Физика 2: Электричество и магнетизм: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (10) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Закон Кулона и электрическое поле

Закон Кулона: F = k·|q₁q₂|/r²
Поле точечного заряда: E = k·|q|/r²
Постоянная: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Сила, действующая на заряд: F = q·E

Последовательные и параллельные резисторы

Последовательное соединение резисторов: R_eq = R₁ + R₂ + …
Параллельное соединение резисторов: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Два параллельно: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Закон Ома: V = I·R
Мощность: P = V·I = I²R = V²/R

Метод

Начните с конца цепи, наиболее удалённого от зажимов.
Последовательные резисторы складывайте, а параллельные объединяйте по формуле 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
После каждого шага перерисовывайте схему.
Повторяйте, пока между зажимами не останется один резистор.

Переходные процессы RC и RL

Постоянная времени: τ = RC | τ = L/R
Отклик: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Конденсатор на постоянном токе: разрыв; v_C не может измениться скачком
Катушка на постоянном токе: короткое замыкание; i_L не может измениться скачком
Установившийся режим: t ≈ 5τ

Метод

Найдите начальное значение сразу после коммутации: напряжение на конденсаторе и ток в катушке не могут изменяться скачком.
Найдите установившееся значение спустя долгое время после коммутации: конденсатор ведёт себя как разрыв, катушка — как короткое замыкание.
Найдите постоянную времени: τ = RC или τ = L/R, где берётся сопротивление со стороны конденсатора или катушки.
Используйте x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Магнитные поля и индукция

Длинный прямой провод: B = μ₀I/(2πr)
Центр плоской катушки: B = μ₀NI/(2R)
Длинный соленоид: B = μ₀nI, n = N/L
Постоянная: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Сила, действующая на провод: F = BIL·sin θ
Сила, действующая на заряд: F = |q|vB·sin θ
Движение по окружности: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Параллельные провода: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Поток: Φ = BA·cos θ
Закон Фарадея: ε = −N·ΔΦ/Δt
Движущийся стержень: ε = BLv
Генератор: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Индуктивность: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Взаимная индуктивность: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Селектор скоростей и спектрометр: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Метод

Переведите каждую величину в единицы СИ: cm в m, cm² в m², mT и µT в T.
Выберите правильную формулу: B = μ₀I/(2πr) для провода, μ₀NI/(2R) для центра катушки, μ₀nI внутри соленоида; F = BIL·sin θ или |q|vB·sin θ для сил.
Для индукции найдите изменение потока ΔΦ = Δ(BA·cos θ) и используйте ε = N·ΔΦ/Δt, либо ε = BLv для движущегося стержня и NBAω для вращающейся катушки.
Направления находите отдельно по правилам правой руки, а для индукционных токов — по правилу Ленца.

Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Полные сопротивления: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Угловая частота: ω = 2πf
Модуль и угол: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексной форме: V = I·Z

Метод

Переведите частоту: ω = 2πf.
Найдите каждое реактивное сопротивление: X_L = ωL и X_C = 1/(ωC).
Складывайте сопротивления как у резисторов, с Z = R + jX.
Найдите модуль |Z| = √(R² + X²) и угол φ = atan(X/R), затем примените закон Ома для комплексных амплитуд.

2Тренировочные задачи

1.Закон Кулона и электрическое полеСредняя

Два одинаковых маленьких металлических шарика имеют заряды −2 µC и −3 µC. Их приводят в соприкосновение, а затем снова располагают на расстоянии 10 cm. Найдите модуль силы F взаимодействия между ними теперь. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

q₁ = −2 µCq₂ = −3 µCr = 10 cm

F = N

2.Закон Кулона и электрическое полеСложная

Три положительных точечных заряда находятся в вершинах прямоугольного треугольника: q₃ = 4 µC — в вершине прямого угла, q₁ = 1 µC — на расстоянии 8 cm от неё вдоль одного катета, q₂ = 2 µC — на расстоянии 4 cm от неё вдоль другого катета. Найдите модуль результирующей электрической силы F, действующей на q₃.

q₁ = 1 µCq₂ = 2 µCq₃ = 4 µCr₁₃ = 8 cmr₂₃ = 4 cm

F = N

3.Последовательные и параллельные резисторыСредняя

Найдите ток I_R1, отдаваемый источником и текущий через R₁.

V₁ = 10 VR₁ = 6 ΩR₂ = 8 ΩR₃ = 12 ΩR₄ = 8 Ω

I_R1 = A

4.Последовательные и параллельные резисторыСложная

Найдите ток I_R2 через R₂.

V₁ = 24 VR₁ = 10 ΩR₂ = 8 ΩR₃ = 20 ΩR₄ = 2 ΩR₅ = 12 ΩR₆ = 8 Ω

I_R2 = A

5.Переходные процессы RC и RLСредняя

До замыкания ключа в момент t = 0 тока через катушку нет. Найдите энергию W(∞), запасённую в катушке после установления режима, в mJ.

V_s = 5 VR = 22 ΩL = 220 mH

W(∞) = mJ

6.Переходные процессы RC и RLСложная

Таймер при t = 0 начинает заряжать незаряженный конденсатор через резистор от источника 15 V. Он должен сработать, когда напряжение конденсатора достигнет 12 V, ровно через 10 ms после старта. При R = 47 kΩ найдите необходимую ёмкость C.

V_s = 15 VV_th = 12 VT = 10 msR = 47 kΩ

C = µF

7.Магнитные поля и индукцияСредняя

Катушка из 50 витков имеет площадь 100 cm². Катушка находится в однородном поле 0,3 T, перпендикулярном её плоскости, и поле выключается за 250 ms. Найдите среднюю ЭДС индукции ε.

N = 50A = 100 cm²B = 0,3 TΔt = 250 ms

ε = mV

8.Магнитные поля и индукцияСложная

Длинный соленоид без сердечника имеет 100 витков, длину 30 cm и диаметр 1 cm. Найдите энергию W, запасённую в его магнитном поле, когда по нему течёт ток 2,5 A.

N = 100l = 30 cm⌀ = 1 cmI = 2,5 Aμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A

W = µJ

9.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСредняя

Последовательная цепь RLC подключена к сети 24 V (действующее значение), 100 Hz. Найдите действующее значение тока I.

V = 24 V (rms)f = 100 HzR = 80 ΩL = 100 mHC = 47 µF

I = A

10.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСложная

Последовательная цепь RLC подключена к сети 10 V (действующее значение), 60 Hz. Найдите действующее значение напряжения V_C на конденсаторе.

V = 10 V (rms)f = 60 HzR = 100 ΩL = 50 mHC = 2,2 µF

V_C = V

3Растворы

1.Закон Кулона и электрическое поле

Ответ: F = 5,619 N

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Заряд после соприкосновения

q′ = (−2 + −3)/2 = −2,5 µC

Новая сила

F = 8,99 × 10⁹·(2,5 × 10⁻⁶)²/0,1² = 5,619 N

Ответ

F = 5,619 N

Теперь заряды шариков одного знака, поэтому они отталкиваются.

2.Закон Кулона и электрическое поле

Ответ: F = 45,3 N

Закон Кулона: два точечных заряда притягиваются или отталкиваются с силой F = k·|q₁·q₂|/r², где k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². Напряжённость поля точечного заряда E = k·|q|/r²; поле направлено от положительного заряда и к отрицательному. Силы и поля от нескольких зарядов складываются как векторы.

Каждая сила, действующая на q₃

F₁ = k·1·4 × 10⁻¹²/0,08² = 5,619 N

F₂ = k·2·4 × 10⁻¹²/0,04² = 44,95 N

Векторная сумма

F = √(5,619² + 44,95²) = 45,3 N

Ответ

F = 45,3 N

3.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: I_R1 = 0,8537 A

Последовательное и параллельное соединение: последовательно через каждый резистор течёт один и тот же ток и R = R₁ + R₂ + …. Параллельно на каждом резисторе одно и то же напряжение и 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Лестничную цепь упрощают по одной паре, пока не останется одно эквивалентное сопротивление.

Объединяйте резисторы с дальнего конца

Начните с конца, самого дальнего от источника, и двигайтесь к нему. Резисторы с одинаковым током соединены последовательно; резисторы между одними и теми же двумя узлами — параллельно.

R₃ + R₄ = 12 + 8 = 20 Ω

R₂ ∥ 20 = 8·20/(8+20) = 5,714 Ω

R_eq = R₁ + 5,714 = 6 + 5,714 = 11,71 Ω

Ток источника

Источник видит только R_eq, поэтому закон Ома даёт ток, который он отдаёт. Этот ток течёт через R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 10/11,71 = 0,8537 A

Ответ

I_R1 = 0,8537 A

4.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: I_R2 = 1,108 A

Объединяйте резисторы с дальнего конца

R₅ + R₆ = 12 + 8 = 20 Ω

R₄ ∥ 20 = 1,818 Ω

R₃ + 1,818 = 21,82 Ω

R₂ ∥ 21,82 = 5,854 Ω

R_eq = R₁ + 5,854 = 10 + 5,854 = 15,85 Ω

Ток источника

Источник видит только R_eq, поэтому закон Ома даёт ток, который он отдаёт. Этот ток течёт через R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 24/15,85 = 1,514 A

Ток через R₂

Вычтите падение на R₁, чтобы получить напряжение в узле A, то есть напряжение на R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 24 − 1,514·10 = 8,862 V

I_R2 = V_A/R₂ = 8,862/8 = 1,108 A

Ответ

I_R2 = 1,108 A

5.Переходные процессы RC и RL

Ответ: W(∞) = 5,682 mJ

Переходные процессы первого порядка: в цепи с одним конденсатором или одной катушкой каждое напряжение и каждый ток экспоненциально меняются от начального к конечному значению: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, где τ = RC или τ = L/R. Примерно через 5τ цепь выходит на установившийся режим.

Постоянная времени и конечный ток

Спустя долгое время после замыкания катушка ведёт себя как короткое замыкание, поэтому конечный ток определяется только R.

τ = L/R = 220 mH / 22 Ω = 10 ms

i(∞) = V_s/R = 5/22 = 0,2273 A

Запасённая энергия

W(∞) = ½·L·i(∞)² = ½·220·0,2273² = 5,682 mJ

Ответ

W(∞) = 5,682 mJ

6.Переходные процессы RC и RL

Ответ: C = 0,1322 µF

Требуемая постоянная времени

12 = 15·(1 − e^−10/τ) → τ = 10/ln(15/(15 − 12))

τ = 10/1,609 = 6,213 ms

Ёмкость

kΩ умножить на µF даёт миллисекунды.

C = τ/R = 6,213/47 = 0,1322 µF

Ответ

C = 0,1322 µF

7.Магнитные поля и индукция

Ответ: ε = 600 mV

Электромагнитная индукция: поток через контур равен Φ = BA·cos θ, где θ — угол между B и нормалью к контуру. Закон Фарадея: изменение потока наводит в катушке из N витков ЭДС ε = −N·dΦ/dt, а правило Ленца гласит, что индукционный ток течёт так, что его собственное поле противодействует изменению. Стержень, движущийся поперёк поля, даёт ε = BLv. Катушка, вращающаяся с угловой скоростью ω, даёт e = NBAω·sin ωt с амплитудой NBAω. Самоиндукция: ε = −L·di/dt, где L = μ₀N²A/l для длинного соленоида, а запасённая энергия равна W = ½LI². Две связанные катушки: ε₂ = −M·di₁/dt, где M = k√(L₁L₂).

Изменение потока на виток

ΔΦ = 0,3·0,01 = 0,003 Wb

Средняя ЭДС

ε = NΔΦ/Δt = 50·0,003/0,25 = 0,6 V

Ответ

ε = 600 mV

8.Магнитные поля и индукция

Ответ: W = 10,28 µJ

Индуктивность

L = μ₀N²A/l = 3,29 µH

Запасённая энергия

W = ½LI² = ½·3,29 × 10⁻⁶·2,5² = 1,028 × 10⁻⁵ J = 10,28 µJ

Ответ

W = 10,28 µJ

9.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: I = 0,2821 A

Цепи переменного тока и комплексный метод: резисторы, катушки и конденсаторы имеют полные сопротивления R, jωL и 1/(jωC), где ω = 2πf. При последовательном соединении полные сопротивления складываются как сопротивления, но как комплексные числа. Действующие значения тока и напряжения подчиняются закону Ома с |Z|.

Реактивные сопротивления

ω = 2πf = 2π·100 = 628,3 rad/s

X_L = ωL = 628,3·0,1 = 62,83 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(628,3·47·10⁻⁶) = 33,86 Ω

Полное сопротивление

При последовательном соединении полные сопротивления складываются как комплексные числа: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(80² + (28,97)²) = 85,08 Ω

Ток

Через каждый элемент последовательной цепи течёт один и тот же ток.

I = V/|Z| = 24/85,08 = 0,2821 A

Ответ

I = 0,2821 A

10.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: V_C = 10,12 V

Реактивные сопротивления

ω = 2πf = 2π·60 = 377 rad/s

X_L = ωL = 377·0,05 = 18,85 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(377·2,2·10⁻⁶) = 1206 Ω

Полное сопротивление

При последовательном соединении полные сопротивления складываются как комплексные числа: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(100² + (−1187)²) = 1191 Ω

Ток

Через каждый элемент последовательной цепи течёт один и тот же ток.

I = V/|Z| = 10/1191 = 0,008396 A

Напряжение на конденсаторе

V_C = I·X_C = 0,008396·1206 = 10,12 V

Ответ

V_C = 10,12 V

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism