Физика 2: Электричество и магнетизм: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (10) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Закон Кулона и электрическое поле

Закон Кулона: F = k·|q₁q₂|/r²
Поле точечного заряда: E = k·|q|/r²
Постоянная: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Сила, действующая на заряд: F = q·E

Последовательные и параллельные резисторы

Последовательное соединение резисторов: R_eq = R₁ + R₂ + …
Параллельное соединение резисторов: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Два параллельно: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Закон Ома: V = I·R
Мощность: P = V·I = I²R = V²/R

Метод

Начните с конца цепи, наиболее удалённого от зажимов.
Последовательные резисторы складывайте, а параллельные объединяйте по формуле 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
После каждого шага перерисовывайте схему.
Повторяйте, пока между зажимами не останется один резистор.

Переходные процессы RC и RL

Постоянная времени: τ = RC | τ = L/R
Отклик: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Конденсатор на постоянном токе: разрыв; v_C не может измениться скачком
Катушка на постоянном токе: короткое замыкание; i_L не может измениться скачком
Установившийся режим: t ≈ 5τ

Метод

Найдите начальное значение сразу после коммутации: напряжение на конденсаторе и ток в катушке не могут изменяться скачком.
Найдите установившееся значение спустя долгое время после коммутации: конденсатор ведёт себя как разрыв, катушка — как короткое замыкание.
Найдите постоянную времени: τ = RC или τ = L/R, где берётся сопротивление со стороны конденсатора или катушки.
Используйте x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Магнитные поля и индукция

Длинный прямой провод: B = μ₀I/(2πr)
Центр плоской катушки: B = μ₀NI/(2R)
Длинный соленоид: B = μ₀nI, n = N/L
Постоянная: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Сила, действующая на провод: F = BIL·sin θ
Сила, действующая на заряд: F = |q|vB·sin θ
Движение по окружности: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Параллельные провода: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Поток: Φ = BA·cos θ
Закон Фарадея: ε = −N·ΔΦ/Δt
Движущийся стержень: ε = BLv
Генератор: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Индуктивность: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Взаимная индуктивность: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Селектор скоростей и спектрометр: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Метод

Переведите каждую величину в единицы СИ: cm в m, cm² в m², mT и µT в T.
Выберите правильную формулу: B = μ₀I/(2πr) для провода, μ₀NI/(2R) для центра катушки, μ₀nI внутри соленоида; F = BIL·sin θ или |q|vB·sin θ для сил.
Для индукции найдите изменение потока ΔΦ = Δ(BA·cos θ) и используйте ε = N·ΔΦ/Δt, либо ε = BLv для движущегося стержня и NBAω для вращающейся катушки.
Направления находите отдельно по правилам правой руки, а для индукционных токов — по правилу Ленца.

Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Полные сопротивления: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Угловая частота: ω = 2πf
Модуль и угол: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексной форме: V = I·Z

Метод

Переведите частоту: ω = 2πf.
Найдите каждое реактивное сопротивление: X_L = ωL и X_C = 1/(ωC).
Складывайте сопротивления как у резисторов, с Z = R + jX.
Найдите модуль |Z| = √(R² + X²) и угол φ = atan(X/R), затем примените закон Ома для комплексных амплитуд.

2Тренировочные задачи

1.Закон Кулона и электрическое полеСредняя

Заряд +6 µC и заряд +10 µC находятся на расстоянии 50 cm друг от друга. Точка P лежит на прямой между ними на расстоянии 37,5 cm от первого заряда. Найдите модуль напряжённости электрического поля E в точке P.

q₁ = +6 µCq₂ = +10 µCr₁ = 37,5 cmr₂ = 12,5 cm

E = N/C

2.Закон Кулона и электрическое полеСложная

Два одинаковых маленьких шарика массой 8 g каждый подвешены в одной точке на изолирующих нитях длиной 20 cm. Им сообщают равные заряды, и каждая нить устанавливается под углом 10° к вертикали. Примите g = 9,81 m/s². Найдите заряд q каждого шарика в nC. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

m = 8 gL = 20 cmθ = 10°g = 9,81 m/s²

q = nC

3.Последовательные и параллельные резисторыСредняя

Найдите ток I_R1, отдаваемый источником и текущий через R₁.

V₁ = 12 VR₁ = 6 ΩR₂ = 10 ΩR₃ = 20 ΩR₄ = 3 Ω

I_R1 = A

4.Последовательные и параллельные резисторыСложная

Найдите эквивалентное сопротивление R_eq, которое видит источник V₁.

V₁ = 5 VR₁ = 6 ΩR₂ = 20 ΩR₃ = 2 ΩR₄ = 4 ΩR₅ = 4 ΩR₆ = 2 Ω

R_eq = Ω

5.Переходные процессы RC и RLСредняя

До замыкания ключа в момент t = 0 тока через катушку нет. Найдите энергию W(∞), запасённую в катушке после установления режима, в mJ.

V_s = 6 VR = 10 ΩL = 22 mH

W(∞) = mJ

6.Переходные процессы RC и RLСложная

Ключ был замкнут долгое время, поэтому цепь находится в установившемся режиме. При t = 0 ключ размыкается. Найдите напряжение на конденсаторе v_C в момент t = 30 ms.

V_s = 20 VR₁ = 2,2 kΩR₂ = 2,2 kΩC = 33 µFt = 30 ms

v_C = V

7.Магнитные поля и индукцияСредняя

Катушка из 25 витков площадью 20 cm² и сопротивлением 25 Ω образует замкнутую цепь. Однородное поле, перпендикулярное катушке, равномерно растёт от 0 T до 0,1 T за 250 ms. Найдите средний индукционный ток I.

N = 25A = 20 cm²B: 0 T → 0,1 TΔt = 250 msR = 25 Ω

I = mA

8.Магнитные поля и индукцияСложная

Две катушки с индуктивностями 40 mH и 200 mH имеют коэффициент связи 0,3. Ток в первой катушке меняется со скоростью 1000 A/s. Найдите ЭДС ε, наведённую во второй катушке.

L₁ = 40 mHL₂ = 200 mHk = 0,3di/dt = 1000 A/s

ε = V

9.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСредняя

Последовательная цепь RLC подключена к сети 24 V (действующее значение), 200 Hz. Найдите действующее значение тока I.

V = 24 V (rms)f = 200 HzR = 25 ΩL = 50 mHC = 47 µF

I = A

10.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСложная

Резистор R₁ включён последовательно с параллельным соединением R₂ и конденсатора C в сеть 50 V (действующее значение), 50 Hz. Найдите действующее значение тока I.

V = 50 V (rms)f = 50 HzR₁ = 50 ΩR₂ = 40 ΩC = 100 µF

I = A

3Растворы

1.Закон Кулона и электрическое поле

Ответ: E = 5,37 × 10⁶ N/C

Закон Кулона: два точечных заряда притягиваются или отталкиваются с силой F = k·|q₁·q₂|/r², где k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². Напряжённость поля точечного заряда E = k·|q|/r²; поле направлено от положительного заряда и к отрицательному. Силы и поля от нескольких зарядов складываются как векторы.

Поле каждого заряда

E₁ = k·6 × 10⁻⁶/0,375² = 383573 N/C

E₂ = k·10 × 10⁻⁶/0,125² = 5,754 × 10⁶ N/C

Направления и сумма

Оба заряда положительны: в точке P их поля направлены от соответствующего заряда, то есть в противоположные стороны.

E = |383573 − 5,754 × 10⁶| = 5,37 × 10⁶ N/C

Ответ

E = 5,37 × 10⁶ N/C

2.Закон Кулона и электрическое поле

Ответ: q = 86,18 nC

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Электрическая сила из условия равновесия

Горизонтальная составляющая натяжения уравновешивает F, вертикальная — m·g.

F = m·g·tan θ = 0,008·9,81·tan 10° = 0,01384 N

Расстояние между шариками

r = 2·L·sin θ = 2·0,2·sin 10° = 0,06946 m

Заряд

F = k·q²/r² → q = r·√(F/k) = 0,06946·√(0,01384/8,99 × 10⁹) = 8,618 × 10⁻⁸ C = 86,18 nC

Ответ

q = 86,18 nC

3.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: I_R1 = 0,9252 A

Последовательное и параллельное соединение: последовательно через каждый резистор течёт один и тот же ток и R = R₁ + R₂ + …. Параллельно на каждом резисторе одно и то же напряжение и 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Лестничную цепь упрощают по одной паре, пока не останется одно эквивалентное сопротивление.

Объединяйте резисторы с дальнего конца

Начните с конца, самого дальнего от источника, и двигайтесь к нему. Резисторы с одинаковым током соединены последовательно; резисторы между одними и теми же двумя узлами — параллельно.

R₃ + R₄ = 20 + 3 = 23 Ω

R₂ ∥ 23 = 10·23/(10+23) = 6,97 Ω

R_eq = R₁ + 6,97 = 6 + 6,97 = 12,97 Ω

Ток источника

Источник видит только R_eq, поэтому закон Ома даёт ток, который он отдаёт. Этот ток течёт через R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 12/12,97 = 0,9252 A

Ответ

I_R1 = 0,9252 A

4.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: R_eq = 9,607 Ω

Объединяйте резисторы с дальнего конца

R₅ + R₆ = 4 + 2 = 6 Ω

R₄ ∥ 6 = 2,4 Ω

R₃ + 2,4 = 4,4 Ω

R₂ ∥ 4,4 = 3,607 Ω

R_eq = R₁ + 3,607 = 6 + 3,607 = 9,607 Ω

Ответ

R_eq = 9,607 Ω

5.Переходные процессы RC и RL

Ответ: W(∞) = 3,96 mJ

Переходные процессы первого порядка: в цепи с одним конденсатором или одной катушкой каждое напряжение и каждый ток экспоненциально меняются от начального к конечному значению: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, где τ = RC или τ = L/R. Примерно через 5τ цепь выходит на установившийся режим.

Постоянная времени и конечный ток

Спустя долгое время после замыкания катушка ведёт себя как короткое замыкание, поэтому конечный ток определяется только R.

τ = L/R = 22 mH / 10 Ω = 2,2 ms

i(∞) = V_s/R = 6/10 = 0,6 A

Запасённая энергия

W(∞) = ½·L·i(∞)² = ½·22·0,6² = 3,96 mJ

Ответ

W(∞) = 3,96 mJ

6.Переходные процессы RC и RL

Ответ: v_C = 6,615 V

Начальное напряжение конденсатора

В установившемся режиме конденсатор — разрыв, поэтому R₁ и R₂ образуют делитель напряжения. Напряжение конденсатора не может измениться скачком при размыкании ключа.

v_C(0) = 20·2,2/(2,2 + 2,2) = 10 V

Постоянная времени после размыкания ключа

τ = R₂·C = 2,2·33 = 72,6 ms

Разряд

v_C(t) = 10·e^−30/72,6 = 6,615 V

Ответ

v_C = 6,615 V

7.Магнитные поля и индукция

Ответ: I = 0,8 mA

Электромагнитная индукция: поток через контур равен Φ = BA·cos θ, где θ — угол между B и нормалью к контуру. Закон Фарадея: изменение потока наводит в катушке из N витков ЭДС ε = −N·dΦ/dt, а правило Ленца гласит, что индукционный ток течёт так, что его собственное поле противодействует изменению. Стержень, движущийся поперёк поля, даёт ε = BLv. Катушка, вращающаяся с угловой скоростью ω, даёт e = NBAω·sin ωt с амплитудой NBAω. Самоиндукция: ε = −L·di/dt, где L = μ₀N²A/l для длинного соленоида, а запасённая энергия равна W = ½LI². Две связанные катушки: ε₂ = −M·di₁/dt, где M = k√(L₁L₂).

Изменение потока на виток

ΔΦ = (0,1 − 0)·0,002 = 0,0002 Wb

Средняя ЭДС

ε = NΔΦ/Δt = 25·0,0002/0,25 = 0,02 V

Ток

I = ε/R = 0,02/25 = 0,0008 A

Ответ

I = 0,8 mA

8.Магнитные поля и индукция

Ответ: ε = 26,83 V

Взаимная индуктивность

M = 0,3·√(40·200) = 26,83 mH

ЭДС индукции

ε = M·di/dt = 0,02683·1000 = 26,83 V

Ответ

ε = 26,83 V

9.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: I = 0,4592 A

Цепи переменного тока и комплексный метод: резисторы, катушки и конденсаторы имеют полные сопротивления R, jωL и 1/(jωC), где ω = 2πf. При последовательном соединении полные сопротивления складываются как сопротивления, но как комплексные числа. Действующие значения тока и напряжения подчиняются закону Ома с |Z|.

Реактивные сопротивления

ω = 2πf = 2π·200 = 1257 rad/s

X_L = ωL = 1257·0,05 = 62,83 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(1257·47·10⁻⁶) = 16,93 Ω

Полное сопротивление

При последовательном соединении полные сопротивления складываются как комплексные числа: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(25² + (45,9)²) = 52,27 Ω

Ток

Через каждый элемент последовательной цепи течёт один и тот же ток.

I = V/|Z| = 24/52,27 = 0,4592 A

Ответ

I = 0,4592 A

10.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: I = 0,7316 A

Реактивное сопротивление

X_C = 1/(2π·50·100·10⁻⁶) = 31,83 Ω

Параллельное соединение

Умножьте числитель и знаменатель на комплексно сопряжённое число, чтобы разделить Z_p на действительную и мнимую части.

Z_p = R₂·(−jX_C)/(R₂ − jX_C) = (R₂·X_C² − jR₂²·X_C)/(R₂² + X_C²)

Z_p = 15,51 − j19,49 Ω

Полное сопротивление цепи

Z = 50 + 15,51 − j19,49 = 65,51 − j19,49 Ω

|Z| = √(65,51² + 19,49²) = 68,35 Ω

Ток

I = V/|Z| = 50/68,35 = 0,7316 A

Ответ

I = 0,7316 A

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism