Физика 2: Электричество и магнетизм: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (10) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Закон Кулона и электрическое поле

Закон Кулона: F = k·|q₁q₂|/r²
Поле точечного заряда: E = k·|q|/r²
Постоянная: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Сила, действующая на заряд: F = q·E

Последовательные и параллельные резисторы

Последовательное соединение резисторов: R_eq = R₁ + R₂ + …
Параллельное соединение резисторов: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Два параллельно: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Закон Ома: V = I·R
Мощность: P = V·I = I²R = V²/R

Метод

Начните с конца цепи, наиболее удалённого от зажимов.
Последовательные резисторы складывайте, а параллельные объединяйте по формуле 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
После каждого шага перерисовывайте схему.
Повторяйте, пока между зажимами не останется один резистор.

Переходные процессы RC и RL

Постоянная времени: τ = RC | τ = L/R
Отклик: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Конденсатор на постоянном токе: разрыв; v_C не может измениться скачком
Катушка на постоянном токе: короткое замыкание; i_L не может измениться скачком
Установившийся режим: t ≈ 5τ

Метод

Найдите начальное значение сразу после коммутации: напряжение на конденсаторе и ток в катушке не могут изменяться скачком.
Найдите установившееся значение спустя долгое время после коммутации: конденсатор ведёт себя как разрыв, катушка — как короткое замыкание.
Найдите постоянную времени: τ = RC или τ = L/R, где берётся сопротивление со стороны конденсатора или катушки.
Используйте x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Магнитные поля и индукция

Длинный прямой провод: B = μ₀I/(2πr)
Центр плоской катушки: B = μ₀NI/(2R)
Длинный соленоид: B = μ₀nI, n = N/L
Постоянная: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Сила, действующая на провод: F = BIL·sin θ
Сила, действующая на заряд: F = |q|vB·sin θ
Движение по окружности: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Параллельные провода: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Поток: Φ = BA·cos θ
Закон Фарадея: ε = −N·ΔΦ/Δt
Движущийся стержень: ε = BLv
Генератор: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Индуктивность: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Взаимная индуктивность: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Селектор скоростей и спектрометр: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Метод

Переведите каждую величину в единицы СИ: cm в m, cm² в m², mT и µT в T.
Выберите правильную формулу: B = μ₀I/(2πr) для провода, μ₀NI/(2R) для центра катушки, μ₀nI внутри соленоида; F = BIL·sin θ или |q|vB·sin θ для сил.
Для индукции найдите изменение потока ΔΦ = Δ(BA·cos θ) и используйте ε = N·ΔΦ/Δt, либо ε = BLv для движущегося стержня и NBAω для вращающейся катушки.
Направления находите отдельно по правилам правой руки, а для индукционных токов — по правилу Ленца.

Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Полные сопротивления: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Угловая частота: ω = 2πf
Модуль и угол: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексной форме: V = I·Z

Метод

Переведите частоту: ω = 2πf.
Найдите каждое реактивное сопротивление: X_L = ωL и X_C = 1/(ωC).
Складывайте сопротивления как у резисторов, с Z = R + jX.
Найдите модуль |Z| = √(R² + X²) и угол φ = atan(X/R), затем примените закон Ома для комплексных амплитуд.

2Тренировочные задачи

1.Закон Кулона и электрическое полеСредняя

Заряды +3 µC и +6 µC находятся на расстоянии 20 cm друг от друга. На каком расстоянии x от заряда +3 µC на отрезке между ними напряжённость электрического поля равна нулю?

q₁ = +3 µCq₂ = +6 µCd = 20 cm

x = cm

2.Закон Кулона и электрическое полеСложная

Три положительных точечных заряда находятся в вершинах прямоугольного треугольника: q₃ = 8 µC — в вершине прямого угла, q₁ = 1 µC — на расстоянии 6 cm от неё вдоль одного катета, q₂ = 5 µC — на расстоянии 3 cm от неё вдоль другого катета. Найдите модуль результирующей электрической силы F, действующей на q₃.

q₁ = 1 µCq₂ = 5 µCq₃ = 8 µCr₁₃ = 6 cmr₂₃ = 3 cm

F = N

3.Последовательные и параллельные резисторыСредняя

Найдите ток I_R2 через R₂.

V₁ = 12 VR₁ = 10 ΩR₂ = 20 ΩR₃ = 2 ΩR₄ = 12 Ω

I_R2 = A

4.Последовательные и параллельные резисторыСложная

Найдите ток I_R2 через R₂.

V₁ = 15 VR₁ = 2 ΩR₂ = 2 ΩR₃ = 12 ΩR₄ = 10 ΩR₅ = 5 ΩR₆ = 25 Ω

I_R2 = A

5.Переходные процессы RC и RLСредняя

До замыкания ключа в момент t = 0 тока через катушку нет. Найдите энергию W, запасённую в катушке при t = 1 ms, в mJ.

V_s = 10 VR = 50 ΩL = 68 mHt = 1 ms

W = mJ

6.Переходные процессы RC и RLСложная

Непосредственно перед замыканием ключа в момент t = 0 конденсатор заряжен до 2 V с указанной полярностью. Через какое время v_C достигнет 3,5 V? Найдите t.

V_s = 5 VR = 2,2 kΩC = 47 µFv_C(0) = 2 V

t = ms

7.Магнитные поля и индукцияСредняя

Катушка из 20 витков имеет площадь 150 cm². Катушку переворачивают (поворачивают на 180°) в однородном поле 0,8 T, перпендикулярном её плоскости, за 500 ms. Найдите среднюю ЭДС индукции ε.

N = 20A = 150 cm²B = 0,8 TΔt = 500 ms

ε = mV

8.Магнитные поля и индукцияСложная

В селекторе скоростей скрещённые поля E = 4 × 10⁴ V/m и B = 0,25 T пропускают прямо только ионы одной скорости. Найдите эту скорость v.

E = 4 × 10⁴ V/mB₁ = 0,25 T

v = m/s

9.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСредняя

Резистор и катушка включены параллельно в сеть 100 V (действующее значение), 60 Hz. Найдите угол сдвига фаз φ полного сопротивления в градусах (положительный, когда ток отстаёт от напряжения).

V = 100 V (rms)f = 60 HzR = 50 ΩL = 150 mH

φ = °

10.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСложная

Последовательная цепь RLC подключена к сети 230 V (действующее значение), 60 Hz. Найдите действующее значение напряжения V_C на конденсаторе.

V = 230 V (rms)f = 60 HzR = 50 ΩL = 20 mHC = 47 µF

V_C = V

3Растворы

1.Закон Кулона и электрическое поле

Ответ: x = 8,284 cm

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Равные поля

3/x² = 6/(20 − x)²

(20 − x)/x = √(6/3) = 1,414

Положение

x = 20/(1 + 1,414) = 8,284 cm

Ответ

x = 8,284 cm

Нулевая точка всегда ближе к меньшему заряду.

2.Закон Кулона и электрическое поле

Ответ: F = 400,1 N

Закон Кулона: два точечных заряда притягиваются или отталкиваются с силой F = k·|q₁·q₂|/r², где k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². Напряжённость поля точечного заряда E = k·|q|/r²; поле направлено от положительного заряда и к отрицательному. Силы и поля от нескольких зарядов складываются как векторы.

Каждая сила, действующая на q₃

F₁ = k·1·8 × 10⁻¹²/0,06² = 19,98 N

F₂ = k·5·8 × 10⁻¹²/0,03² = 399,6 N

Векторная сумма

F = √(19,98² + 399,6²) = 400,1 N

Ответ

F = 400,1 N

3.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: I_R2 = 0,271 A

Последовательное и параллельное соединение: последовательно через каждый резистор течёт один и тот же ток и R = R₁ + R₂ + …. Параллельно на каждом резисторе одно и то же напряжение и 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Лестничную цепь упрощают по одной паре, пока не останется одно эквивалентное сопротивление.

Объединяйте резисторы с дальнего конца

Начните с конца, самого дальнего от источника, и двигайтесь к нему. Резисторы с одинаковым током соединены последовательно; резисторы между одними и теми же двумя узлами — параллельно.

R₃ + R₄ = 2 + 12 = 14 Ω

R₂ ∥ 14 = 20·14/(20+14) = 8,235 Ω

R_eq = R₁ + 8,235 = 10 + 8,235 = 18,24 Ω

Ток источника

Источник видит только R_eq, поэтому закон Ома даёт ток, который он отдаёт. Этот ток течёт через R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 12/18,24 = 0,6581 A

Ток через R₂

Вычтите падение на R₁, чтобы получить напряжение в узле A, то есть напряжение на R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 12 − 0,6581·10 = 5,419 V

I_R2 = V_A/R₂ = 5,419/20 = 0,271 A

Ответ

I_R2 = 0,271 A

4.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: I_R2 = 3,567 A

Объединяйте резисторы с дальнего конца

R₅ + R₆ = 5 + 25 = 30 Ω

R₄ ∥ 30 = 7,5 Ω

R₃ + 7,5 = 19,5 Ω

R₂ ∥ 19,5 = 1,814 Ω

R_eq = R₁ + 1,814 = 2 + 1,814 = 3,814 Ω

Ток источника

Источник видит только R_eq, поэтому закон Ома даёт ток, который он отдаёт. Этот ток течёт через R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 15/3,814 = 3,933 A

Ток через R₂

Вычтите падение на R₁, чтобы получить напряжение в узле A, то есть напряжение на R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 15 − 3,933·2 = 7,134 V

I_R2 = V_A/R₂ = 7,134/2 = 3,567 A

Ответ

I_R2 = 3,567 A

5.Переходные процессы RC и RL

Ответ: W = 0,3686 mJ

Переходные процессы первого порядка: в цепи с одним конденсатором или одной катушкой каждое напряжение и каждый ток экспоненциально меняются от начального к конечному значению: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, где τ = RC или τ = L/R. Примерно через 5τ цепь выходит на установившийся режим.

Постоянная времени и конечный ток

Спустя долгое время после замыкания катушка ведёт себя как короткое замыкание, поэтому конечный ток определяется только R.

τ = L/R = 68 mH / 50 Ω = 1,36 ms

i(∞) = V_s/R = 10/50 = 0,2 A

Ток в заданный момент

i(t) = 0,2·(1 − e^−1/1,36) = 0,1041 A

Запасённая энергия

W = ½·L·i² = ½·68·0,1041² = 0,3686 mJ

Ответ

W = 0,3686 mJ

6.Переходные процессы RC и RL

Ответ: t = 71,67 ms

Начальное значение, конечное значение, постоянная времени

Напряжение на конденсаторе не может измениться скачком, поэтому оно начинается с накопленного значения и стремится к напряжению источника.

v_C(0) = 2 V, v_C(∞) = V_s = 5 V

τ = R·C = 2,2 kΩ · 47 µF = 103,4 ms

v_C(t) = 5 + (2 − 5)·e^−t/τ

Выразите время

3,5 = 5 + (−3)·e^−t/τ → e^−t/τ = (3,5 − 5)/(2 − 5) = 0,5

t = τ·ln((2 − 5)/(3,5 − 5)) = 103,4·ln(2) = 71,67 ms

Ответ

t = 71,67 ms

7.Магнитные поля и индукция

Ответ: ε = 960 mV

Электромагнитная индукция: поток через контур равен Φ = BA·cos θ, где θ — угол между B и нормалью к контуру. Закон Фарадея: изменение потока наводит в катушке из N витков ЭДС ε = −N·dΦ/dt, а правило Ленца гласит, что индукционный ток течёт так, что его собственное поле противодействует изменению. Стержень, движущийся поперёк поля, даёт ε = BLv. Катушка, вращающаяся с угловой скоростью ω, даёт e = NBAω·sin ωt с амплитудой NBAω. Самоиндукция: ε = −L·di/dt, где L = μ₀N²A/l для длинного соленоида, а запасённая энергия равна W = ½LI². Две связанные катушки: ε₂ = −M·di₁/dt, где M = k√(L₁L₂).

Изменение потока на виток

ΔΦ = 2·0,8·0,015 = 0,024 Wb

Средняя ЭДС

ε = NΔΦ/Δt = 20·0,024/0,5 = 0,96 V

Ответ

ε = 960 mV

8.Магнитные поля и индукция

Ответ: v = 160000 m/s

Магнитные силы: на прямой провод с током I в поле B действует сила F = BIL·sin θ, а на движущийся заряд — F = |q|vB·sin θ, где θ — угол между током (или скоростью) и B. Сила перпендикулярна им обоим: направьте пальцы правой руки вдоль I или v, согните их к B, и большой палец покажет F для положительного заряда; для отрицательного заряда направление меняется на противоположное. Поскольку F перпендикулярна v, заряд, движущийся поперёк однородного поля, движется по окружности: |q|vB = mv²/r даёт r = mv/(|q|B) и период T = 2πm/(|q|B), не зависящий от скорости. Два параллельных провода притягиваются при токах в одном направлении: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).

Выбираемая скорость

Без отклонения: электрическая сила qE уравновешивает магнитную силу qvB.

v = E/B₁ = 4 × 10⁴/0,25 = 160000 m/s

Ответ

v = 160000 m/s

9.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: φ = 41,48 °

Цепи переменного тока и комплексный метод: резисторы, катушки и конденсаторы имеют полные сопротивления R, jωL и 1/(jωC), где ω = 2πf. При последовательном соединении полные сопротивления складываются как сопротивления, но как комплексные числа. Действующие значения тока и напряжения подчиняются закону Ома с |Z|.

Реактивное сопротивление

X_L = ωL = 2π·60·0,15 = 56,55 Ω

Токи ветвей

Обе ветви подключены прямо к источнику, поэтому к каждой приложено полное напряжение V.

I_R = V/R = 100/50 = 2 A

I_X = V/X_L = 100/56,55 = 1,768 A

Общий ток

Ток резистора совпадает по фазе с V, а реактивный ток сдвинут на 90°, поэтому они складываются как катеты прямоугольного треугольника.

I = √(I_R² + I_X²) = √(2² + 1,768²) = 2,67 A

Угол сдвига фаз

Ток катушки отстаёт от V, поэтому общий ток отстаёт и угол положителен.

φ = arctan(I_X/I_R) = arctan(1,768/2) = 41,48°

Ответ

φ = 41,48°

10.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: V_C = 185,6 V

Реактивные сопротивления

ω = 2πf = 2π·60 = 377 rad/s

X_L = ωL = 377·0,02 = 7,54 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(377·47·10⁻⁶) = 56,44 Ω

Полное сопротивление

При последовательном соединении полные сопротивления складываются как комплексные числа: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(50² + (−48,9)²) = 69,94 Ω

Ток

Через каждый элемент последовательной цепи течёт один и тот же ток.

I = V/|Z| = 230/69,94 = 3,289 A

Напряжение на конденсаторе

V_C = I·X_C = 3,289·56,44 = 185,6 V

Ответ

V_C = 185,6 V

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism