Физика 2: Электричество и магнетизм: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (10) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Закон Кулона и электрическое поле

Закон Кулона: F = k·|q₁q₂|/r²
Поле точечного заряда: E = k·|q|/r²
Постоянная: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Сила, действующая на заряд: F = q·E

Последовательные и параллельные резисторы

Последовательное соединение резисторов: R_eq = R₁ + R₂ + …
Параллельное соединение резисторов: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Два параллельно: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Закон Ома: V = I·R
Мощность: P = V·I = I²R = V²/R

Метод

Начните с конца цепи, наиболее удалённого от зажимов.
Последовательные резисторы складывайте, а параллельные объединяйте по формуле 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
После каждого шага перерисовывайте схему.
Повторяйте, пока между зажимами не останется один резистор.

Переходные процессы RC и RL

Постоянная времени: τ = RC | τ = L/R
Отклик: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Конденсатор на постоянном токе: разрыв; v_C не может измениться скачком
Катушка на постоянном токе: короткое замыкание; i_L не может измениться скачком
Установившийся режим: t ≈ 5τ

Метод

Найдите начальное значение сразу после коммутации: напряжение на конденсаторе и ток в катушке не могут изменяться скачком.
Найдите установившееся значение спустя долгое время после коммутации: конденсатор ведёт себя как разрыв, катушка — как короткое замыкание.
Найдите постоянную времени: τ = RC или τ = L/R, где берётся сопротивление со стороны конденсатора или катушки.
Используйте x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Магнитные поля и индукция

Длинный прямой провод: B = μ₀I/(2πr)
Центр плоской катушки: B = μ₀NI/(2R)
Длинный соленоид: B = μ₀nI, n = N/L
Постоянная: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Сила, действующая на провод: F = BIL·sin θ
Сила, действующая на заряд: F = |q|vB·sin θ
Движение по окружности: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Параллельные провода: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Поток: Φ = BA·cos θ
Закон Фарадея: ε = −N·ΔΦ/Δt
Движущийся стержень: ε = BLv
Генератор: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Индуктивность: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Взаимная индуктивность: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Селектор скоростей и спектрометр: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Метод

Переведите каждую величину в единицы СИ: cm в m, cm² в m², mT и µT в T.
Выберите правильную формулу: B = μ₀I/(2πr) для провода, μ₀NI/(2R) для центра катушки, μ₀nI внутри соленоида; F = BIL·sin θ или |q|vB·sin θ для сил.
Для индукции найдите изменение потока ΔΦ = Δ(BA·cos θ) и используйте ε = N·ΔΦ/Δt, либо ε = BLv для движущегося стержня и NBAω для вращающейся катушки.
Направления находите отдельно по правилам правой руки, а для индукционных токов — по правилу Ленца.

Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Полные сопротивления: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Угловая частота: ω = 2πf
Модуль и угол: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексной форме: V = I·Z

Метод

Переведите частоту: ω = 2πf.
Найдите каждое реактивное сопротивление: X_L = ωL и X_C = 1/(ωC).
Складывайте сопротивления как у резисторов, с Z = R + jX.
Найдите модуль |Z| = √(R² + X²) и угол φ = atan(X/R), затем примените закон Ома для комплексных амплитуд.

2Тренировочные задачи

1.Закон Кулона и электрическое полеСредняя

Заряд +6 µC и заряд +2 µC находятся на расстоянии 20 cm друг от друга. Точка P лежит на прямой между ними на расстоянии 10 cm от первого заряда. Найдите модуль напряжённости электрического поля E в точке P.

q₁ = +6 µCq₂ = +2 µCr₁ = 10 cmr₂ = 10 cm

E = N/C

2.Закон Кулона и электрическое полеСложная

Три положительных точечных заряда находятся в вершинах прямоугольного треугольника: q₃ = 8 µC — в вершине прямого угла, q₁ = 2 µC — на расстоянии 3 cm от неё вдоль одного катета, q₂ = 5 µC — на расстоянии 8 cm от неё вдоль другого катета. Найдите модуль результирующей электрической силы F, действующей на q₃.

q₁ = 2 µCq₂ = 5 µCq₃ = 8 µCr₁₃ = 3 cmr₂₃ = 8 cm

F = N

3.Последовательные и параллельные резисторыСредняя

Найдите ток I_R2 через R₂.

V₁ = 15 VR₁ = 8 ΩR₂ = 5 ΩR₃ = 12 ΩR₄ = 5 Ω

I_R2 = A

4.Последовательные и параллельные резисторыСложная

Найдите ток I_R2 через R₂.

V₁ = 6 VR₁ = 12 ΩR₂ = 12 ΩR₃ = 30 ΩR₄ = 25 ΩR₅ = 8 ΩR₆ = 25 Ω

I_R2 = A

5.Переходные процессы RC и RLСредняя

Источник Vₛ заряжает конденсатор через R₁, а R₂ подключён параллельно C. Конденсатор разряжен, когда ключ замыкается в момент t = 0. Найдите напряжение на конденсаторе v_C в момент t = 120 ms.

V_s = 20 VR₁ = 1 kΩR₂ = 3,3 kΩC = 100 µFt = 120 ms

v_C = V

6.Переходные процессы RC и RLСложная

Ключ был замкнут долгое время, поэтому цепь находится в установившемся режиме. При t = 0 ключ размыкается. Найдите напряжение на конденсаторе v_C в момент t = 200 ms.

V_s = 6 VR₁ = 2,2 kΩR₂ = 4,7 kΩC = 100 µFt = 200 ms

v_C = V

7.Магнитные поля и индукцияСредняя

Катушка из 50 витков имеет площадь 150 cm². Катушка находится в однородном поле 0,8 T, перпендикулярном её плоскости, и поле выключается за 200 ms. Найдите среднюю ЭДС индукции ε.

N = 50A = 150 cm²B = 0,8 TΔt = 200 ms

ε = V

8.Магнитные поля и индукцияСложная

Ток в катушке индуктивностью 200 mH равномерно меняется от 5 A до 1 A за 10 ms. Найдите модуль ЭДС самоиндукции ε.

L = 200 mH5 A → 1 AΔt = 10 ms

ε = V

9.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСредняя

Последовательная цепь RLC подключена к сети 100 V (действующее значение), 100 Hz. Найдите действующее значение тока I.

V = 100 V (rms)f = 100 HzR = 10 ΩL = 100 mHC = 100 µF

I = A

10.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСложная

Последовательный RLC-контур питается от источника 1 V (действующее значение), частота которого равна резонансной частоте контура. Найдите действующее напряжение V_L на катушке.

V = 1 V (rms)R = 20 ΩL = 200 mHC = 1 µF

V_L = V

3Растворы

1.Закон Кулона и электрическое поле

Ответ: E = 3,596 × 10⁶ N/C

Закон Кулона: два точечных заряда притягиваются или отталкиваются с силой F = k·|q₁·q₂|/r², где k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². Напряжённость поля точечного заряда E = k·|q|/r²; поле направлено от положительного заряда и к отрицательному. Силы и поля от нескольких зарядов складываются как векторы.

Поле каждого заряда

E₁ = k·6 × 10⁻⁶/0,1² = 5,394 × 10⁶ N/C

E₂ = k·2 × 10⁻⁶/0,1² = 1,798 × 10⁶ N/C

Направления и сумма

Оба заряда положительны: в точке P их поля направлены от соответствующего заряда, то есть в противоположные стороны.

E = |5,394 × 10⁶ − 1,798 × 10⁶| = 3,596 × 10⁶ N/C

Ответ

E = 3,596 × 10⁶ N/C

2.Закон Кулона и электрическое поле

Ответ: F = 169,4 N

Каждая сила, действующая на q₃

F₁ = k·2·8 × 10⁻¹²/0,03² = 159,8 N

F₂ = k·5·8 × 10⁻¹²/0,08² = 56,19 N

Векторная сумма

F = √(159,8² + 56,19²) = 169,4 N

Ответ

F = 169,4 N

3.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: I_R2 = 0,977 A

Последовательное и параллельное соединение: последовательно через каждый резистор течёт один и тот же ток и R = R₁ + R₂ + …. Параллельно на каждом резисторе одно и то же напряжение и 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Лестничную цепь упрощают по одной паре, пока не останется одно эквивалентное сопротивление.

Объединяйте резисторы с дальнего конца

Начните с конца, самого дальнего от источника, и двигайтесь к нему. Резисторы с одинаковым током соединены последовательно; резисторы между одними и теми же двумя узлами — параллельно.

R₃ + R₄ = 12 + 5 = 17 Ω

R₂ ∥ 17 = 5·17/(5+17) = 3,864 Ω

R_eq = R₁ + 3,864 = 8 + 3,864 = 11,86 Ω

Ток источника

Источник видит только R_eq, поэтому закон Ома даёт ток, который он отдаёт. Этот ток течёт через R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 15/11,86 = 1,264 A

Ток через R₂

Вычтите падение на R₁, чтобы получить напряжение в узле A, то есть напряжение на R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 15 − 1,264·8 = 4,885 V

I_R2 = V_A/R₂ = 4,885/5 = 0,977 A

Ответ

I_R2 = 0,977 A

4.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: I_R2 = 0,2201 A

Объединяйте резисторы с дальнего конца

R₅ + R₆ = 8 + 25 = 33 Ω

R₄ ∥ 33 = 14,22 Ω

R₃ + 14,22 = 44,22 Ω

R₂ ∥ 44,22 = 9,439 Ω

R_eq = R₁ + 9,439 = 12 + 9,439 = 21,44 Ω

Ток источника

Источник видит только R_eq, поэтому закон Ома даёт ток, который он отдаёт. Этот ток течёт через R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 6/21,44 = 0,2799 A

Ток через R₂

Вычтите падение на R₁, чтобы получить напряжение в узле A, то есть напряжение на R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 6 − 0,2799·12 = 2,642 V

I_R2 = V_A/R₂ = 2,642/12 = 0,2201 A

Ответ

I_R2 = 0,2201 A

5.Переходные процессы RC и RL

Ответ: v_C = 12,14 V

Переходные процессы первого порядка: в цепи с одним конденсатором или одной катушкой каждое напряжение и каждый ток экспоненциально меняются от начального к конечному значению: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, где τ = RC или τ = L/R. Примерно через 5τ цепь выходит на установившийся режим.

Эквивалентная схема Тевенина со стороны конденсатора

Закоротите источник, чтобы найти R_th; отключите конденсатор, чтобы найти напряжение, до которого он зарядится.

R_th = R₁ ∥ R₂ = 1·3,3/(1 + 3,3) = 0,7674 kΩ

v_C(∞) = 20·3,3/(1 + 3,3) = 15,35 V

Постоянная времени

τ = R_th·C = 0,7674·100 = 76,74 ms

Кривая заряда

v_C(t) = 15,35·(1 − e^−120/76,74) = 12,14 V

Ответ

v_C = 12,14 V

6.Переходные процессы RC и RL

Ответ: v_C = 2,671 V

Начальное напряжение конденсатора

В установившемся режиме конденсатор — разрыв, поэтому R₁ и R₂ образуют делитель напряжения. Напряжение конденсатора не может измениться скачком при размыкании ключа.

v_C(0) = 6·4,7/(2,2 + 4,7) = 4,087 V

Постоянная времени после размыкания ключа

τ = R₂·C = 4,7·100 = 470 ms

Разряд

v_C(t) = 4,087·e^−200/470 = 2,671 V

Ответ

v_C = 2,671 V

7.Магнитные поля и индукция

Ответ: ε = 3 V

Электромагнитная индукция: поток через контур равен Φ = BA·cos θ, где θ — угол между B и нормалью к контуру. Закон Фарадея: изменение потока наводит в катушке из N витков ЭДС ε = −N·dΦ/dt, а правило Ленца гласит, что индукционный ток течёт так, что его собственное поле противодействует изменению. Стержень, движущийся поперёк поля, даёт ε = BLv. Катушка, вращающаяся с угловой скоростью ω, даёт e = NBAω·sin ωt с амплитудой NBAω. Самоиндукция: ε = −L·di/dt, где L = μ₀N²A/l для длинного соленоида, а запасённая энергия равна W = ½LI². Две связанные катушки: ε₂ = −M·di₁/dt, где M = k√(L₁L₂).

Изменение потока на виток

ΔΦ = 0,8·0,015 = 0,012 Wb

Средняя ЭДС

ε = NΔΦ/Δt = 50·0,012/0,2 = 3 V

Ответ

ε = 3 V

8.Магнитные поля и индукция

Ответ: ε = 80 V

ЭДС самоиндукции

ЭДС противодействует изменению тока (Ленц), поэтому её знак противоположен ΔI; по модулю она равна L·|ΔI|/Δt.

ε = L·ΔI/Δt = 0,2·4/0,01 = 80 V

Ответ

ε = 80 V

9.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: I = 2,085 A

Цепи переменного тока и комплексный метод: резисторы, катушки и конденсаторы имеют полные сопротивления R, jωL и 1/(jωC), где ω = 2πf. При последовательном соединении полные сопротивления складываются как сопротивления, но как комплексные числа. Действующие значения тока и напряжения подчиняются закону Ома с |Z|.

Реактивные сопротивления

ω = 2πf = 2π·100 = 628,3 rad/s

X_L = ωL = 628,3·0,1 = 62,83 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(628,3·100·10⁻⁶) = 15,92 Ω

Полное сопротивление

При последовательном соединении полные сопротивления складываются как комплексные числа: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(10² + (46,92)²) = 47,97 Ω

Ток

Через каждый элемент последовательной цепи течёт один и тот же ток.

I = V/|Z| = 100/47,97 = 2,085 A

Ответ

I = 2,085 A

10.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: V_L = 22,36 V

Резонанс

При резонансе реактивные сопротивления компенсируются, поэтому полное сопротивление равно просто R.

ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(0,2·1·10⁻⁶) = 2236 rad/s

I = V/R = 1/20 = 0,05 A

Напряжение на катушке

X_L = ω₀L = 2236·0,2 = 447,2 Ω

V_L = I·X_L = 0,05·447,2 = 22,36 V

Ответ

V_L = 22,36 V

Это в Q = 22,36 раз больше напряжения источника.

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism