Физика 2: Электричество и магнетизм: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (10) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Закон Кулона и электрическое поле

Закон Кулона: F = k·|q₁q₂|/r²
Поле точечного заряда: E = k·|q|/r²
Постоянная: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Сила, действующая на заряд: F = q·E

Последовательные и параллельные резисторы

Последовательное соединение резисторов: R_eq = R₁ + R₂ + …
Параллельное соединение резисторов: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Два параллельно: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Закон Ома: V = I·R
Мощность: P = V·I = I²R = V²/R

Метод

Начните с конца цепи, наиболее удалённого от зажимов.
Последовательные резисторы складывайте, а параллельные объединяйте по формуле 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
После каждого шага перерисовывайте схему.
Повторяйте, пока между зажимами не останется один резистор.

Переходные процессы RC и RL

Постоянная времени: τ = RC | τ = L/R
Отклик: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Конденсатор на постоянном токе: разрыв; v_C не может измениться скачком
Катушка на постоянном токе: короткое замыкание; i_L не может измениться скачком
Установившийся режим: t ≈ 5τ

Метод

Найдите начальное значение сразу после коммутации: напряжение на конденсаторе и ток в катушке не могут изменяться скачком.
Найдите установившееся значение спустя долгое время после коммутации: конденсатор ведёт себя как разрыв, катушка — как короткое замыкание.
Найдите постоянную времени: τ = RC или τ = L/R, где берётся сопротивление со стороны конденсатора или катушки.
Используйте x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Магнитные поля и индукция

Длинный прямой провод: B = μ₀I/(2πr)
Центр плоской катушки: B = μ₀NI/(2R)
Длинный соленоид: B = μ₀nI, n = N/L
Постоянная: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Сила, действующая на провод: F = BIL·sin θ
Сила, действующая на заряд: F = |q|vB·sin θ
Движение по окружности: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Параллельные провода: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Поток: Φ = BA·cos θ
Закон Фарадея: ε = −N·ΔΦ/Δt
Движущийся стержень: ε = BLv
Генератор: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Индуктивность: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Взаимная индуктивность: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Селектор скоростей и спектрометр: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Метод

Переведите каждую величину в единицы СИ: cm в m, cm² в m², mT и µT в T.
Выберите правильную формулу: B = μ₀I/(2πr) для провода, μ₀NI/(2R) для центра катушки, μ₀nI внутри соленоида; F = BIL·sin θ или |q|vB·sin θ для сил.
Для индукции найдите изменение потока ΔΦ = Δ(BA·cos θ) и используйте ε = N·ΔΦ/Δt, либо ε = BLv для движущегося стержня и NBAω для вращающейся катушки.
Направления находите отдельно по правилам правой руки, а для индукционных токов — по правилу Ленца.

Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Полные сопротивления: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Угловая частота: ω = 2πf
Модуль и угол: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексной форме: V = I·Z

Метод

Переведите частоту: ω = 2πf.
Найдите каждое реактивное сопротивление: X_L = ωL и X_C = 1/(ωC).
Складывайте сопротивления как у резисторов, с Z = R + jX.
Найдите модуль |Z| = √(R² + X²) и угол φ = atan(X/R), затем примените закон Ома для комплексных амплитуд.

2Тренировочные задачи

1.Закон Кулона и электрическое полеСредняя

Заряды +2 µC и +6 µC находятся на расстоянии 100 cm друг от друга. На каком расстоянии x от заряда +2 µC на отрезке между ними напряжённость электрического поля равна нулю?

q₁ = +2 µCq₂ = +6 µCd = 100 cm

x = cm

2.Закон Кулона и электрическое полеСложная

Заряды +8 µC и +8 µC находятся на расстоянии 16 cm друг от друга. Точка P лежит на серединном перпендикуляре на расстоянии 10 cm от середины отрезка между ними. Найдите модуль напряжённости электрического поля E в точке P. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

q₁ = +8 µCq₂ = +8 µCd = 16 cmh = 10 cm

E = N/C

3.Последовательные и параллельные резисторыСредняя

Найдите ток I_R1, отдаваемый источником и текущий через R₁.

V₁ = 9 VR₁ = 4 ΩR₂ = 2 ΩR₃ = 2 ΩR₄ = 5 Ω

I_R1 = A

4.Последовательные и параллельные резисторыСложная

Найдите ток I_R2 через R₂.

V₁ = 10 VR₁ = 10 ΩR₂ = 30 ΩR₃ = 4 ΩR₄ = 5 ΩR₅ = 6 ΩR₆ = 3 Ω

I_R2 = A

5.Переходные процессы RC и RLСредняя

До замыкания ключа в момент t = 0 тока через катушку нет. Найдите энергию W(∞), запасённую в катушке после установления режима, в mJ.

V_s = 9 VR = 15 ΩL = 220 mH

W(∞) = mJ

6.Переходные процессы RC и RLСложная

Непосредственно перед замыканием ключа в момент t = 0 конденсатор заряжен до 8 V с указанной полярностью. Найдите напряжение на конденсаторе v_C в момент t = 100 ms.

V_s = 10 VR = 10 kΩC = 10 µFv_C(0) = 8 Vt = 100 ms

v_C = V

7.Магнитные поля и индукцияСредняя

Два длинных параллельных провода на расстоянии 2 cm друг от друга проводят токи 15 A и 12 A в одном направлении. Найдите силу на метр длины F/L между ними.

I₁ = 15 AI₂ = 12 Ad = 2 cmμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A

F/L = µN/m

8.Магнитные поля и индукцияСложная

Ток в катушке индуктивностью 25 mH равномерно меняется от 1,5 A до 1 A за 2 ms. Найдите модуль ЭДС самоиндукции ε.

L = 25 mH1,5 A → 1 AΔt = 2 ms

ε = V

9.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСредняя

Последовательная цепь RLC подключена к сети 12 V (действующее значение), 100 Hz. Найдите угол сдвига фаз φ полного сопротивления в градусах (положительный, когда ток отстаёт от напряжения).

V = 12 V (rms)f = 100 HzR = 60 ΩL = 250 mHC = 2,2 µF

φ = °

10.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСложная

Последовательный RLC-контур имеет R = 100 Ω, L = 50 mH и C = 1 µF. Найдите его добротность Q при резонансе.

R = 100 ΩL = 50 mHC = 1 µF

Q =

3Растворы

1.Закон Кулона и электрическое поле

Ответ: x = 36,6 cm

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Равные поля

2/x² = 6/(100 − x)²

(100 − x)/x = √(6/2) = 1,732

Положение

x = 100/(1 + 1,732) = 36,6 cm

Ответ

x = 36,6 cm

Нулевая точка всегда ближе к меньшему заряду.

2.Закон Кулона и электрическое поле

Ответ: E = 6,849 × 10⁶ N/C

Расстояние и поле одного заряда

r = √(8² + 10²) = 12,81 cm

E₁ = k·8 × 10⁻⁶/0,1281² = 4,385 × 10⁶ N/C

Составляющие

Составляющие вдоль соединяющей заряды прямой компенсируются.

E = 2·E₁·(h/r) = 2·4,385 × 10⁶·0,7809 = 6,849 × 10⁶ N/C

Ответ

E = 6,849 × 10⁶ N/C

Поле направлено вдоль серединного перпендикуляра, от зарядов.

3.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: I_R1 = 1,62 A

Последовательное и параллельное соединение: последовательно через каждый резистор течёт один и тот же ток и R = R₁ + R₂ + …. Параллельно на каждом резисторе одно и то же напряжение и 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Лестничную цепь упрощают по одной паре, пока не останется одно эквивалентное сопротивление.

Объединяйте резисторы с дальнего конца

Начните с конца, самого дальнего от источника, и двигайтесь к нему. Резисторы с одинаковым током соединены последовательно; резисторы между одними и теми же двумя узлами — параллельно.

R₃ + R₄ = 2 + 5 = 7 Ω

R₂ ∥ 7 = 2·7/(2+7) = 1,556 Ω

R_eq = R₁ + 1,556 = 4 + 1,556 = 5,556 Ω

Ток источника

Источник видит только R_eq, поэтому закон Ома даёт ток, который он отдаёт. Этот ток течёт через R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 9/5,556 = 1,62 A

Ответ

I_R1 = 1,62 A

4.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: I_R2 = 0,1226 A

Объединяйте резисторы с дальнего конца

R₅ + R₆ = 6 + 3 = 9 Ω

R₄ ∥ 9 = 3,214 Ω

R₃ + 3,214 = 7,214 Ω

R₂ ∥ 7,214 = 5,816 Ω

R_eq = R₁ + 5,816 = 10 + 5,816 = 15,82 Ω

Ток источника

Источник видит только R_eq, поэтому закон Ома даёт ток, который он отдаёт. Этот ток течёт через R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 10/15,82 = 0,6323 A

Ток через R₂

Вычтите падение на R₁, чтобы получить напряжение в узле A, то есть напряжение на R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 10 − 0,6323·10 = 3,677 V

I_R2 = V_A/R₂ = 3,677/30 = 0,1226 A

Ответ

I_R2 = 0,1226 A

5.Переходные процессы RC и RL

Ответ: W(∞) = 39,6 mJ

Переходные процессы первого порядка: в цепи с одним конденсатором или одной катушкой каждое напряжение и каждый ток экспоненциально меняются от начального к конечному значению: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, где τ = RC или τ = L/R. Примерно через 5τ цепь выходит на установившийся режим.

Постоянная времени и конечный ток

Спустя долгое время после замыкания катушка ведёт себя как короткое замыкание, поэтому конечный ток определяется только R.

τ = L/R = 220 mH / 15 Ω = 14,67 ms

i(∞) = V_s/R = 9/15 = 0,6 A

Запасённая энергия

W(∞) = ½·L·i(∞)² = ½·220·0,6² = 39,6 mJ

Ответ

W(∞) = 39,6 mJ

6.Переходные процессы RC и RL

Ответ: v_C = 9,264 V

Начальное значение, конечное значение, постоянная времени

Напряжение на конденсаторе не может измениться скачком, поэтому оно начинается с накопленного значения и стремится к напряжению источника.

v_C(0) = 8 V, v_C(∞) = V_s = 10 V

τ = R·C = 10 kΩ · 10 µF = 100 ms

v_C(t) = 10 + (8 − 10)·e^−t/τ

Напряжение в заданный момент

v_C(100) = 10 + (−2)·e^−100/100 = 9,264 V

Ответ

v_C = 9,264 V

7.Магнитные поля и индукция

Ответ: F/L = 1800 µN/m

Магнитные силы: на прямой провод с током I в поле B действует сила F = BIL·sin θ, а на движущийся заряд — F = |q|vB·sin θ, где θ — угол между током (или скоростью) и B. Сила перпендикулярна им обоим: направьте пальцы правой руки вдоль I или v, согните их к B, и большой палец покажет F для положительного заряда; для отрицательного заряда направление меняется на противоположное. Поскольку F перпендикулярна v, заряд, движущийся поперёк однородного поля, движется по окружности: |q|vB = mv²/r даёт r = mv/(|q|B) и период T = 2πm/(|q|B), не зависящий от скорости. Два параллельных провода притягиваются при токах в одном направлении: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).

Сила на метр

F/L = μ₀I₁I₂/(2πd) = 2 × 10⁻⁷·15·12/0,02 = 1800 µN/m

Ответ

F/L = 1800 µN/m

Токи одного направления притягиваются.

8.Магнитные поля и индукция

Ответ: ε = 6,25 V

Электромагнитная индукция: поток через контур равен Φ = BA·cos θ, где θ — угол между B и нормалью к контуру. Закон Фарадея: изменение потока наводит в катушке из N витков ЭДС ε = −N·dΦ/dt, а правило Ленца гласит, что индукционный ток течёт так, что его собственное поле противодействует изменению. Стержень, движущийся поперёк поля, даёт ε = BLv. Катушка, вращающаяся с угловой скоростью ω, даёт e = NBAω·sin ωt с амплитудой NBAω. Самоиндукция: ε = −L·di/dt, где L = μ₀N²A/l для длинного соленоида, а запасённая энергия равна W = ½LI². Две связанные катушки: ε₂ = −M·di₁/dt, где M = k√(L₁L₂).

ЭДС самоиндукции

ЭДС противодействует изменению тока (Ленц), поэтому её знак противоположен ΔI; по модулю она равна L·|ΔI|/Δt.

ε = L·ΔI/Δt = 0,025·0,5/0,002 = 6,25 V

Ответ

ε = 6,25 V

9.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: φ = −83,95 °

Цепи переменного тока и комплексный метод: резисторы, катушки и конденсаторы имеют полные сопротивления R, jωL и 1/(jωC), где ω = 2πf. При последовательном соединении полные сопротивления складываются как сопротивления, но как комплексные числа. Действующие значения тока и напряжения подчиняются закону Ома с |Z|.

Реактивные сопротивления

ω = 2πf = 2π·100 = 628,3 rad/s

X_L = ωL = 628,3·0,25 = 157,1 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(628,3·2,2·10⁻⁶) = 723,4 Ω

Полное сопротивление

При последовательном соединении полные сопротивления складываются как комплексные числа: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(60² + (−566,4)²) = 569,5 Ω

Угол сдвига фаз

φ = arctan((X_L − X_C)/R) = arctan(−566,4/60) = −83,95°

Ответ

φ = −83,95°

10.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: Q = 2,236

Резонансная частота

f₀ = 1/(2π·√(0,05·1·10⁻⁶)) = 711,8 Hz

Добротность

Добротность сравнивает реактивное сопротивление при резонансе с активным: Q = ω₀L/R.

Q = (1/R)·√(L/C) = (1/100)·√(0,05/(1·10⁻⁶)) = 2,236

Ответ

Q = 2,236

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism