Физика 2: Электричество и магнетизм: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (10) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Закон Кулона и электрическое поле

Закон Кулона
F = k·|q1q2|/r²
Поле точечного заряда
E = k·|q|/r²
Постоянная
k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Сила, действующая на заряд
F = q·E

Последовательные и параллельные резисторы

Последовательное соединение резисторов
Req = R1 + R2 + …
Параллельное соединение резисторов
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
Два параллельно
Req = R1R2 / (R1 + R2)
Закон Ома
V = I·R
Мощность
P = V·I = I²R = V²/R

Метод

  1. Начните с конца цепи, наиболее удалённого от зажимов.
  2. Последовательные резисторы складывайте, а параллельные объединяйте по формуле 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
  3. После каждого шага перерисовывайте схему.
  4. Повторяйте, пока между зажимами не останется один резистор.

Переходные процессы RC и RL

Постоянная времени
τ = RC | τ = L/R
Отклик
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
Конденсатор на постоянном токе
разрыв; vC не может измениться скачком
Катушка на постоянном токе
короткое замыкание; iL не может измениться скачком
Установившийся режим
t ≈ 5τ

Метод

  1. Найдите начальное значение сразу после коммутации: напряжение на конденсаторе и ток в катушке не могут изменяться скачком.
  2. Найдите установившееся значение спустя долгое время после коммутации: конденсатор ведёт себя как разрыв, катушка — как короткое замыкание.
  3. Найдите постоянную времени: τ = RC или τ = L/R, где берётся сопротивление со стороны конденсатора или катушки.
  4. Используйте x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ.

Магнитные поля и индукция

Длинный прямой провод
B = μ0I/(2πr)
Центр плоской катушки
B = μ0NI/(2R)
Длинный соленоид
B = μ0nI, n = N/L
Постоянная
μ0 = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Сила, действующая на провод
F = BIL·sin θ
Сила, действующая на заряд
F = |q|vB·sin θ
Движение по окружности
r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Параллельные провода
F/L = μ0I1I2/(2πd)
Поток
Φ = BA·cos θ
Закон Фарадея
ε = −N·ΔΦ/Δt
Движущийся стержень
ε = BLv
Генератор
E0 = NBAω, Erms = E0/√2
Индуктивность
ε = L·ΔI/Δt, L = μ0N²A/l, W = ½LI²
Взаимная индуктивность
ε2 = M·di1/dt, M = k√(L1L2)
Селектор скоростей и спектрометр
v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Метод

  1. Переведите каждую величину в единицы СИ: cm в m, cm² в m², mT и µT в T.
  2. Выберите правильную формулу: B = μ₀I/(2πr) для провода, μ₀NI/(2R) для центра катушки, μ₀nI внутри соленоида; F = BIL·sin θ или |q|vB·sin θ для сил.
  3. Для индукции найдите изменение потока ΔΦ = Δ(BA·cos θ) и используйте ε = N·ΔΦ/Δt, либо ε = BLv для движущегося стержня и NBAω для вращающейся катушки.
  4. Направления находите отдельно по правилам правой руки, а для индукционных токов — по правилу Ленца.

Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Полные сопротивления
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
Угловая частота
ω = 2πf
Модуль и угол
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексной форме
V = I·Z

Метод

  1. Переведите частоту: ω = 2πf.
  2. Найдите каждое реактивное сопротивление: XL = ωL и XC = 1/(ωC).
  3. Складывайте сопротивления как у резисторов, с Z = R + jX.
  4. Найдите модуль |Z| = √(R² + X²) и угол φ = atan(X/R), затем примените закон Ома для комплексных амплитуд.

2Тренировочные задачи

1.Закон Кулона и электрическое полеСредняя
++10 µC−−2 µCP30 cm

Заряд +10 µC и заряд −2 µC находятся на расстоянии 30 cm друг от друга. Точка P лежит на прямой между ними на расстоянии 7,5 cm от первого заряда. Найдите модуль напряжённости электрического поля E в точке P.

q1 = +10 µCq2 = −2 µCr1 = 7,5 cmr2 = 22,5 cm
E = N/C
2.Закон Кулона и электрическое полеСложная
L = 80 cm12°qq

Два одинаковых маленьких шарика массой 3 g каждый подвешены в одной точке на изолирующих нитях длиной 80 cm. Им сообщают равные заряды, и каждая нить устанавливается под углом 12° к вертикали. Примите g = 9,81 m/s². Найдите заряд q каждого шарика в nC. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

m = 3 gL = 80 cmθ = 12°g = 9,81 m/s²
q = nC
3.Последовательные и параллельные резисторыСредняя
R1​ = 20 ΩR3​ = 12 Ω+−V1​30 VR2​20 ΩIR2​AR4​6 ΩB

Найдите ток IR2 через R2.

V1 = 30 VR1 = 20 ΩR2 = 20 ΩR3 = 12 ΩR4 = 6 Ω
IR2 = A
4.Последовательные и параллельные резисторыСложная
R1​ = 4 ΩR3​ = 2 ΩR5​ = 4 Ω+−V1​15 VR2​20 ΩAR4​6 ΩBR6​8 Ω

Найдите эквивалентное сопротивление Req, которое видит источник V1.

V1 = 15 VR1 = 4 ΩR2 = 20 ΩR3 = 2 ΩR4 = 6 ΩR5 = 4 ΩR6 = 8 Ω
Req = Ω
5.Переходные процессы RC и RLСредняя
+−Vs​24 Vt = 0R1​ = 3,3 kΩR2​ = 10 kΩC47 µF+−vC​

Источник Vₛ заряжает конденсатор через R₁, а R₂ подключён параллельно C. Конденсатор разряжен, когда ключ замыкается в момент t = 0. Найдите напряжение на конденсаторе vC в момент t = 80 ms.

Vs = 24 VR1 = 3,3 kΩR2 = 10 kΩC = 47 µFt = 80 ms
vC = V
6.Переходные процессы RC и RLСложная
+−Vs​10 VR1​ = 15 ΩR2​ = 33 Ωзамыкается при t = 0L33 mHi(t)

Ключ, шунтирующий R2, был разомкнут долгое время, поэтому ток катушки установившийся. При t = 0 ключ замыкается и закорачивает R2. Через какое время после t = 0 ток катушки достигнет 0,346 A? Найдите t.

Vs = 10 VR1 = 15 ΩR2 = 33 ΩL = 33 mH
t = ms
7.Магнитные поля и индукцияСредняя
25 A12 Ad = 6 cmP

Два длинных параллельных провода на расстоянии 6 cm друг от друга проводят токи 25 A и 12 A в одном направлении. Найдите модуль магнитной индукции B в точке P посередине между ними.

I1 = 25 AI2 = 12 Ad = 6 cmμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
B = µT
8.Магнитные поля и индукцияСложная
l = 25 cmN = 200, ⌀ 5 cm

Длинный соленоид без сердечника имеет 200 витков, длину 25 cm и диаметр 5 cm. Найдите его индуктивность L.

N = 200l = 25 cm⌀ = 5 cmμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
L = µH
9.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСредняя
24 V60 HzR = 30 ΩL = 100 mHI

Резистор и катушка включены параллельно в сеть 24 V (действующее значение), 60 Hz. Найдите модуль полного сопротивления |Z|.

V = 24 V (rms)f = 60 HzR = 30 ΩL = 100 mH
|Z| = Ω
10.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСложная
230 V200 HzR = 80 ΩL = 20 mHC = 22 µFI

Последовательная цепь RLC подключена к сети 230 V (действующее значение), 200 Hz. Найдите действующее значение тока I.

V = 230 V (rms)f = 200 HzR = 80 ΩL = 20 mHC = 22 µF
I = A

3Растворы

1.Закон Кулона и электрическое поле

Ответ: E = 1,634 × 10⁷ N/C

Закон Кулона: два точечных заряда притягиваются или отталкиваются с силой F = k·|q₁·q₂|/r², где k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². Напряжённость поля точечного заряда E = k·|q|/r²; поле направлено от положительного заряда и к отрицательному. Силы и поля от нескольких зарядов складываются как векторы.

Поле каждого заряда

E1 = k·10 × 10⁻⁶/0,075² = 1,598 × 10⁷ N/C
E2 = k·2 × 10⁻⁶/0,225² = 355160 N/C

Направления и сумма

Первое поле направлено от положительного заряда, второе — к отрицательному: оба направлены в одну сторону.

E = |1,598 × 10⁷ + 355160| = 1,634 × 10⁷ N/C

Ответ

E = 1,634 × 10⁷ N/C
2.Закон Кулона и электрическое поле

Ответ: q = 277,5 nC

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Электрическая сила из условия равновесия

Горизонтальная составляющая натяжения уравновешивает F, вертикальная — m·g.

F = m·g·tan θ = 0,003·9,81·tan 12° = 0,006256 N

Расстояние между шариками

r = 2·L·sin θ = 2·0,8·sin 12° = 0,3327 m

Заряд

F = k·q²/r² → q = r·√(F/k) = 0,3327·√(0,006256/8,99 × 10⁹) = 2,775 × 10⁻⁷ C = 277,5 nC

Ответ

q = 277,5 nC
3.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: IR2 = 0,4821 A

Последовательное и параллельное соединение: последовательно через каждый резистор течёт один и тот же ток и R = R₁ + R₂ + …. Параллельно на каждом резисторе одно и то же напряжение и 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Лестничную цепь упрощают по одной паре, пока не останется одно эквивалентное сопротивление.

R1​ = 20 ΩR3​ = 12 Ω+−V1​30 VR2​20 ΩAR4​6 ΩB

Объединяйте резисторы с дальнего конца

Начните с конца, самого дальнего от источника, и двигайтесь к нему. Резисторы с одинаковым током соединены последовательно; резисторы между одними и теми же двумя узлами — параллельно.

R3 + R4 = 12 + 6 = 18 Ω
R2 ∥ 18 = 20·18/(20+18) = 9,474 Ω
Req = R1 + 9,474 = 20 + 9,474 = 29,47 Ω

Ток источника

Источник видит только Req, поэтому закон Ома даёт ток, который он отдаёт. Этот ток течёт через R₁.

IR1 = V1/Req = 30/29,47 = 1,018 A

Ток через R₂

Вычтите падение на R₁, чтобы получить напряжение в узле A, то есть напряжение на R₂.

VA = V1 − IR1·R1 = 30 − 1,018·20 = 9,643 V
IR2 = VA/R2 = 9,643/20 = 0,4821 A

Ответ

IR2 = 0,4821 A
4.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: Req = 8,615 Ω

Последовательное и параллельное соединение: последовательно через каждый резистор течёт один и тот же ток и R = R₁ + R₂ + …. Параллельно на каждом резисторе одно и то же напряжение и 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Лестничную цепь упрощают по одной паре, пока не останется одно эквивалентное сопротивление.

R1​ = 4 ΩR3​ = 2 ΩR5​ = 4 Ω+−V1​15 VR2​20 ΩAR4​6 ΩBR6​8 Ω

Объединяйте резисторы с дальнего конца

Начните с конца, самого дальнего от источника, и двигайтесь к нему. Резисторы с одинаковым током соединены последовательно; резисторы между одними и теми же двумя узлами — параллельно.

R5 + R6 = 4 + 8 = 12 Ω
R4 ∥ 12 = 4 Ω
R3 + 4 = 6 Ω
R2 ∥ 6 = 4,615 Ω
Req = R1 + 4,615 = 4 + 4,615 = 8,615 Ω

Ответ

Req = 8,615 Ω
5.Переходные процессы RC и RL

Ответ: vC = 8,958 V

Переходные процессы первого порядка: в цепи с одним конденсатором или одной катушкой каждое напряжение и каждый ток экспоненциально меняются от начального к конечному значению: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, где τ = RC или τ = L/R. Примерно через 5τ цепь выходит на установившийся режим.

Эквивалентная схема Тевенина со стороны конденсатора

Закоротите источник, чтобы найти Rth; отключите конденсатор, чтобы найти напряжение, до которого он зарядится.

Rth = R1 ∥ R2 = 3,3·10/(3,3 + 10) = 2,481 kΩ
vC(∞) = 24·10/(3,3 + 10) = 18,05 V

Постоянная времени

τ = Rth·C = 2,481·47 = 116,6 ms

Кривая заряда

vC(t) = 18,05·(1 − e−80/116,6) = 8,958 V

Ответ

vC = 8,958 V
6.Переходные процессы RC и RL

Ответ: t = 0,7858 ms

Переходные процессы первого порядка: в цепи с одним конденсатором или одной катушкой каждое напряжение и каждый ток экспоненциально меняются от начального к конечному значению: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, где τ = RC или τ = L/R. Примерно через 5τ цепь выходит на установившийся режим.

Начальное значение, конечное значение, постоянная времени

До t = 0 в контур входят оба резистора; после этого замкнутый ключ шунтирует R₂.

i(0) = 10/(15 + 33) = 0,2083 A
i(∞) = 10/15 = 0,6667 A
τ = L/R = 33/15 = 2,2 ms
i(t) = 0,6667 + (0,2083 − 0,6667)·e−t/τ

Выразите время

e−t/τ = (0,346 − 0,6667)/(0,2083 − 0,6667) = 0,6996
t = 2,2·ln(1,429) = 0,7858 ms

Ответ

t = 0,7858 ms
7.Магнитные поля и индукция

Ответ: B = 86,67 µT

Магнитное поле токов: вокруг длинного прямого провода линии поля — окружности (правило правой руки), B = μ₀I/(2πr). В центре плоской круговой катушки из N витков B = μ₀NI/(2R). Внутри длинного соленоида поле однородно, B = μ₀nI, где n = N/L — число витков на метр, независимо от радиуса. μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A. Работайте в единицах СИ (метры и амперы), а поля нескольких источников складывайте как векторы.

Поле каждого провода в точке P

B1 = 2 × 10⁻⁷·25/0,03 = 166,7 µT
B2 = 2 × 10⁻⁷·12/0,03 = 80 µT

Объедините

B = |B₁ − B₂| = 86,67 µT

Ответ

B = 86,67 µT
8.Магнитные поля и индукция

Ответ: L = 394,8 µH

Электромагнитная индукция: поток через контур равен Φ = BA·cos θ, где θ — угол между B и нормалью к контуру. Закон Фарадея: изменение потока наводит в катушке из N витков ЭДС ε = −N·dΦ/dt, а правило Ленца гласит, что индукционный ток течёт так, что его собственное поле противодействует изменению. Стержень, движущийся поперёк поля, даёт ε = BLv. Катушка, вращающаяся с угловой скоростью ω, даёт e = NBAω·sin ωt с амплитудой NBAω. Самоиндукция: ε = −L·di/dt, где L = μ₀N²A/l для длинного соленоида, а запасённая энергия равна W = ½LI². Две связанные катушки: ε₂ = −M·di₁/dt, где M = k√(L₁L₂).

Поперечное сечение

A = π·(0,025)² = 0,001963 m²

Индуктивность

L = μ₀N²A/l = 4π × 10⁻⁷·200²·0,001963/0,25 = 0,0003948 H = 394,8 µH

Ответ

L = 394,8 µH
9.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: |Z| = 23,47 Ω

Цепи переменного тока и комплексный метод: резисторы, катушки и конденсаторы имеют полные сопротивления R, jωL и 1/(jωC), где ω = 2πf. При последовательном соединении полные сопротивления складываются как сопротивления, но как комплексные числа. Действующие значения тока и напряжения подчиняются закону Ома с |Z|.

Реактивное сопротивление

XL = ωL = 2π·60·0,1 = 37,7 Ω

Токи ветвей

Обе ветви подключены прямо к источнику, поэтому к каждой приложено полное напряжение V.

IR = V/R = 24/30 = 0,8 A
IX = V/XL = 24/37,7 = 0,6366 A

Общий ток

Ток резистора совпадает по фазе с V, а реактивный ток сдвинут на 90°, поэтому они складываются как катеты прямоугольного треугольника.

I = √(IR² + IX²) = √(0,8² + 0,6366²) = 1,022 A

Полное сопротивление

|Z| = V/I = 24/1,022 = 23,47 Ω

Ответ

|Z| = 23,47 Ω
10.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: I = 2,848 A

Цепи переменного тока и комплексный метод: резисторы, катушки и конденсаторы имеют полные сопротивления R, jωL и 1/(jωC), где ω = 2πf. При последовательном соединении полные сопротивления складываются как сопротивления, но как комплексные числа. Действующие значения тока и напряжения подчиняются закону Ома с |Z|.

Реактивные сопротивления

ω = 2πf = 2π·200 = 1257 rad/s
XL = ωL = 1257·0,02 = 25,13 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(1257·22·10⁻⁶) = 36,17 Ω

Полное сопротивление

При последовательном соединении полные сопротивления складываются как комплексные числа: Z = R + j(XL − XC).

|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(80² + (−11,04)²) = 80,76 Ω

Ток

Через каждый элемент последовательной цепи течёт один и тот же ток.

I = V/|Z| = 230/80,76 = 2,848 A

Ответ

I = 2,848 A

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism