Физика 2: Электричество и магнетизм: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (10) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Закон Кулона и электрическое поле

Закон Кулона: F = k·|q₁q₂|/r²
Поле точечного заряда: E = k·|q|/r²
Постоянная: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Сила, действующая на заряд: F = q·E

Последовательные и параллельные резисторы

Последовательное соединение резисторов: R_eq = R₁ + R₂ + …
Параллельное соединение резисторов: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Два параллельно: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Закон Ома: V = I·R
Мощность: P = V·I = I²R = V²/R

Метод

Начните с конца цепи, наиболее удалённого от зажимов.
Последовательные резисторы складывайте, а параллельные объединяйте по формуле 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
После каждого шага перерисовывайте схему.
Повторяйте, пока между зажимами не останется один резистор.

Переходные процессы RC и RL

Постоянная времени: τ = RC | τ = L/R
Отклик: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Конденсатор на постоянном токе: разрыв; v_C не может измениться скачком
Катушка на постоянном токе: короткое замыкание; i_L не может измениться скачком
Установившийся режим: t ≈ 5τ

Метод

Найдите начальное значение сразу после коммутации: напряжение на конденсаторе и ток в катушке не могут изменяться скачком.
Найдите установившееся значение спустя долгое время после коммутации: конденсатор ведёт себя как разрыв, катушка — как короткое замыкание.
Найдите постоянную времени: τ = RC или τ = L/R, где берётся сопротивление со стороны конденсатора или катушки.
Используйте x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Магнитные поля и индукция

Длинный прямой провод: B = μ₀I/(2πr)
Центр плоской катушки: B = μ₀NI/(2R)
Длинный соленоид: B = μ₀nI, n = N/L
Постоянная: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Сила, действующая на провод: F = BIL·sin θ
Сила, действующая на заряд: F = |q|vB·sin θ
Движение по окружности: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Параллельные провода: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Поток: Φ = BA·cos θ
Закон Фарадея: ε = −N·ΔΦ/Δt
Движущийся стержень: ε = BLv
Генератор: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Индуктивность: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Взаимная индуктивность: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Селектор скоростей и спектрометр: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Метод

Переведите каждую величину в единицы СИ: cm в m, cm² в m², mT и µT в T.
Выберите правильную формулу: B = μ₀I/(2πr) для провода, μ₀NI/(2R) для центра катушки, μ₀nI внутри соленоида; F = BIL·sin θ или |q|vB·sin θ для сил.
Для индукции найдите изменение потока ΔΦ = Δ(BA·cos θ) и используйте ε = N·ΔΦ/Δt, либо ε = BLv для движущегося стержня и NBAω для вращающейся катушки.
Направления находите отдельно по правилам правой руки, а для индукционных токов — по правилу Ленца.

Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Полные сопротивления: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Угловая частота: ω = 2πf
Модуль и угол: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексной форме: V = I·Z

Метод

Переведите частоту: ω = 2πf.
Найдите каждое реактивное сопротивление: X_L = ωL и X_C = 1/(ωC).
Складывайте сопротивления как у резисторов, с Z = R + jX.
Найдите модуль |Z| = √(R² + X²) и угол φ = atan(X/R), затем примените закон Ома для комплексных амплитуд.

2Тренировочные задачи

1.Закон Кулона и электрическое полеСредняя

Три точечных заряда лежат на одной прямой: +2 µC слева, −4 µC справа на расстоянии 20 cm и +4 µC между ними, на расстоянии 15 cm от левого заряда. Найдите модуль результирующей электрической силы F, действующей на средний заряд. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

q_L = +2 µCq_R = −4 µCq_M = +4 µCr_L = 15 cmr_R = 5 cm

F = N

2.Закон Кулона и электрическое полеСложная

Три положительных точечных заряда находятся в вершинах прямоугольного треугольника: q₃ = 8 µC — в вершине прямого угла, q₁ = 8 µC — на расстоянии 10 cm от неё вдоль одного катета, q₂ = 8 µC — на расстоянии 3 cm от неё вдоль другого катета. Найдите модуль результирующей электрической силы F, действующей на q₃.

q₁ = 8 µCq₂ = 8 µCq₃ = 8 µCr₁₃ = 10 cmr₂₃ = 3 cm

F = N

3.Последовательные и параллельные резисторыСредняя

Найдите ток I_R1, отдаваемый источником и текущий через R₁.

V₁ = 12 VR₁ = 6 ΩR₂ = 2 ΩR₃ = 12 ΩR₄ = 10 Ω

I_R1 = A

4.Последовательные и параллельные резисторыСложная

Найдите ток I_R2 через R₂.

V₁ = 15 VR₁ = 12 ΩR₂ = 5 ΩR₃ = 15 ΩR₄ = 20 ΩR₅ = 30 ΩR₆ = 8 Ω

I_R2 = A

5.Переходные процессы RC и RLСредняя

До замыкания ключа в момент t = 0 тока через катушку нет. Через какое время после замыкания ключа ток достигнет 50% конечного значения? Найдите t.

V_s = 6 VR = 100 ΩL = 150 mH

t = ms

6.Переходные процессы RC и RLСложная

Непосредственно перед замыканием ключа в момент t = 0 конденсатор заряжен до 18 V с указанной полярностью. Через какое время v_C достигнет 10,8 V? Найдите t.

V_s = 6 VR = 2,2 kΩC = 68 µFv_C(0) = 18 V

t = ms

7.Магнитные поля и индукцияСредняя

Металлический стержень длиной 80 cm скользит со скоростью 5 m/s по двум рельсам в однородном поле 0,1 T, направленном в плоскость рисунка. Рельсы соединены резистором 4 Ω; сопротивлением стержня и рельсов можно пренебречь. Найдите мощность P, рассеиваемую в резисторе.

B = 0,1 TL = 80 cmv = 5 m/sR = 4 Ω

P = mW

8.Магнитные поля и индукцияСложная

Ток в катушке индуктивностью 40 mH равномерно меняется от 2 A до 4 A за 10 ms. Найдите модуль ЭДС самоиндукции ε.

L = 40 mH2 A → 4 AΔt = 10 ms

ε = V

9.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСредняя

Последовательная цепь RLC подключена к сети 12 V (действующее значение), 60 Hz. Найдите действующее значение тока I.

V = 12 V (rms)f = 60 HzR = 40 ΩL = 20 mHC = 10 µF

I = A

10.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСложная

Резистор R₁ включён последовательно с параллельным соединением R₂ и конденсатора C в сеть 50 V (действующее значение), 100 Hz. Найдите действующее значение тока I.

V = 50 V (rms)f = 100 HzR₁ = 20 ΩR₂ = 20 ΩC = 100 µF

I = A

3Растворы

1.Закон Кулона и электрическое поле

Ответ: F = 60,73 N

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Сила от каждого заряда

Направление вправо положительно.

F_L = +k·2·4 × 10⁻¹²/0,15² = 3,196 N

F_R = +k·4·4 × 10⁻¹²/0,05² = 57,54 N

Результирующая сила

F = 3,196 + (57,54) = 60,73 N → |F| = 60,73 N

Ответ

F = 60,73 N

Результирующая сила направлена вправо.

2.Закон Кулона и электрическое поле

Ответ: F = 641,9 N

Закон Кулона: два точечных заряда притягиваются или отталкиваются с силой F = k·|q₁·q₂|/r², где k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². Напряжённость поля точечного заряда E = k·|q|/r²; поле направлено от положительного заряда и к отрицательному. Силы и поля от нескольких зарядов складываются как векторы.

Каждая сила, действующая на q₃

F₁ = k·8·8 × 10⁻¹²/0,1² = 57,54 N

F₂ = k·8·8 × 10⁻¹²/0,03² = 639,3 N

Векторная сумма

F = √(57,54² + 639,3²) = 641,9 N

Ответ

F = 641,9 N

3.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: I_R1 = 1,532 A

Последовательное и параллельное соединение: последовательно через каждый резистор течёт один и тот же ток и R = R₁ + R₂ + …. Параллельно на каждом резисторе одно и то же напряжение и 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Лестничную цепь упрощают по одной паре, пока не останется одно эквивалентное сопротивление.

Объединяйте резисторы с дальнего конца

Начните с конца, самого дальнего от источника, и двигайтесь к нему. Резисторы с одинаковым током соединены последовательно; резисторы между одними и теми же двумя узлами — параллельно.

R₃ + R₄ = 12 + 10 = 22 Ω

R₂ ∥ 22 = 2·22/(2+22) = 1,833 Ω

R_eq = R₁ + 1,833 = 6 + 1,833 = 7,833 Ω

Ток источника

Источник видит только R_eq, поэтому закон Ома даёт ток, который он отдаёт. Этот ток течёт через R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 12/7,833 = 1,532 A

Ответ

I_R1 = 1,532 A

4.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: I_R2 = 0,7839 A

Объединяйте резисторы с дальнего конца

R₅ + R₆ = 30 + 8 = 38 Ω

R₄ ∥ 38 = 13,1 Ω

R₃ + 13,1 = 28,1 Ω

R₂ ∥ 28,1 = 4,245 Ω

R_eq = R₁ + 4,245 = 12 + 4,245 = 16,24 Ω

Ток источника

Источник видит только R_eq, поэтому закон Ома даёт ток, который он отдаёт. Этот ток течёт через R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 15/16,24 = 0,9234 A

Ток через R₂

Вычтите падение на R₁, чтобы получить напряжение в узле A, то есть напряжение на R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 15 − 0,9234·12 = 3,92 V

I_R2 = V_A/R₂ = 3,92/5 = 0,7839 A

Ответ

I_R2 = 0,7839 A

5.Переходные процессы RC и RL

Ответ: t = 1,04 ms

Переходные процессы первого порядка: в цепи с одним конденсатором или одной катушкой каждое напряжение и каждый ток экспоненциально меняются от начального к конечному значению: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, где τ = RC или τ = L/R. Примерно через 5τ цепь выходит на установившийся режим.

Постоянная времени и конечный ток

Спустя долгое время после замыкания катушка ведёт себя как короткое замыкание, поэтому конечный ток определяется только R.

τ = L/R = 150 mH / 100 Ω = 1,5 ms

i(∞) = V_s/R = 6/100 = 0,06 A

Выразите время

0,5 = 1 − e^−t/τ → t = −τ·ln(1 − 0,5)

t = −1,5·ln(0,5) = 1,04 ms

Ответ

t = 1,04 ms

6.Переходные процессы RC и RL

Ответ: t = 137,1 ms

Начальное значение, конечное значение, постоянная времени

Напряжение на конденсаторе не может измениться скачком, поэтому оно начинается с накопленного значения и стремится к напряжению источника.

v_C(0) = 18 V, v_C(∞) = V_s = 6 V

τ = R·C = 2,2 kΩ · 68 µF = 149,6 ms

v_C(t) = 6 + (18 − 6)·e^−t/τ

Выразите время

10,8 = 6 + (12)·e^−t/τ → e^−t/τ = (10,8 − 6)/(18 − 6) = 0,4

t = τ·ln((18 − 6)/(10,8 − 6)) = 149,6·ln(2,5) = 137,1 ms

Ответ

t = 137,1 ms

7.Магнитные поля и индукция

Ответ: P = 40 mW

Электромагнитная индукция: поток через контур равен Φ = BA·cos θ, где θ — угол между B и нормалью к контуру. Закон Фарадея: изменение потока наводит в катушке из N витков ЭДС ε = −N·dΦ/dt, а правило Ленца гласит, что индукционный ток течёт так, что его собственное поле противодействует изменению. Стержень, движущийся поперёк поля, даёт ε = BLv. Катушка, вращающаяся с угловой скоростью ω, даёт e = NBAω·sin ωt с амплитудой NBAω. Самоиндукция: ε = −L·di/dt, где L = μ₀N²A/l для длинного соленоида, а запасённая энергия равна W = ½LI². Две связанные катушки: ε₂ = −M·di₁/dt, где M = k√(L₁L₂).

ЭДС движения

ε = BLv = 0,1·0,8·5 = 0,4 V

Ток

I = ε/R = 0,4/4 = 0,1 A

Мощность

P = εI = 0,4·0,1 = 0,04 W

Ответ

P = 40 mW

8.Магнитные поля и индукция

Ответ: ε = 8 V

ЭДС самоиндукции

ЭДС противодействует изменению тока (Ленц), поэтому её знак противоположен ΔI; по модулю она равна L·|ΔI|/Δt.

ε = L·ΔI/Δt = 0,04·2/0,01 = 8 V

Ответ

ε = 8 V

9.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: I = 0,04601 A

Цепи переменного тока и комплексный метод: резисторы, катушки и конденсаторы имеют полные сопротивления R, jωL и 1/(jωC), где ω = 2πf. При последовательном соединении полные сопротивления складываются как сопротивления, но как комплексные числа. Действующие значения тока и напряжения подчиняются закону Ома с |Z|.

Реактивные сопротивления

ω = 2πf = 2π·60 = 377 rad/s

X_L = ωL = 377·0,02 = 7,54 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(377·10·10⁻⁶) = 265,3 Ω

Полное сопротивление

При последовательном соединении полные сопротивления складываются как комплексные числа: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(40² + (−257,7)²) = 260,8 Ω

Ток

Через каждый элемент последовательной цепи течёт один и тот же ток.

I = V/|Z| = 12/260,8 = 0,04601 A

Ответ

I = 0,04601 A

10.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: I = 1,7 A

Реактивное сопротивление

X_C = 1/(2π·100·100·10⁻⁶) = 15,92 Ω

Параллельное соединение

Умножьте числитель и знаменатель на комплексно сопряжённое число, чтобы разделить Z_p на действительную и мнимую части.

Z_p = R₂·(−jX_C)/(R₂ − jX_C) = (R₂·X_C² − jR₂²·X_C)/(R₂² + X_C²)

Z_p = 7,755 − j9,745 Ω

Полное сопротивление цепи

Z = 20 + 7,755 − j9,745 = 27,75 − j9,745 Ω

|Z| = √(27,75² + 9,745²) = 29,42 Ω

Ток

I = V/|Z| = 50/29,42 = 1,7 A

Ответ

I = 1,7 A

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism