Физика 2: Электричество и магнетизм: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (10) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Закон Кулона и электрическое поле

Закон Кулона: F = k·|q₁q₂|/r²
Поле точечного заряда: E = k·|q|/r²
Постоянная: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Сила, действующая на заряд: F = q·E

Последовательные и параллельные резисторы

Последовательное соединение резисторов: R_eq = R₁ + R₂ + …
Параллельное соединение резисторов: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Два параллельно: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Закон Ома: V = I·R
Мощность: P = V·I = I²R = V²/R

Метод

Начните с конца цепи, наиболее удалённого от зажимов.
Последовательные резисторы складывайте, а параллельные объединяйте по формуле 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
После каждого шага перерисовывайте схему.
Повторяйте, пока между зажимами не останется один резистор.

Переходные процессы RC и RL

Постоянная времени: τ = RC | τ = L/R
Отклик: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Конденсатор на постоянном токе: разрыв; v_C не может измениться скачком
Катушка на постоянном токе: короткое замыкание; i_L не может измениться скачком
Установившийся режим: t ≈ 5τ

Метод

Найдите начальное значение сразу после коммутации: напряжение на конденсаторе и ток в катушке не могут изменяться скачком.
Найдите установившееся значение спустя долгое время после коммутации: конденсатор ведёт себя как разрыв, катушка — как короткое замыкание.
Найдите постоянную времени: τ = RC или τ = L/R, где берётся сопротивление со стороны конденсатора или катушки.
Используйте x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Магнитные поля и индукция

Длинный прямой провод: B = μ₀I/(2πr)
Центр плоской катушки: B = μ₀NI/(2R)
Длинный соленоид: B = μ₀nI, n = N/L
Постоянная: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Сила, действующая на провод: F = BIL·sin θ
Сила, действующая на заряд: F = |q|vB·sin θ
Движение по окружности: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Параллельные провода: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Поток: Φ = BA·cos θ
Закон Фарадея: ε = −N·ΔΦ/Δt
Движущийся стержень: ε = BLv
Генератор: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Индуктивность: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Взаимная индуктивность: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Селектор скоростей и спектрометр: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Метод

Переведите каждую величину в единицы СИ: cm в m, cm² в m², mT и µT в T.
Выберите правильную формулу: B = μ₀I/(2πr) для провода, μ₀NI/(2R) для центра катушки, μ₀nI внутри соленоида; F = BIL·sin θ или |q|vB·sin θ для сил.
Для индукции найдите изменение потока ΔΦ = Δ(BA·cos θ) и используйте ε = N·ΔΦ/Δt, либо ε = BLv для движущегося стержня и NBAω для вращающейся катушки.
Направления находите отдельно по правилам правой руки, а для индукционных токов — по правилу Ленца.

Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Полные сопротивления: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Угловая частота: ω = 2πf
Модуль и угол: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексной форме: V = I·Z

Метод

Переведите частоту: ω = 2πf.
Найдите каждое реактивное сопротивление: X_L = ωL и X_C = 1/(ωC).
Складывайте сопротивления как у резисторов, с Z = R + jX.
Найдите модуль |Z| = √(R² + X²) и угол φ = atan(X/R), затем примените закон Ома для комплексных амплитуд.

2Тренировочные задачи

1.Закон Кулона и электрическое полеСредняя

Три точечных заряда лежат на одной прямой: +8 µC слева, +1 µC справа на расстоянии 40 cm и +4 µC между ними, на расстоянии 20 cm от левого заряда. Найдите модуль результирующей электрической силы F, действующей на средний заряд. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

q_L = +8 µCq_R = +1 µCq_M = +4 µCr_L = 20 cmr_R = 20 cm

F = N

2.Закон Кулона и электрическое полеСложная

Три положительных точечных заряда находятся в вершинах прямоугольного треугольника: q₃ = 8 µC — в вершине прямого угла, q₁ = 10 µC — на расстоянии 10 cm от неё вдоль одного катета, q₂ = 6 µC — на расстоянии 10 cm от неё вдоль другого катета. Найдите модуль результирующей электрической силы F, действующей на q₃.

q₁ = 10 µCq₂ = 6 µCq₃ = 8 µCr₁₃ = 10 cmr₂₃ = 10 cm

F = N

3.Последовательные и параллельные резисторыСредняя

Найдите ток I_R1, отдаваемый источником и текущий через R₁.

V₁ = 24 VR₁ = 8 ΩR₂ = 4 ΩR₃ = 6 ΩR₄ = 4 Ω

I_R1 = A

4.Последовательные и параллельные резисторыСложная

Найдите эквивалентное сопротивление R_eq, которое видит источник V₁.

V₁ = 10 VR₁ = 10 ΩR₂ = 8 ΩR₃ = 20 ΩR₄ = 4 ΩR₅ = 5 ΩR₆ = 15 Ω

R_eq = Ω

5.Переходные процессы RC и RLСредняя

До замыкания ключа в момент t = 0 тока через катушку нет. Через какое время после замыкания ключа ток достигнет 50% конечного значения? Найдите t.

V_s = 6 VR = 15 ΩL = 22 mH

t = ms

6.Переходные процессы RC и RLСложная

Непосредственно перед замыканием ключа в момент t = 0 конденсатор заряжен до 8 V с указанной полярностью. Найдите напряжение на конденсаторе v_C в момент t = 50 ms.

V_s = 15 VR = 4,7 kΩC = 10 µFv_C(0) = 8 Vt = 50 ms

v_C = V

7.Магнитные поля и индукцияСредняя

Квадратный контур движется вправо в область с однородным магнитным полем, направленным из плоскости страницы. Нажмите на направление индукционного тока в контуре, как оно видно на рисунке, пока контур входит в поле.

B: из плоскости страницывходит в поле

1по часовой стрелке
2против часовой стрелки

8.Магнитные поля и индукцияСложная

Ток в катушке индуктивностью 100 mH равномерно меняется от 0,5 A до 2 A за 20 ms. Найдите модуль ЭДС самоиндукции ε.

L = 100 mH0,5 A → 2 AΔt = 20 ms

ε = V

9.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСредняя

Последовательная цепь RLC подключена к сети 12 V (действующее значение), 60 Hz. Найдите угол сдвига фаз φ полного сопротивления в градусах (положительный, когда ток отстаёт от напряжения).

V = 12 V (rms)f = 60 HzR = 30 ΩL = 200 mHC = 10 µF

φ = °

10.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСложная

Последовательный RLC-контур имеет R = 100 Ω, L = 50 mH и C = 2,2 µF. Найдите его добротность Q при резонансе.

R = 100 ΩL = 50 mHC = 2,2 µF

Q =

3Растворы

1.Закон Кулона и электрическое поле

Ответ: F = 6,293 N

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Сила от каждого заряда

Направление вправо положительно.

F_L = +k·8·4 × 10⁻¹²/0,2² = 7,192 N

F_R = −k·1·4 × 10⁻¹²/0,2² = −0,899 N

Результирующая сила

F = 7,192 + (−0,899) = 6,293 N → |F| = 6,293 N

Ответ

F = 6,293 N

Результирующая сила направлена вправо.

2.Закон Кулона и электрическое поле

Ответ: F = 83,87 N

Закон Кулона: два точечных заряда притягиваются или отталкиваются с силой F = k·|q₁·q₂|/r², где k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². Напряжённость поля точечного заряда E = k·|q|/r²; поле направлено от положительного заряда и к отрицательному. Силы и поля от нескольких зарядов складываются как векторы.

Каждая сила, действующая на q₃

F₁ = k·10·8 × 10⁻¹²/0,1² = 71,92 N

F₂ = k·6·8 × 10⁻¹²/0,1² = 43,15 N

Векторная сумма

F = √(71,92² + 43,15²) = 83,87 N

Ответ

F = 83,87 N

3.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: I_R1 = 2,211 A

Последовательное и параллельное соединение: последовательно через каждый резистор течёт один и тот же ток и R = R₁ + R₂ + …. Параллельно на каждом резисторе одно и то же напряжение и 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Лестничную цепь упрощают по одной паре, пока не останется одно эквивалентное сопротивление.

Объединяйте резисторы с дальнего конца

Начните с конца, самого дальнего от источника, и двигайтесь к нему. Резисторы с одинаковым током соединены последовательно; резисторы между одними и теми же двумя узлами — параллельно.

R₃ + R₄ = 6 + 4 = 10 Ω

R₂ ∥ 10 = 4·10/(4+10) = 2,857 Ω

R_eq = R₁ + 2,857 = 8 + 2,857 = 10,86 Ω

Ток источника

Источник видит только R_eq, поэтому закон Ома даёт ток, который он отдаёт. Этот ток течёт через R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 24/10,86 = 2,211 A

Ответ

I_R1 = 2,211 A

4.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: R_eq = 15,96 Ω

Объединяйте резисторы с дальнего конца

R₅ + R₆ = 5 + 15 = 20 Ω

R₄ ∥ 20 = 3,333 Ω

R₃ + 3,333 = 23,33 Ω

R₂ ∥ 23,33 = 5,957 Ω

R_eq = R₁ + 5,957 = 10 + 5,957 = 15,96 Ω

Ответ

R_eq = 15,96 Ω

5.Переходные процессы RC и RL

Ответ: t = 1,017 ms

Переходные процессы первого порядка: в цепи с одним конденсатором или одной катушкой каждое напряжение и каждый ток экспоненциально меняются от начального к конечному значению: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, где τ = RC или τ = L/R. Примерно через 5τ цепь выходит на установившийся режим.

Постоянная времени и конечный ток

Спустя долгое время после замыкания катушка ведёт себя как короткое замыкание, поэтому конечный ток определяется только R.

τ = L/R = 22 mH / 15 Ω = 1,467 ms

i(∞) = V_s/R = 6/15 = 0,4 A

Выразите время

0,5 = 1 − e^−t/τ → t = −τ·ln(1 − 0,5)

t = −1,467·ln(0,5) = 1,017 ms

Ответ

t = 1,017 ms

6.Переходные процессы RC и RL

Ответ: v_C = 12,58 V

Начальное значение, конечное значение, постоянная времени

Напряжение на конденсаторе не может измениться скачком, поэтому оно начинается с накопленного значения и стремится к напряжению источника.

v_C(0) = 8 V, v_C(∞) = V_s = 15 V

τ = R·C = 4,7 kΩ · 10 µF = 47 ms

v_C(t) = 15 + (8 − 15)·e^−t/τ

Напряжение в заданный момент

v_C(50) = 15 + (−7)·e^−50/47 = 12,58 V

Ответ

v_C = 12,58 V

7.Магнитные поля и индукция

Ответ: по часовой стрелке

Электромагнитная индукция: поток через контур равен Φ = BA·cos θ, где θ — угол между B и нормалью к контуру. Закон Фарадея: изменение потока наводит в катушке из N витков ЭДС ε = −N·dΦ/dt, а правило Ленца гласит, что индукционный ток течёт так, что его собственное поле противодействует изменению. Стержень, движущийся поперёк поля, даёт ε = BLv. Катушка, вращающаяся с угловой скоростью ω, даёт e = NBAω·sin ωt с амплитудой NBAω. Самоиндукция: ε = −L·di/dt, где L = μ₀N²A/l для длинного соленоида, а запасённая энергия равна W = ½LI². Две связанные катушки: ε₂ = −M·di₁/dt, где M = k√(L₁L₂).

Изменение потока

Поток из плоскости страницы возрастает, или поток в плоскость страницы убывает.

Поле индукционного тока

Индукционный ток противодействует изменению.

Индуцированное поле внутри контура: в плоскость страницы.

Направление тока

Правило правой руки: ток против часовой стрелки создаёт внутри контура поле, направленное из плоскости страницы.

по часовой стрелке

Ответ

по часовой стрелке

8.Магнитные поля и индукция

Ответ: ε = 7,5 V

ЭДС самоиндукции

ЭДС противодействует изменению тока (Ленц), поэтому её знак противоположен ΔI; по модулю она равна L·|ΔI|/Δt.

ε = L·ΔI/Δt = 0,1·1,5/0,02 = 7,5 V

Ответ

ε = 7,5 V

9.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: φ = −81,02 °

Цепи переменного тока и комплексный метод: резисторы, катушки и конденсаторы имеют полные сопротивления R, jωL и 1/(jωC), где ω = 2πf. При последовательном соединении полные сопротивления складываются как сопротивления, но как комплексные числа. Действующие значения тока и напряжения подчиняются закону Ома с |Z|.

Реактивные сопротивления

ω = 2πf = 2π·60 = 377 rad/s

X_L = ωL = 377·0,2 = 75,4 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(377·10·10⁻⁶) = 265,3 Ω

Полное сопротивление

При последовательном соединении полные сопротивления складываются как комплексные числа: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(30² + (−189,9)²) = 192,2 Ω

Угол сдвига фаз

φ = arctan((X_L − X_C)/R) = arctan(−189,9/30) = −81,02°

Ответ

φ = −81,02°

10.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: Q = 1,508

Резонансная частота

f₀ = 1/(2π·√(0,05·2,2·10⁻⁶)) = 479,9 Hz

Добротность

Добротность сравнивает реактивное сопротивление при резонансе с активным: Q = ω₀L/R.

Q = (1/R)·√(L/C) = (1/100)·√(0,05/(2,2·10⁻⁶)) = 1,508

Ответ

Q = 1,508

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism