Физика 2: Электричество и магнетизм: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (10) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Закон Кулона и электрическое поле

Закон Кулона
F = k·|q1q2|/r²
Поле точечного заряда
E = k·|q|/r²
Постоянная
k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Сила, действующая на заряд
F = q·E

Последовательные и параллельные резисторы

Последовательное соединение резисторов
Req = R1 + R2 + …
Параллельное соединение резисторов
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
Два параллельно
Req = R1R2 / (R1 + R2)
Закон Ома
V = I·R
Мощность
P = V·I = I²R = V²/R

Метод

  1. Начните с конца цепи, наиболее удалённого от зажимов.
  2. Последовательные резисторы складывайте, а параллельные объединяйте по формуле 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
  3. После каждого шага перерисовывайте схему.
  4. Повторяйте, пока между зажимами не останется один резистор.

Переходные процессы RC и RL

Постоянная времени
τ = RC | τ = L/R
Отклик
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
Конденсатор на постоянном токе
разрыв; vC не может измениться скачком
Катушка на постоянном токе
короткое замыкание; iL не может измениться скачком
Установившийся режим
t ≈ 5τ

Метод

  1. Найдите начальное значение сразу после коммутации: напряжение на конденсаторе и ток в катушке не могут изменяться скачком.
  2. Найдите установившееся значение спустя долгое время после коммутации: конденсатор ведёт себя как разрыв, катушка — как короткое замыкание.
  3. Найдите постоянную времени: τ = RC или τ = L/R, где берётся сопротивление со стороны конденсатора или катушки.
  4. Используйте x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ.

Магнитные поля и индукция

Длинный прямой провод
B = μ0I/(2πr)
Центр плоской катушки
B = μ0NI/(2R)
Длинный соленоид
B = μ0nI, n = N/L
Постоянная
μ0 = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Сила, действующая на провод
F = BIL·sin θ
Сила, действующая на заряд
F = |q|vB·sin θ
Движение по окружности
r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Параллельные провода
F/L = μ0I1I2/(2πd)
Поток
Φ = BA·cos θ
Закон Фарадея
ε = −N·ΔΦ/Δt
Движущийся стержень
ε = BLv
Генератор
E0 = NBAω, Erms = E0/√2
Индуктивность
ε = L·ΔI/Δt, L = μ0N²A/l, W = ½LI²
Взаимная индуктивность
ε2 = M·di1/dt, M = k√(L1L2)
Селектор скоростей и спектрометр
v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Метод

  1. Переведите каждую величину в единицы СИ: cm в m, cm² в m², mT и µT в T.
  2. Выберите правильную формулу: B = μ₀I/(2πr) для провода, μ₀NI/(2R) для центра катушки, μ₀nI внутри соленоида; F = BIL·sin θ или |q|vB·sin θ для сил.
  3. Для индукции найдите изменение потока ΔΦ = Δ(BA·cos θ) и используйте ε = N·ΔΦ/Δt, либо ε = BLv для движущегося стержня и NBAω для вращающейся катушки.
  4. Направления находите отдельно по правилам правой руки, а для индукционных токов — по правилу Ленца.

Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Полные сопротивления
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
Угловая частота
ω = 2πf
Модуль и угол
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексной форме
V = I·Z

Метод

  1. Переведите частоту: ω = 2πf.
  2. Найдите каждое реактивное сопротивление: XL = ωL и XC = 1/(ωC).
  3. Складывайте сопротивления как у резисторов, с Z = R + jX.
  4. Найдите модуль |Z| = √(R² + X²) и угол φ = atan(X/R), затем примените закон Ома для комплексных амплитуд.

2Тренировочные задачи

1.Закон Кулона и электрическое полеСредняя
++5 µC−−6 µCP50 cm

Заряд +5 µC и заряд −6 µC находятся на расстоянии 50 cm друг от друга. Точка P лежит на прямой между ними на расстоянии 37,5 cm от первого заряда. Найдите модуль напряжённости электрического поля E в точке P.

q1 = +5 µCq2 = −6 µCr1 = 37,5 cmr2 = 12,5 cm
E = N/C
2.Закон Кулона и электрическое полеСложная
++P2 × 8 cm5 cm+2 µC+2 µC

Заряды +2 µC и +2 µC находятся на расстоянии 16 cm друг от друга. Точка P лежит на серединном перпендикуляре на расстоянии 5 cm от середины отрезка между ними. Найдите модуль напряжённости электрического поля E в точке P. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

q1 = +2 µCq2 = +2 µCd = 16 cmh = 5 cm
E = N/C
3.Последовательные и параллельные резисторыСредняя
R1​ = 12 ΩR3​ = 2 Ω+−V1​9 VR2​3 ΩAR4​8 ΩB

Найдите эквивалентное сопротивление Req, которое видит источник V1.

V1 = 9 VR1 = 12 ΩR2 = 3 ΩR3 = 2 ΩR4 = 8 Ω
Req = Ω
4.Последовательные и параллельные резисторыСложная
R1​ = 15 ΩIR1​R3​ = 5 ΩR5​ = 12 Ω+−V1​9 VR2​2 ΩAR4​15 ΩBR6​6 Ω

Найдите ток IR1, отдаваемый источником и текущий через R1.

V1 = 9 VR1 = 15 ΩR2 = 2 ΩR3 = 5 ΩR4 = 15 ΩR5 = 12 ΩR6 = 6 Ω
IR1 = A
5.Переходные процессы RC и RLСредняя
+−Vs​15 Vt = 0R1​ = 2,2 kΩR2​ = 2,2 kΩC10 µF+−vC​

Источник Vₛ заряжает конденсатор через R₁, а R₂ подключён параллельно C. Конденсатор разряжен, когда ключ замыкается в момент t = 0. Найдите постоянную времени τ цепи после замыкания ключа.

Vs = 15 VR1 = 2,2 kΩR2 = 2,2 kΩC = 10 µF
τ = ms
6.Переходные процессы RC и RLСложная
+−Vs​10 Vt = 0R = 3,3 kΩC220 µF+−vC​vC​(0) = 12 V

Непосредственно перед замыканием ключа в момент t = 0 конденсатор заряжен до 12 V с указанной полярностью. Через какое время vC достигнет 10,4 V? Найдите t.

Vs = 10 VR = 3,3 kΩC = 220 µFvC(0) = 12 V
t = ms
7.Магнитные поля и индукцияСредняя
dB/dt < 0I = ?

Круговой контур находится в однородном магнитном поле, направленном из плоскости страницы. Индукция поля убывает. Нажмите на направление индукционного тока в контуре, как оно видно на рисунке.

B: из плоскости страницыdB/dt < 0
  1. 1по часовой стрелке
  2. 2против часовой стрелки
8.Магнитные поля и индукцияСложная
l = 15 cmN = 400, ⌀ 4 cm

Длинный соленоид без сердечника имеет 400 витков, длину 15 cm и диаметр 4 cm. Найдите его индуктивность L.

N = 400l = 15 cm⌀ = 4 cmμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
L = mH
9.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСредняя
50 V60 HzR = 10 ΩL = 100 mHC = 47 µF

Последовательная цепь RLC подключена к сети 50 V (действующее значение), 60 Hz. Найдите угол сдвига фаз φ полного сопротивления в градусах (положительный, когда ток отстаёт от напряжения).

V = 50 V (rms)f = 60 HzR = 10 ΩL = 100 mHC = 47 µF
φ = °
10.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСложная
120 V200 HzR = 10 ΩL = 150 mHC = 22 µF

Последовательная цепь RLC подключена к сети 120 V (действующее значение), 200 Hz. Найдите резонансную частоту f0 цепи.

V = 120 V (rms)f = 200 HzR = 10 ΩL = 150 mHC = 22 µF
f0 = Hz

3Растворы

1.Закон Кулона и электрическое поле

Ответ: E = 3,772 × 10⁶ N/C

Закон Кулона: два точечных заряда притягиваются или отталкиваются с силой F = k·|q₁·q₂|/r², где k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². Напряжённость поля точечного заряда E = k·|q|/r²; поле направлено от положительного заряда и к отрицательному. Силы и поля от нескольких зарядов складываются как векторы.

Поле каждого заряда

E1 = k·5 × 10⁻⁶/0,375² = 319644 N/C
E2 = k·6 × 10⁻⁶/0,125² = 3,452 × 10⁶ N/C

Направления и сумма

Первое поле направлено от положительного заряда, второе — к отрицательному: оба направлены в одну сторону.

E = |319644 + 3,452 × 10⁶| = 3,772 × 10⁶ N/C

Ответ

E = 3,772 × 10⁶ N/C
2.Закон Кулона и электрическое поле

Ответ: E = 2,141 × 10⁶ N/C

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Расстояние и поле одного заряда

r = √(8² + 5²) = 9,434 cm
E1 = k·2 × 10⁻⁶/0,09434² = 2,02 × 10⁶ N/C

Составляющие

Составляющие вдоль соединяющей заряды прямой компенсируются.

E = 2·E1·(h/r) = 2·2,02 × 10⁶·0,53 = 2,141 × 10⁶ N/C

Ответ

E = 2,141 × 10⁶ N/C

Поле направлено вдоль серединного перпендикуляра, от зарядов.

3.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: Req = 14,31 Ω

Последовательное и параллельное соединение: последовательно через каждый резистор течёт один и тот же ток и R = R₁ + R₂ + …. Параллельно на каждом резисторе одно и то же напряжение и 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Лестничную цепь упрощают по одной паре, пока не останется одно эквивалентное сопротивление.

R1​ = 12 ΩR3​ = 2 Ω+−V1​9 VR2​3 ΩAR4​8 ΩB

Объединяйте резисторы с дальнего конца

Начните с конца, самого дальнего от источника, и двигайтесь к нему. Резисторы с одинаковым током соединены последовательно; резисторы между одними и теми же двумя узлами — параллельно.

R3 + R4 = 2 + 8 = 10 Ω
R2 ∥ 10 = 3·10/(3+10) = 2,308 Ω
Req = R1 + 2,308 = 12 + 2,308 = 14,31 Ω

Ответ

Req = 14,31 Ω
4.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: IR1 = 0,5377 A

Последовательное и параллельное соединение: последовательно через каждый резистор течёт один и тот же ток и R = R₁ + R₂ + …. Параллельно на каждом резисторе одно и то же напряжение и 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Лестничную цепь упрощают по одной паре, пока не останется одно эквивалентное сопротивление.

R1​ = 15 ΩR3​ = 5 ΩR5​ = 12 Ω+−V1​9 VR2​2 ΩAR4​15 ΩBR6​6 Ω

Объединяйте резисторы с дальнего конца

Начните с конца, самого дальнего от источника, и двигайтесь к нему. Резисторы с одинаковым током соединены последовательно; резисторы между одними и теми же двумя узлами — параллельно.

R5 + R6 = 12 + 6 = 18 Ω
R4 ∥ 18 = 8,182 Ω
R3 + 8,182 = 13,18 Ω
R2 ∥ 13,18 = 1,737 Ω
Req = R1 + 1,737 = 15 + 1,737 = 16,74 Ω

Ток источника

Источник видит только Req, поэтому закон Ома даёт ток, который он отдаёт. Этот ток течёт через R₁.

IR1 = V1/Req = 9/16,74 = 0,5377 A

Ответ

IR1 = 0,5377 A
5.Переходные процессы RC и RL

Ответ: τ = 11 ms

Переходные процессы первого порядка: в цепи с одним конденсатором или одной катушкой каждое напряжение и каждый ток экспоненциально меняются от начального к конечному значению: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, где τ = RC или τ = L/R. Примерно через 5τ цепь выходит на установившийся режим.

Эквивалентная схема Тевенина со стороны конденсатора

Закоротите источник, чтобы найти Rth; отключите конденсатор, чтобы найти напряжение, до которого он зарядится.

Rth = R1 ∥ R2 = 2,2·2,2/(2,2 + 2,2) = 1,1 kΩ
vC(∞) = 15·2,2/(2,2 + 2,2) = 7,5 V

Постоянная времени

τ = Rth·C = 1,1·10 = 11 ms

Ответ

τ = 11 ms
6.Переходные процессы RC и RL

Ответ: t = 1168 ms

Переходные процессы первого порядка: в цепи с одним конденсатором или одной катушкой каждое напряжение и каждый ток экспоненциально меняются от начального к конечному значению: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, где τ = RC или τ = L/R. Примерно через 5τ цепь выходит на установившийся режим.

Начальное значение, конечное значение, постоянная времени

Напряжение на конденсаторе не может измениться скачком, поэтому оно начинается с накопленного значения и стремится к напряжению источника.

vC(0) = 12 V, vC(∞) = Vs = 10 V
τ = R·C = 3,3 kΩ · 220 µF = 726 ms
vC(t) = 10 + (12 − 10)·e−t/τ

Выразите время

10,4 = 10 + (2)·e−t/τ → e−t/τ = (10,4 − 10)/(12 − 10) = 0,2
t = τ·ln((12 − 10)/(10,4 − 10)) = 726·ln(5) = 1168 ms

Ответ

t = 1168 ms
7.Магнитные поля и индукция

Ответ: против часовой стрелки

Электромагнитная индукция: поток через контур равен Φ = BA·cos θ, где θ — угол между B и нормалью к контуру. Закон Фарадея: изменение потока наводит в катушке из N витков ЭДС ε = −N·dΦ/dt, а правило Ленца гласит, что индукционный ток течёт так, что его собственное поле противодействует изменению. Стержень, движущийся поперёк поля, даёт ε = BLv. Катушка, вращающаяся с угловой скоростью ω, даёт e = NBAω·sin ωt с амплитудой NBAω. Самоиндукция: ε = −L·di/dt, где L = μ₀N²A/l для длинного соленоида, а запасённая энергия равна W = ½LI². Две связанные катушки: ε₂ = −M·di₁/dt, где M = k√(L₁L₂).

Изменение потока

Поток в плоскость страницы возрастает, или поток из плоскости страницы убывает.

Поле индукционного тока

Индукционный ток противодействует изменению.

Индуцированное поле внутри контура: из плоскости страницы.

Направление тока

Правило правой руки: ток против часовой стрелки создаёт внутри контура поле, направленное из плоскости страницы.

против часовой стрелки

Ответ

против часовой стрелки
8.Магнитные поля и индукция

Ответ: L = 1,684 mH

Электромагнитная индукция: поток через контур равен Φ = BA·cos θ, где θ — угол между B и нормалью к контуру. Закон Фарадея: изменение потока наводит в катушке из N витков ЭДС ε = −N·dΦ/dt, а правило Ленца гласит, что индукционный ток течёт так, что его собственное поле противодействует изменению. Стержень, движущийся поперёк поля, даёт ε = BLv. Катушка, вращающаяся с угловой скоростью ω, даёт e = NBAω·sin ωt с амплитудой NBAω. Самоиндукция: ε = −L·di/dt, где L = μ₀N²A/l для длинного соленоида, а запасённая энергия равна W = ½LI². Две связанные катушки: ε₂ = −M·di₁/dt, где M = k√(L₁L₂).

Поперечное сечение

A = π·(0,02)² = 0,001257 m²

Индуктивность

L = μ₀N²A/l = 4π × 10⁻⁷·400²·0,001257/0,15 = 0,001684 H = 1,684 mH

Ответ

L = 1,684 mH
9.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: φ = −61,91 °

Цепи переменного тока и комплексный метод: резисторы, катушки и конденсаторы имеют полные сопротивления R, jωL и 1/(jωC), где ω = 2πf. При последовательном соединении полные сопротивления складываются как сопротивления, но как комплексные числа. Действующие значения тока и напряжения подчиняются закону Ома с |Z|.

Реактивные сопротивления

ω = 2πf = 2π·60 = 377 rad/s
XL = ωL = 377·0,1 = 37,7 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(377·47·10⁻⁶) = 56,44 Ω

Полное сопротивление

При последовательном соединении полные сопротивления складываются как комплексные числа: Z = R + j(XL − XC).

|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(10² + (−18,74)²) = 21,24 Ω

Угол сдвига фаз

φ = arctan((XL − XC)/R) = arctan(−18,74/10) = −61,91°

Ответ

φ = −61,91°
10.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: f0 = 87,61 Hz

Цепи переменного тока и комплексный метод: резисторы, катушки и конденсаторы имеют полные сопротивления R, jωL и 1/(jωC), где ω = 2πf. При последовательном соединении полные сопротивления складываются как сопротивления, но как комплексные числа. Действующие значения тока и напряжения подчиняются закону Ома с |Z|.

Резонанс

При резонансе индуктивное и ёмкостное сопротивления компенсируют друг друга: ωL = 1/(ωC). Частота сети не важна.

f0 = 1/(2π√(LC)) = 1/(2π·√(0,15·22·10⁻⁶)) = 87,61 Hz

Ответ

f0 = 87,61 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism