Физика 2: Электричество и магнетизм: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (10) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Закон Кулона и электрическое поле

Закон Кулона
F = k·|q1q2|/r²
Поле точечного заряда
E = k·|q|/r²
Постоянная
k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Сила, действующая на заряд
F = q·E

Последовательные и параллельные резисторы

Последовательное соединение резисторов
Req = R1 + R2 + …
Параллельное соединение резисторов
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
Два параллельно
Req = R1R2 / (R1 + R2)
Закон Ома
V = I·R
Мощность
P = V·I = I²R = V²/R

Метод

  1. Начните с конца цепи, наиболее удалённого от зажимов.
  2. Последовательные резисторы складывайте, а параллельные объединяйте по формуле 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
  3. После каждого шага перерисовывайте схему.
  4. Повторяйте, пока между зажимами не останется один резистор.

Переходные процессы RC и RL

Постоянная времени
τ = RC | τ = L/R
Отклик
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
Конденсатор на постоянном токе
разрыв; vC не может измениться скачком
Катушка на постоянном токе
короткое замыкание; iL не может измениться скачком
Установившийся режим
t ≈ 5τ

Метод

  1. Найдите начальное значение сразу после коммутации: напряжение на конденсаторе и ток в катушке не могут изменяться скачком.
  2. Найдите установившееся значение спустя долгое время после коммутации: конденсатор ведёт себя как разрыв, катушка — как короткое замыкание.
  3. Найдите постоянную времени: τ = RC или τ = L/R, где берётся сопротивление со стороны конденсатора или катушки.
  4. Используйте x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ.

Магнитные поля и индукция

Длинный прямой провод
B = μ0I/(2πr)
Центр плоской катушки
B = μ0NI/(2R)
Длинный соленоид
B = μ0nI, n = N/L
Постоянная
μ0 = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Сила, действующая на провод
F = BIL·sin θ
Сила, действующая на заряд
F = |q|vB·sin θ
Движение по окружности
r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Параллельные провода
F/L = μ0I1I2/(2πd)
Поток
Φ = BA·cos θ
Закон Фарадея
ε = −N·ΔΦ/Δt
Движущийся стержень
ε = BLv
Генератор
E0 = NBAω, Erms = E0/√2
Индуктивность
ε = L·ΔI/Δt, L = μ0N²A/l, W = ½LI²
Взаимная индуктивность
ε2 = M·di1/dt, M = k√(L1L2)
Селектор скоростей и спектрометр
v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Метод

  1. Переведите каждую величину в единицы СИ: cm в m, cm² в m², mT и µT в T.
  2. Выберите правильную формулу: B = μ₀I/(2πr) для провода, μ₀NI/(2R) для центра катушки, μ₀nI внутри соленоида; F = BIL·sin θ или |q|vB·sin θ для сил.
  3. Для индукции найдите изменение потока ΔΦ = Δ(BA·cos θ) и используйте ε = N·ΔΦ/Δt, либо ε = BLv для движущегося стержня и NBAω для вращающейся катушки.
  4. Направления находите отдельно по правилам правой руки, а для индукционных токов — по правилу Ленца.

Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Полные сопротивления
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
Угловая частота
ω = 2πf
Модуль и угол
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексной форме
V = I·Z

Метод

  1. Переведите частоту: ω = 2πf.
  2. Найдите каждое реактивное сопротивление: XL = ωL и XC = 1/(ωC).
  3. Складывайте сопротивления как у резисторов, с Z = R + jX.
  4. Найдите модуль |Z| = √(R² + X²) и угол φ = atan(X/R), затем примените закон Ома для комплексных амплитуд.

2Тренировочные задачи

1.Закон Кулона и электрическое полеСредняя
++2 µC−−10 µCP50 cm

Заряд +2 µC и заряд −10 µC находятся на расстоянии 50 cm друг от друга. Точка P лежит на прямой между ними на расстоянии 12,5 cm от первого заряда. Найдите модуль напряжённости электрического поля E в точке P.

q1 = +2 µCq2 = −10 µCr1 = 12,5 cmr2 = 37,5 cm
E = N/C
2.Закон Кулона и электрическое полеСложная
+−P2 × 3 cm5 cm+4 µC−4 µC

Заряды +4 µC и −4 µC находятся на расстоянии 6 cm друг от друга. Точка P лежит на серединном перпендикуляре на расстоянии 5 cm от середины отрезка между ними. Найдите модуль напряжённости электрического поля E в точке P. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

q1 = +4 µCq2 = −4 µCd = 6 cmh = 5 cm
E = N/C
3.Последовательные и параллельные резисторыСредняя
R1​ = 4 ΩIR1​R3​ = 2 Ω+−V1​12 VR2​4 ΩAR4​20 ΩB

Найдите ток IR1, отдаваемый источником и текущий через R1.

V1 = 12 VR1 = 4 ΩR2 = 4 ΩR3 = 2 ΩR4 = 20 Ω
IR1 = A
4.Последовательные и параллельные резисторыСложная
R1​ = 30 ΩR3​ = 3 ΩR5​ = 2 Ω+−V1​12 VR2​4 ΩAR4​30 ΩBR6​5 Ω

Найдите эквивалентное сопротивление Req, которое видит источник V1.

V1 = 12 VR1 = 30 ΩR2 = 4 ΩR3 = 3 ΩR4 = 30 ΩR5 = 2 ΩR6 = 5 Ω
Req = Ω
5.Переходные процессы RC и RLСредняя
R = 47 Ωt = 0L33 mHi(t)

Через катушку течёт установившийся ток 1,5 A. При t = 0 ключ замыкает контур через R, а источник отключается, поэтому ток катушки убывает через R. За какое время ток уменьшится до 0,375 A? Найдите t.

i(0) = 1,5 AR = 47 ΩL = 33 mH
t = ms
6.Переходные процессы RC и RLСложная
+−Vs​12 Vразмыкается при t = 0R1​ = 1 kΩR2​ = 4,7 kΩC33 µF+−vC​

Ключ был замкнут долгое время, поэтому цепь находится в установившемся режиме. При t = 0 ключ размыкается. Найдите напряжение на конденсаторе vC в момент t = 400 ms.

Vs = 12 VR1 = 1 kΩR2 = 4,7 kΩC = 33 µFt = 400 ms
vC = V
7.Магнитные поля и индукцияСредняя
vI = ?

Квадратный контур движется вправо в область с однородным магнитным полем, направленным в плоскость страницы. Нажмите на направление индукционного тока в контуре, как оно видно на рисунке, пока контур входит в поле.

B: в плоскость страницывходит в поле
  1. 1по часовой стрелке
  2. 2против часовой стрелки
8.Магнитные поля и индукцияСложная
I = 1,5 Al = 25 cmN = 1000, ⌀ 1 cm

Длинный соленоид без сердечника имеет 1000 витков, длину 25 cm и диаметр 1 cm. Найдите энергию W, запасённую в его магнитном поле, когда по нему течёт ток 1,5 A.

N = 1000l = 25 cm⌀ = 1 cmI = 1,5 Aμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
W = µJ
9.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСредняя
12 V100 HzR = 100 ΩL = 200 mHC = 10 µFI

Последовательная цепь RLC подключена к сети 12 V (действующее значение), 100 Hz. Найдите активную мощность P, потребляемую от источника.

V = 12 V (rms)f = 100 HzR = 100 ΩL = 200 mHC = 10 µF
P = W
10.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСложная
10 Vf0​R = 5 ΩL = 50 mHC = 10 µF

Последовательный RLC-контур питается от источника 10 V (действующее значение), частота которого равна резонансной частоте контура. Найдите действующее напряжение VL на катушке.

V = 10 V (rms)R = 5 ΩL = 50 mHC = 10 µF
VL = V

3Растворы

1.Закон Кулона и электрическое поле

Ответ: E = 1,79 × 10⁶ N/C

Закон Кулона: два точечных заряда притягиваются или отталкиваются с силой F = k·|q₁·q₂|/r², где k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². Напряжённость поля точечного заряда E = k·|q|/r²; поле направлено от положительного заряда и к отрицательному. Силы и поля от нескольких зарядов складываются как векторы.

Поле каждого заряда

E1 = k·2 × 10⁻⁶/0,125² = 1,151 × 10⁶ N/C
E2 = k·10 × 10⁻⁶/0,375² = 639289 N/C

Направления и сумма

Первое поле направлено от положительного заряда, второе — к отрицательному: оба направлены в одну сторону.

E = |1,151 × 10⁶ + 639289| = 1,79 × 10⁶ N/C

Ответ

E = 1,79 × 10⁶ N/C
2.Закон Кулона и электрическое поле

Ответ: E = 1,088 × 10⁷ N/C

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Расстояние и поле одного заряда

r = √(3² + 5²) = 5,831 cm
E1 = k·4 × 10⁻⁶/0,05831² = 1,058 × 10⁷ N/C

Составляющие

Составляющие вдоль серединного перпендикуляра компенсируются.

E = 2·E1·(a/r) = 2·1,058 × 10⁷·0,5145 = 1,088 × 10⁷ N/C

Ответ

E = 1,088 × 10⁷ N/C

Поле направлено параллельно прямой от положительного заряда к отрицательному.

3.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: IR1 = 1,625 A

Последовательное и параллельное соединение: последовательно через каждый резистор течёт один и тот же ток и R = R₁ + R₂ + …. Параллельно на каждом резисторе одно и то же напряжение и 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Лестничную цепь упрощают по одной паре, пока не останется одно эквивалентное сопротивление.

R1​ = 4 ΩR3​ = 2 Ω+−V1​12 VR2​4 ΩAR4​20 ΩB

Объединяйте резисторы с дальнего конца

Начните с конца, самого дальнего от источника, и двигайтесь к нему. Резисторы с одинаковым током соединены последовательно; резисторы между одними и теми же двумя узлами — параллельно.

R3 + R4 = 2 + 20 = 22 Ω
R2 ∥ 22 = 4·22/(4+22) = 3,385 Ω
Req = R1 + 3,385 = 4 + 3,385 = 7,385 Ω

Ток источника

Источник видит только Req, поэтому закон Ома даёт ток, который он отдаёт. Этот ток течёт через R₁.

IR1 = V1/Req = 12/7,385 = 1,625 A

Ответ

IR1 = 1,625 A
4.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: Req = 32,74 Ω

Последовательное и параллельное соединение: последовательно через каждый резистор течёт один и тот же ток и R = R₁ + R₂ + …. Параллельно на каждом резисторе одно и то же напряжение и 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Лестничную цепь упрощают по одной паре, пока не останется одно эквивалентное сопротивление.

R1​ = 30 ΩR3​ = 3 ΩR5​ = 2 Ω+−V1​12 VR2​4 ΩAR4​30 ΩBR6​5 Ω

Объединяйте резисторы с дальнего конца

Начните с конца, самого дальнего от источника, и двигайтесь к нему. Резисторы с одинаковым током соединены последовательно; резисторы между одними и теми же двумя узлами — параллельно.

R5 + R6 = 2 + 5 = 7 Ω
R4 ∥ 7 = 5,676 Ω
R3 + 5,676 = 8,676 Ω
R2 ∥ 8,676 = 2,738 Ω
Req = R1 + 2,738 = 30 + 2,738 = 32,74 Ω

Ответ

Req = 32,74 Ω
5.Переходные процессы RC и RL

Ответ: t = 0,9734 ms

Переходные процессы первого порядка: в цепи с одним конденсатором или одной катушкой каждое напряжение и каждый ток экспоненциально меняются от начального к конечному значению: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, где τ = RC или τ = L/R. Примерно через 5τ цепь выходит на установившийся режим.

Постоянная времени

τ = L/R = 33 mH / 47 Ω = 0,7021 ms

Выразите время

0,375 = 1,5·e−t/τ → t = τ·ln(1,5/0,375)
t = 0,7021·ln(4) = 0,9734 ms

Ответ

t = 0,9734 ms
6.Переходные процессы RC и RL

Ответ: vC = 0,7505 V

Переходные процессы первого порядка: в цепи с одним конденсатором или одной катушкой каждое напряжение и каждый ток экспоненциально меняются от начального к конечному значению: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, где τ = RC или τ = L/R. Примерно через 5τ цепь выходит на установившийся режим.

Начальное напряжение конденсатора

В установившемся режиме конденсатор — разрыв, поэтому R₁ и R₂ образуют делитель напряжения. Напряжение конденсатора не может измениться скачком при размыкании ключа.

vC(0) = 12·4,7/(1 + 4,7) = 9,895 V

Постоянная времени после размыкания ключа

τ = R2·C = 4,7·33 = 155,1 ms

Разряд

vC(t) = 9,895·e−400/155,1 = 0,7505 V

Ответ

vC = 0,7505 V
7.Магнитные поля и индукция

Ответ: против часовой стрелки

Электромагнитная индукция: поток через контур равен Φ = BA·cos θ, где θ — угол между B и нормалью к контуру. Закон Фарадея: изменение потока наводит в катушке из N витков ЭДС ε = −N·dΦ/dt, а правило Ленца гласит, что индукционный ток течёт так, что его собственное поле противодействует изменению. Стержень, движущийся поперёк поля, даёт ε = BLv. Катушка, вращающаяся с угловой скоростью ω, даёт e = NBAω·sin ωt с амплитудой NBAω. Самоиндукция: ε = −L·di/dt, где L = μ₀N²A/l для длинного соленоида, а запасённая энергия равна W = ½LI². Две связанные катушки: ε₂ = −M·di₁/dt, где M = k√(L₁L₂).

Изменение потока

Поток в плоскость страницы возрастает, или поток из плоскости страницы убывает.

Поле индукционного тока

Индукционный ток противодействует изменению.

Индуцированное поле внутри контура: из плоскости страницы.

Направление тока

Правило правой руки: ток против часовой стрелки создаёт внутри контура поле, направленное из плоскости страницы.

против часовой стрелки

Ответ

против часовой стрелки
8.Магнитные поля и индукция

Ответ: W = 444,1 µJ

Электромагнитная индукция: поток через контур равен Φ = BA·cos θ, где θ — угол между B и нормалью к контуру. Закон Фарадея: изменение потока наводит в катушке из N витков ЭДС ε = −N·dΦ/dt, а правило Ленца гласит, что индукционный ток течёт так, что его собственное поле противодействует изменению. Стержень, движущийся поперёк поля, даёт ε = BLv. Катушка, вращающаяся с угловой скоростью ω, даёт e = NBAω·sin ωt с амплитудой NBAω. Самоиндукция: ε = −L·di/dt, где L = μ₀N²A/l для длинного соленоида, а запасённая энергия равна W = ½LI². Две связанные катушки: ε₂ = −M·di₁/dt, где M = k√(L₁L₂).

Индуктивность

L = μ₀N²A/l = 394,8 µH

Запасённая энергия

W = ½LI² = ½·0,0003948·1,5² = 0,0004441 J = 444,1 µJ

Ответ

W = 444,1 µJ
9.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: P = 1,295 W

Цепи переменного тока и комплексный метод: резисторы, катушки и конденсаторы имеют полные сопротивления R, jωL и 1/(jωC), где ω = 2πf. При последовательном соединении полные сопротивления складываются как сопротивления, но как комплексные числа. Действующие значения тока и напряжения подчиняются закону Ома с |Z|.

Реактивные сопротивления

XL = 125,7 Ω, XC = 159,2 Ω

Полное сопротивление

|Z| = √(100² + (−33,49)²) = 105,5 Ω

Активная мощность

Катушки и конденсаторы только запасают и возвращают энергию; всю активную мощность потребляет резистор.

I = 12/105,5 = 0,1138 A
P = I²·R = 0,1138²·100 = 1,295 W

Ответ

P = 1,295 W
10.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: VL = 141,4 V

Цепи переменного тока и комплексный метод: резисторы, катушки и конденсаторы имеют полные сопротивления R, jωL и 1/(jωC), где ω = 2πf. При последовательном соединении полные сопротивления складываются как сопротивления, но как комплексные числа. Действующие значения тока и напряжения подчиняются закону Ома с |Z|.

Резонанс

При резонансе реактивные сопротивления компенсируются, поэтому полное сопротивление равно просто R.

ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(0,05·10·10⁻⁶) = 1414 rad/s
I = V/R = 10/5 = 2 A

Напряжение на катушке

XL = ω₀L = 1414·0,05 = 70,71 Ω
VL = I·XL = 2·70,71 = 141,4 V

Ответ

VL = 141,4 V

Это в Q = 14,14 раз больше напряжения источника.

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism