Физика 2: Электричество и магнетизм: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (10) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Закон Кулона и электрическое поле

Закон Кулона: F = k·|q₁q₂|/r²
Поле точечного заряда: E = k·|q|/r²
Постоянная: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Сила, действующая на заряд: F = q·E

Последовательные и параллельные резисторы

Последовательное соединение резисторов: R_eq = R₁ + R₂ + …
Параллельное соединение резисторов: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Два параллельно: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Закон Ома: V = I·R
Мощность: P = V·I = I²R = V²/R

Метод

Начните с конца цепи, наиболее удалённого от зажимов.
Последовательные резисторы складывайте, а параллельные объединяйте по формуле 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
После каждого шага перерисовывайте схему.
Повторяйте, пока между зажимами не останется один резистор.

Переходные процессы RC и RL

Постоянная времени: τ = RC | τ = L/R
Отклик: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Конденсатор на постоянном токе: разрыв; v_C не может измениться скачком
Катушка на постоянном токе: короткое замыкание; i_L не может измениться скачком
Установившийся режим: t ≈ 5τ

Метод

Найдите начальное значение сразу после коммутации: напряжение на конденсаторе и ток в катушке не могут изменяться скачком.
Найдите установившееся значение спустя долгое время после коммутации: конденсатор ведёт себя как разрыв, катушка — как короткое замыкание.
Найдите постоянную времени: τ = RC или τ = L/R, где берётся сопротивление со стороны конденсатора или катушки.
Используйте x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Магнитные поля и индукция

Длинный прямой провод: B = μ₀I/(2πr)
Центр плоской катушки: B = μ₀NI/(2R)
Длинный соленоид: B = μ₀nI, n = N/L
Постоянная: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Сила, действующая на провод: F = BIL·sin θ
Сила, действующая на заряд: F = |q|vB·sin θ
Движение по окружности: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Параллельные провода: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Поток: Φ = BA·cos θ
Закон Фарадея: ε = −N·ΔΦ/Δt
Движущийся стержень: ε = BLv
Генератор: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Индуктивность: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Взаимная индуктивность: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Селектор скоростей и спектрометр: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Метод

Переведите каждую величину в единицы СИ: cm в m, cm² в m², mT и µT в T.
Выберите правильную формулу: B = μ₀I/(2πr) для провода, μ₀NI/(2R) для центра катушки, μ₀nI внутри соленоида; F = BIL·sin θ или |q|vB·sin θ для сил.
Для индукции найдите изменение потока ΔΦ = Δ(BA·cos θ) и используйте ε = N·ΔΦ/Δt, либо ε = BLv для движущегося стержня и NBAω для вращающейся катушки.
Направления находите отдельно по правилам правой руки, а для индукционных токов — по правилу Ленца.

Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Полные сопротивления: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Угловая частота: ω = 2πf
Модуль и угол: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексной форме: V = I·Z

Метод

Переведите частоту: ω = 2πf.
Найдите каждое реактивное сопротивление: X_L = ωL и X_C = 1/(ωC).
Складывайте сопротивления как у резисторов, с Z = R + jX.
Найдите модуль |Z| = √(R² + X²) и угол φ = atan(X/R), затем примените закон Ома для комплексных амплитуд.

2Тренировочные задачи

1.Закон Кулона и электрическое полеСредняя

Заряд +10 µC и заряд −4 µC находятся на расстоянии 10 cm друг от друга. Точка P лежит на прямой между ними на расстоянии 5 cm от первого заряда. Найдите модуль напряжённости электрического поля E в точке P.

q₁ = +10 µCq₂ = −4 µCr₁ = 5 cmr₂ = 5 cm

E = N/C

2.Закон Кулона и электрическое полеСложная

Три положительных точечных заряда находятся в вершинах прямоугольного треугольника: q₃ = 10 µC — в вершине прямого угла, q₁ = 5 µC — на расстоянии 8 cm от неё вдоль одного катета, q₂ = 1 µC — на расстоянии 4 cm от неё вдоль другого катета. Найдите модуль результирующей электрической силы F, действующей на q₃.

q₁ = 5 µCq₂ = 1 µCq₃ = 10 µCr₁₃ = 8 cmr₂₃ = 4 cm

F = N

3.Последовательные и параллельные резисторыСредняя

Найдите эквивалентное сопротивление R_eq, которое видит источник V₁.

V₁ = 10 VR₁ = 4 ΩR₂ = 12 ΩR₃ = 4 ΩR₄ = 3 Ω

R_eq = Ω

4.Последовательные и параллельные резисторыСложная

Найдите эквивалентное сопротивление R_eq, которое видит источник V₁.

V₁ = 6 VR₁ = 12 ΩR₂ = 25 ΩR₃ = 30 ΩR₄ = 4 ΩR₅ = 30 ΩR₆ = 10 Ω

R_eq = Ω

5.Переходные процессы RC и RLСредняя

До замыкания ключа в момент t = 0 тока через катушку нет. Найдите ток i в момент t = 1 ms.

V_s = 10 VR = 100 ΩL = 10 mHt = 1 ms

i = A

6.Переходные процессы RC и RLСложная

Ключ был замкнут долгое время, поэтому цепь находится в установившемся режиме. При t = 0 ключ размыкается. Найдите ток i₂ через R₂ при t = 500 ms.

V_s = 12 VR₁ = 6,8 kΩR₂ = 3,3 kΩC = 68 µFt = 500 ms

i₂ = mA

7.Магнитные поля и индукцияСредняя

Два длинных параллельных провода на расстоянии 4 cm друг от друга проводят токи 15 A и 12 A в одном направлении. Найдите силу на метр длины F/L между ними.

I₁ = 15 AI₂ = 12 Ad = 4 cmμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A

F/L = µN/m

8.Магнитные поля и индукцияСложная

Длинный соленоид без сердечника имеет 400 витков, длину 20 cm и диаметр 3 cm. Найдите энергию W, запасённую в его магнитном поле, когда по нему течёт ток 0,5 A.

N = 400l = 20 cm⌀ = 3 cmI = 0,5 Aμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A

W = µJ

9.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСредняя

Последовательная цепь RLC подключена к сети 230 V (действующее значение), 50 Hz. Найдите коэффициент мощности cos φ цепи.

V = 230 V (rms)f = 50 HzR = 80 ΩL = 50 mHC = 10 µF

cos φ =

10.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСложная

Последовательный RLC-контур имеет R = 2 Ω, L = 1 mH и C = 0,022 µF. Найдите его добротность Q при резонансе.

R = 2 ΩL = 1 mHC = 0,022 µF

Q =

3Растворы

1.Закон Кулона и электрическое поле

Ответ: E = 5,034 × 10⁷ N/C

Закон Кулона: два точечных заряда притягиваются или отталкиваются с силой F = k·|q₁·q₂|/r², где k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². Напряжённость поля точечного заряда E = k·|q|/r²; поле направлено от положительного заряда и к отрицательному. Силы и поля от нескольких зарядов складываются как векторы.

Поле каждого заряда

E₁ = k·10 × 10⁻⁶/0,05² = 3,596 × 10⁷ N/C

E₂ = k·4 × 10⁻⁶/0,05² = 1,438 × 10⁷ N/C

Направления и сумма

Первое поле направлено от положительного заряда, второе — к отрицательному: оба направлены в одну сторону.

E = |3,596 × 10⁷ + 1,438 × 10⁷| = 5,034 × 10⁷ N/C

Ответ

E = 5,034 × 10⁷ N/C

2.Закон Кулона и электрическое поле

Ответ: F = 89,94 N

Каждая сила, действующая на q₃

F₁ = k·5·10 × 10⁻¹²/0,08² = 70,23 N

F₂ = k·1·10 × 10⁻¹²/0,04² = 56,19 N

Векторная сумма

F = √(70,23² + 56,19²) = 89,94 N

Ответ

F = 89,94 N

3.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: R_eq = 8,421 Ω

Последовательное и параллельное соединение: последовательно через каждый резистор течёт один и тот же ток и R = R₁ + R₂ + …. Параллельно на каждом резисторе одно и то же напряжение и 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Лестничную цепь упрощают по одной паре, пока не останется одно эквивалентное сопротивление.

Объединяйте резисторы с дальнего конца

Начните с конца, самого дальнего от источника, и двигайтесь к нему. Резисторы с одинаковым током соединены последовательно; резисторы между одними и теми же двумя узлами — параллельно.

R₃ + R₄ = 4 + 3 = 7 Ω

R₂ ∥ 7 = 12·7/(12+7) = 4,421 Ω

R_eq = R₁ + 4,421 = 4 + 4,421 = 8,421 Ω

Ответ

R_eq = 8,421 Ω

4.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: R_eq = 26,34 Ω

Объединяйте резисторы с дальнего конца

R₅ + R₆ = 30 + 10 = 40 Ω

R₄ ∥ 40 = 3,636 Ω

R₃ + 3,636 = 33,64 Ω

R₂ ∥ 33,64 = 14,34 Ω

R_eq = R₁ + 14,34 = 12 + 14,34 = 26,34 Ω

Ответ

R_eq = 26,34 Ω

5.Переходные процессы RC и RL

Ответ: i = 0,1 A

Переходные процессы первого порядка: в цепи с одним конденсатором или одной катушкой каждое напряжение и каждый ток экспоненциально меняются от начального к конечному значению: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, где τ = RC или τ = L/R. Примерно через 5τ цепь выходит на установившийся режим.

Постоянная времени и конечный ток

Спустя долгое время после замыкания катушка ведёт себя как короткое замыкание, поэтому конечный ток определяется только R.

τ = L/R = 10 mH / 100 Ω = 0,1 ms

i(∞) = V_s/R = 10/100 = 0,1 A

Ток в заданный момент

i(t) = i(∞)·(1 − e^−t/τ) = 0,1·(1 − e^−1/0,1) = 0,1 A

Ответ

i = 0,1 A

6.Переходные процессы RC и RL

Ответ: i₂ = 0,128 mA

Начальное напряжение конденсатора

В установившемся режиме конденсатор — разрыв, поэтому R₁ и R₂ образуют делитель напряжения. Напряжение конденсатора не может измениться скачком при размыкании ключа.

v_C(0) = 12·3,3/(6,8 + 3,3) = 3,921 V

Постоянная времени после размыкания ключа

τ = R₂·C = 3,3·68 = 224,4 ms

Разряд

v_C(t) = 3,921·e^−500/224,4 = 0,4224 V

i₂ = v_C/R₂ = 0,4224/3,3 = 0,128 mA

Ответ

i₂ = 0,128 mA

7.Магнитные поля и индукция

Ответ: F/L = 900 µN/m

Магнитные силы: на прямой провод с током I в поле B действует сила F = BIL·sin θ, а на движущийся заряд — F = |q|vB·sin θ, где θ — угол между током (или скоростью) и B. Сила перпендикулярна им обоим: направьте пальцы правой руки вдоль I или v, согните их к B, и большой палец покажет F для положительного заряда; для отрицательного заряда направление меняется на противоположное. Поскольку F перпендикулярна v, заряд, движущийся поперёк однородного поля, движется по окружности: |q|vB = mv²/r даёт r = mv/(|q|B) и период T = 2πm/(|q|B), не зависящий от скорости. Два параллельных провода притягиваются при токах в одном направлении: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).

Сила на метр

F/L = μ₀I₁I₂/(2πd) = 2 × 10⁻⁷·15·12/0,04 = 900 µN/m

Ответ

F/L = 900 µN/m

Токи одного направления притягиваются.

8.Магнитные поля и индукция

Ответ: W = 88,83 µJ

Электромагнитная индукция: поток через контур равен Φ = BA·cos θ, где θ — угол между B и нормалью к контуру. Закон Фарадея: изменение потока наводит в катушке из N витков ЭДС ε = −N·dΦ/dt, а правило Ленца гласит, что индукционный ток течёт так, что его собственное поле противодействует изменению. Стержень, движущийся поперёк поля, даёт ε = BLv. Катушка, вращающаяся с угловой скоростью ω, даёт e = NBAω·sin ωt с амплитудой NBAω. Самоиндукция: ε = −L·di/dt, где L = μ₀N²A/l для длинного соленоида, а запасённая энергия равна W = ½LI². Две связанные катушки: ε₂ = −M·di₁/dt, где M = k√(L₁L₂).

Индуктивность

L = μ₀N²A/l = 710,6 µH

Запасённая энергия

W = ½LI² = ½·0,0007106·0,5² = 8,883 × 10⁻⁵ J = 88,83 µJ

Ответ

W = 88,83 µJ

9.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: cos φ = 0,2556

Цепи переменного тока и комплексный метод: резисторы, катушки и конденсаторы имеют полные сопротивления R, jωL и 1/(jωC), где ω = 2πf. При последовательном соединении полные сопротивления складываются как сопротивления, но как комплексные числа. Действующие значения тока и напряжения подчиняются закону Ома с |Z|.

Реактивные сопротивления

X_L = 15,71 Ω, X_C = 318,3 Ω

Полное сопротивление

|Z| = √(80² + (−302,6)²) = 313 Ω

Коэффициент мощности

cos φ = R/|Z| = 80/313 = 0,2556

Цепь ёмкостная, поэтому коэффициент мощности опережающий.

Ответ

cos φ = 0,2556

10.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: Q = 106,6

Резонансная частота

f₀ = 1/(2π·√(0,001·0,022·10⁻⁶)) = 33932 Hz

Добротность

Добротность сравнивает реактивное сопротивление при резонансе с активным: Q = ω₀L/R.

Q = (1/R)·√(L/C) = (1/2)·√(0,001/(0,022·10⁻⁶)) = 106,6

Ответ

Q = 106,6

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism