km/h, видит препятствие. Время её реакции 1,1 s, после чего автомобиль тормозит с постоянным замедлением 6 m/s². Найдите полный остановочный путь d с момента, когда она увидела препятствие.

v₀ = 50 km/ht_r = 1,1 sa = −6 m/s²

d = m

2.КинематикаСложная

Мяч бросают вертикально вверх со скоростью 7 m/s с края крыши на высоте 35 m над землёй. Сопротивлением воздуха пренебречь, g = 9,81 m/s². Найдите наибольшую высоту h_max над землёй.

v₀ = 7 m/sh₀ = 35 mg = 9,81 m/s²

h_max = m

3.Законы НьютонаСредняя

Ящик скользит по горизонтальному полу с начальной скоростью 6,5 m/s и останавливается через 5,4 m. Примите g = 9,81 m/s². Найдите коэффициент трения скольжения μ.

v₀ = 6,5 m/sd = 5,4 mg = 9,81 m/s²

μ =

4.Законы НьютонаСложная

Два бруска на горизонтальном полу связаны лёгкой горизонтальной нитью. Горизонтальная сила 50 N тянет передний брусок массой 7 kg; брусок массой 3 kg тащится сзади. Коэффициент трения скольжения для обоих брусков равен 0,25. Примите g = 9,81 m/s². Найдите силу натяжения T соединительной нити.

m₁ = 3 kgm₂ = 7 kgF = 50 Nμ = 0,25g = 9,81 m/s²

T = N

5.Движение тела, брошенного под угломСредняя

Мяч бьют с горизонтальной поверхности со скоростью 18 m/s под углом 55° к горизонту в сторону стены, находящейся на расстоянии 6 m. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². На какой высоте y мяч пролетает у стены?

v₀ = 18 m/sθ = 55°x = 6 mg = 9,81 m/s²

y = m

6.Движение тела, брошенного под угломСложная

Мяч бросают под углом 60° к горизонту с вершины скалы высотой 15 m. Сопротивлением воздуха пренебречь. Найдите время полёта t до удара мяча о землю.

v₀ = 24 m/sθ = 60°h = 15 mg = 9,81 m/s²

t = s

7.Движение по окружностиСредняя

Автомобиль проходит горизонтальный поворот радиусом 115 m. Коэффициент трения покоя между шинами и дорогой 0,3. Примите g = 9,81 m/s². Найдите наибольшую скорость v_max, с которой автомобиль может пройти поворот без заноса.

r = 115 mμ_s = 0,3g = 9,81 m/s²

v_max = m/s

8.Движение по окружностиСложная

Шарик массой 0,2 kg на нити длиной 1 m вращают по вертикальной окружности. В нижней точке его скорость 8 m/s. Примите g = 9,81 m/s². Найдите силу натяжения T нити в нижней точке.

m = 0,2 kgr = 1 mv = 8 m/sg = 9,81 m/s²

T = N

9.Работа и энергияСредняя

Брусок без начальной скорости скользит по наклонной плоскости под углом 35° к горизонту. Коэффициент трения скольжения 0,4. Найдите его скорость v после того, как он проскользит 14 m вдоль плоскости.

θ = 35°μ = 0,4d = 14 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

10.Работа и энергияСложная

Брусок массой 5 kg отпускают без начальной скорости на высоте 3 m на гладкой рампе. Внизу он пересекает шероховатую горизонтальную полосу длиной 3 m (μ = 0,2), а затем наезжает на пружину (k = 800 N/m) на гладкой поверхности. Найдите наибольшее сжатие x пружины.

m = 5 kgh = 3 mL = 3 mμ = 0,2k = 800 N/mg = 9,81 m/s²

x = cm

11.Импульс и столкновенияСредняя

Пуля массой 8 g, выпущенная горизонтально, попадает в деревянный брусок массой 1,5 kg, подвешенный на лёгких нитях, и застревает в нём. Брусок отклоняется и поднимается на 12 cm выше начального положения. Примите g = 9,81 m/s². Найдите скорость v пули до удара.

m = 8 gM = 1,5 kgh = 12 cmg = 9,81 m/s²

v = m/s

12.Импульс и столкновенияСложная

На перекрёстке автомобиль массой 1300 kg, едущий на восток со скоростью 14 m/s, сталкивается с автомобилем массой 1300 kg, едущим на север со скоростью 24 m/s. Автомобили сцепляются. Найдите скорость v′ обломков сразу после столкновения.

m₁ = 1300 kgv₁ = 14 m/s (E)m₂ = 1300 kgv₂ = 24 m/s (N)

v′ = m/s

13.Пружины и маятникиСредняя

Длина математического маятника 1,4 m. Примите g = 9,81 m/s². Найдите его период T при малых колебаниях.

L = 1,4 mg = 9,81 m/s²

T = s

14.Пружины и маятникиСложная

Тело совершает гармонические колебания с периодом 0,6 s и амплитудой 18 cm. За какое наименьшее время t оно переместится из положения равновесия в точку со смещением 7,2 cm?

T = 0,6 sA = 18 cmx = 7,2 cm

t = s

15.Волны, звук и оптикаСредняя

Труба, закрытая с одного конца имеет длину 0,8 m. Скорость звука равна 343 m/s. Найдите частоту f₁ для режима: основной тон (первая гармоника).

v = 343 m/sn = 1L = 0,8 m

f₁ = Hz

16.Волны, звук и оптикаСложная

Свет с длиной волны 486 nm падает под прямым углом на решётку с 200 штрихами на миллиметр. Найдите угол θ₂ максимума порядка 2.

N = 200 mm⁻¹λ = 486 nmm = 2

θ₂ = °

3Растворы

1.Кинематика

Ответ: d = 31,35 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

Единицы

v₀ = 50/3,6 = 13,89 m/s

Путь за время реакции

d₁ = v₀·t_r = 13,89·1,1 = 15,28 m

Тормозной путь

d₂ = v₀²/(2a) = 13,89²/(2·6) = 16,08 m

Итого

d = 15,28 + 16,08 = 31,35 m

Ответ

d = 31,35 m

2.Кинематика

Ответ: h_max = 37,5 m

Движение с постоянным ускорением: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² и v² = v₀² + 2·a·s. Выберите уравнение, в которое входят три известные величины и искомая, и следите за знаками относительно одного положительного направления.

Подъём над крышей

0 = v₀² − 2·g·Δh → Δh = 7²/(2·9,81) = 2,497 m

Высота над землёй

h_max = 35 + 2,497 = 37,5 m

Ответ

h_max = 37,5 m

3.Законы Ньютона

Ответ: μ = 0,3988

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

Замедление

a = v₀²/(2d) = 6,5²/(2·5,4) = 3,912 m/s²

Коэффициент трения

μ·m·g = m·a → μ = a/g = 3,912/9,81 = 0,3988

Ответ

μ = 0,3988

4.Законы Ньютона

Ответ: T = 15 N

Вся система

a = (F − μ·(m₁ + m₂)·g)/(m₁ + m₂) = (50 − 24,53)/10 = 2,547 m/s²

Только задний брусок

T = m₁·(a + μ·g) = 3·(2,547 + 2,453) = 15 N

Ответ

T = 15 N

При одинаковом μ для обоих брусков трение выпадает: T = F·m₁/(m₁ + m₂).

5.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: y = 6,912 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Время до стены

v_x = 18·cos 55° = 10,32 m/s

t = x/v_x = 6/10,32 = 0,5811 s

Высота в этот момент

y = 14,74·0,5811 − ½·9,81·0,5811² = 6,912 m

Ответ

y = 6,912 m

У стены мяч ещё поднимается.

6.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: t = 4,866 s

Движение тела, брошенного под углом: без сопротивления воздуха x = v_xt и y = h + v_yt − ½gt². Оба направления независимы, их связывает только общее время.

Разложите начальную скорость

Горизонтальная скорость постоянна; вертикальное движение имеет постоянное ускорение g = 9,81 m/s² вниз.

v_x = v₀·cos θ = 24·cos 60° = 12 m/s

v_y = v₀·sin θ = 24·sin 60° = 20,78 m/s

Время полёта

Решите y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 и возьмите положительный корень.

0 = 15 + 20,78·t − 4,905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (20,78 + √(432 + 294,3))/9,81 = 4,866 s

Ответ

t = 4,866 s

7.Движение по окружности

Ответ: v_max = 18,4 m/s

Равномерное движение по окружности: тело, движущееся со скоростью v по окружности радиуса r, имеет ускорение a = v²/r, направленное к центру, поэтому на него должна действовать направленная к центру равнодействующая сила F = m·v²/r. Эту силу создаёт что-то реальное: трение, натяжение, сила тяжести или сила нормальной реакции.

Трение создаёт центростремительную силу

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0,3·9,81·115) = 18,4 m/s

Ответ

v_max = 18,4 m/s (66,23 km/h)

8.Движение по окружности

Ответ: T = 14,76 N

Силы в нижней точке

К центру (вверх) — положительное направление.

T − m·g = m·v²/r

T = 0,2·9,81 + 0,2·8²/1 = 1,962 + 12,8 = 14,76 N

Ответ

T = 14,76 N

9.Работа и энергия

Ответ: v = 8,219 m/s

Теорема об изменении кинетической энергии: изменение кинетической энергии равно работе всех сил. Если записать тяжесть и пружины как потенциальную энергию (mgh и ½kx²), получается баланс: начальная энергия = конечная энергия + энергия, потерянная на трение (μN·d).

Энергетический баланс вдоль плоскости

Брусок опускается на высоту d·sin θ, а трение забирает μmg·cos θ·d. Масса сокращается.

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)

v = √(2·9,81·14·(0,5736 − 0,4·0,8192)) = 8,219 m/s

Ответ

v = 8,219 m/s

10.Работа и энергия

Ответ: x = 54,25 cm

Энергия после шероховатой полосы

Рампа гладкая, поэтому энергию забирает только полоса.

mgh − μmgL = 49,05·(3 − 0,2·3) = 117,7 J

Наибольшее сжатие

½kx² = 117,7 → x = √(2·117,7/800) = 0,5425 m = 54,25 cm

Ответ

x = 54,25 cm

11.Импульс и столкновения

Ответ: v = 289,2 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

Отклонение после удара

V = √(2·g·h) = √(2·9,81·0,12) = 1,534 m/s

Столкновение

m·v = (m + M)·V → v = (0,008 + 1,5)·1,534/0,008 = 289,2 m/s

Ответ

v = 289,2 m/s

12.Импульс и столкновения

Ответ: v′ = 13,89 m/s

Составляющие импульса

p_x = 1300·14 = 18200 kg·m/s

p_y = 1300·24 = 31200 kg·m/s

Скорость обломков

v′ = √(p_x² + p_y²)/(m₁ + m₂) = 36120/2600 = 13,89 m/s

Ответ

v′ = 13,89 m/s

13.Пружины и маятники

Ответ: T = 2,374 s

Гармонические колебания: груз массой m на пружине жёсткостью k колеблется с угловой частотой ω = √(k/m) и периодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математический маятник длиной L имеет период T = 2π·√(L/g). При амплитуде A наибольшая скорость равна A·ω, наибольшее ускорение — A·ω², а энергия — ½·k·A².

Период маятника

T = 2π·√(1,4/9,81) = 2,374 s

Ответ

T = 2,374 s

14.Пружины и маятники

Ответ: t = 0,0393 s

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Угловая частота

ω = 2π/T = 2π/0,6 = 10,47 rad/s

Выразите время

0,4 = sin(ω·t) → ω·t = arcsin(0,4) = 0,4115 rad

t = 0,4115/10,47 = 0,0393 s

Ответ

t = 0,0393 s

15.Волны, звук и оптика

Ответ: f₁ = 107,2 Hz

Стоячие волны и эффект Доплера: в струне, закреплённой с обоих концов, или в трубе, открытой с обоих концов, укладывается целое число полуволн: L = nλ/2, f_n = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … У трубы, закрытой с одного конца, на закрытом конце узел, а на открытом пучность: L = nλ/4 только при нечётных n, f_n = n·v/(4L). Когда источник или наблюдатель движутся вдоль линии между ними, f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s): верхние знаки берите для движения навстречу друг другу. Две волны почти равной частоты дают биения с частотой |f₁ − f₂|.

Длина волны этого режима

λ = 4L/n = 4·0,8/1 = 3,2 m

Частота

f = v/λ = 343/3,2 = 107,2 Hz

Ответ

f₁ = 107,2 Hz

16.Волны, звук и оптика

Ответ: θ₂ = 11,21 °

Интерференция и дифракция: свет от двух щелей на расстоянии d друг от друга приходит в точку на экране с разностью хода d·sin θ. Светлые полосы появляются там, где d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …). Для экрана на расстоянии L ≫ d m-я светлая полоса находится при y = mλL/d, а расстояние между полосами равно Δy = λL/d. У решётки с N штрихами на миллиметр d = 1/N, а резкие максимумы находятся при d·sin θ = mλ; так как sin θ ≤ 1, наивысший порядок — наибольшее целое число m ≤ d/λ. У одной щели шириной a тёмные полосы находятся при a·sin θ = mλ, m = ±1, ±2, …

Расстояние между штрихами

d = 1/200 mm = 5 × 10⁻⁶ m

Уравнение решётки

sin θ = mλ/d = 2·486 × 10⁻⁹/(5 × 10⁻⁶) = 0,1944

θ = 11,21°

Ответ

θ₂ = 11,21°

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics