Физика 2: Электричество и магнетизм: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (10) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Закон Кулона и электрическое поле

Закон Кулона: F = k·|q₁q₂|/r²
Поле точечного заряда: E = k·|q|/r²
Постоянная: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Сила, действующая на заряд: F = q·E

Последовательные и параллельные резисторы

Последовательное соединение резисторов: R_eq = R₁ + R₂ + …
Параллельное соединение резисторов: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Два параллельно: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Закон Ома: V = I·R
Мощность: P = V·I = I²R = V²/R

Метод

Начните с конца цепи, наиболее удалённого от зажимов.
Последовательные резисторы складывайте, а параллельные объединяйте по формуле 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
После каждого шага перерисовывайте схему.
Повторяйте, пока между зажимами не останется один резистор.

Переходные процессы RC и RL

Постоянная времени: τ = RC | τ = L/R
Отклик: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Конденсатор на постоянном токе: разрыв; v_C не может измениться скачком
Катушка на постоянном токе: короткое замыкание; i_L не может измениться скачком
Установившийся режим: t ≈ 5τ

Метод

Найдите начальное значение сразу после коммутации: напряжение на конденсаторе и ток в катушке не могут изменяться скачком.
Найдите установившееся значение спустя долгое время после коммутации: конденсатор ведёт себя как разрыв, катушка — как короткое замыкание.
Найдите постоянную времени: τ = RC или τ = L/R, где берётся сопротивление со стороны конденсатора или катушки.
Используйте x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Магнитные поля и индукция

Длинный прямой провод: B = μ₀I/(2πr)
Центр плоской катушки: B = μ₀NI/(2R)
Длинный соленоид: B = μ₀nI, n = N/L
Постоянная: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Сила, действующая на провод: F = BIL·sin θ
Сила, действующая на заряд: F = |q|vB·sin θ
Движение по окружности: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Параллельные провода: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Поток: Φ = BA·cos θ
Закон Фарадея: ε = −N·ΔΦ/Δt
Движущийся стержень: ε = BLv
Генератор: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Индуктивность: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Взаимная индуктивность: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Селектор скоростей и спектрометр: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Метод

Переведите каждую величину в единицы СИ: cm в m, cm² в m², mT и µT в T.
Выберите правильную формулу: B = μ₀I/(2πr) для провода, μ₀NI/(2R) для центра катушки, μ₀nI внутри соленоида; F = BIL·sin θ или |q|vB·sin θ для сил.
Для индукции найдите изменение потока ΔΦ = Δ(BA·cos θ) и используйте ε = N·ΔΦ/Δt, либо ε = BLv для движущегося стержня и NBAω для вращающейся катушки.
Направления находите отдельно по правилам правой руки, а для индукционных токов — по правилу Ленца.

Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Полные сопротивления: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Угловая частота: ω = 2πf
Модуль и угол: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексной форме: V = I·Z

Метод

Переведите частоту: ω = 2πf.
Найдите каждое реактивное сопротивление: X_L = ωL и X_C = 1/(ωC).
Складывайте сопротивления как у резисторов, с Z = R + jX.
Найдите модуль |Z| = √(R² + X²) и угол φ = atan(X/R), затем примените закон Ома для комплексных амплитуд.

2Тренировочные задачи

1.Закон Кулона и электрическое полеСредняя

Три точечных заряда лежат на одной прямой: +3 µC слева, +4 µC справа на расстоянии 30 cm и +2 µC между ними, на расстоянии 7,5 cm от левого заряда. Найдите модуль результирующей электрической силы F, действующей на средний заряд. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

q_L = +3 µCq_R = +4 µCq_M = +2 µCr_L = 7,5 cmr_R = 22,5 cm

F = N

2.Закон Кулона и электрическое полеСложная

Два одинаковых маленьких шарика массой 8 g каждый подвешены в одной точке на изолирующих нитях длиной 20 cm. Им сообщают равные заряды, и каждая нить устанавливается под углом 8° к вертикали. Примите g = 9,81 m/s². Найдите заряд q каждого шарика в nC. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

m = 8 gL = 20 cmθ = 8°g = 9,81 m/s²

q = nC

3.Последовательные и параллельные резисторыСредняя

Найдите эквивалентное сопротивление R_eq, которое видит источник V₁.

V₁ = 15 VR₁ = 3 ΩR₂ = 6 ΩR₃ = 15 ΩR₄ = 10 Ω

R_eq = Ω

4.Последовательные и параллельные резисторыСложная

Найдите ток I_R2 через R₂.

V₁ = 10 VR₁ = 25 ΩR₂ = 10 ΩR₃ = 20 ΩR₄ = 8 ΩR₅ = 5 ΩR₆ = 20 Ω

I_R2 = A

5.Переходные процессы RC и RLСредняя

Источник Vₛ заряжает конденсатор через R₁, а R₂ подключён параллельно C. Конденсатор разряжен, когда ключ замыкается в момент t = 0. Найдите напряжение на конденсаторе v_C в момент t = 10 ms.

V_s = 24 VR₁ = 6,8 kΩR₂ = 2,2 kΩC = 22 µFt = 10 ms

v_C = V

6.Переходные процессы RC и RLСложная

Непосредственно перед замыканием ключа в момент t = 0 конденсатор заряжен до 30 V с указанной полярностью. Через какое время v_C достигнет 15,3 V? Найдите t.

V_s = 9 VR = 1 kΩC = 47 µFv_C(0) = 30 V

t = ms

7.Магнитные поля и индукцияСредняя

Два длинных параллельных провода на расстоянии 4 cm друг от друга проводят токи 30 A и 8 A в одном направлении. Найдите силу на метр длины F/L между ними.

I₁ = 30 AI₂ = 8 Ad = 4 cmμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A

F/L = µN/m

8.Магнитные поля и индукцияСложная

Катушка из 200 витков размером 20 cm × 20 cm вращается с частотой 1200 rpm в однородном поле 0,2 T вокруг оси, перпендикулярной полю. Найдите действующее значение E_rms ЭДС.

N = 200A = 20 cm × 20 cmB = 0,2 Tn = 1200 rpm

E_rms = V

9.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСредняя

Последовательная цепь RLC подключена к сети 120 V (действующее значение), 200 Hz. Найдите угол сдвига фаз φ полного сопротивления в градусах (положительный, когда ток отстаёт от напряжения).

V = 120 V (rms)f = 200 HzR = 15 ΩL = 200 mHC = 47 µF

φ = °

10.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСложная

Последовательный RLC-контур имеет R = 1 Ω, L = 5 mH и C = 2,2 µF. Найдите его добротность Q при резонансе.

R = 1 ΩL = 5 mHC = 2,2 µF

Q =

3Растворы

1.Закон Кулона и электрическое поле

Ответ: F = 8,169 N

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Сила от каждого заряда

Направление вправо положительно.

F_L = +k·3·2 × 10⁻¹²/0,075² = 9,589 N

F_R = −k·4·2 × 10⁻¹²/0,225² = −1,421 N

Результирующая сила

F = 9,589 + (−1,421) = 8,169 N → |F| = 8,169 N

Ответ

F = 8,169 N

Результирующая сила направлена вправо.

2.Закон Кулона и электрическое поле

Ответ: q = 61,66 nC

Электрическая сила из условия равновесия

Горизонтальная составляющая натяжения уравновешивает F, вертикальная — m·g.

F = m·g·tan θ = 0,008·9,81·tan 8° = 0,01103 N

Расстояние между шариками

r = 2·L·sin θ = 2·0,2·sin 8° = 0,05567 m

Заряд

F = k·q²/r² → q = r·√(F/k) = 0,05567·√(0,01103/8,99 × 10⁹) = 6,166 × 10⁻⁸ C = 61,66 nC

Ответ

q = 61,66 nC

3.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: R_eq = 7,839 Ω

Последовательное и параллельное соединение: последовательно через каждый резистор течёт один и тот же ток и R = R₁ + R₂ + …. Параллельно на каждом резисторе одно и то же напряжение и 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Лестничную цепь упрощают по одной паре, пока не останется одно эквивалентное сопротивление.

Объединяйте резисторы с дальнего конца

Начните с конца, самого дальнего от источника, и двигайтесь к нему. Резисторы с одинаковым током соединены последовательно; резисторы между одними и теми же двумя узлами — параллельно.

R₃ + R₄ = 15 + 10 = 25 Ω

R₂ ∥ 25 = 6·25/(6+25) = 4,839 Ω

R_eq = R₁ + 4,839 = 3 + 4,839 = 7,839 Ω

Ответ

R_eq = 7,839 Ω

4.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: I_R2 = 0,2243 A

Объединяйте резисторы с дальнего конца

R₅ + R₆ = 5 + 20 = 25 Ω

R₄ ∥ 25 = 6,061 Ω

R₃ + 6,061 = 26,06 Ω

R₂ ∥ 26,06 = 7,227 Ω

R_eq = R₁ + 7,227 = 25 + 7,227 = 32,23 Ω

Ток источника

Источник видит только R_eq, поэтому закон Ома даёт ток, который он отдаёт. Этот ток течёт через R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 10/32,23 = 0,3103 A

Ток через R₂

Вычтите падение на R₁, чтобы получить напряжение в узле A, то есть напряжение на R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 10 − 0,3103·25 = 2,243 V

I_R2 = V_A/R₂ = 2,243/10 = 0,2243 A

Ответ

I_R2 = 0,2243 A

5.Переходные процессы RC и RL

Ответ: v_C = 1,404 V

Переходные процессы первого порядка: в цепи с одним конденсатором или одной катушкой каждое напряжение и каждый ток экспоненциально меняются от начального к конечному значению: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, где τ = RC или τ = L/R. Примерно через 5τ цепь выходит на установившийся режим.

Эквивалентная схема Тевенина со стороны конденсатора

Закоротите источник, чтобы найти R_th; отключите конденсатор, чтобы найти напряжение, до которого он зарядится.

R_th = R₁ ∥ R₂ = 6,8·2,2/(6,8 + 2,2) = 1,662 kΩ

v_C(∞) = 24·2,2/(6,8 + 2,2) = 5,867 V

Постоянная времени

τ = R_th·C = 1,662·22 = 36,57 ms

Кривая заряда

v_C(t) = 5,867·(1 − e^−10/36,57) = 1,404 V

Ответ

v_C = 1,404 V

6.Переходные процессы RC и RL

Ответ: t = 56,59 ms

Начальное значение, конечное значение, постоянная времени

Напряжение на конденсаторе не может измениться скачком, поэтому оно начинается с накопленного значения и стремится к напряжению источника.

v_C(0) = 30 V, v_C(∞) = V_s = 9 V

τ = R·C = 1 kΩ · 47 µF = 47 ms

v_C(t) = 9 + (30 − 9)·e^−t/τ

Выразите время

15,3 = 9 + (21)·e^−t/τ → e^−t/τ = (15,3 − 9)/(30 − 9) = 0,3

t = τ·ln((30 − 9)/(15,3 − 9)) = 47·ln(3,333) = 56,59 ms

Ответ

t = 56,59 ms

7.Магнитные поля и индукция

Ответ: F/L = 1200 µN/m

Магнитные силы: на прямой провод с током I в поле B действует сила F = BIL·sin θ, а на движущийся заряд — F = |q|vB·sin θ, где θ — угол между током (или скоростью) и B. Сила перпендикулярна им обоим: направьте пальцы правой руки вдоль I или v, согните их к B, и большой палец покажет F для положительного заряда; для отрицательного заряда направление меняется на противоположное. Поскольку F перпендикулярна v, заряд, движущийся поперёк однородного поля, движется по окружности: |q|vB = mv²/r даёт r = mv/(|q|B) и период T = 2πm/(|q|B), не зависящий от скорости. Два параллельных провода притягиваются при токах в одном направлении: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).

Сила на метр

F/L = μ₀I₁I₂/(2πd) = 2 × 10⁻⁷·30·8/0,04 = 1200 µN/m

Ответ

F/L = 1200 µN/m

Токи одного направления притягиваются.

8.Магнитные поля и индукция

Ответ: E_rms = 142,2 V

Электромагнитная индукция: поток через контур равен Φ = BA·cos θ, где θ — угол между B и нормалью к контуру. Закон Фарадея: изменение потока наводит в катушке из N витков ЭДС ε = −N·dΦ/dt, а правило Ленца гласит, что индукционный ток течёт так, что его собственное поле противодействует изменению. Стержень, движущийся поперёк поля, даёт ε = BLv. Катушка, вращающаяся с угловой скоростью ω, даёт e = NBAω·sin ωt с амплитудой NBAω. Самоиндукция: ε = −L·di/dt, где L = μ₀N²A/l для длинного соленоида, а запасённая энергия равна W = ½LI². Две связанные катушки: ε₂ = −M·di₁/dt, где M = k√(L₁L₂).

Угловая скорость и площадь

ω = 2π·1200/60 = 125,7 rad/s

A = 0,04 m²

Амплитудная ЭДС

E₀ = NBAω = 200·0,2·0,04·125,7 = 201,1 V

Действующее значение

E_rms = 201,1/√2 = 142,2 V

Ответ

E_rms = 142,2 V

9.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: φ = 86,34 °

Цепи переменного тока и комплексный метод: резисторы, катушки и конденсаторы имеют полные сопротивления R, jωL и 1/(jωC), где ω = 2πf. При последовательном соединении полные сопротивления складываются как сопротивления, но как комплексные числа. Действующие значения тока и напряжения подчиняются закону Ома с |Z|.

Реактивные сопротивления

ω = 2πf = 2π·200 = 1257 rad/s

X_L = ωL = 1257·0,2 = 251,3 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(1257·47·10⁻⁶) = 16,93 Ω

Полное сопротивление

При последовательном соединении полные сопротивления складываются как комплексные числа: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(15² + (234,4)²) = 234,9 Ω

Угол сдвига фаз

φ = arctan((X_L − X_C)/R) = arctan(234,4/15) = 86,34°

Ответ

φ = 86,34°

10.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: Q = 47,67

Резонансная частота

f₀ = 1/(2π·√(0,005·2,2·10⁻⁶)) = 1517 Hz

Добротность

Добротность сравнивает реактивное сопротивление при резонансе с активным: Q = ω₀L/R.

Q = (1/R)·√(L/C) = (1/1)·√(0,005/(2,2·10⁻⁶)) = 47,67

Ответ

Q = 47,67

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism