Физика 2: Электричество и магнетизм: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (10) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Закон Кулона и электрическое поле

Закон Кулона: F = k·|q₁q₂|/r²
Поле точечного заряда: E = k·|q|/r²
Постоянная: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Сила, действующая на заряд: F = q·E

Последовательные и параллельные резисторы

Последовательное соединение резисторов: R_eq = R₁ + R₂ + …
Параллельное соединение резисторов: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Два параллельно: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Закон Ома: V = I·R
Мощность: P = V·I = I²R = V²/R

Метод

Начните с конца цепи, наиболее удалённого от зажимов.
Последовательные резисторы складывайте, а параллельные объединяйте по формуле 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
После каждого шага перерисовывайте схему.
Повторяйте, пока между зажимами не останется один резистор.

Переходные процессы RC и RL

Постоянная времени: τ = RC | τ = L/R
Отклик: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Конденсатор на постоянном токе: разрыв; v_C не может измениться скачком
Катушка на постоянном токе: короткое замыкание; i_L не может измениться скачком
Установившийся режим: t ≈ 5τ

Метод

Найдите начальное значение сразу после коммутации: напряжение на конденсаторе и ток в катушке не могут изменяться скачком.
Найдите установившееся значение спустя долгое время после коммутации: конденсатор ведёт себя как разрыв, катушка — как короткое замыкание.
Найдите постоянную времени: τ = RC или τ = L/R, где берётся сопротивление со стороны конденсатора или катушки.
Используйте x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Магнитные поля и индукция

Длинный прямой провод: B = μ₀I/(2πr)
Центр плоской катушки: B = μ₀NI/(2R)
Длинный соленоид: B = μ₀nI, n = N/L
Постоянная: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Сила, действующая на провод: F = BIL·sin θ
Сила, действующая на заряд: F = |q|vB·sin θ
Движение по окружности: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Параллельные провода: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Поток: Φ = BA·cos θ
Закон Фарадея: ε = −N·ΔΦ/Δt
Движущийся стержень: ε = BLv
Генератор: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Индуктивность: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Взаимная индуктивность: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Селектор скоростей и спектрометр: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Метод

Переведите каждую величину в единицы СИ: cm в m, cm² в m², mT и µT в T.
Выберите правильную формулу: B = μ₀I/(2πr) для провода, μ₀NI/(2R) для центра катушки, μ₀nI внутри соленоида; F = BIL·sin θ или |q|vB·sin θ для сил.
Для индукции найдите изменение потока ΔΦ = Δ(BA·cos θ) и используйте ε = N·ΔΦ/Δt, либо ε = BLv для движущегося стержня и NBAω для вращающейся катушки.
Направления находите отдельно по правилам правой руки, а для индукционных токов — по правилу Ленца.

Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Полные сопротивления: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Угловая частота: ω = 2πf
Модуль и угол: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексной форме: V = I·Z

Метод

Переведите частоту: ω = 2πf.
Найдите каждое реактивное сопротивление: X_L = ωL и X_C = 1/(ωC).
Складывайте сопротивления как у резисторов, с Z = R + jX.
Найдите модуль |Z| = √(R² + X²) и угол φ = atan(X/R), затем примените закон Ома для комплексных амплитуд.

2Тренировочные задачи

1.Закон Кулона и электрическое полеСредняя

Заряд +4 µC и заряд −10 µC находятся на расстоянии 10 cm друг от друга. Точка P лежит на прямой между ними на расстоянии 2,5 cm от первого заряда. Найдите модуль напряжённости электрического поля E в точке P.

q₁ = +4 µCq₂ = −10 µCr₁ = 2,5 cmr₂ = 7,5 cm

E = N/C

2.Закон Кулона и электрическое полеСложная

Три положительных точечных заряда находятся в вершинах прямоугольного треугольника: q₃ = 1 µC — в вершине прямого угла, q₁ = 1 µC — на расстоянии 10 cm от неё вдоль одного катета, q₂ = 8 µC — на расстоянии 8 cm от неё вдоль другого катета. Найдите модуль результирующей электрической силы F, действующей на q₃.

q₁ = 1 µCq₂ = 8 µCq₃ = 1 µCr₁₃ = 10 cmr₂₃ = 8 cm

F = N

3.Последовательные и параллельные резисторыСредняя

Найдите эквивалентное сопротивление R_eq, которое видит источник V₁.

V₁ = 30 VR₁ = 12 ΩR₂ = 12 ΩR₃ = 10 ΩR₄ = 4 Ω

R_eq = Ω

4.Последовательные и параллельные резисторыСложная

Найдите эквивалентное сопротивление R_eq, которое видит источник V₁.

V₁ = 24 VR₁ = 6 ΩR₂ = 25 ΩR₃ = 6 ΩR₄ = 5 ΩR₅ = 10 ΩR₆ = 10 Ω

R_eq = Ω

5.Переходные процессы RC и RLСредняя

Через катушку течёт установившийся ток 0,5 A. При t = 0 ключ замыкает контур через R, а источник отключается, поэтому ток катушки убывает через R. Найдите ток i в момент t = 1 ms.

i(0) = 0,5 AR = 33 ΩL = 10 mHt = 1 ms

i = A

6.Переходные процессы RC и RLСложная

Таймер при t = 0 начинает заряжать незаряженный конденсатор через резистор от источника 5 V. Он должен сработать, когда напряжение конденсатора достигнет 3,16 V, ровно через 10 ms после старта. При R = 100 kΩ найдите необходимую ёмкость C.

V_s = 5 VV_th = 3,16 VT = 10 msR = 100 kΩ

C = µF

7.Магнитные поля и индукцияСредняя

Катушка из 50 витков площадью 100 cm² и сопротивлением 4 Ω образует замкнутую цепь. Однородное поле, перпендикулярное катушке, равномерно растёт от 0,1 T до 0,7 T за 40 ms. Найдите средний индукционный ток I.

N = 50A = 100 cm²B: 0,1 T → 0,7 TΔt = 40 msR = 4 Ω

I = A

8.Магнитные поля и индукцияСложная

Длинный соленоид без сердечника имеет 2000 витков, длину 10 cm и диаметр 1,5 cm. Найдите энергию W, запасённую в его магнитном поле, когда по нему течёт ток 1,5 A.

N = 2000l = 10 cm⌀ = 1,5 cmI = 1,5 Aμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A

W = mJ

9.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСредняя

Последовательная цепь RLC подключена к сети 50 V (действующее значение), 200 Hz. Найдите угол сдвига фаз φ полного сопротивления в градусах (положительный, когда ток отстаёт от напряжения).

V = 50 V (rms)f = 200 HzR = 15 ΩL = 100 mHC = 2,2 µF

φ = °

10.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСложная

Последовательный RLC-контур имеет R = 5 Ω, L = 50 mH и C = 0,22 µF. Найдите его добротность Q при резонансе.

R = 5 ΩL = 50 mHC = 0,22 µF

Q =

3Растворы

1.Закон Кулона и электрическое поле

Ответ: E = 7,352 × 10⁷ N/C

Закон Кулона: два точечных заряда притягиваются или отталкиваются с силой F = k·|q₁·q₂|/r², где k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². Напряжённость поля точечного заряда E = k·|q|/r²; поле направлено от положительного заряда и к отрицательному. Силы и поля от нескольких зарядов складываются как векторы.

Поле каждого заряда

E₁ = k·4 × 10⁻⁶/0,025² = 5,754 × 10⁷ N/C

E₂ = k·10 × 10⁻⁶/0,075² = 1,598 × 10⁷ N/C

Направления и сумма

Первое поле направлено от положительного заряда, второе — к отрицательному: оба направлены в одну сторону.

E = |5,754 × 10⁷ + 1,598 × 10⁷| = 7,352 × 10⁷ N/C

Ответ

E = 7,352 × 10⁷ N/C

2.Закон Кулона и электрическое поле

Ответ: F = 11,27 N

Каждая сила, действующая на q₃

F₁ = k·1·1 × 10⁻¹²/0,1² = 0,899 N

F₂ = k·8·1 × 10⁻¹²/0,08² = 11,24 N

Векторная сумма

F = √(0,899² + 11,24²) = 11,27 N

Ответ

F = 11,27 N

3.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: R_eq = 18,46 Ω

Последовательное и параллельное соединение: последовательно через каждый резистор течёт один и тот же ток и R = R₁ + R₂ + …. Параллельно на каждом резисторе одно и то же напряжение и 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Лестничную цепь упрощают по одной паре, пока не останется одно эквивалентное сопротивление.

Объединяйте резисторы с дальнего конца

Начните с конца, самого дальнего от источника, и двигайтесь к нему. Резисторы с одинаковым током соединены последовательно; резисторы между одними и теми же двумя узлами — параллельно.

R₃ + R₄ = 10 + 4 = 14 Ω

R₂ ∥ 14 = 12·14/(12+14) = 6,462 Ω

R_eq = R₁ + 6,462 = 12 + 6,462 = 18,46 Ω

Ответ

R_eq = 18,46 Ω

4.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: R_eq = 13,14 Ω

Объединяйте резисторы с дальнего конца

R₅ + R₆ = 10 + 10 = 20 Ω

R₄ ∥ 20 = 4 Ω

R₃ + 4 = 10 Ω

R₂ ∥ 10 = 7,143 Ω

R_eq = R₁ + 7,143 = 6 + 7,143 = 13,14 Ω

Ответ

R_eq = 13,14 Ω

5.Переходные процессы RC и RL

Ответ: i = 0,01844 A

Переходные процессы первого порядка: в цепи с одним конденсатором или одной катушкой каждое напряжение и каждый ток экспоненциально меняются от начального к конечному значению: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, где τ = RC или τ = L/R. Примерно через 5τ цепь выходит на установившийся режим.

Постоянная времени

τ = L/R = 10 mH / 33 Ω = 0,303 ms

Убывание тока

i(t) = 0,5·e^−1/0,303 = 0,01844 A

Ответ

i = 0,01844 A

6.Переходные процессы RC и RL

Ответ: C = 0,1 µF

Требуемая постоянная времени

3,16 = 5·(1 − e^−10/τ) → τ = 10/ln(5/(5 − 3,16))

τ = 10/0,9997 = 10 ms

Ёмкость

kΩ умножить на µF даёт миллисекунды.

C = τ/R = 10/100 = 0,1 µF

Ответ

C = 0,1 µF

7.Магнитные поля и индукция

Ответ: I = 1,875 A

Электромагнитная индукция: поток через контур равен Φ = BA·cos θ, где θ — угол между B и нормалью к контуру. Закон Фарадея: изменение потока наводит в катушке из N витков ЭДС ε = −N·dΦ/dt, а правило Ленца гласит, что индукционный ток течёт так, что его собственное поле противодействует изменению. Стержень, движущийся поперёк поля, даёт ε = BLv. Катушка, вращающаяся с угловой скоростью ω, даёт e = NBAω·sin ωt с амплитудой NBAω. Самоиндукция: ε = −L·di/dt, где L = μ₀N²A/l для длинного соленоида, а запасённая энергия равна W = ½LI². Две связанные катушки: ε₂ = −M·di₁/dt, где M = k√(L₁L₂).

Изменение потока на виток

ΔΦ = (0,7 − 0,1)·0,01 = 0,006 Wb

Средняя ЭДС

ε = NΔΦ/Δt = 50·0,006/0,04 = 7,5 V

Ток

I = ε/R = 7,5/4 = 1,875 A

Ответ

I = 1,875 A

8.Магнитные поля и индукция

Ответ: W = 9,993 mJ

Индуктивность

L = μ₀N²A/l = 8,883 mH

Запасённая энергия

W = ½LI² = ½·0,008883·1,5² = 0,009993 J = 9,993 mJ

Ответ

W = 9,993 mJ

9.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: φ = −86,36 °

Цепи переменного тока и комплексный метод: резисторы, катушки и конденсаторы имеют полные сопротивления R, jωL и 1/(jωC), где ω = 2πf. При последовательном соединении полные сопротивления складываются как сопротивления, но как комплексные числа. Действующие значения тока и напряжения подчиняются закону Ома с |Z|.

Реактивные сопротивления

ω = 2πf = 2π·200 = 1257 rad/s

X_L = ωL = 1257·0,1 = 125,7 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(1257·2,2·10⁻⁶) = 361,7 Ω

Полное сопротивление

При последовательном соединении полные сопротивления складываются как комплексные числа: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(15² + (−236,1)²) = 236,5 Ω

Угол сдвига фаз

φ = arctan((X_L − X_C)/R) = arctan(−236,1/15) = −86,36°

Ответ

φ = −86,36°

10.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: Q = 95,35

Резонансная частота

f₀ = 1/(2π·√(0,05·0,22·10⁻⁶)) = 1517 Hz

Добротность

Добротность сравнивает реактивное сопротивление при резонансе с активным: Q = ω₀L/R.

Q = (1/R)·√(L/C) = (1/5)·√(0,05/(0,22·10⁻⁶)) = 95,35

Ответ

Q = 95,35

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism