Физика 2: Электричество и магнетизм: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (10) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Закон Кулона и электрическое поле

Закон Кулона: F = k·|q₁q₂|/r²
Поле точечного заряда: E = k·|q|/r²
Постоянная: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Сила, действующая на заряд: F = q·E

Последовательные и параллельные резисторы

Последовательное соединение резисторов: R_eq = R₁ + R₂ + …
Параллельное соединение резисторов: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Два параллельно: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Закон Ома: V = I·R
Мощность: P = V·I = I²R = V²/R

Метод

Начните с конца цепи, наиболее удалённого от зажимов.
Последовательные резисторы складывайте, а параллельные объединяйте по формуле 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
После каждого шага перерисовывайте схему.
Повторяйте, пока между зажимами не останется один резистор.

Переходные процессы RC и RL

Постоянная времени: τ = RC | τ = L/R
Отклик: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Конденсатор на постоянном токе: разрыв; v_C не может измениться скачком
Катушка на постоянном токе: короткое замыкание; i_L не может измениться скачком
Установившийся режим: t ≈ 5τ

Метод

Найдите начальное значение сразу после коммутации: напряжение на конденсаторе и ток в катушке не могут изменяться скачком.
Найдите установившееся значение спустя долгое время после коммутации: конденсатор ведёт себя как разрыв, катушка — как короткое замыкание.
Найдите постоянную времени: τ = RC или τ = L/R, где берётся сопротивление со стороны конденсатора или катушки.
Используйте x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Магнитные поля и индукция

Длинный прямой провод: B = μ₀I/(2πr)
Центр плоской катушки: B = μ₀NI/(2R)
Длинный соленоид: B = μ₀nI, n = N/L
Постоянная: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Сила, действующая на провод: F = BIL·sin θ
Сила, действующая на заряд: F = |q|vB·sin θ
Движение по окружности: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Параллельные провода: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Поток: Φ = BA·cos θ
Закон Фарадея: ε = −N·ΔΦ/Δt
Движущийся стержень: ε = BLv
Генератор: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Индуктивность: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Взаимная индуктивность: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Селектор скоростей и спектрометр: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Метод

Переведите каждую величину в единицы СИ: cm в m, cm² в m², mT и µT в T.
Выберите правильную формулу: B = μ₀I/(2πr) для провода, μ₀NI/(2R) для центра катушки, μ₀nI внутри соленоида; F = BIL·sin θ или |q|vB·sin θ для сил.
Для индукции найдите изменение потока ΔΦ = Δ(BA·cos θ) и используйте ε = N·ΔΦ/Δt, либо ε = BLv для движущегося стержня и NBAω для вращающейся катушки.
Направления находите отдельно по правилам правой руки, а для индукционных токов — по правилу Ленца.

Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Полные сопротивления: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Угловая частота: ω = 2πf
Модуль и угол: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексной форме: V = I·Z

Метод

Переведите частоту: ω = 2πf.
Найдите каждое реактивное сопротивление: X_L = ωL и X_C = 1/(ωC).
Складывайте сопротивления как у резисторов, с Z = R + jX.
Найдите модуль |Z| = √(R² + X²) и угол φ = atan(X/R), затем примените закон Ома для комплексных амплитуд.

2Тренировочные задачи

1.Закон Кулона и электрическое полеСредняя

Три точечных заряда лежат на одной прямой: −4 µC слева, +8 µC справа на расстоянии 20 cm и −1 µC между ними, на расстоянии 5 cm от левого заряда. Найдите модуль результирующей электрической силы F, действующей на средний заряд. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

q_L = −4 µCq_R = +8 µCq_M = −1 µCr_L = 5 cmr_R = 15 cm

F = N

2.Закон Кулона и электрическое полеСложная

Два одинаковых маленьких шарика массой 1 g каждый подвешены в одной точке на изолирующих нитях длиной 30 cm. Им сообщают равные заряды, и каждая нить устанавливается под углом 8° к вертикали. Примите g = 9,81 m/s². Найдите заряд q каждого шарика в nC. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

m = 1 gL = 30 cmθ = 8°g = 9,81 m/s²

q = nC

3.Последовательные и параллельные резисторыСредняя

Найдите ток I_R1, отдаваемый источником и текущий через R₁.

V₁ = 18 VR₁ = 3 ΩR₂ = 2 ΩR₃ = 5 ΩR₄ = 10 Ω

I_R1 = A

4.Последовательные и параллельные резисторыСложная

Найдите ток I_R2 через R₂.

V₁ = 5 VR₁ = 4 ΩR₂ = 12 ΩR₃ = 5 ΩR₄ = 25 ΩR₅ = 2 ΩR₆ = 6 Ω

I_R2 = A

5.Переходные процессы RC и RLСредняя

Через катушку течёт установившийся ток 0,5 A. При t = 0 ключ замыкает контур через R, а источник отключается, поэтому ток катушки убывает через R. За какое время ток уменьшится до 0,1 A? Найдите t.

i(0) = 0,5 AR = 10 ΩL = 33 mH

t = ms

6.Переходные процессы RC и RLСложная

Таймер при t = 0 начинает заряжать незаряженный конденсатор через резистор от источника 15 V. Он должен сработать, когда напряжение конденсатора достигнет 12 V, ровно через 10 ms после старта. При C = 47 µF найдите необходимое сопротивление R.

V_s = 15 VV_th = 12 VT = 10 msC = 47 µF

R = kΩ

7.Магнитные поля и индукцияСредняя

Катушка из 25 витков имеет площадь 200 cm². Однородное поле, перпендикулярное катушке, равномерно растёт от 0,2 T до 0,8 T за 500 ms. Найдите среднюю ЭДС индукции ε.

N = 25A = 200 cm²B: 0,2 T → 0,8 TΔt = 500 ms

ε = mV

8.Магнитные поля и индукцияСложная

Две катушки с индуктивностями 100 mH и 200 mH имеют коэффициент связи 0,8. Ток в первой катушке меняется со скоростью 200 A/s. Найдите ЭДС ε, наведённую во второй катушке.

L₁ = 100 mHL₂ = 200 mHk = 0,8di/dt = 200 A/s

ε = V

9.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСредняя

Последовательная цепь RLC подключена к сети 230 V (действующее значение), 50 Hz. Найдите угол сдвига фаз φ полного сопротивления в градусах (положительный, когда ток отстаёт от напряжения).

V = 230 V (rms)f = 50 HzR = 100 ΩL = 100 mHC = 47 µF

φ = °

10.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСложная

Резистор R₁ включён последовательно с параллельным соединением R₂ и конденсатора C в сеть 12 V (действующее значение), 500 Hz. Найдите модуль полного сопротивления |Z|.

V = 12 V (rms)f = 500 HzR₁ = 30 ΩR₂ = 100 ΩC = 10 µF

|Z| = Ω

3Растворы

1.Закон Кулона и электрическое поле

Ответ: F = 17,58 N

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Сила от каждого заряда

Направление вправо положительно.

F_L = +k·4·1 × 10⁻¹²/0,05² = 14,38 N

F_R = +k·8·1 × 10⁻¹²/0,15² = 3,196 N

Результирующая сила

F = 14,38 + (3,196) = 17,58 N → |F| = 17,58 N

Ответ

F = 17,58 N

Результирующая сила направлена вправо.

2.Закон Кулона и электрическое поле

Ответ: q = 32,7 nC

Электрическая сила из условия равновесия

Горизонтальная составляющая натяжения уравновешивает F, вертикальная — m·g.

F = m·g·tan θ = 0,001·9,81·tan 8° = 0,001379 N

Расстояние между шариками

r = 2·L·sin θ = 2·0,3·sin 8° = 0,0835 m

Заряд

F = k·q²/r² → q = r·√(F/k) = 0,0835·√(0,001379/8,99 × 10⁹) = 3,27 × 10⁻⁸ C = 32,7 nC

Ответ

q = 32,7 nC

3.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: I_R1 = 3,778 A

Последовательное и параллельное соединение: последовательно через каждый резистор течёт один и тот же ток и R = R₁ + R₂ + …. Параллельно на каждом резисторе одно и то же напряжение и 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Лестничную цепь упрощают по одной паре, пока не останется одно эквивалентное сопротивление.

Объединяйте резисторы с дальнего конца

Начните с конца, самого дальнего от источника, и двигайтесь к нему. Резисторы с одинаковым током соединены последовательно; резисторы между одними и теми же двумя узлами — параллельно.

R₃ + R₄ = 5 + 10 = 15 Ω

R₂ ∥ 15 = 2·15/(2+15) = 1,765 Ω

R_eq = R₁ + 1,765 = 3 + 1,765 = 4,765 Ω

Ток источника

Источник видит только R_eq, поэтому закон Ома даёт ток, который он отдаёт. Этот ток течёт через R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 18/4,765 = 3,778 A

Ответ

I_R1 = 3,778 A

4.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: I_R2 = 0,2458 A

Объединяйте резисторы с дальнего конца

R₅ + R₆ = 2 + 6 = 8 Ω

R₄ ∥ 8 = 6,061 Ω

R₃ + 6,061 = 11,06 Ω

R₂ ∥ 11,06 = 5,756 Ω

R_eq = R₁ + 5,756 = 4 + 5,756 = 9,756 Ω

Ток источника

Источник видит только R_eq, поэтому закон Ома даёт ток, который он отдаёт. Этот ток течёт через R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 5/9,756 = 0,5125 A

Ток через R₂

Вычтите падение на R₁, чтобы получить напряжение в узле A, то есть напряжение на R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 5 − 0,5125·4 = 2,95 V

I_R2 = V_A/R₂ = 2,95/12 = 0,2458 A

Ответ

I_R2 = 0,2458 A

5.Переходные процессы RC и RL

Ответ: t = 5,311 ms

Переходные процессы первого порядка: в цепи с одним конденсатором или одной катушкой каждое напряжение и каждый ток экспоненциально меняются от начального к конечному значению: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, где τ = RC или τ = L/R. Примерно через 5τ цепь выходит на установившийся режим.

Постоянная времени

τ = L/R = 33 mH / 10 Ω = 3,3 ms

Выразите время

0,1 = 0,5·e^−t/τ → t = τ·ln(0,5/0,1)

t = 3,3·ln(5) = 5,311 ms

Ответ

t = 5,311 ms

6.Переходные процессы RC и RL

Ответ: R = 0,1322 kΩ

Требуемая постоянная времени

12 = 15·(1 − e^−10/τ) → τ = 10/ln(15/(15 − 12))

τ = 10/1,609 = 6,213 ms

Сопротивление

kΩ умножить на µF даёт миллисекунды.

R = τ/C = 6,213/47 = 0,1322 kΩ

Ответ

R = 0,1322 kΩ

7.Магнитные поля и индукция

Ответ: ε = 600 mV

Электромагнитная индукция: поток через контур равен Φ = BA·cos θ, где θ — угол между B и нормалью к контуру. Закон Фарадея: изменение потока наводит в катушке из N витков ЭДС ε = −N·dΦ/dt, а правило Ленца гласит, что индукционный ток течёт так, что его собственное поле противодействует изменению. Стержень, движущийся поперёк поля, даёт ε = BLv. Катушка, вращающаяся с угловой скоростью ω, даёт e = NBAω·sin ωt с амплитудой NBAω. Самоиндукция: ε = −L·di/dt, где L = μ₀N²A/l для длинного соленоида, а запасённая энергия равна W = ½LI². Две связанные катушки: ε₂ = −M·di₁/dt, где M = k√(L₁L₂).

Изменение потока на виток

ΔΦ = (0,8 − 0,2)·0,02 = 0,012 Wb

Средняя ЭДС

ε = NΔΦ/Δt = 25·0,012/0,5 = 0,6 V

Ответ

ε = 600 mV

8.Магнитные поля и индукция

Ответ: ε = 22,63 V

Взаимная индуктивность

M = 0,8·√(100·200) = 113,1 mH

ЭДС индукции

ε = M·di/dt = 0,1131·200 = 22,63 V

Ответ

ε = 22,63 V

9.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: φ = −19,96 °

Цепи переменного тока и комплексный метод: резисторы, катушки и конденсаторы имеют полные сопротивления R, jωL и 1/(jωC), где ω = 2πf. При последовательном соединении полные сопротивления складываются как сопротивления, но как комплексные числа. Действующие значения тока и напряжения подчиняются закону Ома с |Z|.

Реактивные сопротивления

ω = 2πf = 2π·50 = 314,2 rad/s

X_L = ωL = 314,2·0,1 = 31,42 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(314,2·47·10⁻⁶) = 67,73 Ω

Полное сопротивление

При последовательном соединении полные сопротивления складываются как комплексные числа: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(100² + (−36,31)²) = 106,4 Ω

Угол сдвига фаз

φ = arctan((X_L − X_C)/R) = arctan(−36,31/100) = −19,96°

Ответ

φ = −19,96°

10.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: |Z| = 48,7 Ω

Реактивное сопротивление

X_C = 1/(2π·500·10·10⁻⁶) = 31,83 Ω

Параллельное соединение

Умножьте числитель и знаменатель на комплексно сопряжённое число, чтобы разделить Z_p на действительную и мнимую части.

Z_p = R₂·(−jX_C)/(R₂ − jX_C) = (R₂·X_C² − jR₂²·X_C)/(R₂² + X_C²)

Z_p = 9,2 − j28,9 Ω

Полное сопротивление цепи

Z = 30 + 9,2 − j28,9 = 39,2 − j28,9 Ω

|Z| = √(39,2² + 28,9²) = 48,7 Ω

Ответ

|Z| = 48,7 Ω

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism