Физика 2: Электричество и магнетизм: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (10) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Закон Кулона и электрическое поле

Закон Кулона: F = k·|q₁q₂|/r²
Поле точечного заряда: E = k·|q|/r²
Постоянная: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Сила, действующая на заряд: F = q·E

Последовательные и параллельные резисторы

Последовательное соединение резисторов: R_eq = R₁ + R₂ + …
Параллельное соединение резисторов: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Два параллельно: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Закон Ома: V = I·R
Мощность: P = V·I = I²R = V²/R

Метод

Начните с конца цепи, наиболее удалённого от зажимов.
Последовательные резисторы складывайте, а параллельные объединяйте по формуле 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
После каждого шага перерисовывайте схему.
Повторяйте, пока между зажимами не останется один резистор.

Переходные процессы RC и RL

Постоянная времени: τ = RC | τ = L/R
Отклик: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Конденсатор на постоянном токе: разрыв; v_C не может измениться скачком
Катушка на постоянном токе: короткое замыкание; i_L не может измениться скачком
Установившийся режим: t ≈ 5τ

Метод

Найдите начальное значение сразу после коммутации: напряжение на конденсаторе и ток в катушке не могут изменяться скачком.
Найдите установившееся значение спустя долгое время после коммутации: конденсатор ведёт себя как разрыв, катушка — как короткое замыкание.
Найдите постоянную времени: τ = RC или τ = L/R, где берётся сопротивление со стороны конденсатора или катушки.
Используйте x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Магнитные поля и индукция

Длинный прямой провод: B = μ₀I/(2πr)
Центр плоской катушки: B = μ₀NI/(2R)
Длинный соленоид: B = μ₀nI, n = N/L
Постоянная: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Сила, действующая на провод: F = BIL·sin θ
Сила, действующая на заряд: F = |q|vB·sin θ
Движение по окружности: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Параллельные провода: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Поток: Φ = BA·cos θ
Закон Фарадея: ε = −N·ΔΦ/Δt
Движущийся стержень: ε = BLv
Генератор: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Индуктивность: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Взаимная индуктивность: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Селектор скоростей и спектрометр: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Метод

Переведите каждую величину в единицы СИ: cm в m, cm² в m², mT и µT в T.
Выберите правильную формулу: B = μ₀I/(2πr) для провода, μ₀NI/(2R) для центра катушки, μ₀nI внутри соленоида; F = BIL·sin θ или |q|vB·sin θ для сил.
Для индукции найдите изменение потока ΔΦ = Δ(BA·cos θ) и используйте ε = N·ΔΦ/Δt, либо ε = BLv для движущегося стержня и NBAω для вращающейся катушки.
Направления находите отдельно по правилам правой руки, а для индукционных токов — по правилу Ленца.

Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Полные сопротивления: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Угловая частота: ω = 2πf
Модуль и угол: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексной форме: V = I·Z

Метод

Переведите частоту: ω = 2πf.
Найдите каждое реактивное сопротивление: X_L = ωL и X_C = 1/(ωC).
Складывайте сопротивления как у резисторов, с Z = R + jX.
Найдите модуль |Z| = √(R² + X²) и угол φ = atan(X/R), затем примените закон Ома для комплексных амплитуд.

2Тренировочные задачи

1.Закон Кулона и электрическое полеСредняя

Заряды +5 µC и +1 µC находятся на расстоянии 40 cm друг от друга. На каком расстоянии x от заряда +5 µC на отрезке между ними напряжённость электрического поля равна нулю?

q₁ = +5 µCq₂ = +1 µCd = 40 cm

x = cm

2.Закон Кулона и электрическое полеСложная

Заряды +10 µC и +10 µC находятся на расстоянии 6 cm друг от друга. Точка P лежит на серединном перпендикуляре на расстоянии 3 cm от середины отрезка между ними. Найдите модуль напряжённости электрического поля E в точке P. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

q₁ = +10 µCq₂ = +10 µCd = 6 cmh = 3 cm

E = N/C

3.Последовательные и параллельные резисторыСредняя

Найдите ток I_R2 через R₂.

V₁ = 10 VR₁ = 10 ΩR₂ = 20 ΩR₃ = 5 ΩR₄ = 10 Ω

I_R2 = A

4.Последовательные и параллельные резисторыСложная

Найдите эквивалентное сопротивление R_eq, которое видит источник V₁.

V₁ = 18 VR₁ = 2 ΩR₂ = 8 ΩR₃ = 25 ΩR₄ = 10 ΩR₅ = 15 ΩR₆ = 20 Ω

R_eq = Ω

5.Переходные процессы RC и RLСредняя

Через катушку течёт установившийся ток 2 A. При t = 0 ключ замыкает контур через R, а источник отключается, поэтому ток катушки убывает через R. Найдите ток i в момент t = 1 ms.

i(0) = 2 AR = 100 ΩL = 33 mHt = 1 ms

i = A

6.Переходные процессы RC и RLСложная

Непосредственно перед замыканием ключа в момент t = 0 конденсатор заряжен до 24 V с указанной полярностью. Найдите напряжение на конденсаторе v_C в момент t = 400 ms.

V_s = 5 VR = 10 kΩC = 68 µFv_C(0) = 24 Vt = 400 ms

v_C = V

7.Магнитные поля и индукцияСредняя

По проводу идёт ток вправо в однородном магнитном поле, направленном в плоскость страницы. Нажмите на направление магнитной силы, действующей на провод.

I: вправоB: в плоскость страницы

1вверх по странице
2вправо
3вниз по странице
4влево

8.Магнитные поля и индукцияСложная

Дейтрон проходит без отклонения через селектор скоростей со скрещёнными полями E = 8 × 10⁴ V/m и B₁ = 0,1 T. Затем он влетает под прямым углом во вторую область, где есть только магнитное поле B₂ = 0,8 T. Найдите радиус r его траектории там.

E = 8 × 10⁴ V/mB₁ = 0,1 TB₂ = 0,8 Tm = 3,344 × 10⁻²⁷ kg|q| = 1,602 × 10⁻¹⁹ C

r = cm

9.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСредняя

Последовательная цепь RLC подключена к сети 100 V (действующее значение), 60 Hz. Найдите действующее значение тока I.

V = 100 V (rms)f = 60 HzR = 30 ΩL = 150 mHC = 100 µF

I = A

10.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСложная

Последовательная цепь RLC подключена к сети 230 V (действующее значение), 1000 Hz. Найдите действующее значение тока I.

V = 230 V (rms)f = 1000 HzR = 25 ΩL = 20 mHC = 100 µF

I = A

3Растворы

1.Закон Кулона и электрическое поле

Ответ: x = 27,64 cm

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Равные поля

5/x² = 1/(40 − x)²

(40 − x)/x = √(1/5) = 0,4472

Положение

x = 40/(1 + 0,4472) = 27,64 cm

Ответ

x = 27,64 cm

Нулевая точка всегда ближе к меньшему заряду.

2.Закон Кулона и электрическое поле

Ответ: E = 7,063 × 10⁷ N/C

Расстояние и поле одного заряда

r = √(3² + 3²) = 4,243 cm

E₁ = k·10 × 10⁻⁶/0,04243² = 4,994 × 10⁷ N/C

Составляющие

Составляющие вдоль соединяющей заряды прямой компенсируются.

E = 2·E₁·(h/r) = 2·4,994 × 10⁷·0,7071 = 7,063 × 10⁷ N/C

Ответ

E = 7,063 × 10⁷ N/C

Поле направлено вдоль серединного перпендикуляра, от зарядов.

3.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: I_R2 = 0,2308 A

Последовательное и параллельное соединение: последовательно через каждый резистор течёт один и тот же ток и R = R₁ + R₂ + …. Параллельно на каждом резисторе одно и то же напряжение и 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Лестничную цепь упрощают по одной паре, пока не останется одно эквивалентное сопротивление.

Объединяйте резисторы с дальнего конца

Начните с конца, самого дальнего от источника, и двигайтесь к нему. Резисторы с одинаковым током соединены последовательно; резисторы между одними и теми же двумя узлами — параллельно.

R₃ + R₄ = 5 + 10 = 15 Ω

R₂ ∥ 15 = 20·15/(20+15) = 8,571 Ω

R_eq = R₁ + 8,571 = 10 + 8,571 = 18,57 Ω

Ток источника

Источник видит только R_eq, поэтому закон Ома даёт ток, который он отдаёт. Этот ток течёт через R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 10/18,57 = 0,5385 A

Ток через R₂

Вычтите падение на R₁, чтобы получить напряжение в узле A, то есть напряжение на R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 10 − 0,5385·10 = 4,615 V

I_R2 = V_A/R₂ = 4,615/20 = 0,2308 A

Ответ

I_R2 = 0,2308 A

4.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: R_eq = 8,431 Ω

Объединяйте резисторы с дальнего конца

R₅ + R₆ = 15 + 20 = 35 Ω

R₄ ∥ 35 = 7,778 Ω

R₃ + 7,778 = 32,78 Ω

R₂ ∥ 32,78 = 6,431 Ω

R_eq = R₁ + 6,431 = 2 + 6,431 = 8,431 Ω

Ответ

R_eq = 8,431 Ω

5.Переходные процессы RC и RL

Ответ: i = 0,0966 A

Переходные процессы первого порядка: в цепи с одним конденсатором или одной катушкой каждое напряжение и каждый ток экспоненциально меняются от начального к конечному значению: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, где τ = RC или τ = L/R. Примерно через 5τ цепь выходит на установившийся режим.

Постоянная времени

τ = L/R = 33 mH / 100 Ω = 0,33 ms

Убывание тока

i(t) = 2·e^−1/0,33 = 0,0966 A

Ответ

i = 0,0966 A

6.Переходные процессы RC и RL

Ответ: v_C = 15,55 V

Начальное значение, конечное значение, постоянная времени

Напряжение на конденсаторе не может измениться скачком, поэтому оно начинается с накопленного значения и стремится к напряжению источника.

v_C(0) = 24 V, v_C(∞) = V_s = 5 V

τ = R·C = 10 kΩ · 68 µF = 680 ms

v_C(t) = 5 + (24 − 5)·e^−t/τ

Напряжение в заданный момент

v_C(400) = 5 + (19)·e^−400/680 = 15,55 V

Ответ

v_C = 15,55 V

7.Магнитные поля и индукция

Ответ: вверх по странице

Магнитные силы: на прямой провод с током I в поле B действует сила F = BIL·sin θ, а на движущийся заряд — F = |q|vB·sin θ, где θ — угол между током (или скоростью) и B. Сила перпендикулярна им обоим: направьте пальцы правой руки вдоль I или v, согните их к B, и большой палец покажет F для положительного заряда; для отрицательного заряда направление меняется на противоположное. Поскольку F перпендикулярна v, заряд, движущийся поперёк однородного поля, движется по окружности: |q|vB = mv²/r даёт r = mv/(|q|B) и период T = 2πm/(|q|B), не зависящий от скорости. Два параллельных провода притягиваются при токах в одном направлении: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).

Правило правой руки

Направьте пальцы вдоль тока или скорости и согните их к B; большой палец покажет силу, действующую на положительный заряд.

I: вправо, B: в плоскость страницы

Направление силы

вверх по странице

Ответ

F: вверх по странице

8.Магнитные поля и индукция

Ответ: r = 2,087 cm

Выбираемая скорость

Без отклонения: электрическая сила qE уравновешивает магнитную силу qvB.

v = E/B₁ = 8 × 10⁴/0,1 = 800000 m/s

Радиус во втором поле

r = mv/(|q|B₂) = 0,02087 m = 2,087 cm

Ответ

r = 2,087 cm

9.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: I = 2,356 A

Цепи переменного тока и комплексный метод: резисторы, катушки и конденсаторы имеют полные сопротивления R, jωL и 1/(jωC), где ω = 2πf. При последовательном соединении полные сопротивления складываются как сопротивления, но как комплексные числа. Действующие значения тока и напряжения подчиняются закону Ома с |Z|.

Реактивные сопротивления

ω = 2πf = 2π·60 = 377 rad/s

X_L = ωL = 377·0,15 = 56,55 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(377·100·10⁻⁶) = 26,53 Ω

Полное сопротивление

При последовательном соединении полные сопротивления складываются как комплексные числа: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(30² + (30,02)²) = 42,44 Ω

Ток

Через каждый элемент последовательной цепи течёт один и тот же ток.

I = V/|Z| = 100/42,44 = 2,356 A

Ответ

I = 2,356 A

10.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: I = 1,817 A

Реактивные сопротивления

ω = 2πf = 2π·1000 = 6283 rad/s

X_L = ωL = 6283·0,02 = 125,7 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(6283·100·10⁻⁶) = 1,592 Ω

Полное сопротивление

При последовательном соединении полные сопротивления складываются как комплексные числа: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(25² + (124,1)²) = 126,6 Ω

Ток

Через каждый элемент последовательной цепи течёт один и тот же ток.

I = V/|Z| = 230/126,6 = 1,817 A

Ответ

I = 1,817 A

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism