Физика 2: Электричество и магнетизм: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (10) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Закон Кулона и электрическое поле

Закон Кулона: F = k·|q₁q₂|/r²
Поле точечного заряда: E = k·|q|/r²
Постоянная: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Сила, действующая на заряд: F = q·E

Последовательные и параллельные резисторы

Последовательное соединение резисторов: R_eq = R₁ + R₂ + …
Параллельное соединение резисторов: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Два параллельно: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Закон Ома: V = I·R
Мощность: P = V·I = I²R = V²/R

Метод

Начните с конца цепи, наиболее удалённого от зажимов.
Последовательные резисторы складывайте, а параллельные объединяйте по формуле 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
После каждого шага перерисовывайте схему.
Повторяйте, пока между зажимами не останется один резистор.

Переходные процессы RC и RL

Постоянная времени: τ = RC | τ = L/R
Отклик: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Конденсатор на постоянном токе: разрыв; v_C не может измениться скачком
Катушка на постоянном токе: короткое замыкание; i_L не может измениться скачком
Установившийся режим: t ≈ 5τ

Метод

Найдите начальное значение сразу после коммутации: напряжение на конденсаторе и ток в катушке не могут изменяться скачком.
Найдите установившееся значение спустя долгое время после коммутации: конденсатор ведёт себя как разрыв, катушка — как короткое замыкание.
Найдите постоянную времени: τ = RC или τ = L/R, где берётся сопротивление со стороны конденсатора или катушки.
Используйте x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Магнитные поля и индукция

Длинный прямой провод: B = μ₀I/(2πr)
Центр плоской катушки: B = μ₀NI/(2R)
Длинный соленоид: B = μ₀nI, n = N/L
Постоянная: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Сила, действующая на провод: F = BIL·sin θ
Сила, действующая на заряд: F = |q|vB·sin θ
Движение по окружности: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Параллельные провода: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Поток: Φ = BA·cos θ
Закон Фарадея: ε = −N·ΔΦ/Δt
Движущийся стержень: ε = BLv
Генератор: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Индуктивность: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Взаимная индуктивность: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Селектор скоростей и спектрометр: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Метод

Переведите каждую величину в единицы СИ: cm в m, cm² в m², mT и µT в T.
Выберите правильную формулу: B = μ₀I/(2πr) для провода, μ₀NI/(2R) для центра катушки, μ₀nI внутри соленоида; F = BIL·sin θ или |q|vB·sin θ для сил.
Для индукции найдите изменение потока ΔΦ = Δ(BA·cos θ) и используйте ε = N·ΔΦ/Δt, либо ε = BLv для движущегося стержня и NBAω для вращающейся катушки.
Направления находите отдельно по правилам правой руки, а для индукционных токов — по правилу Ленца.

Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Полные сопротивления: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Угловая частота: ω = 2πf
Модуль и угол: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексной форме: V = I·Z

Метод

Переведите частоту: ω = 2πf.
Найдите каждое реактивное сопротивление: X_L = ωL и X_C = 1/(ωC).
Складывайте сопротивления как у резисторов, с Z = R + jX.
Найдите модуль |Z| = √(R² + X²) и угол φ = atan(X/R), затем примените закон Ома для комплексных амплитуд.

2Тренировочные задачи

1.Закон Кулона и электрическое полеСредняя

Заряд +4 µC и заряд +8 µC находятся на расстоянии 20 cm друг от друга. Точка P лежит на прямой между ними на расстоянии 5 cm от первого заряда. Найдите модуль напряжённости электрического поля E в точке P.

q₁ = +4 µCq₂ = +8 µCr₁ = 5 cmr₂ = 15 cm

E = N/C

2.Закон Кулона и электрическое полеСложная

Электрон влетает в однородное поле между двумя параллельными пластинами, двигаясь параллельно им со скоростью 4,5 × 10⁷ m/s. Длина пластин 10 cm, напряжённость поля между ними 3400 N/C. Заряд электрона 1,602 × 10⁻¹⁹ C, масса 9,109 × 10⁻³¹ kg; силой тяжести пренебречь. На какое расстояние y он отклонится вбок к моменту вылета из пластин? Дайте ответ в mm.

v₀ = 4,5 × 10⁷ m/sL = 10 cmE = 3400 N/Ce = 1,602 × 10⁻¹⁹ Cm_e = 9,109 × 10⁻³¹ kg

y = mm

3.Последовательные и параллельные резисторыСредняя

Найдите ток I_R2 через R₂.

V₁ = 9 VR₁ = 12 ΩR₂ = 4 ΩR₃ = 3 ΩR₄ = 8 Ω

I_R2 = A

4.Последовательные и параллельные резисторыСложная

Найдите эквивалентное сопротивление R_eq, которое видит источник V₁.

V₁ = 6 VR₁ = 6 ΩR₂ = 4 ΩR₃ = 12 ΩR₄ = 25 ΩR₅ = 5 ΩR₆ = 8 Ω

R_eq = Ω

5.Переходные процессы RC и RLСредняя

Источник Vₛ заряжает конденсатор через R₁, а R₂ подключён параллельно C. Конденсатор разряжен, когда ключ замыкается в момент t = 0. Найдите напряжение на конденсаторе v_C в момент t = 20 ms.

V_s = 24 VR₁ = 2,2 kΩR₂ = 10 kΩC = 22 µFt = 20 ms

v_C = V

6.Переходные процессы RC и RLСложная

Ключ, шунтирующий R₂, был разомкнут долгое время, поэтому ток катушки установившийся. При t = 0 ключ замыкается и закорачивает R₂. Найдите ток катушки i при t = 5 ms.

V_s = 9 VR₁ = 5 ΩR₂ = 22 ΩL = 33 mHt = 5 ms

i = A

7.Магнитные поля и индукцияСредняя

Катушка из 20 витков имеет площадь 80 cm². Катушка находится в однородном поле 0,1 T, перпендикулярном её плоскости, и поле выключается за 50 ms. Найдите среднюю ЭДС индукции ε.

N = 20A = 80 cm²B = 0,1 TΔt = 50 ms

ε = mV

8.Магнитные поля и индукцияСложная

Ток в катушке индуктивностью 10 mH равномерно меняется от 1 A до 0,5 A за 2 ms. Найдите модуль ЭДС самоиндукции ε.

L = 10 mH1 A → 0,5 AΔt = 2 ms

ε = V

9.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСредняя

Последовательная цепь RLC подключена к сети 230 V (действующее значение), 50 Hz. Найдите угол сдвига фаз φ полного сопротивления в градусах (положительный, когда ток отстаёт от напряжения).

V = 230 V (rms)f = 50 HzR = 15 ΩL = 100 mHC = 47 µF

φ = °

10.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСложная

Последовательный RLC-контур питается от источника 24 V (действующее значение), частота которого равна резонансной частоте контура. Найдите действующее напряжение V_L на катушке.

V = 24 V (rms)R = 10 ΩL = 5 mHC = 0,47 µF

V_L = V

3Растворы

1.Закон Кулона и электрическое поле

Ответ: E = 1,119 × 10⁷ N/C

Закон Кулона: два точечных заряда притягиваются или отталкиваются с силой F = k·|q₁·q₂|/r², где k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². Напряжённость поля точечного заряда E = k·|q|/r²; поле направлено от положительного заряда и к отрицательному. Силы и поля от нескольких зарядов складываются как векторы.

Поле каждого заряда

E₁ = k·4 × 10⁻⁶/0,05² = 1,438 × 10⁷ N/C

E₂ = k·8 × 10⁻⁶/0,15² = 3,196 × 10⁶ N/C

Направления и сумма

Оба заряда положительны: в точке P их поля направлены от соответствующего заряда, то есть в противоположные стороны.

E = |1,438 × 10⁷ − 3,196 × 10⁶| = 1,119 × 10⁷ N/C

Ответ

E = 1,119 × 10⁷ N/C

2.Закон Кулона и электрическое поле

Ответ: y = 1,476 mm

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Время между пластинами

t = L/v₀ = 0,1/4,5 × 10⁷ = 2,222 × 10⁻⁹ s

Поперечное ускорение

a = e·E/m = 1,602 × 10⁻¹⁹·3400/9,109 × 10⁻³¹ = 5,98 × 10¹⁴ m/s²

Прогиб

y = ½·a·t² = ½·5,98 × 10¹⁴·(2,222 × 10⁻⁹)² = 0,001476 m = 1,476 mm

Ответ

y = 1,476 mm

Электрон притягивается к положительной пластине, против направления поля.

3.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: I_R2 = 0,442 A

Последовательное и параллельное соединение: последовательно через каждый резистор течёт один и тот же ток и R = R₁ + R₂ + …. Параллельно на каждом резисторе одно и то же напряжение и 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Лестничную цепь упрощают по одной паре, пока не останется одно эквивалентное сопротивление.

Объединяйте резисторы с дальнего конца

Начните с конца, самого дальнего от источника, и двигайтесь к нему. Резисторы с одинаковым током соединены последовательно; резисторы между одними и теми же двумя узлами — параллельно.

R₃ + R₄ = 3 + 8 = 11 Ω

R₂ ∥ 11 = 4·11/(4+11) = 2,933 Ω

R_eq = R₁ + 2,933 = 12 + 2,933 = 14,93 Ω

Ток источника

Источник видит только R_eq, поэтому закон Ома даёт ток, который он отдаёт. Этот ток течёт через R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 9/14,93 = 0,6027 A

Ток через R₂

Вычтите падение на R₁, чтобы получить напряжение в узле A, то есть напряжение на R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 9 − 0,6027·12 = 1,768 V

I_R2 = V_A/R₂ = 1,768/4 = 0,442 A

Ответ

I_R2 = 0,442 A

4.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: R_eq = 9,348 Ω

Объединяйте резисторы с дальнего конца

R₅ + R₆ = 5 + 8 = 13 Ω

R₄ ∥ 13 = 8,553 Ω

R₃ + 8,553 = 20,55 Ω

R₂ ∥ 20,55 = 3,348 Ω

R_eq = R₁ + 3,348 = 6 + 3,348 = 9,348 Ω

Ответ

R_eq = 9,348 Ω

5.Переходные процессы RC и RL

Ответ: v_C = 7,79 V

Переходные процессы первого порядка: в цепи с одним конденсатором или одной катушкой каждое напряжение и каждый ток экспоненциально меняются от начального к конечному значению: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, где τ = RC или τ = L/R. Примерно через 5τ цепь выходит на установившийся режим.

Эквивалентная схема Тевенина со стороны конденсатора

Закоротите источник, чтобы найти R_th; отключите конденсатор, чтобы найти напряжение, до которого он зарядится.

R_th = R₁ ∥ R₂ = 2,2·10/(2,2 + 10) = 1,803 kΩ

v_C(∞) = 24·10/(2,2 + 10) = 19,67 V

Постоянная времени

τ = R_th·C = 1,803·22 = 39,67 ms

Кривая заряда

v_C(t) = 19,67·(1 − e^−20/39,67) = 7,79 V

Ответ

v_C = 7,79 V

6.Переходные процессы RC и RL

Ответ: i = 1,112 A

Начальное значение, конечное значение, постоянная времени

До t = 0 в контур входят оба резистора; после этого замкнутый ключ шунтирует R₂.

i(0) = 9/(5 + 22) = 0,3333 A

i(∞) = 9/5 = 1,8 A

τ = L/R = 33/5 = 6,6 ms

i(t) = 1,8 + (0,3333 − 1,8)·e^−t/τ

Ток в заданный момент

i(5) = 1,8 + (−1,467)·e^−5/6,6 = 1,112 A

Ответ

i = 1,112 A

7.Магнитные поля и индукция

Ответ: ε = 320 mV

Электромагнитная индукция: поток через контур равен Φ = BA·cos θ, где θ — угол между B и нормалью к контуру. Закон Фарадея: изменение потока наводит в катушке из N витков ЭДС ε = −N·dΦ/dt, а правило Ленца гласит, что индукционный ток течёт так, что его собственное поле противодействует изменению. Стержень, движущийся поперёк поля, даёт ε = BLv. Катушка, вращающаяся с угловой скоростью ω, даёт e = NBAω·sin ωt с амплитудой NBAω. Самоиндукция: ε = −L·di/dt, где L = μ₀N²A/l для длинного соленоида, а запасённая энергия равна W = ½LI². Две связанные катушки: ε₂ = −M·di₁/dt, где M = k√(L₁L₂).

Изменение потока на виток

ΔΦ = 0,1·0,008 = 0,0008 Wb

Средняя ЭДС

ε = NΔΦ/Δt = 20·0,0008/0,05 = 0,32 V

Ответ

ε = 320 mV

8.Магнитные поля и индукция

Ответ: ε = 2,5 V

ЭДС самоиндукции

ЭДС противодействует изменению тока (Ленц), поэтому её знак противоположен ΔI; по модулю она равна L·|ΔI|/Δt.

ε = L·ΔI/Δt = 0,01·0,5/0,002 = 2,5 V

Ответ

ε = 2,5 V

9.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: φ = −67,55 °

Цепи переменного тока и комплексный метод: резисторы, катушки и конденсаторы имеют полные сопротивления R, jωL и 1/(jωC), где ω = 2πf. При последовательном соединении полные сопротивления складываются как сопротивления, но как комплексные числа. Действующие значения тока и напряжения подчиняются закону Ома с |Z|.

Реактивные сопротивления

ω = 2πf = 2π·50 = 314,2 rad/s

X_L = ωL = 314,2·0,1 = 31,42 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(314,2·47·10⁻⁶) = 67,73 Ω

Полное сопротивление

При последовательном соединении полные сопротивления складываются как комплексные числа: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(15² + (−36,31)²) = 39,29 Ω

Угол сдвига фаз

φ = arctan((X_L − X_C)/R) = arctan(−36,31/15) = −67,55°

Ответ

φ = −67,55°

10.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: V_L = 247,5 V

Резонанс

При резонансе реактивные сопротивления компенсируются, поэтому полное сопротивление равно просто R.

ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(0,005·0,47·10⁻⁶) = 20628 rad/s

I = V/R = 24/10 = 2,4 A

Напряжение на катушке

X_L = ω₀L = 20628·0,005 = 103,1 Ω

V_L = I·X_L = 2,4·103,1 = 247,5 V

Ответ

V_L = 247,5 V

Это в Q = 10,31 раз больше напряжения источника.

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism