Физика 2: Электричество и магнетизм: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (10) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Закон Кулона и электрическое поле

Закон Кулона: F = k·|q₁q₂|/r²
Поле точечного заряда: E = k·|q|/r²
Постоянная: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Сила, действующая на заряд: F = q·E

Последовательные и параллельные резисторы

Последовательное соединение резисторов: R_eq = R₁ + R₂ + …
Параллельное соединение резисторов: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Два параллельно: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Закон Ома: V = I·R
Мощность: P = V·I = I²R = V²/R

Метод

Начните с конца цепи, наиболее удалённого от зажимов.
Последовательные резисторы складывайте, а параллельные объединяйте по формуле 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
После каждого шага перерисовывайте схему.
Повторяйте, пока между зажимами не останется один резистор.

Переходные процессы RC и RL

Постоянная времени: τ = RC | τ = L/R
Отклик: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Конденсатор на постоянном токе: разрыв; v_C не может измениться скачком
Катушка на постоянном токе: короткое замыкание; i_L не может измениться скачком
Установившийся режим: t ≈ 5τ

Метод

Найдите начальное значение сразу после коммутации: напряжение на конденсаторе и ток в катушке не могут изменяться скачком.
Найдите установившееся значение спустя долгое время после коммутации: конденсатор ведёт себя как разрыв, катушка — как короткое замыкание.
Найдите постоянную времени: τ = RC или τ = L/R, где берётся сопротивление со стороны конденсатора или катушки.
Используйте x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Магнитные поля и индукция

Длинный прямой провод: B = μ₀I/(2πr)
Центр плоской катушки: B = μ₀NI/(2R)
Длинный соленоид: B = μ₀nI, n = N/L
Постоянная: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Сила, действующая на провод: F = BIL·sin θ
Сила, действующая на заряд: F = |q|vB·sin θ
Движение по окружности: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Параллельные провода: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Поток: Φ = BA·cos θ
Закон Фарадея: ε = −N·ΔΦ/Δt
Движущийся стержень: ε = BLv
Генератор: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Индуктивность: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Взаимная индуктивность: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Селектор скоростей и спектрометр: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Метод

Переведите каждую величину в единицы СИ: cm в m, cm² в m², mT и µT в T.
Выберите правильную формулу: B = μ₀I/(2πr) для провода, μ₀NI/(2R) для центра катушки, μ₀nI внутри соленоида; F = BIL·sin θ или |q|vB·sin θ для сил.
Для индукции найдите изменение потока ΔΦ = Δ(BA·cos θ) и используйте ε = N·ΔΦ/Δt, либо ε = BLv для движущегося стержня и NBAω для вращающейся катушки.
Направления находите отдельно по правилам правой руки, а для индукционных токов — по правилу Ленца.

Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Полные сопротивления: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Угловая частота: ω = 2πf
Модуль и угол: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексной форме: V = I·Z

Метод

Переведите частоту: ω = 2πf.
Найдите каждое реактивное сопротивление: X_L = ωL и X_C = 1/(ωC).
Складывайте сопротивления как у резисторов, с Z = R + jX.
Найдите модуль |Z| = √(R² + X²) и угол φ = atan(X/R), затем примените закон Ома для комплексных амплитуд.

2Тренировочные задачи

1.Закон Кулона и электрическое полеСредняя

Три точечных заряда лежат на одной прямой: +5 µC слева, −2 µC справа на расстоянии 30 cm и −4 µC между ними, на расстоянии 18 cm от левого заряда. Найдите модуль результирующей электрической силы F, действующей на средний заряд. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

q_L = +5 µCq_R = −2 µCq_M = −4 µCr_L = 18 cmr_R = 12 cm

F = N

2.Закон Кулона и электрическое полеСложная

Два одинаковых маленьких шарика массой 8 g каждый подвешены в одной точке на изолирующих нитях длиной 20 cm. Им сообщают равные заряды, и каждая нить устанавливается под углом 8° к вертикали. Примите g = 9,81 m/s². Найдите заряд q каждого шарика в nC. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

m = 8 gL = 20 cmθ = 8°g = 9,81 m/s²

q = nC

3.Последовательные и параллельные резисторыСредняя

Найдите эквивалентное сопротивление R_eq, которое видит источник V₁.

V₁ = 6 VR₁ = 5 ΩR₂ = 15 ΩR₃ = 4 ΩR₄ = 2 Ω

R_eq = Ω

4.Последовательные и параллельные резисторыСложная

Найдите ток I_R1, отдаваемый источником и текущий через R₁.

V₁ = 18 VR₁ = 10 ΩR₂ = 12 ΩR₃ = 20 ΩR₄ = 5 ΩR₅ = 8 ΩR₆ = 30 Ω

I_R1 = A

5.Переходные процессы RC и RLСредняя

До замыкания ключа в момент t = 0 тока через катушку нет. Найдите ток i в момент t = 1 ms.

V_s = 12 VR = 50 ΩL = 68 mHt = 1 ms

i = A

6.Переходные процессы RC и RLСложная

Таймер при t = 0 начинает заряжать незаряженный конденсатор через резистор от источника 15 V. Он должен сработать, когда напряжение конденсатора достигнет 12 V, ровно через 500 ms после старта. При R = 1 kΩ найдите необходимую ёмкость C.

V_s = 15 VV_th = 12 VT = 500 msR = 1 kΩ

C = µF

7.Магнитные поля и индукцияСредняя

Протон движется по окружности в однородном магнитном поле 0,25 T. Найдите время T, за которое он делает один оборот.

m = 1,673 × 10⁻²⁷ kg|q| = 1,602 × 10⁻¹⁹ CB = 0,25 T

T = ns

8.Магнитные поля и индукцияСложная

Длинный соленоид без сердечника имеет 1500 витков, длину 15 cm и диаметр 4 cm. Найдите энергию W, запасённую в его магнитном поле, когда по нему течёт ток 4 A.

N = 1500l = 15 cm⌀ = 4 cmI = 4 Aμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A

W = mJ

9.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСредняя

Последовательная цепь RLC подключена к сети 12 V (действующее значение), 500 Hz. Найдите действующее значение тока I.

V = 12 V (rms)f = 500 HzR = 60 ΩL = 250 mHC = 22 µF

I = A

10.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСложная

Последовательная цепь RLC подключена к сети 12 V (действующее значение), 200 Hz. Найдите резонансную частоту f₀ цепи.

V = 12 V (rms)f = 200 HzR = 10 ΩL = 20 mHC = 100 µF

f₀ = Hz

3Растворы

1.Закон Кулона и электрическое поле

Ответ: F = 10,54 N

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Сила от каждого заряда

Направление вправо положительно.

F_L = −k·5·4 × 10⁻¹²/0,18² = −5,549 N

F_R = −k·2·4 × 10⁻¹²/0,12² = −4,994 N

Результирующая сила

F = −5,549 + (−4,994) = −10,54 N → |F| = 10,54 N

Ответ

F = 10,54 N

Результирующая сила направлена влево.

2.Закон Кулона и электрическое поле

Ответ: q = 61,66 nC

Электрическая сила из условия равновесия

Горизонтальная составляющая натяжения уравновешивает F, вертикальная — m·g.

F = m·g·tan θ = 0,008·9,81·tan 8° = 0,01103 N

Расстояние между шариками

r = 2·L·sin θ = 2·0,2·sin 8° = 0,05567 m

Заряд

F = k·q²/r² → q = r·√(F/k) = 0,05567·√(0,01103/8,99 × 10⁹) = 6,166 × 10⁻⁸ C = 61,66 nC

Ответ

q = 61,66 nC

3.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: R_eq = 9,286 Ω

Последовательное и параллельное соединение: последовательно через каждый резистор течёт один и тот же ток и R = R₁ + R₂ + …. Параллельно на каждом резисторе одно и то же напряжение и 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Лестничную цепь упрощают по одной паре, пока не останется одно эквивалентное сопротивление.

Объединяйте резисторы с дальнего конца

Начните с конца, самого дальнего от источника, и двигайтесь к нему. Резисторы с одинаковым током соединены последовательно; резисторы между одними и теми же двумя узлами — параллельно.

R₃ + R₄ = 4 + 2 = 6 Ω

R₂ ∥ 6 = 15·6/(15+6) = 4,286 Ω

R_eq = R₁ + 4,286 = 5 + 4,286 = 9,286 Ω

Ответ

R_eq = 9,286 Ω

4.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: I_R1 = 0,9975 A

Объединяйте резисторы с дальнего конца

R₅ + R₆ = 8 + 30 = 38 Ω

R₄ ∥ 38 = 4,419 Ω

R₃ + 4,419 = 24,42 Ω

R₂ ∥ 24,42 = 8,046 Ω

R_eq = R₁ + 8,046 = 10 + 8,046 = 18,05 Ω

Ток источника

Источник видит только R_eq, поэтому закон Ома даёт ток, который он отдаёт. Этот ток течёт через R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 18/18,05 = 0,9975 A

Ответ

I_R1 = 0,9975 A

5.Переходные процессы RC и RL

Ответ: i = 0,125 A

Переходные процессы первого порядка: в цепи с одним конденсатором или одной катушкой каждое напряжение и каждый ток экспоненциально меняются от начального к конечному значению: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, где τ = RC или τ = L/R. Примерно через 5τ цепь выходит на установившийся режим.

Постоянная времени и конечный ток

Спустя долгое время после замыкания катушка ведёт себя как короткое замыкание, поэтому конечный ток определяется только R.

τ = L/R = 68 mH / 50 Ω = 1,36 ms

i(∞) = V_s/R = 12/50 = 0,24 A

Ток в заданный момент

i(t) = i(∞)·(1 − e^−t/τ) = 0,24·(1 − e^−1/1,36) = 0,125 A

Ответ

i = 0,125 A

6.Переходные процессы RC и RL

Ответ: C = 310,7 µF

Требуемая постоянная времени

12 = 15·(1 − e^−500/τ) → τ = 500/ln(15/(15 − 12))

τ = 500/1,609 = 310,7 ms

Ёмкость

kΩ умножить на µF даёт миллисекунды.

C = τ/R = 310,7/1 = 310,7 µF

Ответ

C = 310,7 µF

7.Магнитные поля и индукция

Ответ: T = 262,5 ns

Магнитные силы: на прямой провод с током I в поле B действует сила F = BIL·sin θ, а на движущийся заряд — F = |q|vB·sin θ, где θ — угол между током (или скоростью) и B. Сила перпендикулярна им обоим: направьте пальцы правой руки вдоль I или v, согните их к B, и большой палец покажет F для положительного заряда; для отрицательного заряда направление меняется на противоположное. Поскольку F перпендикулярна v, заряд, движущийся поперёк однородного поля, движется по окружности: |q|vB = mv²/r даёт r = mv/(|q|B) и период T = 2πm/(|q|B), не зависящий от скорости. Два параллельных провода притягиваются при токах в одном направлении: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).

Период движения по окружности

Более быстрая частица движется по большей окружности, поэтому время на один оборот остаётся прежним.

T = 2πm/(|q|B) = 2π·1,673 × 10⁻²⁷/(1,602 × 10⁻¹⁹·0,25) = 262,5 ns

Ответ

T = 262,5 ns

Скорость не нужна: поэтому циклотрон может работать на одной фиксированной частоте.

8.Магнитные поля и индукция

Ответ: W = 189,5 mJ

Электромагнитная индукция: поток через контур равен Φ = BA·cos θ, где θ — угол между B и нормалью к контуру. Закон Фарадея: изменение потока наводит в катушке из N витков ЭДС ε = −N·dΦ/dt, а правило Ленца гласит, что индукционный ток течёт так, что его собственное поле противодействует изменению. Стержень, движущийся поперёк поля, даёт ε = BLv. Катушка, вращающаяся с угловой скоростью ω, даёт e = NBAω·sin ωt с амплитудой NBAω. Самоиндукция: ε = −L·di/dt, где L = μ₀N²A/l для длинного соленоида, а запасённая энергия равна W = ½LI². Две связанные катушки: ε₂ = −M·di₁/dt, где M = k√(L₁L₂).

Индуктивность

L = μ₀N²A/l = 23,69 mH

Запасённая энергия

W = ½LI² = ½·0,02369·4² = 0,1895 J = 189,5 mJ

Ответ

W = 189,5 mJ

9.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: I = 0,01552 A

Цепи переменного тока и комплексный метод: резисторы, катушки и конденсаторы имеют полные сопротивления R, jωL и 1/(jωC), где ω = 2πf. При последовательном соединении полные сопротивления складываются как сопротивления, но как комплексные числа. Действующие значения тока и напряжения подчиняются закону Ома с |Z|.

Реактивные сопротивления

ω = 2πf = 2π·500 = 3142 rad/s

X_L = ωL = 3142·0,25 = 785,4 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(3142·22·10⁻⁶) = 14,47 Ω

Полное сопротивление

При последовательном соединении полные сопротивления складываются как комплексные числа: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(60² + (770,9)²) = 773,3 Ω

Ток

Через каждый элемент последовательной цепи течёт один и тот же ток.

I = V/|Z| = 12/773,3 = 0,01552 A

Ответ

I = 0,01552 A

10.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: f₀ = 112,5 Hz

Резонанс

При резонансе индуктивное и ёмкостное сопротивления компенсируют друг друга: ωL = 1/(ωC). Частота сети не важна.

f₀ = 1/(2π√(LC)) = 1/(2π·√(0,02·100·10⁻⁶)) = 112,5 Hz

Ответ

f₀ = 112,5 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism