Физика 2: Электричество и магнетизм: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (10) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Закон Кулона и электрическое поле

Закон Кулона: F = k·|q₁q₂|/r²
Поле точечного заряда: E = k·|q|/r²
Постоянная: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Сила, действующая на заряд: F = q·E

Последовательные и параллельные резисторы

Последовательное соединение резисторов: R_eq = R₁ + R₂ + …
Параллельное соединение резисторов: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Два параллельно: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Закон Ома: V = I·R
Мощность: P = V·I = I²R = V²/R

Метод

Начните с конца цепи, наиболее удалённого от зажимов.
Последовательные резисторы складывайте, а параллельные объединяйте по формуле 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
После каждого шага перерисовывайте схему.
Повторяйте, пока между зажимами не останется один резистор.

Переходные процессы RC и RL

Постоянная времени: τ = RC | τ = L/R
Отклик: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Конденсатор на постоянном токе: разрыв; v_C не может измениться скачком
Катушка на постоянном токе: короткое замыкание; i_L не может измениться скачком
Установившийся режим: t ≈ 5τ

Метод

Найдите начальное значение сразу после коммутации: напряжение на конденсаторе и ток в катушке не могут изменяться скачком.
Найдите установившееся значение спустя долгое время после коммутации: конденсатор ведёт себя как разрыв, катушка — как короткое замыкание.
Найдите постоянную времени: τ = RC или τ = L/R, где берётся сопротивление со стороны конденсатора или катушки.
Используйте x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Магнитные поля и индукция

Длинный прямой провод: B = μ₀I/(2πr)
Центр плоской катушки: B = μ₀NI/(2R)
Длинный соленоид: B = μ₀nI, n = N/L
Постоянная: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Сила, действующая на провод: F = BIL·sin θ
Сила, действующая на заряд: F = |q|vB·sin θ
Движение по окружности: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Параллельные провода: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Поток: Φ = BA·cos θ
Закон Фарадея: ε = −N·ΔΦ/Δt
Движущийся стержень: ε = BLv
Генератор: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Индуктивность: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Взаимная индуктивность: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Селектор скоростей и спектрометр: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Метод

Переведите каждую величину в единицы СИ: cm в m, cm² в m², mT и µT в T.
Выберите правильную формулу: B = μ₀I/(2πr) для провода, μ₀NI/(2R) для центра катушки, μ₀nI внутри соленоида; F = BIL·sin θ или |q|vB·sin θ для сил.
Для индукции найдите изменение потока ΔΦ = Δ(BA·cos θ) и используйте ε = N·ΔΦ/Δt, либо ε = BLv для движущегося стержня и NBAω для вращающейся катушки.
Направления находите отдельно по правилам правой руки, а для индукционных токов — по правилу Ленца.

Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Полные сопротивления: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Угловая частота: ω = 2πf
Модуль и угол: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексной форме: V = I·Z

Метод

Переведите частоту: ω = 2πf.
Найдите каждое реактивное сопротивление: X_L = ωL и X_C = 1/(ωC).
Складывайте сопротивления как у резисторов, с Z = R + jX.
Найдите модуль |Z| = √(R² + X²) и угол φ = atan(X/R), затем примените закон Ома для комплексных амплитуд.

2Тренировочные задачи

1.Закон Кулона и электрическое полеСредняя

Заряд +1 µC и заряд +4 µC находятся на расстоянии 50 cm друг от друга. Точка P лежит на прямой между ними на расстоянии 12,5 cm от первого заряда. Найдите модуль напряжённости электрического поля E в точке P.

q₁ = +1 µCq₂ = +4 µCr₁ = 12,5 cmr₂ = 37,5 cm

E = N/C

2.Закон Кулона и электрическое полеСложная

Три положительных точечных заряда находятся в вершинах прямоугольного треугольника: q₃ = 1 µC — в вершине прямого угла, q₁ = 1 µC — на расстоянии 8 cm от неё вдоль одного катета, q₂ = 6 µC — на расстоянии 8 cm от неё вдоль другого катета. Найдите модуль результирующей электрической силы F, действующей на q₃.

q₁ = 1 µCq₂ = 6 µCq₃ = 1 µCr₁₃ = 8 cmr₂₃ = 8 cm

F = N

3.Последовательные и параллельные резисторыСредняя

Найдите ток I_R2 через R₂.

V₁ = 24 VR₁ = 3 ΩR₂ = 6 ΩR₃ = 20 ΩR₄ = 3 Ω

I_R2 = A

4.Последовательные и параллельные резисторыСложная

Найдите ток I_R2 через R₂.

V₁ = 10 VR₁ = 12 ΩR₂ = 2 ΩR₃ = 12 ΩR₄ = 30 ΩR₅ = 25 ΩR₆ = 3 Ω

I_R2 = A

5.Переходные процессы RC и RLСредняя

До замыкания ключа в момент t = 0 тока через катушку нет. Через какое время после замыкания ключа ток достигнет 80% конечного значения? Найдите t.

V_s = 20 VR = 22 ΩL = 150 mH

t = ms

6.Переходные процессы RC и RLСложная

Непосредственно перед замыканием ключа в момент t = 0 конденсатор заряжен до 8 V с указанной полярностью. Через какое время v_C достигнет 9,2 V? Найдите t.

V_s = 12 VR = 2,2 kΩC = 22 µFv_C(0) = 8 V

t = ms

7.Магнитные поля и индукцияСредняя

Катушка из 200 витков площадью 100 cm² и сопротивлением 10 Ω образует замкнутую цепь. Однородное поле, перпендикулярное катушке, равномерно растёт от 0,1 T до 0,4 T за 250 ms. Найдите средний индукционный ток I.

N = 200A = 100 cm²B: 0,1 T → 0,4 TΔt = 250 msR = 10 Ω

I = mA

8.Магнитные поля и индукцияСложная

Катушка из 500 витков размером 12 cm × 25 cm вращается с частотой 600 rpm в однородном поле 0,2 T вокруг оси, перпендикулярной полю. Найдите действующее значение E_rms ЭДС.

N = 500A = 12 cm × 25 cmB = 0,2 Tn = 600 rpm

E_rms = V

9.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСредняя

Последовательная цепь RLC подключена к сети 12 V (действующее значение), 1000 Hz. Найдите угол сдвига фаз φ полного сопротивления в градусах (положительный, когда ток отстаёт от напряжения).

V = 12 V (rms)f = 1000 HzR = 80 ΩL = 50 mHC = 2,2 µF

φ = °

10.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСложная

Последовательная цепь RLC подключена к сети 10 V (действующее значение), 100 Hz. Найдите действующее значение напряжения V_C на конденсаторе.

V = 10 V (rms)f = 100 HzR = 100 ΩL = 150 mHC = 2,2 µF

V_C = V

3Растворы

1.Закон Кулона и электрическое поле

Ответ: E = 319644 N/C

Закон Кулона: два точечных заряда притягиваются или отталкиваются с силой F = k·|q₁·q₂|/r², где k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². Напряжённость поля точечного заряда E = k·|q|/r²; поле направлено от положительного заряда и к отрицательному. Силы и поля от нескольких зарядов складываются как векторы.

Поле каждого заряда

E₁ = k·1 × 10⁻⁶/0,125² = 575360 N/C

E₂ = k·4 × 10⁻⁶/0,375² = 255716 N/C

Направления и сумма

Оба заряда положительны: в точке P их поля направлены от соответствующего заряда, то есть в противоположные стороны.

E = |575360 − 255716| = 319644 N/C

Ответ

E = 319644 N/C

2.Закон Кулона и электрическое поле

Ответ: F = 8,544 N

Каждая сила, действующая на q₃

F₁ = k·1·1 × 10⁻¹²/0,08² = 1,405 N

F₂ = k·6·1 × 10⁻¹²/0,08² = 8,428 N

Векторная сумма

F = √(1,405² + 8,428²) = 8,544 N

Ответ

F = 8,544 N

3.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: I_R2 = 2,453 A

Последовательное и параллельное соединение: последовательно через каждый резистор течёт один и тот же ток и R = R₁ + R₂ + …. Параллельно на каждом резисторе одно и то же напряжение и 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Лестничную цепь упрощают по одной паре, пока не останется одно эквивалентное сопротивление.

Объединяйте резисторы с дальнего конца

Начните с конца, самого дальнего от источника, и двигайтесь к нему. Резисторы с одинаковым током соединены последовательно; резисторы между одними и теми же двумя узлами — параллельно.

R₃ + R₄ = 20 + 3 = 23 Ω

R₂ ∥ 23 = 6·23/(6+23) = 4,759 Ω

R_eq = R₁ + 4,759 = 3 + 4,759 = 7,759 Ω

Ток источника

Источник видит только R_eq, поэтому закон Ома даёт ток, который он отдаёт. Этот ток течёт через R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 24/7,759 = 3,093 A

Ток через R₂

Вычтите падение на R₁, чтобы получить напряжение в узле A, то есть напряжение на R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 24 − 3,093·3 = 14,72 V

I_R2 = V_A/R₂ = 14,72/6 = 2,453 A

Ответ

I_R2 = 2,453 A

4.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: I_R2 = 0,6709 A

Объединяйте резисторы с дальнего конца

R₅ + R₆ = 25 + 3 = 28 Ω

R₄ ∥ 28 = 14,48 Ω

R₃ + 14,48 = 26,48 Ω

R₂ ∥ 26,48 = 1,86 Ω

R_eq = R₁ + 1,86 = 12 + 1,86 = 13,86 Ω

Ток источника

Источник видит только R_eq, поэтому закон Ома даёт ток, который он отдаёт. Этот ток течёт через R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 10/13,86 = 0,7215 A

Ток через R₂

Вычтите падение на R₁, чтобы получить напряжение в узле A, то есть напряжение на R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 10 − 0,7215·12 = 1,342 V

I_R2 = V_A/R₂ = 1,342/2 = 0,6709 A

Ответ

I_R2 = 0,6709 A

5.Переходные процессы RC и RL

Ответ: t = 10,97 ms

Переходные процессы первого порядка: в цепи с одним конденсатором или одной катушкой каждое напряжение и каждый ток экспоненциально меняются от начального к конечному значению: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, где τ = RC или τ = L/R. Примерно через 5τ цепь выходит на установившийся режим.

Постоянная времени и конечный ток

Спустя долгое время после замыкания катушка ведёт себя как короткое замыкание, поэтому конечный ток определяется только R.

τ = L/R = 150 mH / 22 Ω = 6,818 ms

i(∞) = V_s/R = 20/22 = 0,9091 A

Выразите время

0,8 = 1 − e^−t/τ → t = −τ·ln(1 − 0,8)

t = −6,818·ln(0,2) = 10,97 ms

Ответ

t = 10,97 ms

6.Переходные процессы RC и RL

Ответ: t = 17,26 ms

Начальное значение, конечное значение, постоянная времени

Напряжение на конденсаторе не может измениться скачком, поэтому оно начинается с накопленного значения и стремится к напряжению источника.

v_C(0) = 8 V, v_C(∞) = V_s = 12 V

τ = R·C = 2,2 kΩ · 22 µF = 48,4 ms

v_C(t) = 12 + (8 − 12)·e^−t/τ

Выразите время

9,2 = 12 + (−4)·e^−t/τ → e^−t/τ = (9,2 − 12)/(8 − 12) = 0,7

t = τ·ln((8 − 12)/(9,2 − 12)) = 48,4·ln(1,429) = 17,26 ms

Ответ

t = 17,26 ms

7.Магнитные поля и индукция

Ответ: I = 240 mA

Электромагнитная индукция: поток через контур равен Φ = BA·cos θ, где θ — угол между B и нормалью к контуру. Закон Фарадея: изменение потока наводит в катушке из N витков ЭДС ε = −N·dΦ/dt, а правило Ленца гласит, что индукционный ток течёт так, что его собственное поле противодействует изменению. Стержень, движущийся поперёк поля, даёт ε = BLv. Катушка, вращающаяся с угловой скоростью ω, даёт e = NBAω·sin ωt с амплитудой NBAω. Самоиндукция: ε = −L·di/dt, где L = μ₀N²A/l для длинного соленоида, а запасённая энергия равна W = ½LI². Две связанные катушки: ε₂ = −M·di₁/dt, где M = k√(L₁L₂).

Изменение потока на виток

ΔΦ = (0,4 − 0,1)·0,01 = 0,003 Wb

Средняя ЭДС

ε = NΔΦ/Δt = 200·0,003/0,25 = 2,4 V

Ток

I = ε/R = 2,4/10 = 0,24 A

Ответ

I = 240 mA

8.Магнитные поля и индукция

Ответ: E_rms = 133,3 V

Угловая скорость и площадь

ω = 2π·600/60 = 62,83 rad/s

A = 0,03 m²

Амплитудная ЭДС

E₀ = NBAω = 500·0,2·0,03·62,83 = 188,5 V

Действующее значение

E_rms = 188,5/√2 = 133,3 V

Ответ

E_rms = 133,3 V

9.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: φ = 71,69 °

Цепи переменного тока и комплексный метод: резисторы, катушки и конденсаторы имеют полные сопротивления R, jωL и 1/(jωC), где ω = 2πf. При последовательном соединении полные сопротивления складываются как сопротивления, но как комплексные числа. Действующие значения тока и напряжения подчиняются закону Ома с |Z|.

Реактивные сопротивления

ω = 2πf = 2π·1000 = 6283 rad/s

X_L = ωL = 6283·0,05 = 314,2 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(6283·2,2·10⁻⁶) = 72,34 Ω

Полное сопротивление

При последовательном соединении полные сопротивления складываются как комплексные числа: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(80² + (241,8)²) = 254,7 Ω

Угол сдвига фаз

φ = arctan((X_L − X_C)/R) = arctan(241,8/80) = 71,69°

Ответ

φ = 71,69°

10.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: V_C = 11,36 V

Реактивные сопротивления

ω = 2πf = 2π·100 = 628,3 rad/s

X_L = ωL = 628,3·0,15 = 94,25 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(628,3·2,2·10⁻⁶) = 723,4 Ω

Полное сопротивление

При последовательном соединении полные сопротивления складываются как комплексные числа: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(100² + (−629,2)²) = 637,1 Ω

Ток

Через каждый элемент последовательной цепи течёт один и тот же ток.

I = V/|Z| = 10/637,1 = 0,0157 A

Напряжение на конденсаторе

V_C = I·X_C = 0,0157·723,4 = 11,36 V

Ответ

V_C = 11,36 V

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism