Физика 2: Электричество и магнетизм: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (10) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Закон Кулона и электрическое поле

Закон Кулона: F = k·|q₁q₂|/r²
Поле точечного заряда: E = k·|q|/r²
Постоянная: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Сила, действующая на заряд: F = q·E

Последовательные и параллельные резисторы

Последовательное соединение резисторов: R_eq = R₁ + R₂ + …
Параллельное соединение резисторов: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Два параллельно: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Закон Ома: V = I·R
Мощность: P = V·I = I²R = V²/R

Метод

Начните с конца цепи, наиболее удалённого от зажимов.
Последовательные резисторы складывайте, а параллельные объединяйте по формуле 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
После каждого шага перерисовывайте схему.
Повторяйте, пока между зажимами не останется один резистор.

Переходные процессы RC и RL

Постоянная времени: τ = RC | τ = L/R
Отклик: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Конденсатор на постоянном токе: разрыв; v_C не может измениться скачком
Катушка на постоянном токе: короткое замыкание; i_L не может измениться скачком
Установившийся режим: t ≈ 5τ

Метод

Найдите начальное значение сразу после коммутации: напряжение на конденсаторе и ток в катушке не могут изменяться скачком.
Найдите установившееся значение спустя долгое время после коммутации: конденсатор ведёт себя как разрыв, катушка — как короткое замыкание.
Найдите постоянную времени: τ = RC или τ = L/R, где берётся сопротивление со стороны конденсатора или катушки.
Используйте x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Магнитные поля и индукция

Длинный прямой провод: B = μ₀I/(2πr)
Центр плоской катушки: B = μ₀NI/(2R)
Длинный соленоид: B = μ₀nI, n = N/L
Постоянная: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Сила, действующая на провод: F = BIL·sin θ
Сила, действующая на заряд: F = |q|vB·sin θ
Движение по окружности: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Параллельные провода: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Поток: Φ = BA·cos θ
Закон Фарадея: ε = −N·ΔΦ/Δt
Движущийся стержень: ε = BLv
Генератор: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Индуктивность: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Взаимная индуктивность: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Селектор скоростей и спектрометр: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Метод

Переведите каждую величину в единицы СИ: cm в m, cm² в m², mT и µT в T.
Выберите правильную формулу: B = μ₀I/(2πr) для провода, μ₀NI/(2R) для центра катушки, μ₀nI внутри соленоида; F = BIL·sin θ или |q|vB·sin θ для сил.
Для индукции найдите изменение потока ΔΦ = Δ(BA·cos θ) и используйте ε = N·ΔΦ/Δt, либо ε = BLv для движущегося стержня и NBAω для вращающейся катушки.
Направления находите отдельно по правилам правой руки, а для индукционных токов — по правилу Ленца.

Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Полные сопротивления: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Угловая частота: ω = 2πf
Модуль и угол: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексной форме: V = I·Z

Метод

Переведите частоту: ω = 2πf.
Найдите каждое реактивное сопротивление: X_L = ωL и X_C = 1/(ωC).
Складывайте сопротивления как у резисторов, с Z = R + jX.
Найдите модуль |Z| = √(R² + X²) и угол φ = atan(X/R), затем примените закон Ома для комплексных амплитуд.

2Тренировочные задачи

1.Закон Кулона и электрическое полеСредняя

Заряды +3 µC и +8 µC находятся на расстоянии 80 cm друг от друга. На каком расстоянии x от заряда +3 µC на отрезке между ними напряжённость электрического поля равна нулю?

q₁ = +3 µCq₂ = +8 µCd = 80 cm

x = cm

2.Закон Кулона и электрическое полеСложная

Три положительных точечных заряда находятся в вершинах прямоугольного треугольника: q₃ = 8 µC — в вершине прямого угла, q₁ = 2 µC — на расстоянии 8 cm от неё вдоль одного катета, q₂ = 3 µC — на расстоянии 10 cm от неё вдоль другого катета. Найдите модуль результирующей электрической силы F, действующей на q₃.

q₁ = 2 µCq₂ = 3 µCq₃ = 8 µCr₁₃ = 8 cmr₂₃ = 10 cm

F = N

3.Последовательные и параллельные резисторыСредняя

Найдите эквивалентное сопротивление R_eq, которое видит источник V₁.

V₁ = 10 VR₁ = 3 ΩR₂ = 8 ΩR₃ = 2 ΩR₄ = 12 Ω

R_eq = Ω

4.Последовательные и параллельные резисторыСложная

Найдите ток I_R2 через R₂.

V₁ = 36 VR₁ = 8 ΩR₂ = 8 ΩR₃ = 10 ΩR₄ = 30 ΩR₅ = 6 ΩR₆ = 2 Ω

I_R2 = A

5.Переходные процессы RC и RLСредняя

Источник Vₛ заряжает конденсатор через R₁, а R₂ подключён параллельно C. Конденсатор разряжен, когда ключ замыкается в момент t = 0. Найдите напряжение на конденсаторе v_C в момент t = 75 ms.

V_s = 6 VR₁ = 3,3 kΩR₂ = 2,2 kΩC = 33 µFt = 75 ms

v_C = V

6.Переходные процессы RC и RLСложная

Ключ, шунтирующий R₂, был замкнут долгое время, поэтому ток катушки установившийся. При t = 0 ключ размыкается. Найдите ток катушки i при t = 5 ms.

V_s = 20 VR₁ = 15 ΩR₂ = 15 ΩL = 100 mHt = 5 ms

i = A

7.Магнитные поля и индукцияСредняя

По проводу идёт ток вправо в однородном магнитном поле, направленном из плоскости страницы. Нажмите на направление магнитной силы, действующей на провод.

I: вправоB: из плоскости страницы

1вверх по странице
2вправо
3вниз по странице
4влево

8.Магнитные поля и индукцияСложная

Дейтрон проходит без отклонения через селектор скоростей со скрещёнными полями E = 2 × 10⁴ V/m и B₁ = 0,1 T. Затем он влетает под прямым углом во вторую область, где есть только магнитное поле B₂ = 1 T. Найдите радиус r его траектории там.

E = 2 × 10⁴ V/mB₁ = 0,1 TB₂ = 1 Tm = 3,344 × 10⁻²⁷ kg|q| = 1,602 × 10⁻¹⁹ C

r = cm

9.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСредняя

Резистор и конденсатор включены параллельно в сеть 24 V (действующее значение), 100 Hz. Найдите угол сдвига фаз φ полного сопротивления в градусах (положительный, когда ток отстаёт от напряжения).

V = 24 V (rms)f = 100 HzR = 50 ΩC = 47 µF

φ = °

10.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСложная

Последовательный RLC-контур питается от источника 5 V (действующее значение), частота которого равна резонансной частоте контура. Найдите действующее напряжение V_L на катушке.

V = 5 V (rms)R = 20 ΩL = 5 mHC = 1 µF

V_L = V

3Растворы

1.Закон Кулона и электрическое поле

Ответ: x = 30,38 cm

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Равные поля

3/x² = 8/(80 − x)²

(80 − x)/x = √(8/3) = 1,633

Положение

x = 80/(1 + 1,633) = 30,38 cm

Ответ

x = 30,38 cm

Нулевая точка всегда ближе к меньшему заряду.

2.Закон Кулона и электрическое поле

Ответ: F = 31,16 N

Закон Кулона: два точечных заряда притягиваются или отталкиваются с силой F = k·|q₁·q₂|/r², где k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². Напряжённость поля точечного заряда E = k·|q|/r²; поле направлено от положительного заряда и к отрицательному. Силы и поля от нескольких зарядов складываются как векторы.

Каждая сила, действующая на q₃

F₁ = k·2·8 × 10⁻¹²/0,08² = 22,47 N

F₂ = k·3·8 × 10⁻¹²/0,1² = 21,58 N

Векторная сумма

F = √(22,47² + 21,58²) = 31,16 N

Ответ

F = 31,16 N

3.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: R_eq = 8,091 Ω

Последовательное и параллельное соединение: последовательно через каждый резистор течёт один и тот же ток и R = R₁ + R₂ + …. Параллельно на каждом резисторе одно и то же напряжение и 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Лестничную цепь упрощают по одной паре, пока не останется одно эквивалентное сопротивление.

Объединяйте резисторы с дальнего конца

Начните с конца, самого дальнего от источника, и двигайтесь к нему. Резисторы с одинаковым током соединены последовательно; резисторы между одними и теми же двумя узлами — параллельно.

R₃ + R₄ = 2 + 12 = 14 Ω

R₂ ∥ 14 = 8·14/(8+14) = 5,091 Ω

R_eq = R₁ + 5,091 = 3 + 5,091 = 8,091 Ω

Ответ

R_eq = 8,091 Ω

4.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: I_R2 = 1,807 A

Объединяйте резисторы с дальнего конца

R₅ + R₆ = 6 + 2 = 8 Ω

R₄ ∥ 8 = 6,316 Ω

R₃ + 6,316 = 16,32 Ω

R₂ ∥ 16,32 = 5,368 Ω

R_eq = R₁ + 5,368 = 8 + 5,368 = 13,37 Ω

Ток источника

Источник видит только R_eq, поэтому закон Ома даёт ток, который он отдаёт. Этот ток течёт через R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 36/13,37 = 2,693 A

Ток через R₂

Вычтите падение на R₁, чтобы получить напряжение в узле A, то есть напряжение на R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 36 − 2,693·8 = 14,46 V

I_R2 = V_A/R₂ = 14,46/8 = 1,807 A

Ответ

I_R2 = 1,807 A

5.Переходные процессы RC и RL

Ответ: v_C = 1,971 V

Переходные процессы первого порядка: в цепи с одним конденсатором или одной катушкой каждое напряжение и каждый ток экспоненциально меняются от начального к конечному значению: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, где τ = RC или τ = L/R. Примерно через 5τ цепь выходит на установившийся режим.

Эквивалентная схема Тевенина со стороны конденсатора

Закоротите источник, чтобы найти R_th; отключите конденсатор, чтобы найти напряжение, до которого он зарядится.

R_th = R₁ ∥ R₂ = 3,3·2,2/(3,3 + 2,2) = 1,32 kΩ

v_C(∞) = 6·2,2/(3,3 + 2,2) = 2,4 V

Постоянная времени

τ = R_th·C = 1,32·33 = 43,56 ms

Кривая заряда

v_C(t) = 2,4·(1 − e^−75/43,56) = 1,971 V

Ответ

v_C = 1,971 V

6.Переходные процессы RC и RL

Ответ: i = 0,8154 A

Начальное значение, конечное значение, постоянная времени

До t = 0 замкнутый ключ шунтирует R₂; после этого в контур входят и R₁, и R₂.

i(0) = 20/15 = 1,333 A

i(∞) = 20/(15 + 15) = 0,6667 A

τ = L/R = 100/30 = 3,333 ms

i(t) = 0,6667 + (1,333 − 0,6667)·e^−t/τ

Ток в заданный момент

i(5) = 0,6667 + (0,6667)·e^−5/3,333 = 0,8154 A

Ответ

i = 0,8154 A

7.Магнитные поля и индукция

Ответ: вниз по странице

Магнитные силы: на прямой провод с током I в поле B действует сила F = BIL·sin θ, а на движущийся заряд — F = |q|vB·sin θ, где θ — угол между током (или скоростью) и B. Сила перпендикулярна им обоим: направьте пальцы правой руки вдоль I или v, согните их к B, и большой палец покажет F для положительного заряда; для отрицательного заряда направление меняется на противоположное. Поскольку F перпендикулярна v, заряд, движущийся поперёк однородного поля, движется по окружности: |q|vB = mv²/r даёт r = mv/(|q|B) и период T = 2πm/(|q|B), не зависящий от скорости. Два параллельных провода притягиваются при токах в одном направлении: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).

Правило правой руки

Направьте пальцы вдоль тока или скорости и согните их к B; большой палец покажет силу, действующую на положительный заряд.

I: вправо, B: из плоскости страницы

Направление силы

вниз по странице

Ответ

F: вниз по странице

8.Магнитные поля и индукция

Ответ: r = 0,4175 cm

Выбираемая скорость

Без отклонения: электрическая сила qE уравновешивает магнитную силу qvB.

v = E/B₁ = 2 × 10⁴/0,1 = 200000 m/s

Радиус во втором поле

r = mv/(|q|B₂) = 0,004175 m = 0,4175 cm

Ответ

r = 0,4175 cm

9.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: φ = −55,89 °

Цепи переменного тока и комплексный метод: резисторы, катушки и конденсаторы имеют полные сопротивления R, jωL и 1/(jωC), где ω = 2πf. При последовательном соединении полные сопротивления складываются как сопротивления, но как комплексные числа. Действующие значения тока и напряжения подчиняются закону Ома с |Z|.

Реактивное сопротивление

X_C = 1/(ωC) = 1/(2π·100·47·10⁻⁶) = 33,86 Ω

Токи ветвей

Обе ветви подключены прямо к источнику, поэтому к каждой приложено полное напряжение V.

I_R = V/R = 24/50 = 0,48 A

I_X = V/X_C = 24/33,86 = 0,7087 A

Общий ток

Ток резистора совпадает по фазе с V, а реактивный ток сдвинут на 90°, поэтому они складываются как катеты прямоугольного треугольника.

I = √(I_R² + I_X²) = √(0,48² + 0,7087²) = 0,856 A

Угол сдвига фаз

Ток конденсатора опережает V, поэтому общий ток опережает и угол отрицателен.

φ = −arctan(I_X/I_R) = −arctan(0,7087/0,48) = −55,89°

Ответ

φ = −55,89°

10.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: V_L = 17,68 V

Резонанс

При резонансе реактивные сопротивления компенсируются, поэтому полное сопротивление равно просто R.

ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(0,005·1·10⁻⁶) = 14142 rad/s

I = V/R = 5/20 = 0,25 A

Напряжение на катушке

X_L = ω₀L = 14142·0,005 = 70,71 Ω

V_L = I·X_L = 0,25·70,71 = 17,68 V

Ответ

V_L = 17,68 V

Это в Q = 3,536 раз больше напряжения источника.

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism