Физика 2: Электричество и магнетизм: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (10) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Закон Кулона и электрическое поле

Закон Кулона: F = k·|q₁q₂|/r²
Поле точечного заряда: E = k·|q|/r²
Постоянная: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Сила, действующая на заряд: F = q·E

Последовательные и параллельные резисторы

Последовательное соединение резисторов: R_eq = R₁ + R₂ + …
Параллельное соединение резисторов: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Два параллельно: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Закон Ома: V = I·R
Мощность: P = V·I = I²R = V²/R

Метод

Начните с конца цепи, наиболее удалённого от зажимов.
Последовательные резисторы складывайте, а параллельные объединяйте по формуле 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
После каждого шага перерисовывайте схему.
Повторяйте, пока между зажимами не останется один резистор.

Переходные процессы RC и RL

Постоянная времени: τ = RC | τ = L/R
Отклик: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Конденсатор на постоянном токе: разрыв; v_C не может измениться скачком
Катушка на постоянном токе: короткое замыкание; i_L не может измениться скачком
Установившийся режим: t ≈ 5τ

Метод

Найдите начальное значение сразу после коммутации: напряжение на конденсаторе и ток в катушке не могут изменяться скачком.
Найдите установившееся значение спустя долгое время после коммутации: конденсатор ведёт себя как разрыв, катушка — как короткое замыкание.
Найдите постоянную времени: τ = RC или τ = L/R, где берётся сопротивление со стороны конденсатора или катушки.
Используйте x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Магнитные поля и индукция

Длинный прямой провод: B = μ₀I/(2πr)
Центр плоской катушки: B = μ₀NI/(2R)
Длинный соленоид: B = μ₀nI, n = N/L
Постоянная: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Сила, действующая на провод: F = BIL·sin θ
Сила, действующая на заряд: F = |q|vB·sin θ
Движение по окружности: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Параллельные провода: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Поток: Φ = BA·cos θ
Закон Фарадея: ε = −N·ΔΦ/Δt
Движущийся стержень: ε = BLv
Генератор: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Индуктивность: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Взаимная индуктивность: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Селектор скоростей и спектрометр: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Метод

Переведите каждую величину в единицы СИ: cm в m, cm² в m², mT и µT в T.
Выберите правильную формулу: B = μ₀I/(2πr) для провода, μ₀NI/(2R) для центра катушки, μ₀nI внутри соленоида; F = BIL·sin θ или |q|vB·sin θ для сил.
Для индукции найдите изменение потока ΔΦ = Δ(BA·cos θ) и используйте ε = N·ΔΦ/Δt, либо ε = BLv для движущегося стержня и NBAω для вращающейся катушки.
Направления находите отдельно по правилам правой руки, а для индукционных токов — по правилу Ленца.

Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Полные сопротивления: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Угловая частота: ω = 2πf
Модуль и угол: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексной форме: V = I·Z

Метод

Переведите частоту: ω = 2πf.
Найдите каждое реактивное сопротивление: X_L = ωL и X_C = 1/(ωC).
Складывайте сопротивления как у резисторов, с Z = R + jX.
Найдите модуль |Z| = √(R² + X²) и угол φ = atan(X/R), затем примените закон Ома для комплексных амплитуд.

2Тренировочные задачи

1.Закон Кулона и электрическое полеСредняя

Два одинаковых маленьких металлических шарика имеют заряды +6 µC и −3 µC. Их приводят в соприкосновение, а затем снова располагают на расстоянии 40 cm. Найдите модуль силы F взаимодействия между ними теперь. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

q₁ = +6 µCq₂ = −3 µCr = 40 cm

F = N

2.Закон Кулона и электрическое полеСложная

Электрон влетает в однородное поле между двумя параллельными пластинами, двигаясь параллельно им со скоростью 3,5 × 10⁷ m/s. Длина пластин 6 cm, напряжённость поля между ними 1800 N/C. Заряд электрона 1,602 × 10⁻¹⁹ C, масса 9,109 × 10⁻³¹ kg; силой тяжести пренебречь. На какое расстояние y он отклонится вбок к моменту вылета из пластин? Дайте ответ в mm.

v₀ = 3,5 × 10⁷ m/sL = 6 cmE = 1800 N/Ce = 1,602 × 10⁻¹⁹ Cm_e = 9,109 × 10⁻³¹ kg

y = mm

3.Последовательные и параллельные резисторыСредняя

Найдите ток I_R2 через R₂.

V₁ = 6 VR₁ = 8 ΩR₂ = 5 ΩR₃ = 4 ΩR₄ = 15 Ω

I_R2 = A

4.Последовательные и параллельные резисторыСложная

Найдите ток I_R2 через R₂.

V₁ = 10 VR₁ = 20 ΩR₂ = 8 ΩR₃ = 4 ΩR₄ = 8 ΩR₅ = 5 ΩR₆ = 20 Ω

I_R2 = A

5.Переходные процессы RC и RLСредняя

До замыкания ключа в момент t = 0 тока через катушку нет. Найдите энергию W, запасённую в катушке при t = 1 ms, в mJ.

V_s = 10 VR = 50 ΩL = 10 mHt = 1 ms

W = mJ

6.Переходные процессы RC и RLСложная

Непосредственно перед замыканием ключа в момент t = 0 конденсатор заряжен до 4 V с указанной полярностью. Найдите напряжение на конденсаторе v_C в момент t = 60 ms.

V_s = 24 VR = 10 kΩC = 22 µFv_C(0) = 4 Vt = 60 ms

v_C = V

7.Магнитные поля и индукцияСредняя

По проводу идёт ток влево в однородном магнитном поле, направленном из плоскости страницы. Нажмите на направление магнитной силы, действующей на провод.

I: влевоB: из плоскости страницы

1вверх по странице
2вправо
3вниз по странице
4влево

8.Магнитные поля и индукцияСложная

Катушка из 100 витков размером 10 cm × 15 cm вращается с частотой 1500 rpm в однородном поле 0,2 T вокруг оси, перпендикулярной полю. Найдите амплитудную ЭДС E₀.

N = 100A = 10 cm × 15 cmB = 0,2 Tn = 1500 rpm

E₀ = V

9.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСредняя

Резистор и катушка включены параллельно в сеть 100 V (действующее значение), 60 Hz. Найдите модуль полного сопротивления |Z|.

V = 100 V (rms)f = 60 HzR = 20 ΩL = 100 mH

|Z| = Ω

10.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСложная

Последовательный RLC-контур имеет R = 20 Ω, L = 20 mH и C = 10 µF. Найдите его полосу пропускания B (ширину полосы между частотами половинной мощности) в Hz.

R = 20 ΩL = 20 mHC = 10 µF

B = Hz

3Растворы

1.Закон Кулона и электрическое поле

Ответ: F = 0,1264 N

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Заряд после соприкосновения

q′ = (6 + −3)/2 = 1,5 µC

Новая сила

F = 8,99 × 10⁹·(1,5 × 10⁻⁶)²/0,4² = 0,1264 N

Ответ

F = 0,1264 N

Теперь заряды шариков одного знака, поэтому они отталкиваются.

2.Закон Кулона и электрическое поле

Ответ: y = 0,4652 mm

Время между пластинами

t = L/v₀ = 0,06/3,5 × 10⁷ = 1,714 × 10⁻⁹ s

Поперечное ускорение

a = e·E/m = 1,602 × 10⁻¹⁹·1800/9,109 × 10⁻³¹ = 3,166 × 10¹⁴ m/s²

Прогиб

y = ½·a·t² = ½·3,166 × 10¹⁴·(1,714 × 10⁻⁹)² = 0,0004652 m = 0,4652 mm

Ответ

y = 0,4652 mm

Электрон притягивается к положительной пластине, против направления поля.

3.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: I_R2 = 0,3972 A

Последовательное и параллельное соединение: последовательно через каждый резистор течёт один и тот же ток и R = R₁ + R₂ + …. Параллельно на каждом резисторе одно и то же напряжение и 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Лестничную цепь упрощают по одной паре, пока не останется одно эквивалентное сопротивление.

Объединяйте резисторы с дальнего конца

Начните с конца, самого дальнего от источника, и двигайтесь к нему. Резисторы с одинаковым током соединены последовательно; резисторы между одними и теми же двумя узлами — параллельно.

R₃ + R₄ = 4 + 15 = 19 Ω

R₂ ∥ 19 = 5·19/(5+19) = 3,958 Ω

R_eq = R₁ + 3,958 = 8 + 3,958 = 11,96 Ω

Ток источника

Источник видит только R_eq, поэтому закон Ома даёт ток, который он отдаёт. Этот ток течёт через R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 6/11,96 = 0,5017 A

Ток через R₂

Вычтите падение на R₁, чтобы получить напряжение в узле A, то есть напряжение на R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 6 − 0,5017·8 = 1,986 V

I_R2 = V_A/R₂ = 1,986/5 = 0,3972 A

Ответ

I_R2 = 0,3972 A

4.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: I_R2 = 0,2278 A

Объединяйте резисторы с дальнего конца

R₅ + R₆ = 5 + 20 = 25 Ω

R₄ ∥ 25 = 6,061 Ω

R₃ + 6,061 = 10,06 Ω

R₂ ∥ 10,06 = 4,456 Ω

R_eq = R₁ + 4,456 = 20 + 4,456 = 24,46 Ω

Ток источника

Источник видит только R_eq, поэтому закон Ома даёт ток, который он отдаёт. Этот ток течёт через R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 10/24,46 = 0,4089 A

Ток через R₂

Вычтите падение на R₁, чтобы получить напряжение в узле A, то есть напряжение на R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 10 − 0,4089·20 = 1,822 V

I_R2 = V_A/R₂ = 1,822/8 = 0,2278 A

Ответ

I_R2 = 0,2278 A

5.Переходные процессы RC и RL

Ответ: W = 0,1973 mJ

Переходные процессы первого порядка: в цепи с одним конденсатором или одной катушкой каждое напряжение и каждый ток экспоненциально меняются от начального к конечному значению: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, где τ = RC или τ = L/R. Примерно через 5τ цепь выходит на установившийся режим.

Постоянная времени и конечный ток

Спустя долгое время после замыкания катушка ведёт себя как короткое замыкание, поэтому конечный ток определяется только R.

τ = L/R = 10 mH / 50 Ω = 0,2 ms

i(∞) = V_s/R = 10/50 = 0,2 A

Ток в заданный момент

i(t) = 0,2·(1 − e^−1/0,2) = 0,1987 A

Запасённая энергия

W = ½·L·i² = ½·10·0,1987² = 0,1973 mJ

Ответ

W = 0,1973 mJ

6.Переходные процессы RC и RL

Ответ: v_C = 8,774 V

Начальное значение, конечное значение, постоянная времени

Напряжение на конденсаторе не может измениться скачком, поэтому оно начинается с накопленного значения и стремится к напряжению источника.

v_C(0) = 4 V, v_C(∞) = V_s = 24 V

τ = R·C = 10 kΩ · 22 µF = 220 ms

v_C(t) = 24 + (4 − 24)·e^−t/τ

Напряжение в заданный момент

v_C(60) = 24 + (−20)·e^−60/220 = 8,774 V

Ответ

v_C = 8,774 V

7.Магнитные поля и индукция

Ответ: вверх по странице

Магнитные силы: на прямой провод с током I в поле B действует сила F = BIL·sin θ, а на движущийся заряд — F = |q|vB·sin θ, где θ — угол между током (или скоростью) и B. Сила перпендикулярна им обоим: направьте пальцы правой руки вдоль I или v, согните их к B, и большой палец покажет F для положительного заряда; для отрицательного заряда направление меняется на противоположное. Поскольку F перпендикулярна v, заряд, движущийся поперёк однородного поля, движется по окружности: |q|vB = mv²/r даёт r = mv/(|q|B) и период T = 2πm/(|q|B), не зависящий от скорости. Два параллельных провода притягиваются при токах в одном направлении: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).

Правило правой руки

Направьте пальцы вдоль тока или скорости и согните их к B; большой палец покажет силу, действующую на положительный заряд.

I: влево, B: из плоскости страницы

Направление силы

вверх по странице

Ответ

F: вверх по странице

8.Магнитные поля и индукция

Ответ: E₀ = 47,12 V

Электромагнитная индукция: поток через контур равен Φ = BA·cos θ, где θ — угол между B и нормалью к контуру. Закон Фарадея: изменение потока наводит в катушке из N витков ЭДС ε = −N·dΦ/dt, а правило Ленца гласит, что индукционный ток течёт так, что его собственное поле противодействует изменению. Стержень, движущийся поперёк поля, даёт ε = BLv. Катушка, вращающаяся с угловой скоростью ω, даёт e = NBAω·sin ωt с амплитудой NBAω. Самоиндукция: ε = −L·di/dt, где L = μ₀N²A/l для длинного соленоида, а запасённая энергия равна W = ½LI². Две связанные катушки: ε₂ = −M·di₁/dt, где M = k√(L₁L₂).

Угловая скорость и площадь

ω = 2π·1500/60 = 157,1 rad/s

A = 0,015 m²

Амплитудная ЭДС

E₀ = NBAω = 100·0,2·0,015·157,1 = 47,12 V

Ответ

E₀ = 47,12 V

9.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: |Z| = 17,67 Ω

Цепи переменного тока и комплексный метод: резисторы, катушки и конденсаторы имеют полные сопротивления R, jωL и 1/(jωC), где ω = 2πf. При последовательном соединении полные сопротивления складываются как сопротивления, но как комплексные числа. Действующие значения тока и напряжения подчиняются закону Ома с |Z|.

Реактивное сопротивление

X_L = ωL = 2π·60·0,1 = 37,7 Ω

Токи ветвей

Обе ветви подключены прямо к источнику, поэтому к каждой приложено полное напряжение V.

I_R = V/R = 100/20 = 5 A

I_X = V/X_L = 100/37,7 = 2,653 A

Общий ток

Ток резистора совпадает по фазе с V, а реактивный ток сдвинут на 90°, поэтому они складываются как катеты прямоугольного треугольника.

I = √(I_R² + I_X²) = √(5² + 2,653²) = 5,66 A

Полное сопротивление

|Z| = V/I = 100/5,66 = 17,67 Ω

Ответ

|Z| = 17,67 Ω

10.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: B = 159,2 Hz

Резонансная частота

f₀ = 1/(2π·√(0,02·10·10⁻⁶)) = 355,9 Hz

Добротность

Добротность сравнивает реактивное сопротивление при резонансе с активным: Q = ω₀L/R.

Q = (1/R)·√(L/C) = (1/20)·√(0,02/(10·10⁻⁶)) = 2,236

Полоса пропускания

B = f₀/Q = 355,9/2,236 = 159,2 Hz

Ответ

B = 159,2 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism